Jeu, set et match - Des maths et du Python autour du tennis

Transcription

Jeu, set et match
Des maths et du Python autour du tennis
[email protected] - http://blog.psi945.fr
Mercredi 22 juin 2016
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
1 / 27
Plan
1
Des règles simples et fausses
Règles virtuelles
Simulations
2
Un jeu est une chaîne de Markov !
Les vraies règles
Gestion de l’égalité : simulations
Gestion de l’égalité : théorie
Puissances d’une matrice stochastique
3
Un vrai match
Gros graphes et grosses matrices
Calculs et simulations
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
2 / 27
Dans tout cet exposé...
Alice (joueur 0) joue contre Bob (joueur 1).
À chaque échange, Alice a une probabilité p de remporter le point.
Tous les échanges sont indépendants.
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
3 / 27
On veut évaluer les probabilités :
I
I
I
I
pj qu’Alice remporte un jeu donné ;
pt qu’Alice remporte un éventuel tie-break ;
ps qu’Alice remporte un set donné ;
pm qu’Alice remporte le match.
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
3 / 27
I
I
I
I
Pour le non probabiliste :
pm = ps = pj = p
(et c’est vrai si p = 0, 1/2 ou 1 !)
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
3 / 27
I
I
I
I
Pour le non probabiliste :
pm = ps = pj = p
(et c’est vrai si p = 0, 1/2 ou 1 !)
Et pourtant...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
3 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
3 / 27
Des règles virtuelles
Celui qui gagne le match est celui qui remporte le premier point !
pm = p
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
4 / 27
pm = p
Bon, le premier qui gagne deux points a gagné !
pm =
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
4 / 27
pm = p
pm = p2 + 2p2 (1 − p)
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
4 / 27
pm = p
pm = p2 + 2p2 (1 − p)
Le premier qui gagne trois points a gagné.
pm =?
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
4 / 27
pm = p
pm = p2 + 2p2 (1 − p)
Le premier qui gagne trois points a gagné.
pm =?
Le premier qui gagne N points a gagné.
pm =?
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
4 / 27
Des règles virtuelles : résultats
Règle simplifiée : premier arrivé à N
1.0
pm
0.8
N =1
N =2
N =5
N =10
N =30
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
5 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
5 / 27
Simulons des jeux
def simul (p, N):
a, b = 0, 0 # les scores d ’ A l i c e et Bob
while max(a, b) < N:
if random () < p:
a += 1
else:
b += 1
if a == N:
return 0 # A l i c e gagne
else:
return 1
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
6 / 27
Simulons des jeux
def simul (p, N):
a, b = 0, 0 # les scores d ’ A l i c e et Bob
while max(a, b) < N:
if random () < p:
a += 1
else:
b += 1
if a == N:
return 0 # A l i c e gagne
else:
return 1
def jouer_matchs (p, N, nb ):
return 1 − sum( simul (p, N) for _ in range (nb ))/ nb
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
6 / 27
Simulations : résultats (N = 5)
1.0
Simulation de jeux avec les règles simplifiées
Valeurs théoriques
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
7 / 27
1.0
Valeurs théoriques
Fréquences sur 100 expériences
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
7 / 27
1.0
Valeurs théoriques
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
7 / 27
1.0
0.8
Valeurs théoriques
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
7 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
7 / 27
Les vraies règles
Un jeu (resp. tie-break) pour le premier à avoir au moins quatre
(resp. six) points avec au moins deux d’avance.
p −→
Stéphane Gonnord
pj
pt
Jeu, set et match
?
8 / 27
Les vraies règles
p −→
pj
pt
?
Un set pour le premier à gagner six ou sept jeux avec deux
d’avance, ou bien le tie-break après 6/6.
p −→
Stéphane Gonnord
pj
pt
−→ ps ?
Jeu, set et match
8 / 27
Les vraies règles
p −→
pj
pt
?
Un set pour le premier à gagner six ou sept jeux avec deux
d’avance, ou bien le tie-break après 6/6.
p −→
pj
pt
−→ ps ?
Le match pour le premier à gagner deux (ou trois, selon...) sets.
p −→
Stéphane Gonnord
pj
pt
−→ ps −→ pm ?
Jeu, set et match
8 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
8 / 27
Simulations depuis l’égalité
p
1-p
Ég
A
1-p
B
1-p
p
Stéphane Gonnord
p
Av. A
Av. B
Jeu, set et match
9 / 27
Simulations depuis l’égalité
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
Av. B
p
def simulation_egalite (p):
a, b = 0, 0
while abs(a−b) < 2:
if random () < p:
a += 1
else:
b += 1
if a > b:
return 0
else :
return 1
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
9 / 27
Simulations depuis l’égalité ; résultats
p
1-p
Ég
A
1-p
B
1-p
Av. B
p
1.0
p
Av. A
Fréquence de victoire d'Alice depuis l'égalité
Moyennes sur 1000 expériences
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
Stéphane Gonnord
p
0.6
0.8
1.0
Jeu, set et match
10 / 27
Simulations depuis l’égalité ; résultats
p
1-p
Ég
A
1-p
B
1-p
Av. B
p
1.0
p
Av. A
4.5
4.0
0.6
3.5
pj
TE
0.8
Espérance du nombre d'échanges depuis l'égalité
0.4
3.0
0.2
2.5
0.0
0.0
0.2
0.4
Stéphane Gonnord
p
0.6
0.8
1.0
2.0
0.0
Jeu, set et match
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
10 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
10 / 27
Que se passe-t-il après une égalité ?
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B
Probabilités pour qu’Alice gagne depuis... : pE , pA et pB .
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
11 / 27
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B


