géométrie - Art

Géométrie Comparée
Étude de la Composition dans les Arts
L'origine de la
GÉOMÉTRIE
Prague
Mai 2011
La Géométrie Égyptienne
Une géométrie avec les yeux
par Yvo Jacquier
Nul n'est censé ignorer la Science
© Yvo Jacquier - Une géométrie avec les yeux
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◊ La "Géométrie avec les yeux" égyptienne
• Le voyage de Pythagore en Égypte (de 550/540 à 525 av J-C)
Quand Pythagore arrive en Égypte, au VIème Siècle av J-C, les prêtres y pratiquent la
géométrie sur un quadrillage. Cette tradition remonte à la nuit des temps,
probablement à celui des cavernes : l'Homo Sapiens ( Sapiens veut dire sage ) montre
qu'il l'est deux fois face à son cousin Néanderthal qui contrairement à lui, n'aime pas
les Mathématiques. L'Homme devient Sapiens Sapiens par la Géométrie, et aussi avec
l'Art, quand l'Homme de Néanderthal disparaît. Plus exactement, il se mélange...
• Le quadrillage
Une corde à noeuds régulièrement espacés permet de graduer une ligne, tout
comme le quadrillage permet de graduer le plan avec ses mailles. Ce sont les
premiers outils de la géométrie [ —•> Pour en savoir plus ]. Ce quadrillage sert à
construire et à situer des fgures simples. Il permet ensuite de les comprendre plus
facilement, et de faire des démonstrations. Enfn, grâce à lui, il est beaucoup plus
facile de tout retenir, les fgures comme les démonstrations. Les Artistes
perpétueront cette pratique jusqu'à l'invention de la Perspective, à la Renaissance.
[ —•> Pour en savoir plus ]
• Le Triangle 3-4-5
Les Égyptiens développent et étudient beaucoup de fgures au cours des milliers
d'années que dure leur Civilisation. Certaines sont simples comme le cercle, le carré,
le rectangle ou encore le triangle. D'autres sont plus sophistiquées, comme
l'Hexagramme, le Pentagramme ou le Vesica Piscis [ —•> Image ]. Pourtant, ce n'est
pas une de celles-ci qu'ils considèrent comme sacrée, mais un modeste triangle : le
triangle 3-4-5. Les chifres indiquent la longueur de ses trois cotés, et comme
Pythagore achèvera de le démontrer, l'un de ses angles est droit.
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Le triangle 3-4-5 est un triangle rectangle, c'est à
dire la moitié d'un rectangle. Mais cette équerre
naturelle, si pratique pour les constructeurs du
bâtiment, a bien d'autres qualités oubliées : des
propriétés aujourd'hui inconnues, que les Égyptiens
considéraient comme magiques...
• Les lignes internes du Triangle Sacré
À l'intérieur de ce triangle il y a des lignes très
particulières que l'on appelle bissectrices. Elles
partagent les trois angles du triangle en deux
parties égales.
Mais, alors que normalement il faudrait utiliser le
compas plusieurs fois pour les tracer, il est très
facile de les trouver sur ce quadrillage. Celui-ci
déborde volontairement du triangle. Les trois bissectrices sont curieusement les
diagonales d'un carré, d'un double-carré et d'un triple-carré (ici en couleurs).
• Le rectangle d'or du triangle
Ensuite, les trois droites se coupent en un point très
important
de
la
fgure,
au
beau
milieu
du
quadrillage. Si l'on trace un cercle, quel que soit son
diamètre, à partir de ce point, il coupe deux des
bissectrices
pour
former
un
rectangle
aux
proportions très particulières, et appelé pour cette
raison "rectangle doré".
Quand on retire un carré à un rectangle doré, le petit rectangle qui reste a
exactement les même proportions que le grand (il est donc doré lui aussi).
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La proportion de ce rectangle, c'est à dire la division
du grand coté par le petit, est désignée par la lettre
grecque Phi, et s'appelle Nombre d'Or.
Pythagore en a trouvé la valeur exacte, grâce à son
fameux théorème : Phi = (1+√5)÷2 ≈ 1,618...
• L'autre manifestation du Nombre d'Or
Phi porte beaucoup de noms (section ou proportion dorée, ou encore divine
proportion), c'est dire l'abondance de la littérature à son sujet. Notre modeste
triangle 3-4-5 devient sacré pour les Égyptiens par sa présence. Les angles de deux
bissectrices le montrent une première fois. La troisième bissectrice, qui n'a pas
encore servi, va nous donner sa valeur exacte !
Le point où les trois bissectrices se rejoignent est le
centre du cercle inscrit au triangle, celui qui touche
les trois cotés. Son rayon est 1, comme pour nous
montrer simplement des choses parfois un peu
compliquées. Depuis le sommet du triangle jusqu'au
point où le cercle inscrit coupe la bissectrice, la
distance est exactement de 2.Phi, soit le diamètre du
cercle (qui est 2) multiplié par le Nombre d'Or.
