Etude expérimentale du transport de particules solides par

Etude expérimentale du transport de particules solides
par charriage à forte pente
Mémoire présenté par Matthieu François Daniel Dufresne
Soutenu le 8 juillet 2005 à l’Institut de Mécanique des Fluides et des Solides de Strasbourg
Laboratoire d’accueil : Cemagref Grenoble, unité Etna
Encadrant : Philippe Frey
Février-août 2005
DEA Mécanique et Ingénierie option Sciences de l’Eau
Université Louis Pasteur,
Ecole Nationale du Génie de l’Eau et de l’Environnement,
Institut National des Sciences Appliquées,
Strasbourg
Résumé [Etude expérimentale du transport de particules solides par charriage à forte pente]: Ce mémoire de DEA porte sur l’étude ”microstructurelle” du transport de particules solides par charriage en contexte torrentiel au
moyen d’un dispositif expérimental : un courant d’eau et des billes de verre
de diamètre uniforme 6 mm sont injectés dans un canal étroit de pente et
largeur variables dans des conditions d’équilibre dynamique. L’écoulement
est filmé au moyen d’une caméra afin de déterminer ses caractéristiques par
analyse d’images : un protocole de mesure de la vitesse moyenne par suivi
d’un nuage d’encre de Chine et un algorithme de détermination de la hauteur
d’eau ont ainsi été mis au point. La comparaison des expériences effectuées
en largeur 6.5 mm (Böhm [8]) et 12.7 mm a permis d’étudier l’effet des parois par l’intermédiaire du facteur d’aspect 2h/L. Nous avons ainsi proposé la
valeur de 7 comme limite d’utilisation du dispositif expérimental : au-delà de
cette valeur, des comportements aberrants se produisent. Nous avons enfin
présenter les bases de l’étude future de la granulométrie étendue.
Mots-clés : torrent, transport solide, écoulement supercritique, charriage, étude microstructurelle, canal expérimental, analyse d’images, débit
solide instantané, vitesse moyenne, hauteur d’eau, effet des parois, granulométrie étendue.
1
Abstract [Experimental study of bed-load transport at steep slope.]: This
master thesis dissertation deals with ”microstructural” study of bed-load
transport in a torrential context : water flow and 6 mm-diameter glass beads
were used to study dynamical equilibrium between liquid and solid discharge
in a titled, narrow, experimental channel. A camera was used to film in order to determine flow characteristics by image processing : mean flow velocity
measurement by Indian ink tracking and water depth determination were developed. Comparison between 6.5 mm-width (Böhm [8]) and 12.7 mm-width
experiments allow us to study side influence using the parameter 2h/L. We
choose the value 7 as the bound condition for using this experimental channel
without any aberration. Lastly, we began the study of two particle sizes.
Keywords : mountain stream, supercritical flow, bed-load transport, microstructural study, experimental channel, image processing, instantaneous
solid discharge, mean flow velocity, water depth, side influence, several particle sizes.
2
Table des matières
Table des matières
3
Liste des figures
6
Liste des tableaux
9
Nomenclature
10
1 Introduction
11
2 Etude bibliographique du charriage torrentiel
2.1 Les torrents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Définition des torrents . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Description des torrents . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le transport solide en torrent : le charriage . . . . . . . .
2.2.1 Définition des modes de transport solide . . . . .
2.2.2 Le charriage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 L’approche de Shields . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Introduction à l’approche de Shields . . . . . . .
2.3.2 Résultats de Shields . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 L’approche de Bagnold . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Présentation de l’approche de Bagnold . . . . .
2.4.2 Les hypothèses de Bagnold . . . . . . . . . . .
2.4.3 Résultats de Bagnold . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.4 Échec de l’approche de Bagnold . . . . . . . . .
2.5 L’approche d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Les travaux d’Einstein . . . . . . . . . . . . . .
2.5.2 L’approche de Parker, Seminara & Solari . .
2.6 Les formules semi-empiriques de débit solide de charriage
2.6.1 Forme générale et limitations . . . . . . . . . . .
2.6.2 La prise en compte de la pente . . . . . . . . . .
3
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20
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23
23
23
25
2.7
2.8
2.9
2.6.3 Conclusion sur les formules semi-empiriques . . . . .
L’approche stochastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7.1 Présentation de l’approche stochastique . . . . . . . .