pE = p.pA + (1 − p)pB
pA = p + (1 − p)pE


pB = p.pE
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
11 / 27
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B


pE = p.pA + (1 − p)pB
pA = p + (1 − p)pE


pB = p.pE
Stéphane Gonnord




  
pE
0
p 1−p
pE
0
 pA  = 1 − p 0




0
pA + p
pB
p
0
0
pB
0
Jeu, set et match
11 / 27
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B


pE = p.pA + (1 − p)pB
pA = p + (1 − p)pE


pB = p.pE







−1  

pE
0
p 1−p
 pA  = I3 − 1 − p 0
0 
pB
p
0
0
Stéphane Gonnord
  
pE
0
p 1−p
pE
0
 pA  = 1 − p 0




0
pA + p
pB
p
0
0
pB
0
Jeu, set et match
0
p
0
11 / 27
pE =
Stéphane Gonnord
p2
1 − 2p + 2p2
Jeu, set et match
·
12 / 27
pE =
1.0
p2
1 − 2p + 2p2
·
Théorie
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
12 / 27
Nombre d’échanges depuis une égalité ?
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B
Espérance du nombre d’échanges depuis... : TE , TA et TB .
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
13 / 27
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B


TE = 1 + p.TA + (1 − p)TB
TA = 1 + (1 − p)TE


TB = 1 + p.TE
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
13 / 27
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B

  
   

TE
0
p 1−p
TE
1
TE = 1 + p.TA + (1 − p)TB
 TA  =  1 − p 0
0   TA  + 1
TA = 1 + (1 − p)TE


TB
TB
p
0
0
1
TB = 1 + p.TE
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
13 / 27
p
1-p
Ég
p
A
1-p
B
Av. A
1-p
p
Av. B

  
   

TE
0
p 1−p
TE
1
TE = 1 + p.TA + (1 − p)TB
 TA  =  1 − p 0
0   TA  + 1
TA = 1 + (1 − p)TE


