Report Swiss Open 2014, Basel, 10.-16. März (von Klaus Schlieben

SIMULADO
MÚLTIPLA ESCOLHA
1.
⃗⃗ − 𝟑. 𝐯
⃗ ). (𝐮
⃗⃗ + 𝟐. 𝐯
⃗ ).
⃗ = (𝟏, 𝟏, 𝟐), |𝐯⃗| = 𝟏𝟎 e que 𝐮
⃗ ⊥ 𝐯⃗, calcule: (𝐮
Sabendo que 𝐮
(a) √6 − 60
2.
(b) 506
(c) (−7, −7, −2) (d) (10,10,20)
Um balão meteorológico é controlado via rádio pela estação central. Quando enviou o primeiro conjunto
de dados, o balão se encontrava na posição ⃗⃗⃗⃗
R 0 = (0, 0,5) km. O segundo conjunto de dados foi enviado
quando o balão marcava a sua posição em ⃗⃗⃗⃗
R1 = (2,0,2) km. Considerando que os vetores que marcam a
posição do balão tem origem no centro do sistema de coordenadas, determine o ângulo que separa as
duas posições.
(a)0º
(b)30º
(c)45º
(d)60º
(e)90º
3.
(e)−594

0º.
sen 
0
1
2
2
2
3
2
1
cos 
1
3
2
2
2
1
2
0
30º. 45º.
60º. 90º.
⃗ em um magneto pequeno é proporcional ao campo 𝐵
⃗ aplicado e ao momento magnético 𝑚
⃗⃗ do
O torque 𝑁
magneto. Assim:
⃗ =𝑚
⃗
𝑁
⃗⃗ ⋀ 𝐵
⃗ = (2, 1, 1) 𝐺, a intensidade
Se um magneto de 𝑚
⃗⃗ = (1, 2, 4) 𝑒𝑟𝑔/𝐺 está sob a ação de um campo magnético 𝐵
⃗ (em dina.cm) gerado no magneto devido a ação do campo será:
(o módulo) do torque 𝑁
(a) (−𝟐, 𝟕, −𝟑) dina.cm
4.
(b) √62 dina.cm
(c) (𝟐, 𝟐, 𝟒) dina.cm
Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores
(a) 5
(b) (0, −4,3)
(c)−1
(d) √74
(d) 2√6 dina.cm
(e) 8 dina.cm
⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ = (0, 4, 3)
𝐴𝐵 = (1, −1,1) e 𝐴𝐶
(e) (−7, −3,4)
DISSERTATIVA
⃗ = (𝟏, 𝟏, −𝟑) e 𝐯⃗ = (𝟒, 𝑏, 𝟏) são ortogonais.
1. Determine o valor de 𝑏 sabendo que 𝐮
Se os vetores são ortogonais, então 𝑢
⃗ . 𝑣 = 0, então
⃗ . 𝐯⃗ = 0
𝐮
(𝟏, 𝟏, −𝟑). (𝟒, 𝑏, 𝟏) = 0
4+𝑏−3 = 0
𝑏 = 3−4
𝑏 = −1
⃗ = (𝟒, 𝟎, 𝟒) e 𝐯⃗ = (𝟎, −𝟒, −𝟐) e que |𝑎 | = √24
2. Determine 𝑎 = (𝒙, 𝒚, 𝒛) sabendo que 𝑎 é ortogonal aos vetores 𝐮
Para resolver esse problema, podemos montar um sistema de equações baseado nas informações fornecidas
⃗ e 𝐯⃗ temos:
no enunciado. Se 𝑎 é ortogonal aos vetores 𝐮
⃗ . 𝐚⃗ = 0
𝐮
𝐯⃗. 𝐚⃗ = 0
(4,0,4). (x, y, z) = 0
(0, −4, −2). (x, y, z) = 0
4𝑥 + 4𝑧 = 0
−4𝑦 − 2𝑧 = 0
𝑧
𝑦=−
(𝐼𝐼)
2
4𝑥 = −4𝑧
𝑥 = −𝑧 (𝐼)
Se |𝑎| = √24 então:
|𝑎| = √24
√x 2 + y 2 + z 2 = √24
(𝐼𝐼𝐼)
Aplicando a relação (I) e a relação (II) em (III) obtemos:
z 2
(−z)2 + ( ) + z 2 = 24
2
z2
z2
+ + z 2 = 24
4
4z 2 + z 2 + 4z 2
= 24
4
9z 2
= 24
4
z=±
4√6
√96
=±
3
3
Das relações (I) e (II) obtemos:
𝑥 = −𝑧
𝑥=∓
𝑦=−
±
4√6
3
4√6
3 = ∓ 2√6
2
3
Assim:
𝑎 = ± (−
4√6 2√6 4√6
,−
,
)
3
3
3
⃗ | = 𝟓, 𝐯⃗ = (−𝟐, 𝟏, 𝟐) e que o ângulo  entre os vetores 𝐮
⃗ e 𝐯⃗ é igual a 45º, determine o
3. Sabendo que |𝐮
⃗ × 𝐯⃗|.
módulo do produto vetorial |𝐮
|u
⃗ × v⃗| = |u
⃗ |. |v⃗|. sen 𝜃
|u
⃗ × v⃗| = 5. √(−2)2 + 12 + 22 . sen 45°
|u
⃗ × v⃗| = 15.
√2
2
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 20, 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗ = (2, −2, 1) e que o ângulo entre os dois vetores é 𝜃 = 23º, temos que a área
4. Sabendo que |𝐴𝐵
do triângulo ABC (𝐴𝑡 ) e a altura hB relativa ao vértice B valem: (Dados: cos(23º) = 0,92; sen(23º) =
0,39)
⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ |. |AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |. sen 𝜃
|AB
AC| = |AB
⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗
|AB
AC| = 20. √22 + (−2)2 + 12 . sen 23°
⃗⃗⃗⃗⃗ × AC
⃗⃗⃗⃗⃗ | = 20.3.0,39
|AB
⃗⃗⃗⃗⃗ × ⃗⃗⃗⃗⃗
|AB
AC| = 23,4
⃗⃗⃗⃗⃗ × AC
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|AB
2
23,4
𝐴𝑡 =
= 11,7
2
𝐴𝑡 =
A área do triângulo também é dada pela fórmula:
𝐴𝑡 =
𝑏𝑎𝑠𝑒 × 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎
2
Que pelos dados do problema pode ser escrito como:
⃗⃗⃗⃗⃗ | × ℎ𝐵
|AC
2
2. 𝐴𝑡
= ℎ𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗ |
|AC
𝐴𝑡 =
ℎ𝐵 =
2 × 11,7
3
ℎ𝐵 = 7,8