ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE

ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
STRUCTURES ISOSTATIQUES
u
u
u
calcul possible des réactions et des efforts
intérieurs par les seules équations de la
statique;
isostaticité extérieure (relative aux réactions
d’appuis);
isostaticité intérieure (relative aux efforts
intérieurs dans toute section);
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
STRUCTURES ISOSTATIQUES
u
u
u
toute coupe dans une poutre de structure plane
introduit trois inconnues (M, N, V);
tout schéma rendu libre d’une structure ou
partie de structure permet d’écrire trois
équations dans le plan;
une structure est isostatique si elle l’est
intérieurement et extérieurement !
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
STRUCTURES HYPERSTATIQUES
u
u
u
des liaisons surabondantes rendent le calcul
impossible de toutes les réactions et de tous
les efforts intérieurs par les seules équations
de la statique (trop d’inconnues);
hyperstaticité extérieure (relative aux
réactions d’appuis);
hyperstaticité intérieure (relative aux efforts
intérieurs dans toute section);
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
STRUCTURES HYPERSTATIQUES
u
u
u
le degré d’hyperstaticité d’une structure est le
nombre de coupures simples à réaliser pour la
rendre isostatique;
le degré d’hyperstaticité correspond à la
différence entre le nombre d’efforts inconnus
et le nombre d’équations de la statique
disponibles (3 par fragment de structure);
l’hyperstaticité totale est égale à la somme de
l’hyperstaticité intérieure et extérieure !
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
STRUCTURES HYPERSTATIQUES
u
u
une coupure totale dans une poutre du plan est
une coupure triple;
si on ajoute une rotule dans une barre, ou à un
nœud à 2 barres, le degré d’hyperstaticité de la
structure diminue d’une unité (2 inconnues au
lieu de 3);
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
STRUCTURES HYPERSTATIQUES
u
u
si on ajoute une rotule dans un nœud à 3
barres, le degré d’hyperstaticité de la structure
diminue de deux unités (4 inc. suppl. sur le
SRL du nœud au lieu de 6);
si on ajoute une barre bi-articulée dans une
structure, sans interrompre les barres, son
degré d’hyperstaticité augmente d’une unité
(4 inconnues en plus pour seulement 3
équations d’équilibre de la barre);
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
EXEMPLES
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
EXEMPLES
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
EXEMPLES
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
CALCUL DES STRUCTURES ISOSTATIQUES
u
u
u
u
1) calcul des réactions d’appui si cela est
possible directement;
2) sinon «démembrer» la structure et calcul des
réactions d’appui et des efforts de liaison;
3) procéder à des coupes afin de calculer les
efforts intérieurs par équilibre de fragments de
structure;
4) tracé des diagrammes
Dehard 2004
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
EXEMPLE
p kN/m
L
L
L
Dehard 2004
L
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
THEOREME DES DEUX MOMENTS
u
permet de calculer les V et M le long d’un
tronçon de poutre droite dont on connaît les
valeurs d’extrémité;
MA
MB
VA
x
L
VB
L−x
x
M (x) = M A
+ M B + µ (x)
L
L
Dehard 2004
convention de signes RdM!
M iso
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
THEOREME DES DEUX MOMENTS
u
permet de calculer les V et M le long d’un
tronçon de poutre droite dont on connaît les
valeurs d’extrémité;
MA
MB
VA
x
L
VB
MB − MA
V( x ) =
+ τ (x)
L
Dehard 2004
convention de signes RdM!
V iso
ISOSTATICITE-HYPERSTATICITE
n
EXEMPLE
36 kN
18 kN/m
3I
A
MA = −65,25 kNm
Dehard 2004
I
6m
B 1,5m
1,5m C
MB = −31,50 kNm
CALCUL DES DEPLACEMENTS
DANS LES SYSTEMES ISO
n
TYPES DE DEPLACEMENTS
u
translations et rotations;
u
absolues ou relatives;
v
θ
Dehard 2004
θ
DEPLACEMENTS STRUCT. ISO
n
THEOREME DE LA FORCE UNITE
M.M1
N.N1
V.V1
d=
ds +
ds +
ds
EI
EA
GA
'
Str
Str
Str
∫
∫
∫
(sans variations de T°, ni tassements d’appui)
u
M, N, V : diagr. sous charges réelles;
u
M1, N1, V1 : diagr. sous charge virtuelle unitaire;
u
On néglige presque toujours les V et on ne
prend en compte les N que pour les câbles et
les barres de treillis.
Dehard 2004
DEPLACEMENTS STRUCT. ISO
n
THEOREME DE LA FORCE UNITE
u
M1, N1, V1 : diagr. sous charge virtuelle unitaire;
1 seule force à
l’endroit et
dans la
direction du
dépl. absolu
cherché !
Dehard 2004
2 forces égales et
opposées à
l’endroit et dans
la direction du
dépl. relatif
cherché !
DEPLACEMENTS STRUCT. ISO
n
THEOREME DE LA FORCE UNITE
1
v
1
θ
1
θ
Dehard 2004