AGNOS AHETZE ANGLET ARAUJUZON - SNUipp

AGNOS AHETZE ANGLET ARAUJUZON - SNUipp

´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Aplica¸c˜
oes da integral definida
Mariana Gesualdi Villapouca
1 de Outubro de 2013
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
alculo II-A
1
´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
1
´
Area
entre duas curvas
2
Volume de s´
olidos
3
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
M´etodo dos discos
M´etodo das cascas cil´ındricas
4
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
5
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
alculo II-A
2
´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
1
´
Area
entre duas curvas
2
Volume de s´
olidos
3
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
M´etodo dos discos
M´etodo das cascas cil´ındricas
4
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
5
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
alculo II-A
3
´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Feito em aula!!!
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
alculo II-A
4
´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
1
´
Area
entre duas curvas
2
Volume de s´
olidos
3
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
M´etodo dos discos
M´etodo das cascas cil´ındricas
4
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
5
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
alculo II-A
5
´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Volume de um s´olido qualquer
Seja R um s´
olido qualquer que est´
a compreendido entre os planos perpediculares
ao eixo x que passam por x = a e x = b. Seja A(x ) a ´
area da interse¸c˜
ao do
s´
olido com o plano perpendicular ao eixo x que passa pelo ponto (x , 0).
y
´
A(x) = Area
da se¸c˜ao transversal
Volume de R =
x
a
b
x
S´olido R
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C´
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Rb
a
A(x)dx
´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
1
´
Area
entre duas curvas
2
Volume de s´
olidos
3
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
M´etodo dos discos
M´etodo das cascas cil´ındricas
M´
etodo dos discos
M´
etodo das cascas cil´ındricas
4
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
5
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
M´
etodo dos discos
M´
etodo das cascas cil´ındricas
M´etodo dos discos
y
A(x)
A(x) = π(f (x))2
f
Volume de R =
a
x
b
Rb
a
A(x) =
Rb
a
π[f (x)]2 dx
x
S´olido R
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C´
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Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
M´
etodo dos discos
M´
etodo das cascas cil´ındricas
Volume de s´olido obtido pela rota¸c˜ao, em torno do eixo x
Seja f uma fun¸c˜
ao cont´ınua em [a, b] com f (x ) > 0, ∀x ∈ [a, b]. Sejam A a
regi˜
ao limitada pela fun¸c˜
ao f , as retas x = a e x = b e o eixo x e R o s´
olido
obtido pela rota¸c˜
ao em tono do eixo x desta ´
area A.
y
f
A
a
Volume de R = π
b
x
Rb
2
a [f (x)] dx
S´olido R
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C´
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
M´
etodo dos discos
M´
etodo das cascas cil´ındricas
M´etodo das cascas cil´ındricas
r
r1
r2
h
∆r = r2 − r1 (espessura da casca)
r = (r2 − r1 )/2 (raio m´edio)
Volume da casca = [comprimento da circunferˆencia] · [altura] · [espessura]
= [2πr] · [h] · [∆r]
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
M´
etodo dos discos
M´
etodo das cascas cil´ındricas
Volume de s´olido obtido pela rota¸c˜ao, em torno do eixo y
Seja f uma fun¸c˜
ao cont´ınua em [a, b] com f (x ) > 0, ∀x ∈ [a, b] e a > 0. Sejam
A a regi˜
ao limitada pela fun¸c˜
ao f , as retas x = a e x = b e o eixo x e R o s´
olido
obtido pela rota¸c˜
ao em tono do eixo y desta ´
area A.
y
f
Volume de R = 2π
A
a
b
Rb
a
x · f (x)dx
x
S´olido R
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C´
alculo II-A
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
1
´
Area
entre duas curvas
2
Volume de s´
olidos
3
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
M´etodo dos discos
M´etodo das cascas cil´ındricas
4
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
5
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
alculo II-A
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
´
Area
da superf´ıcie obtido pela rota¸c˜ao em torno do eixo x
Seja f uma fun¸c˜
ao cont´ınua em [a, b] com f (x ) > 0, ∀x ∈ [a, b]. Sejam A a
regi˜
ao limitada pela fun¸c˜
ao f , as retas x = a e x = b e o eixo x e S a superf´ıcie
do s´
olido obtido pela rota¸c˜
ao em tono do eixo x desta ´
area A.
y
f
´
Area
de S = 2π
A
a
b
Rb
a
f (x) ·
p
1 + [f 0 (x)]2 dx
x
Superf´ıcie S
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
´
Area
da superf´ıcie obtido pela rota¸c˜ao em torno do eixo y
Seja f uma fun¸c˜
ao cont´ınua em [a, b] com f (x ) > 0, ∀x ∈ [a, b] e a > 0. Sejam
A a regi˜
ao limitada pela fun¸c˜
ao f , as retas x = a e x = b e o eixo x e S a
superf´ıcie do s´
olido obtido pela rota¸c˜
ao em tono do eixo y desta ´
area A.
y
f
´
Area
de S = 2π
A
a
b
Rb
a
x·
p
1 + [f 0 (x)]2 dx
x
Superf´ıcie S
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
1
´
Area
entre duas curvas
2
Volume de s´
olidos
3
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
M´etodo dos discos
M´etodo das cascas cil´ındricas
4
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
5
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Mariana Gesualdi Villapouca
C´
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´
Area
entre duas curvas
Volume de s´
olidos
Volume de s´
olidos de revolu¸c˜
ao
´
Area
de superf´ıcie de revolu¸c˜
ao
Comprimento de gr´
afico de uma fun¸c˜
ao
Comprimento de gr´afico de uma fun¸c˜ao
Seja f cont´ınua e deriv´
avel em [a, b]. Definimos o comprimento do gr´
afico de
f em [a, b] como sendo
y
f
Comprimento =
a
b
Mariana Gesualdi Villapouca
Rbp
1 + [f 0 (x)]2 dx
a
x
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