2.7.2 Présentation des travaux de Wu & Chou . . . . . .
2.7.3 Conclusion sur l’approche stochastique . . . . . . . .
L’approche mécaniste à l’échelle de la particule . . . . . . .
2.8.1 L’approche de Maxey & Riley . . . . . . . . . . .
2.8.2 Modélisations du charriage fondées sur l’approche mécaniste à l’échelle de la particule . . . . . . . . . . . .
Conclusion sur l’étude bibliographique . . . . . . . . . . . .
3 Dispositif expérimental
3.1 Introduction . . . . . .
3.2 Le canal expérimental
3.2.1 Le canal . . . .
3.2.2 Le débit liquide
3.2.3 Le débit solide
3.3 L’acquisition d’images
3.3.1 L’éclairage . . .
3.3.2 La caméra . . .
3.4 Protocole expérimental
3.5 L’analyse d’images . .
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4 Outils d’analyse d’images
4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Débit solide instantané . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Algorithme de détermination du débit solide instantané
4.2.3 Echec de la détermination du débit solide instantané .
4.3 Vitesse moyenne de l’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Problématique et objectifs . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Description de la méthode retenue . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Justification de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Bilan sur la mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement
4.4 Hauteur d’eau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Problématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Analyse d’images . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.3 Incertitude sur la mesure de la hauteur d’eau . . . . .
4.5 Conclusion sur l’analyse d’images . . . . . . . . . . . . . . . .
4
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56
5 Résultats expérimentaux et analyse
5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Tableau de l’ensemble des résultats . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Critique des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Incertitudes sur les variables . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Conditions hydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Retour sur la détermination de l’équilibre . . . . . . . .
5.4 Influence du seuil aval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2 Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3 Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4 Conclusion sur l’influence de la taille du seuil . . . . .
5.5 Effet des parois - Influence de la largeur . . . . . . . . . . . .
5.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.2 Influence sur l’hydrodynamique . . . . . . . . . . . . .
5.5.3 Influence sur le transport solide . . . . . . . . . . . . .
5.5.4 Correction du critère de Shields par le rapport d’aspect
5.5.5 Conclusion sur l’effet des parois . . . . . . . . . . . . .
5.6 Conclusion sur l’analyse des résultats . . . . . . . . . . . . . .
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60
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73
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6 Conclusion et perspectives
79
Bibliographie
86
7 Annexes
7.1 Macros Wima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Détermination du débit solide instantané . . . . . . . .
7.1.2 Macro du tracé de la ligne d’eau et de la surface libre
à partir des images cumulées des billes et de la surface
7.2 Programme Matlab de détermination de la hauteur d’eau . .
7.3 Correction du critère de Shields . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4 Remarque sur la vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5 Résultats complets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
87
87
5
88
89
90
90
90
Table des figures
1.1
1.2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
4.1
4.2
4.3
4.4
Une rue de Brigue après la crue de la Saltine en septembre
1993. Photographe : inconnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Exemple d’écoulement en canal de largeur 6.5 mm. . . . . . . 12
Modes de transport solide de fond, distinction entre charriage
et suspension. D’après Graf & Altinakar [21] . . . . . . . .
Distinction entre le roulement-glissement et la saltation. D’après
Böhm [8]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Diagramme de définitions des notations de la partie 2.4. D’après
Seminara et al. [45] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Présentation de la configuration du problème. D’après Wu &
Chou [54] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Relations entre probabilité de mise en mouvement et contrainte
adimensionnelle. D’après Wu & Chou [54] . . . . . . . . . . .
17
18
20
27
28
Photographie du dispositif expérimental. D’après Böhm [8]. . . . 32
Schéma du dispositif expérimental. D’après Böhm [8]. . . . . . . 32
Photographie du distributeur. D’après Böhm [8]. . . . . . . .
Vitesse de rotation du distributeur au cours du temps (mesurée
par comptage du passage des dents de la roue devant un capteur).
Vérification de la perpendicularité de l’axe de la caméra par
rapport au canal. D’après Böhm [8]. . . . . . . . . . . . . . .
Mire permettant de s’assurer de l’inclinaison de la caméra et
de calculer l’échelle des images. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison entre des images obtenues en canal de largeur
6.5 mm (en haut) et de largeur 12.7 mm (en bas). . . . . . .
Interface du logiciel de traitement d’images Wima du laboratoire TSI de Saint-Etienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Deux images consécutives (décalage temporel de 1/130 s environ). L’écoulement va de la droite vers la gauche. . . . . .