TB
TB
p
0
0
1
TB = 1 + p.TE




TE
0
 TA  = I3 − 1 − p
TB
p
Stéphane Gonnord
p
0
0
Jeu, set et match
−1  
1−p
0 
0
1
1
1
13 / 27
TE =
Stéphane Gonnord
2
1 − 2p + 2p2
Jeu, set et match
·
14 / 27
TE =
2
1 − 2p + 2p2
·
Temps de jeux depuis l'égalité
4.5
4.0
TE
3.5
3.0
2.5
2.0
0.0
Stéphane Gonnord
Théorie
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
14 / 27
Où sommes-nous après k coups ?
1
p
Av. A
p
A
1-p
B
1-p
Ég
1
1-p
p
Av. B
(k )
Probabilités d’être dans les différents états : pE , ...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
15 / 27
1
p
Av. A
p
A
1-p
B
1-p
Ég
1
1-p
p
Av. B
(k )

(k )
pE
···
(k )
pBG
0

1 − p
= 1 0 0 0 0 
 p
 0
0
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
p
0
0
0
0
1−p
0
0
0
0
0
p
0
1
0
k
0
0 

1 − p

0 
1
15 / 27
1
p
Av. A
p
A
1-p
B
1-p
Ég
1
1-p
p
Av. B
(k )

(k )
pE
···
(k )
pBG
0

1 − p
= 1 0 0 0 0 
 p
 0
0
p
0
0
0
0
1−p
0
0
0
0
0
p
0
1
0
k
0
0 

1 − p

0 
1
Probabilité pour que A gagne en au plus k coups ?
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
15 / 27
1
p
Av. A
p
A
1-p
B
1-p
Ég
1
1-p
p
Av. B
(k )

(k )
pE
···
(k )
pBG
0

1 − p
= 1 0 0 0 0 
 p
 0
0
p
0
0
0
0
1−p
0
0
0
0
0
p
0
1
0
k
0
0 

1 − p

0 
1
Probabilité pour que A gagne en au plus k coups ?
Prendre la quatrième composante
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
15 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
15 / 27
Si seulement on avait...

(0)
λ1
..
M =P

Alors on aurait :
Stéphane Gonnord

 −1
P
.
(0)

λ5

(0)

 −1
..
Mk = P 
P
.
(0)
λk5
λk1
Jeu, set et match
16 / 27

(0)
λ1
..
M =P

Alors on aurait :

 −1
P
.
(0)

λ5

(0)

 −1
..
Mk = P 
P
.
(0)
λk5
λk1
Coup de chance ! C’est le cas avec |λ1 | , |λ2 | , |λ3 | < 1 et λ4 = λ5 = 1.
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
16 / 27

(0)
λ1
..
M =P

Alors on aurait :

 −1
P
.
(0)

λ5

(0)

 −1
..
Mk = P 
P
.
(0)
λk5
λk1
Corollaire : (M k )k ∈N converge ; et on sait même vers quoi !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
16 / 27

(0)
λ1
..
M =P

Alors on aurait :

 −1
P
.
(0)

λ5

(0)