Les Égyptiens connaissent la réalité géométrique du
Nombre
d'Or,
mais
ils
ignorent
son
expression
arithmétique : Phi = (1+√5)÷2. Voici un schéma de
démonstration que Pythagore aurait pu concevoir, à partir
du quadrillage égyptien, pour identifer √5. Il suft de lui
ajouter le rayon 1 du cercle pour avoir 2.Phi.
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• Trois autres propriétés du Triangle Sacré
A - La surface du triangle est égale à la moitié d'un rectangle de 4x3, soit 12÷2=6.
B - Quand le triangle pivote de 45°, la pente de son grand coté,
appelé hypoténuse, est exactement de sept carreaux vers le bas
pour un carreau sur le coté.
Il suft pour s'en rendre compte de construite un deuxième
quadrillage, en blanc sur le visuel, qui coïncide avec les
diagonales des carrés du premier quadrillage.
C - De même que pour Phi, il est facile de trouver la racine du
trois, en construisant un cercle jumeau au premier, de rayon 1,
selon la fgure du Vesica Piscis dont nous avons parlé : le
centre de l'un se pose sur le cercle de l'autre . L'intersection des
cercles jumeaux mesure exactement √3.
•• La somme des propriétés
Le triangle 3-4-5 rassemble ainsi un lexique très particulier de nombres :
- 1 est le rayon de son cercle inscrit.
- 2 est le diamètre de ce cercle.
- 3, 4 et 5 sont les longueurs de ses trois cotés.
- 6 est sa surface.
- 7 est la pente de son hypoténuse quand il s'incline à 45°.
- √3 se trouve aisément en coupant le cercle inscrit aux 3/4 de sa hauteur.
- La distance de 2.Phi est marquée par ce cercle sur une des bissectrices.
- Les deux autres bissectrices sont les diagonales d'un rectangle doré.
Toutes ces propriétés se démontrent facilement sur le quadrillage [ Voir à ce propos
l'article complet sur Pythagore]. Elles n'ont pas manqué d'étonner les Égyptiens et les
Grecs. Cette géométrie, qui se comprend avec les yeux, va tout naturellement servir
à construire des oeuvres d'art et d'architecture, les "arts visibles".
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◊ À quoi servent ces propriétés ?
Les Grecs ont fait des mathématiques un art à part entière, que l'on étudie pour luimême sans se préoccuper de ce à quoi il sert. Il n'est pas nécessaire d'appliquer les
mathématiques à la vie concrète pour les trouver intéressantes et les développer.
C'est un des principes de la recherche. Mais avant Euclide et ses « Principes », qui
énoncent les bases de la géométrie théorique, les mathématiques étaient beaucoup
plus liées à leur application. Nées de l'observation du concret, elles s'appliquaient à
résoudre des problèmes concrets.
• La Géométrie Sacrée
La "géométrie avec les yeux" des Égyptiens s'est appliquée au
concret
des
oeuvres
d'art
et
d'architecture
pendant
des
millénaires. Ces oeuvres ont gardé un caractère religieux (bien
au-delà de l'Égypte, jusqu'à la Renaissance), d'où le nom de
Géométrie Sacrée.
<— Ci-contre: le souverain Benia, 18e Dynastie, 1500 ans av J-C
Les Grecs et les Égyptiens avaient un point commun : ils pensaient que le monde
avait été créé avec les mathématiques, et que l'univers gardait son équilibre grâce à
elles. Le philosophe Platon donna à cette harmonie le joli nom de « musique des
sphères ». Les mathématiques (pas seulement la géométrie) étaient considérées
comme la "langue des Dieux" par les sages.
Or on ne peut se contenter de "regarder" une langue. On a envie de la comprendre,
de la traduire, et aussi de la parler. Cette attitude est à l'origine de l'utilisation des
mathématiques pour construire des peintures et des temples, des sculptures et des
bas-reliefs, et même de la musique ! Les hommes cherchaient ainsi à rendre aux
Dieux une part de ce qu'ils leur avaient donné. Et, que les Dieux ne fassent plus
qu'un n'a pas altéré ce principe.
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• Diférentes façons de penser
Nous ne voyons pas les choses comme les Égyptiens. Il nous est très difcile de nous
mettre à la place de gens qui ont vécu plusieurs milliers d'années avant nous.
Nous avons confance avant tout en la Science et en sa logique. Comme nous ne
voulons pas perdre la tête et la remplacer par la leur, nous devons procéder
autrement. Si nous voulons comprendre ces gens, nous devons reconstituer leur
façon de penser à partir de la nôtre. Nous sommes habitués à ce que nous appelons
"objectivité". En appliquant cette objectivité, nous pouvons approcher l'Antiquité.
C'est notamment le travail des Archéologues, qui réféchissent à partir de données
scientifques. Fort heureusement, une partie de ce que nous apprenons à l'école
aujourd'hui vient de l'Antiquité. Nous étudions Thalès, Pythagore et Euclide.