Modèle utilisé pour la détection des billes (agrandi). . . . . .
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36
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. 41
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4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
Billes détectées à l’aide de la fonction Wima RechercheMotifR.
Vecteurs déplacements entre les deux images de départ (vecteurs multipliés par 10). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détermination de la différence de temps de passage des deux
pics (expérience F10-10). Méthode du maximum. . . . . . . .
Détermination de l’instant de passage du pic de concentration
dans les deux fenêtres (expérience F10-10). L’écoulement va
de droite à gauche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Courbes de niveau de gris obtenus sur une fenêtre ; comparaison entre la méthode de la moyenne et la méthode du maximum.
Images brutes de l’écoulement. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1ère étape : séparation des billes de la surface libre. . . . . . .
2ème étape : détection de la surface libre moyennée dans le
temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3ème étape : détection du fond. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Ligne de fond et surface libre moyennée dans le temps. . . . .
Superposition de la ligne de fond et de la surface sur trois
images de la séquence brute (décalage temporel de 0.04 s environ entre chaque image). L’écoulement va de la gauche vers
la droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Evolution du débit liquide d’équilibre pour les expériences
F10-21’, F10-20 et F10-20’ en fonction de la hauteur du seuil
placé à l’extrémité aval du canal. . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du facteur
d’aspect 2h/L. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du facteur
d’aspect 2h/L. Largeurs de 6.5 et 12.7 mm. Pentes de 7.5 et
10 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du rapport
d/Rh . Largeurs
de 6.5 et 12.7 mm. Pentes de 7.5 et 10 %. Loi
q
1
h
rugueuse f = −2log( kSa/R
). . . . . . . . . . . . . . . . . .
f
Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du nombre de
Reynolds. Largeurs de 6.5 et 12.7 mm. Pentes de 7.5 et 10
%. Loi ”lisse” de Bigillon [10]. . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparaison entre débit solide mesuré et débit solide calculé
selon la formule de Rickenmann. . . . . . . . . . . . . . . .
Concentration CS en fonction du débit liquide qL pour les expériences en canal étroit (6.5 mm) à pente faible (7.5 %). . .
Décomposition du périmètre et de la section mouillés. . . . .
7
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42
44
44
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51
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54
54
. 60
. 64
. 65
. 67
. 68
. 71
. 72
. 74
5.9
Graphe débit solide adimensionnel φ - critère de Shields adimensionnel et corrigé (REFERENCE DE LA FORMULE). . . 76
6.1
Exemple d’un écoulement en canal de largeur 6.5 mm avec
deux diamètres de billes : 6 mm (couleur noire) et 3 mm (incolore). Les conditions expérimentales sont mauvaises. . . . . . 81
8
Liste des tableaux
4.1
Résultats d’un test caractéristique de validation du protocole
de mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement : injection à
10 cm de la fenêtre d’acquisition, encre diluée (1/4 d’encre),
débit liquide QL = 0.0772 L/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.1
Plages de variation des variables descriptives des expériences
menées en canal de largeur 12.7 mm. . . . . . . . . . . . . . . 58
Comparaison entre les critères de Shields corrigés par la formule REFERENCE 1 et la formule de Colebrook 2. . . . . 76
5.2
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
Valeurs de la vitesse (m/s) selon la loi logarithmique établie
par Bigillon [10]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus par Böhm [8] pour une largeur de 6.5 mm
et une pente de 7.5 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus par Böhm [8] pour une largeur de 6.5 mm
et une pente de 10 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus par Böhm [8] pour une largeur de 6.5 mm
et des pentes de 12.5 et 15 %. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et une pente
de 7.5 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et des pentes
de 7.5 et 10 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et une pente
de 10 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et des pentes