 −1
..
Mk = P 
P
.
(0)
λk5
λk1
Corollaire : (M k )k ∈N converge ; et on sait même vers quoi !
En pratique : k = 100 est une excellente approximation de l’infini !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
16 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
16 / 27
Graphe d’un vrai jeu
p
p
p
p
0/0
15/0
1-p
15/15
1-p
p
40/15
p
30/15
1-p
p
15/30
1-p
1-p
1-p
p
1-p
p
0/15
30/0
40/0
p
1-p
p
30/30
15/30
1-p
0/40
p
p
1-p
1-p
p
1-p
A
p
40/30
p
p
Ég
Av. A
1-p
1-p
30/40
p
15/40
1-p
1-p
Av. B
1-p
B
1-p
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
17 / 27
p
p
p
p
0/0
15/0
1-p
15/15
1-p
p
40/15
p
30/15
1-p
p
15/30
1-p
1-p
1-p
p
1-p
p
0/15
30/0
40/0
p
1-p
p
30/30
15/30
1-p
0/40
p
p
1-p
1-p
p
1-p
A
p
40/30
p
p
Ég
Av. A
1-p
1-p
30/40
p
15/40
1-p
1-p
Av. B
1-p
B
1-p
20 états...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
17 / 27
p
p
p
p
0/0
15/0
1-p
15/15
1-p
p
40/15
p
30/15
1-p
p
15/30
1-p
1-p
1-p
p
1-p
p
0/15
30/0
40/0
p
1-p
p
30/30
15/30
1-p
0/40
p
p
1-p
1-p
p
1-p
A
p
40/30
p
p
Ég
Av. A
1-p
1-p
30/40
p
15/40
1-p
1-p
Av. B
1-p
B
1-p
20 états...
mais la théorie reste la même !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
17 / 27
p
p
p
p
0/0
15/0
1-p
15/15
1-p
p
40/15
p
30/15
1-p
p
15/30
1-p
1-p
1-p
p
1-p
p
0/15
30/0
40/0
p
1-p
p
30/30
15/30
1-p
0/40
p
p
1-p
1-p
p
1-p
A
p
40/30
p
p
Ég
Av. A
1-p
1-p
30/40
p
15/40
1-p
Av. B
1-p
B
1-p
1-p
20 états...
mais la théorie reste la même !
Pour un tie-break, c’est presque pareil (avec 53 états).
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
17 / 27
Matrice d’un vrai jeu

0
0

p
0

(0)
MJ = 

Stéphane Gonnord
1−p
0

0
p
1−p 0
(0)
···
1
0
Jeu, set et match


 ∈ M20 (R)

0
1
18 / 27
Matrice d’un vrai jeu

0
0

p
0

(0)
MJ = 

1−p
0

0
p
1−p 0
(0)
···
1
0


 ∈ M20 (R)