• Les propriétés du triangle 3-4-5
Nous avons constaté les propriétés étonnantes du triangle 3-4-5. Ces éléments
objectifs, parfaitement connus des Égyptiens et développés par les Grecs, nous
rapprochent de leur pensée. Nous pouvons maintenant mieux comprendre la part
qui nous échappe encore...
Une telle somme de propriétés les a naturellement étonnés, et ils ont cherché à lui
donner un sens... Ces propriétés géométriques sont marquées par des nombres : les
nombres entiers de 1 à 7, plus les valeurs du nombre d'or et de la racine de trois.
Cet ensemble curieux ressemble à un lexique ou à un alphabet; c'est quelque chose
d'organisé qui ne semble pas tenir du hasard. Les géomètres antiques se sont dit
que derrière chaque nombre se cachait une signifcation secrète, à la façon d'un
code. N'oublions pas que les Dieux ont beaucoup d'importance pour l'Antiquité : il
n'y a pas de domaine où ils n'interviennent pas.
Pour nous, cette liste de nombres ofre un premier intérêt. Si l'on arrive à repérer la
géométrie qui construit les oeuvres, dans le plan d'un temple par exemple, nous
pouvons alors traduire ce plan par l'intermédiaire des nombres. L'outil des nombres
est aussi surprenant que la paire de lunettes pour voir des images en 3D. Une autre
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dimension se révèle, que l'on ne perçoit pas sans ces lunettes particulières. Et ça
fonctionne parce que les images ont été créées pour cela.
Les
correspondances
entre
les
objets
(d'art
et
d'architecture),
les
formes
géométriques (notamment le triangle 3-4-5) et les nombres sont à la base de ce que
l'on appelle la Symbolique.
◊ Le Triangle Sacré dans la Peinture
À travers quelques exemples simples, l'on peut constater la traduction des oeuvres
que permet la composition. Les nombres introduisent le discours de l'interprétation.
NB: ces exemples représentent une modeste part de la géométrie totale.
1 - La Sainte Trinité - Andreï Rublev - 1420/28
Dans la religion Chrétienne, la Trinité désigne Dieu, unique,
selon trois personnes distinctes : celles du Père, du Fils et du
Saint-Esprit. Rublev le rappelle à Vassili Ier, grand Prince de la
Moscovie (qui deviendra Russie), quand celui-ci demande à
l'Iconographe de rassembler son peuple autour de la Religion.
Le coté "4" du Triangle Sacré, se rappelant du terrestre selon la Tradition, se pose au
milieu de l'Autel. Le coté "3", au caractère céleste, se joint au sceptre du Père. Enfn
les têtes du Fils, au centre, et du Saint-Esprit, à droite, s'inclinent face au Père, vers
l'hypoténuse de valeur "5", que l'on attribue à l'humain.
Le père siège au dehors du triangle. Le Fils seul se tient à l'intérieur,
et le Saint-Esprit reste en contact avec le coté humain. Le corps du
Christ est dans le cercle qui évoque la forme de l'Hostie. Cet élément
symbolique est également présent dans une Icône célèbre, oferte par
Byzance à la Russie : « La Vierge de Vladimir ».
Pour conclure cette introduction à la Sainte Trinité de Rublev, un rectangle doré se
développe verticalement sur cercle inscrit, et désigne le haut du tableau.
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2 - La naissance de Vénus - Sandro Botticelli - 1486
La réalité mythologique de l'oeuvre prend ici un autre
sens. Ainsi Zéphyr et Chloris s'inscrivent en tant que
couple dans le médaillon d'un Triangle Sacré. La
bissectrice qui porte le Nombre d'Or plonge vers le
nombril de Vénus, en signe de fécondité. La bissectrice
dorée d'un autre triangle passe sur ce point.
Vénus est une sirène
Dans ce Vesica Piscis, Botticelli a placé deux rectangles
de 3 sur 4 (chacun porte deux Triangles 3-4-5). Il les a
incliné de façon vraiment particulière : regardons le
rectangle de gauche, bleuté. Si l'on prolonge son coté
droit, il va chercher l'angle, en haut, du rectangle jaune.
3 - Melencolia I - Albrecht Dürer - 1514
Avec Melencolia, Dürer expose une synthèse de tout l'héritage
de la Géométrie Sacrée. Les fameuses propriétés des angles
sont ici exploitées avec une grande complexité.
Le grand Triangle Sacré de Melencolia résulte d'un parcours
beaucoup trop sophistiqué pour être exposé ici, où Dürer met
en oeuvre toute une série de principes de composition.
L'inclinaison particulière du triangle ne doit rien au hasard : le
rectangle d'or (de sa bissectrice dorée) accorde l'une de ses
diagonale à l'horizontale, pendant que l'autre devient la
diagonale d'un double-carré vertical.
Quel double-carré ?
Ceci est une autre histoire...
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