de 12.5, 13.5 et 15 %. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
. 91
. 91
. 92
. 93
. 94
. 95
. 96
. 97
Nomenclature
Symbole Unité
Variable
C
kg/m3
CS
d
m
f
Fr
g
m/s2
h
m
I = tanθ
K
m1/3 /s
Kx
m2 /s
L
m
n0
billes/s
qcr
m2 /s
qL
m2 /s
QL
m3 /s
qS
m2 /s
Re
Rh
m
t1
s
t2
s
U
m/s
x1
m
x2
m
ρ
kg/m3
θ
rad
τ∗
concentraion en encre
concentration solide
diamètre des billes
coefficient de frottement de Darcy-Weisbach
nombre de Froude
accélération de la pesanteur
hauteur d’eau de l’écoulement
pente longitudinale du canal
coefficient de rugosité de Manning-Strickler
coefficient de dispersion longitudinale
largeur du canal
débit solide en entrée du canal
débit critique de Rickenmann
débil liquide par unité de largeur
débit liquide
débit solide par unité de largeur
nombre de Reynolds
rayon hydraulique
temps de passage du pic de concentration dans la 1ère fenêtre
temps de passage du pic de concentration dans la 2ème fenêtre
vitesse moyenne de l’écoulement d’eau
abscisse du milieu de la 1ère fenêtre
abscisse du milieu de la 2ème fenêtre
masse volumique de l’eau
inlinaison du canal
critère de Shields
10
Chapitre 1
Introduction
Bigillon [10] rapporte le fait suivant :
”Septembre 1993, la Saltine quitte subitement son lit au niveau
d’un pont en plein cœur de la ville de Brigue (canton du Valais en
Suisse). L’écoulement laisse sur son passage un dépôt massif de
sédiments et cause la mort de deux personnes. Le débit liquide de
la crue a été évalué à 95 m3 /s alors que le débit liquide de pointe
de la crue centennale était de 120 m3 /s. Comment la Saltine at’elle pu déborder autant alors que la section d’écoulement sous
le pont était dimensionnée pour recevoir un débit liquide de 25
% supérieur ?”
Selon Bigillon,
”l’explication vient de la nature du transport, il s’agissait d’un
transport intense, comme on peut le rencontrer dans les zones
de montagne. Ce type de transport engendre des variations importantes et rapides des sections des cours d’eau concernés, qui
peuvent être responsables du débordement(...)”.
L’exemple précédent met en lumière l’influence du transport solide sur
l’hydraulique des cours d’eau, rôle particulièrement important dans le cas
des torrents de montagne qui charrient habituellement une forte quantité
Fig. 1.1 – Une rue de Brigue après la crue de la Saltine en septembre 1993.
Photographe : inconnu.
11
Fig. 1.2 – Exemple d’écoulement en canal de largeur 6.5 mm.
de matières solides. De nombreuses approches du transport solide ont permis, à l’aide de données expérimentales obtenues sur modèle réduit (canaux, conduites) ou sur site (rivières, torrents), d’établir des formules ”semiempiriques” de débit solide (Smart & Jaeggi [47], Rickenmann [41] dans
le cas des fortes pentes). Cependant, ces formules, très utiles en ingénierie,
sont peu précises et ne sont utilisables en général que dans les conditions pour
lesquelles elles ont été obtenues. Plusieurs phénomènes sont habituellement
proposés pour expliquer ces incertitudes, parmi lesquels le pavage, le début
de mouvement ou encore l’étendue granulométrique1 (Koulinski [28]).
Un projet de recherche est actuellement développé au Cemagref de Grenoble dans l’unité Erosion Torrentielle, Neige et Avalanches (ETNA) sur cette
problématique. Il s’agit d’étudier à l’échelle de la particule les mécanismes du
charriage torrentiel en granulométrie étendue. Pour cela, un canal expérimental ainsi qu’un dispositif d’acquisition d’images sont utilisés et développés.
Les images obtenues sont traitées afin de déterminer les caractéristiques du
mouvement à l” ’échelle de la particule”. Plusieurs travaux ont déjà été menés
en granulométrie uniforme avec ce dispositif. Ainsi les thèses de Bigillon :
”Etude du mouvement bidimensionnel d’une particule dans un courant d’eau
sur forte pente” [10] ; et Böhm : ”Motion of a set of particles in a supercritical
flow” [8].
La thèse de Böhm [8] a permis d’étudier les mécanismes du charriage
torentiel à l’échelle de la particule en canal étroit : billes de 6 mm en canal
de largeur 6.5 mm. Le choix d’une telle configuration a été motivée par la
détermination par analyse d’images du débit solide instantané (tous les 1/130
s), détermination rendue possible par la très faible largeur du canal : seule
une bille peut être présente dans le sens de la largeur (f ig. 1.2). Böhm et
1
On parle d’étendue granulométrique lorsque le matériau solide est constitué de particules de tailles différentes.
12
al. [9] ont ainsi mis en évidence d’importantes fluctuations du débit solide
au cours du temps.
