Der MINIstrantenkurs Katholisches Bibelwerk Stuttgart, 2005

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Inferência Estatística
Estimação de Parâmetros
Pedro Paulo Balestrassi
www.pedro.unifei.edu.br
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Estimação de Parâmetros | Pedro Paulo Balestrassi | www.pedro.unifei.edu.br
1
Inferência Estatística: uma amostra ajudando a
entender uma população
População
Amostragem
Ex.: Para a
distribuição
normal os
parâmetros são
m e s2.
Estimação de parâmetros
Inferência
e escolha da Distribuição
Estatística
Cálculo de Probabilidades
Os termos
população e
distribuição são
equivalentes.
(Usando a Distribuição acima)
Informação para
tomada de decisão
Uso de uma
amostra
aleatória para
inferir
(aprender) algo
sobre uma
população.
2
Duas formas de se fazer inferência estatística
1)Estimação de Parâmetros:
* Estimativas Pontuais
* Estimativas Intervalares
2) Teste de Hipóteses
População
Estimativa Pontual
Estimativa Intervalar
Média μ Desconhecida
Média 𝑥 =50~μ
Estou 95% confiante que
a média μ deve estar
entre 40 e 60
3
Estimador é uma VA e estimativa é um determinado valor
Um estimador (ex.: 𝛉):
é uma variável aleatória.
Uma estimativa
(ex.:E(𝛉)) é um valor
específico do estimador.
θ
X
4
Estimador e estimativa: nomenclatura da área
Para um estimador 𝛉, de um parâmetro θ, como uma estimativa E(𝛉)
tem-se:
• Estimador não tendencioso 𝛉 deve ter: E(𝛉)=θ.
• ENTVM (Estimador Não Tendencioso de Variância Mínima): O
estimador não tendencioso de menor variância.
• Bootstrap: Um método computacional de se obter estimativas.
• Erro Quadrático Médio de um estimador: EQM(𝛉)=𝑬 𝛉 − 𝛉
( um critério para se comparar diferentes estimadores)
𝟐
• Estimador de Máxima Verossimilhança: Uma forma de se produzir
ENTVM através da maximização de uma função (de verossimilhança)
5
Variância Mínima – um exemplo
Desvio padrão

0.55
0.73
A média é um estimador de Variância
Mínima em relação a Mediana
6
Erro Padrão (Standard Error): uma medida de
variabilidade para média e proporções
Variável Quantitativa
Variável Qualitativa
𝑆𝐸(𝑥 ) =
𝑆𝐸 𝑝 =
𝑠
𝑛
~
𝜎
𝑛
𝑝 1−𝑝
=
𝑛
𝑝𝑞
𝑛
(Proveniente da Distribuição de Bernoulli)
7
Estimativas pontuais de uma proporção - exemplo
Para se avaliar a taxa de desemprego em determinado Estado, escolhese uma amostra aleatória de 1000 habitantes em idade de trabalho e
contam-se
os
desempregados:
87.
Estimar
a
proporção
de
desempregados em todo o Estado (população). Avaliar o erro padrão de
estimativa.
Uma possível representação  𝑝 = 0,087 ± 0,009
8
Estimativas pontuais de uma média – exemplo 1/2
A planilha ao lado representa 20 medidas da
espessura da parede “Top Wall”, em polegadas,
após o processo “Bodymaker” de fabricação de
latas.
1) Esse processo pode ser considerado Normal?
2) Quais as estimativas pontuais da Média e do
Desvio Padrão das espessuras?
3) Qual o intervalo de 95% de Confiança para a
Média e o Desvio Padrão?
Body_Top_Wall_20.MTW
9
Estimativas pontuais de uma média – exemplo 2/2
Normal
A nderson-Darling N ormality Test
Estimativas Pontuais
0,0058
0,0060
0,0062
0,0064
A -S quared
P -V alue
0,38
0,371
M ean
S tDev
V ariance
S kew ness
Kurtosis
N
0,006181
0,000201
0,000000
-0,272270
-0,044069
20
M inimum
1st Q uartile
M edian
3rd Q uartile
M aximum
0,0066
0,005791
0,006035
0,006237
0,006318
0,006597
95% C onfidence Interv al for M ean
Estimativas Intervalares
0,006087
0,006276
95% C onfidence Interv al for M edian
0,006068
0,006309
95% C onfidence Interv al for S tD ev
95% Confidence Intervals
0,000153
0,000294
Mean
Median
0,00610
0,00615
0,00620
0,00625
0,00630
10
Entenda o Central Limit Theorem pelo
Quality Gamebox
11
Central Limit Theorem: tudo termina em normal
𝜎𝑥 = 𝑆𝐸 𝑥 =
𝜎
𝑛
12
CLT: Moivre/Laplace/Liapunov
“Para uma população qualquer com média m e
desvio padrão s, a distribuição da média
amostral X
para amostras de tamanho n
suficientemente grande é aproximadamente
normal com média m e desvio padrão s n ,
isto é:
X m
~ N : (0,1)”

