Les Experts, Manhattan

1-TPC
DM7
Problème de mécanique
à rédiger pour le 10/03/15
Chute d'un alpiniste urbain (Les Experts, Manhattan)
Au début d'un épisode des Experts, Manhattan, on voit un alpiniste (désigné par la suite par système A,
considéré comme un point matériel) escalader un gratte-ciel de plus de 100 étages.
Malheureusement pour lui, arrivé au 34ème étage, il tombe et atterrit lourdement sur la terrasse du 6ème étage,
où il meurt sur le coup.
Les Experts arrivent sur les lieux et leur chef, Mac Taylor dit : "il a pu tomber d'assez haut pour atteindre la
vitesse maximale".
On commence par étudier la chute verticale du système A, de
masse m, sous la seule action de son poids.
On négligera donc dans cette partie les frottements de l'air.
On considère qu'à t = 0, le système A a une vitesse initiale v0
nulle et qu'il est au point O à une hauteur H au-dessus de la
terrasse du 6ème étage.
On donne g = 9,8 m.s-2.
Un étage fait h = 3 m de haut.
étage 34
O système A à t = 0
H
étage 6
terrasse
O
1
sol
z
Le schéma n’est pas à l’échelle
A. Chute verticale sans frottements
1. Déterminer numériquement la hauteur H.
2. Déterminer la vitesse v1 de A au point O1 en fonction de g et H. Application numérique.
B. Chute verticale avec frottements
L'étude précédente montrerait que plus le système A tombe de
haut, plus sa vitesse d'impact est grande, sans tendre vers une
limite, ce qui contredit l'affirmation de Mac Taylor de "vitesse
maximale".
Mais Mac Taylor sait (car c'est un Expert) qu'en fait le système
A, en plus de son poids, va être soumis à des frottements de
l'air, que l'on peut modéliser par une force =(proportionnelle au carré de la vitesse).
étage 34
O système A à t = 0
H
étage 6
terrasse
O
1
z
sol
Mac Taylor sait de plus que la vitesse maximale de chute d'un homme dans l'air (aussi appelée vitesse limite)
est vlim = 50 m.s-1.
Les conditions initiales sont bien entendu les mêmes que dans la partie II-A.
3. Que vaut l'accélération de A quand A a atteint sa vitesse limite ?
En déduire, en écrivant le Principe Fondamental de la Dynamique, mais sans essayer de résoudre d'équatio
différentielle, l'expression de vlim en fonction de m, g et λ.
4. En déduire la valeur de λ (on donnera son unité en fonction des unités de base du Système International) pour l
système A (dont la masse est m = 70 kg).
5. Pour résoudre l'équation différentielle donnée par le PFD, il faut faire quelques manipulations mathématiques.
On admettra qu'en posant u = v2, u est solution de l'équation différentielle
z
−

H0
En déduire que u ( z ) = v  1 − e


2
lim
du 2λ
+
u = 2g .
dz m

 où on aura posé une hauteur caractéristique H0 en fonction de m et λ.


6. En déduire la valeur de la vitesse v1 de A au point O1 avec ce modèle.
7. Le sommet du bâtiment étant à 366 m au-dessus de la terrasse, quelle aurait été la valeur de la vitesse atteinte pa
A au point O1 si A était tombé du sommet du bâtiment sans vitesse initiale ?
On peut ainsi considérer (à moins de 3% près) que la vitesse limite a bien été atteinte et que Mac Taylor avait raiso
: si A était tombé de tout en haut, il aurait pu atteindre (enfin presque) la vitesse maximale.
C. Mouvement parabolique (sans frottements)
Une fois arrivé en O1 , l'impact est tellement violent
qu'une partie B de A (on considérera B comme un point
matériel de masse mB) est expulsée et va suivre un
mouvement parabolique (cf. ci-contre).
On considérera que B part du point O1 avec une vitesse v2
= 20 m.s-1 et avec un angle α avec l'horizontale.
B atterrira à D = 30 m plus loin et à H1 = 15m plus bas (le
rez-de-chaussée est l'étage 1), où B sera trouvé par les
Experts.
z
v2
B
étage 6
O
1 α
terrasse
x
H1
D
sol
On négligera à nouveau dans cette partie les frottements de l'air.
8. Ecrire les équations différentielles en x et en z du mouvement de B (attention, l'axe des z est à présent vers
le haut).
(
ur ur
)
9. En déduire l'équation de la trajectoire z = f(x) dans le repère O1 , ex , ez .
10. Donner l'équation littérale dont α est solution, faisant intervenir H1 , D, g, v2 et bien sur α.
1
11. En se rappelant que
= 1 + tan 2 α , montrer que tanα est solution d'une équation du second degré de la
2
cos α
2
forme a tan α + b tanα + c = 0. On donnera les valeurs numériques de a, b et c.
12. Résoudre l'équation précédente et donner la valeur de l'angle α.