Cependant, dans une telle configuration, nous pouvons penser que les parois du canal ont un effet très important sur l’écoulement , le rapport d’aspet
2h/L - double du rapport de la hauteur d’eau sur la largeur (Bigillon [10])
- prenant en effet des valeurs largement supérieures à 1 (jusqu’à 122 ). Ce
constat pose la question de la représentativité des résultats obtenus : sont-ils
généralisables aux torrents naturels ?
L’objectif principal de mon stage de DEA est l’étude des effets de parois
sur l’hydrodynamique et le charriage. Pour parvenir à cet objectif, le canal a
été largi à 12.7 mm : il y a ainsi la place pour deux billes de 6 mm dans le
sens de la largeur.
Deux autres objectifs ont également été définis en cours de stage :
– étudier l’influence de la taille du seuil placé à l’extrêmité aval du canal
pour premettre la constitution d’un lit de billes. Cet objectif fait suite
à une remarque d’un membre du jury de la thèse de Böhm [8],
– développer une méthode indépendante de mesure de la vitesse moyenne
de l’écoulement. Pour le moment, cette dernière est calculée à partir
du débit liquid et de la hauteur d’eau.
Après une étude bibliographique passant en revue les principales approches
du charriage torrentiel (chapitre 2)ainsi qu’une description du dispositif expérimental du Cemagref de Grenoble, (chapitre 3), nous présenterons en
détails les outils d’analyse d’images développés durant le stage (chapitre 4).
Le chapitre 5 présente les résultats expérimentaux et leur analyse : influence
du seuil aval et effet des parois. Enfin, la conclusion (chapitre 6) récapitule
l’ensemble des travaux effectués depuis le début du stage et présente l’esquisse
de l’étude de la granulométrie étendue.
2
Experience E7-11.
13
Chapitre 2
Etude bibliographique du
charriage torrentiel
2.1
Les torrents
2.1.1
Définition des torrents
Selon Bernard [7], cité par Richard [40], la principale caractéristique
distinguant un torrent d’une rivière est la pente. Bernard distingue ainsi
les torrents (pente supérieure à 6 %)des rivières torrentielles (entre 1.5 et
6 %) et des rivières (inférieure à 1.5 %). Avec cette même classification en
trois types de cours d’eau, Surell [48], cité par Koulinski [28], propose
une description fondée sur la morphologie et l’hydraulique :
”La première classe comprend les rivières. Comparés aux autres
cours d’eau, les rivières portent les caractéristique suivantes :
Elles coulent dans des vallées larges ; elles ont un assez fort volume d’eau, et des crues prolongées ; leur pente, constante sur de
grandes longueurs, n’excède pas 15 millimètres par mètre. (...).
La deuxième classe comprend les cours d’eau que j’appellerai
rivières torrentielles. Ils (...) forment les affluents principaux des
rivières. Leurs vallées sont moins longues et plus resserrées, les
variations de leur pente sont plus rapides. Leur volume d’eau est
moins considérable (...). Leur pente n’excède pas 6 centimètres
par mètre (...).
Les torrents forment la troisième classe. Ils coulent dans des
vallées très courtes, qui morcellent les montagnes en contre forts ;
quelquefois même, dans de simples dépressions. Leurs crues sont
courtes et presque toujours subites. Leur pente excède 6 centi14
Fig. 2.1 – Torrent à proximité de Pelvoux, Hautes-Alpes. Photographe :
Ancey.
mètres par mètre, sur la plus grande longueur de leur cours : elle
varie très vite et ne s’abaisse pas au-dessous de 2 centimètres par
mètre(...).”
2.1.2
Description des torrents
Les torrents (f ig. 2.1.2) présentent de nombreuses particularités par rapport aux rivières (selon Koulinski [28] : bassin versant de taille réduite,
écoulement ”ordinaire” plus faible voire absent, lit beaucoup plus irrégulier,
hydrologie plus tranchée avec des crues importantes et brusques, écoulements
plus rapides et turbulents, fort transport solide). Dans le cadre de ce mémoire,
nous retiendrons les deux particularités suivantes :
– une hydraulique s’écartant de l’hydraulique fluviale classique,
– un transport solide important.
L’hydraulique torrentielle
L’hydraulique torrentielle et ses particularités par rapport à l’hydraulique
fluviale sont présentées par Meunier [35]. Nous nous contenterons ici de
faire allusion à la relation entre le débit et la hauteur d’eau, habituellement
obtenue en hydraulique fluviale avec une formule de perte de charge de type
Darcy-Weisbach :
s
8
u
=√
f
gRh sinθ
(2.1)
où f est le coefficient de Darcy-Weisbach, u la vitesse moyenne de l’écoulement, g l’accélération de la pesanteur, Rh le rayon hydraulique et tanθ la
pente longitudinale.