0
1
def transitions (p):
mat = np. zeros ( (20 , 20) )
mat [18 , 18] = 1
mat [19 , 19] = 1
for (d, f) in [(0 ,1) , (1 ,3) , ... , (17, 15)]:
mat[d, f] = p
for (d, f) in [(0 ,2) , (2 ,5) , ... , (16 ,15)]:
mat[d, f] = 1−p
return mat
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
18 / 27
Graphe d’un vrai set
B
1-pj
1-pt
A
pt
5/6
pj
6/6
pj
1-pj
0/5
5/5
1-pj
pj
6/5
0/1
1-pj
0/0
Stéphane Gonnord
pj
1/0
5/0
Jeu, set et match
19 / 27
B
1-pj
1-pt
A
pt
5/6
pj
6/6
pj
1-pj
0/5
5/5
1-pj
pj
6/5
0/1
1-pj
0/0
pj
1/0
5/0
41 états...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
19 / 27
B
1-pj
1-pt
A
pt
5/6
pj
6/6
pj
1-pj
0/5
5/5
1-pj
pj
6/5
0/1
1-pj
0/0
pj
1/0
5/0
41 états...
et toujours la même théorie
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
19 / 27
Graphe d’un match en deux sets gagnant
A
p
p
1/0
p
1-p
1-p
p
0/0
1/1
1-p
0/1
1-p
B
6 états (11 pour un match en trois sets gagnant)...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
20 / 27
Graphe d’un match en deux sets gagnant
A
p
p
1/0
p
1-p
1-p
p
0/0
1/1
1-p
0/1
1-p
B
6 états (11 pour un match en trois sets gagnant)...
Et vous savez quoi ? Toujours la même théorie
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
20 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
20 / 27
Principe des calculs et simulations
pj calculé via :
L19 MJ100 C1
(= (MJ100 )1,19 )
Même chose pour pT , ps et pm .
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
21 / 27
pj calculé via :
L19 MJ100 C1
(= (MJ100 )1,19 )
Temps de jeu : en résolvant T = Mj0 T + U, avec Mj0 la matrice
« réduite ».
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
21 / 27
pj calculé via :
L19 MJ100 C1
(= (MJ100 )1,19 )
« réduite ».
Des formules exactes sont accessibles... via du calcul formel.
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
21 / 27
pj calculé via :
L19 MJ100 C1
(= (MJ100 )1,19 )
« réduite ».
Des formules exactes sont accessibles... via du calcul formel.
Simulations : bien exprimer les conditions de gain (et, ou,
maximum, etc...).
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
21 / 27
Sommaire
1
Règles virtuelles
Simulations
2
Les vraies règles
3
Un vrai match
Résultats
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
21 / 27
Pour un jeu
1.0
Probabilité pour Alice de gagner un jeu
Probabilité théorique
Moyenne sur 10000 expériences
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
22 / 27
Pour un jeu
1.0
Probabilité pour Alice de gagner un jeu
Probabilité théorique
Moyenne sur 10000 expériences
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Hum... ça me rappelle un truc déjà vu !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
22 / 27
Pour un jeu : WOW !
Probabilité
pour Alice de gagner un jeu (vraies règles vs. simplifiées)
1.0
Vraies règles
Premier arrivé à 2
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
Stéphane Gonnord
0.2
0.4
p
0.6
Jeu, set et match
0.8
1.0
23 / 27
Pour un jeu : WOW !
Probabilité
1.0
Vraies règles
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Incroyable ! ! ! !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
23 / 27
Pour un jeu : WOW !
Probabilité
1.0
Vraies règles
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Incroyable ! ! ! ! (mais en fait, non...)
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
23 / 27
Espérance du nombre d’échanges par jeu
8.0
Espérance du nombre de coups par jeu
7.5
7.0
E(T)
6.5
6.0
5.5
5.0
Vraies règles
4.5
4.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Hum...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
24 / 27
Espérance du nombre d’échanges par jeu
8.0
Espérance du nombre de coups par jeu
7.5
7.0
E(T)
6.5
6.0
5.5
5.0
Vraies règles
Vraies règles... décalées de 1
4.5
4.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Hum... Ha non !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
24 / 27
Probabilité pour qu’Alice gagne...
1.0
pj
0.8
pj
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Un jeu...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
25 / 27
1.0
pj
pt
0.8
pj ,pt
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Un jeu... un tie-break...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
25 / 27
1.0
pj ,pt ,ps
0.8
pj
pt
ps
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Un jeu... un tie-break... un set...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
25 / 27
1.0
pj ,pt ,ps ,pm
0.8
pj
pt
ps
pm [2]
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Un jeu... un tie-break... un set... un match en deux sets gagnants...
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
25 / 27
1.0
pj ,pt ,ps ,pm
0.8
pj
pt
ps
pm [2]
pm [3]
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.2
0.4
p
0.6
0.8
1.0
Un jeu... un tie-break... un set... un match en deux sets gagnants... ou 3 !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
25 / 27
Concrètement...
Si Alice gagne 51% des échanges, alors elle gagne :
I 52, 5% des jeux normaux (53, 2% des tie-break) ;
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
26 / 27
Concrètement...
I 57, 1% des sets ;
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
26 / 27
Concrètement...
I 57, 1% des sets ;
I 60, 6% des matchs en deux sets gagnants...
I et 63, 2% des matchs en trois sets gagnants.
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
26 / 27
Concrètement...
I 57, 1% des sets ;
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
26 / 27
Concrètement...
I 57, 1% des sets ;
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
26 / 27
Concrètement...
I 57, 1% des sets ;
I 64, 0% des sets ;
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
26 / 27
C’est fini...
Merci de votre attention !
Stéphane Gonnord
Jeu, set et match
27 / 27

Jeu, set et match - Des maths et du Python autour du tennis

Transcription

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