Ou seja:
s
n
Se X:(m, s) então a distribuição amostral de X é N:(m,
Erro Padrão = Standard Error=SE=
s
s
n)
n
13
CLT- exemplo 1/3
Ainda com respeito ao exemplo anterior onde se
tinha 20 medidas da espessura da parede Top
Wall, em polegadas, após o processo
Bodymaker.
1) Qual a probabilidade de se obter uma
espessura de 0,0063”?
espessura maior que 0,0067”?
espessura média maior que 0,0067” em 9
medidas?
Body_Top_Wall_20.mtw
14
CLT- exemplo 2/3
1) P(X = 0.0063)=0 (Probabilidade está relacionado a área!)
2) P(X > 0.0067)
Suposições:
Observe que X é a
variável aleatória
espessura
1) Normalidade
2) Desvio Padrão
da Amostra é
igual ao da
População
P( X  0.0067)  1  0.995  0.005  0.5%
15
CLT- exemplo 3/3
Input
Constant
3) P( X > 0.0067)
Mean
X m
0.0067  0.00618
X  0.0067 e z 

s
0.000201
n
9
Usando o
TCL
P(X  0.0067)  0
O desvio padrão aqui se torna o Erro Padrão
Observe que a
variável aleatória
agora é espessura
média
16
IC (m :95%)
... para Sigma Conhecido
Para uma população com média m e desvio padrão s. A partir da Distribuição da
Média Amostral tem-se:
Z
X m
s
Fixando  em 0.05,
ou seja, 1- =0.95,
~ N : (0,1)
n
P(1.96  Z  1.96)  0.95
Pelos resultados do Teorema do
Limite Central
0.95
0.025
0.025
X
-1.96
0
1.96
z
17
Veja a diferença entre Confiança e Significância
 : Nível de significância
Pelos resultados do TCL:
1- : Nível de confiança
P(1.96  Z  1.96)  0.95


X m
P 1.96 
 1.96  0.95
s n


Margem de Erro

P X  1.96(s
n )  m  X  1.96(s
ˆ ;ˆ  X 1.96s
0
1
)

n ; X  1.96 s

n )  0.95
)
n IC (m :95%)
18
A interpretação de Intervalo de Confiança

P X  1.96(s
n )  m  X  1.96(s

n )  0.95
Isso não significa que a
probabilidade do parâmetro m
cair dentro de um intervalo
especificado seja igual a 95%. m
sendo o parâmetro, está ou não,
dentro do intervalo
“95% é a probabilidade de que
intervalos aleatórios contenham m .”

19
IC: exemplo
Pew
É conhecido agora que na
Eleição presidencial dos
Estados Unidos de 2008,
Obama foi eleito com
7,2% dos votos.
Diferentes pesquisas de
véspera, com a mesma margem
de erro de 3 pontos percentuais,
deram resultados diferentes.
De 20 pesquisas, 3 erraram.
Esse resultado foi menos
preciso que o esperado.
Fox News
=7,2%
20
Visão prática e probabilística de IC
IC(m:95%)
Visão Probabilística
Visão Prática
95% é a probabilidade de
que intervalos aleatórios
contenham m .
Estamos 95%
confiantes de que o
intervalo computado
contém m
21
IC – exemplo 1/4
Uma amostra da Resistência ao Estufamento
das latas para a inspeção final em um processo
de fabricação de latas é dada na planilha ao
lado. Tal resistência obedece a uma
distribuição normal com desvio padrão de 1
psi .
1) Qual a limitação desse tipo de problema?
2) Qual o intervalo de 95% de confiança para a
Resistência Média?
Resistência.mtw
22
IC – exemplo 2/4
1) Qual a limitação desse tipo de problema?
Nesse Problema o Desvio
Padrão foi dado. Isso não é
comum!
Dificilmente se
conhece a variância
de uma população
quando sua média é
desconhecida!
23
IC – exemplo 3/4
2) Qual o intervalo de 95% de confiança para a Resistência Média.
Substituindo os valores da média e do Desvio Padrão=1
na expressão tem-se:


ICm : (1   )100)  X  Z 2 s
)

n ;X  Z 2 s
n
)
ICm : 95%) 90.604;91.616
Por que os valores da Graphical Summary gerados
pelo Minitab diferem ligeiramente do intervalo acima
calculado?
24
IC – exemplo 4/4
90
91
92
A -S quared
P -V alue
0,32
0,504
M ean
S tD ev
V ariance
S kew ness
Kurtosis
N
91,111
0,834
0,696
0,31815
1,47862
15
M inimum
1st Q uartile
M edian
3rd Q uartile
M aximum
93
Como são feitos
tais cálculos?
89,450
90,608
91,143
91,631
93,029
90,649
91,573
90,712
91,502
0,611
1,315
Mean
Median
90,6
90,8
91,0
91,2
91,4
91,6
25
IC (m :95%) ... para Sigma Desconhecido
Margem de Erro