De nombreux auteurs ont établi des formules similaires pour les torrents,
leur but étant de relier le coefficient f de Darcy-Weisbach au rayon hydraulique Rh . Ainsi, Koulinski [28] rapporte plusieurs formules spécifiques
aux torrents (Limenaros [31], Bathurst [6], Hey [23], Griffiths [22]).
La formulation de type Darcy-Weisbach n’est cependant qu’une approche
15
très grossière des écoulements en torrent, Bathurst considèrant qu’en dessous d’une submersion relative 1 de 15, les relations classiques de pertes de
charge ne peuvent être appliquées. La hauteur d’eau étant de plus parfois
difficile à connaître avec précision en torrent, Rickenmann [42] propose une
formulation utilisant le débit unitaire q = Q/b (Q étant le débit liquide total
et b la largeur de l’écoulement rectangulaire) à la place de la hauteur d’eau
h. Retenons simplement que des notions très simples en hydraulique fluviale
tels que la rugosité ou même la hauteur d’eau ne sont pas nécessairement judicieuses à utiliser en hydraulique torrentielle. Ainsi, selon Koulinski [28] :
”Dans les torrents, il est pratiquement impossible de déterminer la profondeur beaucoup plus précisément que l’ordre de grandeur parce que l’on n’a pas de mesure précise et que la rugosité
est très difficile à déterminer (et même à définir).”
Le transport solide
Selon Koulinski [28] :
”Par rapport au débonnaire ruisseau, le torrent transporte
des quantités importantes de matériaux, change de lit, érode ses
berges ou engrave les terrains alentour. Cette caractéristique est
d’autant plus importante que la forte pente permet un transport
solide considérable, brutal et prenant de multiples formes.”
2.2
2.2.1
Le transport solide en torrent : le charriage
Définition des modes de transport solide
En rivière, Graf & Altinakar [21] distinguent le transport solide en suspension intrinsèque (angl. : wash-load), du à la turbulence et qui concerne les
particules qui ne sont jamais en contact avec le fond, et le transport solide
de fond (bed-material load). Ce dernier est lui-même décomposé en suspension (suspended-load2 ), qui concerne les particules se déplaçant par bonds
importants, et charriage (bed-load), qui concerne les particules en contact
étroit avec le fond (f ig. 2.1). En torrent, il est plus délicat d’établir une
véritable typologie du transport solide. Ainsi, selon Smart & Jaeggi [47],
1
On définit la submersion relative comme le rapport de la hauteur d’eau h sur un
diamètre caractéristique des grains d. Alors que pour une rivière, ce rapport dépasse en
général 20, il devient très proche de l’unité pour les torrents.
2
van Rijn, [51] et [52], considère quant à lui que le ”wash-load” fait partie du
”suspended-load”.
16
Fig. 2.2 – Modes de transport solide de fond, distinction entre charriage et
suspension. D’après Graf & Altinakar [21]
la distinction entre ”bed-load transport” et ”suspended transport” n’est plus
possible pour des pentes proches de 20 %. A de telles valeurs, ils ont observé des débuts de ”laves torrentielles3 ” (angl. : debris-flow). Rickenmann
[41] parle d’écoulement hyperconcentré (angl. : hyperconcentred flow). Malgré ces phénomènes inexistants en rivière, nous conserverons la typologie de
Graf & Altinakar [21] qui, bien qu’arbitraire, est très simple. En torrent,
dans des conditions d’écoulement non exceptionnelles, le mode de transport
prépondérant est le charriage.
2.2.2
Le charriage
Définition du charriage
Graf & Altinakar [21] définissent le charriage (angl. : bed-load transport) comme :
”le mouvement des particules restant en contact étroit avec le
fond ; elles se déplacent en glissant, roulant ou sautant (brièvement) ; ce mode de transport concerne les particules relativement
grandes.”
Les différents types de mouvement des particules en charriage
Bagnold [5] distingue les trois types de mouvement suivants pour les
particules en charriage : glissement (angl. : sliding), roulement (rolling) et
saltation (saltating4 ) (f ig 2.2) :
– les particules en glissement ou en roulement se déplacent relativement
lentement en restant en contact avec le lit (Ancey & al. [2]).