IC (m : (1   )100)  X  t 2 S
( X  m)
t
S n
)

n ; X  t 2 S
n
)
1 n
2
S 
(
X

X
)
 i
n  1 i 1
2
1-
/2
/2
t
- t/2
0
t/2
26
A distribuição t de Student
“Distribuição t de
Student”, com v
graus de liberdade
v=n-1
( X  m)
t
S n
n
1
2
S2 
(
X

X
)
 i
n  1 i 1
Normal
hv(t)
Tal distribuição é
usualmente tabelada para
alguns valores de v e 
t
27
Student t: exemplo 1/5
A especificação da Largura da Flange das latas
para a inspeção final é definida como
0.082’’+/- 0.010’’ e obedece a uma distribuição
normal. As medidas da Largura da Flange para
uma determinada linha/turno estão dadas na
planilha.
a) Qual o intervalo de 95% de confiança para a
largura Média? Defina para esse caso o Grau
de Liberdade e o Nível de significância?
b) Qual a diferença básica em relação ao
exemplo anterior?
c) As medidas estão dentro das especificações?
flange.mtw
28
0,078
0,080
0,082
0,084
0,086
0,088
0,090
a) Obtido em função
do Desvio Padrão
amostral e da
estatística t de
Student
Mean
A -S quared
P -V alue
0,50
0,177
M ean
S tD ev
V ariance
S kew ness
Kurtosis
N
0,083522
0,003446
0,000012
0,963258
0,690605
15
M inimum
1st Q uartile
M edian
3rd Q uartile
M aximum
0,078978
0,081315
0,083037
0,084877
0,090641
0,081614
0,085430
0,081427
0,084706
0,002523
0,005434
Median
0,081
0,082
0,083
0,084
0,085
0,086
29
b) Qual a diferença básica em relação ao exemplo anterior da
Resistência?
Esse problema é
bastante real.
Usualmente não se
tem o Desvio Padrão
populacional. A
Estatística t de
Student visa corrigir
essa distorção.
30
c) As medidas estão dentro das especificações?
Capabilidade
é uma medida
fundamental
em 6 Sigma
31
LSL
USL
Within
Ov erall
P rocess Data
LS L
0,072
Target
*
USL
0,092
S ample M ean
0,0835222
S ample N
15
S tD ev (Within)
0,00332226
S tD ev (O v erall) 0,00344573
P otential (Within) C apability
Cp
1,00
C PL
1,16
C PU
0,85
C pk
0,85
O v erall C apability
Pp
PPL
PPU
P pk
C pm
O processo apresenta um
Ppk razoável (o ideal é
1.5) mas que pode ser
melhorado em um projeto
6 Sigma!
0,072
O bserv ed P erformance
P P M < LS L
0,00
P P M > U S L 0,00
P P M Total
0,00
0,076
E xp. Within P erformance
P P M < LS L
261,99
P P M > U S L 5358,40
P P M Total
5620,38
0,080
0,084
0,97
1,11
0,82
0,82
*
0,088 0,092
E xp. O v erall P erformance
P P M < LS L
413,02
P P M > U S L 6939,85
P P M Total
7352,87
32
Margem de Erro: exemplo 1/2
Suponha que uma pesquisa eleitoral entre dois candidatos A e B seja
feita. De 1000 pessoas entrevistadas 550 votariam no candidato A.
𝑋
550
𝑝= =
= 0,55
𝑛 1000
𝑆𝐸 𝑝 =
𝑝 1−𝑝
𝑛
=
𝑝𝑞
𝑛
=
(0,55)(0,45)
1000
=0,0157
IC[p:(1- α)100]= 𝑝 ±Zα/2𝑆𝐸 𝑝
33
Margem de Erro: exemplo 2/2
𝑋
550
𝑝= =
= 0,55
𝑛 1000
Test and CI for One Proportion
Sample X N Sample p
90% CI
1
550 1000 0,550000 (0,524123; 0,575877)
Sample X N Sample p
95% CI
1
550 1000 0,550000 (0,519166; 0,580834)
Sample X N Sample p
99% CI
1
550 1000 0,550000 (0,509477; 0,590523)
34
Amostragem a partir da margem de
Erro (d) - exemplo
Zα/2𝑆𝐸 𝑝 =d
Zα/2
𝑝𝑞
𝑛
=d
2
𝑍𝛼/2 𝑝𝑞
𝑛=
𝑑2
Obs.: Quando não existir
uma suposição inicial do
valor da proporção 𝑝, uma
boa regra é assumir o valor
de 0.5.
Considerando d=3% e
α=5%, com os dados do
exemplo anterior:
n=1056
Usando Minitab (preferível):
<Power and Sample Size>
<Sample Size for Estimation>
n= 1097
(Uma estimativa usando a
distribuição de Fisher)
35
Fórmulas Clássicas de IC - 1/3
Uma regra geral: Use no mínimo 12 observações
para obter qualquer intervalo de confiança
36
37
38

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