– les particules en saltation se déplacent par sauts à une vitesse relativement grande (Lee & al. [30], Ancey & al. [1]).
Fluctuations du débit de charriage
Selon Gomez & Philips [18], le transport solide présente souvent des
variations temporelles. Ainsi, Böhm & al. [9] ont montré que le charriage
3
4
Voir Coussot [14] pour une description des laves torrentielles.
Wu & Chou [54] parlent de ”lifting” plutôt que de ”saltating”.
17
Fig. 2.3 – Distinction entre le roulement-glissement et la saltation. D’après
Böhm [8].
était un phénomène intermittent à l’échelle du 1/130 de seconde. Le débit solide obtenu dans le cas de leurs expérimentations (canal étroit, pentes fortes,
billes de taille uniforme) est sujet à des fluctuations importantes, ces fluctuations (de l’ordre de grandeur du débit solide lui-même) étant particulièrement
importantes dans le cas d’un lit mobile.
Après cette description typologique du transport solide, et notamment du
charriage, nous allons présenter les principales approches développées pour
la compréhension de ce phénomène.
2.3
2.3.1
L’approche de Shields
Introduction à l’approche de Shields
Présentation du problème
On cherche à déterminer, selon la démarche de l’analyse dimensionnelle,
les nombres adimensionnels caractéristiques du transport solide de particules
non cohésives au sein d’un écoulement d’eau permanent et uniforme. Selon
Graf & Altinakar ([20] et [21]), le phénomène peut être entièrement
décrit à l’aide des 7 grandeurs suivantes : la densité ρ et la viscosité ν du
fluide ; la densité ρs et un diamètre caractéristique d du matériau ; la pente
I, la gravité g et le rayon hydraulique Rh de l’écoulement.
Analyse dimensionnelle
En introduisant les grandeurs suivantes : la contrainteq tangentielle de
τf B
frottement τf B = ρgRh I, la vitesse de frottement uf =
et le poids
ρ
volumiques γ = ρg et γs = ρs g, l’utilisation du théorème de VaschyBuckingham (7 grandeurs et 3 unités SI5 de base) aboutit à la définition
de 4 nombres adimensionnels. On peut par exemple choisir les 4 suivants
(Shields [46] et Yalin [56], cités par Graf & Altinakar [21]) :
– une profondeur relative : Rdh
– une densité relative : ρρs
5
Unités du système international : M KSA
18
1
– un diamètre adimensionnel particulaire : d∗ = d[(s − 1) νg2 ] 3
– une contrainte de cisaillement adimensionnelle : τ∗ =
γRh I
(γs −γ)d
ρu2f
(γs −γ)d
=
τf B
(γs −γ)d
=
Le débit solide volumique par unité de largeur qs est, d’après le théorème
de Vaschy-Buckingham, une fonction des 4 nombres adimensionnels précédents. On obtient pour le débit solide mis sous forme adimensionnelle :
qs∗ = q
2.3.2
qs
(s − 1)gd3
= qs∗ (
Rh ρs
, , d∗ , τ ∗ )
d ρ
(2.2)
Résultats de Shields
Par des considérations hydrodynamiques, Shields [46] a mis en évidence
une relation entre τ∗ et d∗ (Graf & Altinakar [21]). Comme les termes
adimensionnels Rdh et ρρs sont inclus dans le terme adimensionnel τ∗ , on obtient
une relation de la forme :
qs∗ = qs∗ (τ∗ )
(2.3)
Les travaux de Shields puis la reformulation de Yalin [56] (Graf &
Altinakar [21]) ont permis d’établir un diagramme présentant en abscisse le
diamètre adimensionnel particulaire et en ordonnée la contrainte tangentielle
adimensionnelle. Ce diagramme met en évidence deux zones : une zone de
mouvement et une zone de repos délimitées par une courbe critique, appelée
courbe de Shields et qui définit un seuil de mouvement :
τ∗cr = τ∗cr (d∗ )
(2.4)
Le débit solide volumique est une fonction de la contrainte tangentielle adimensionnelle. Une augmentation de τ∗ provoque, un fois le seuil τ∗cr atteint,
une augmentation du débit solide volumique :
qs∗ = qs∗ (τ∗ − τ∗cr )
19
(2.5)
Fig. 2.4 – Diagramme de définitions des notations de la partie 2.4. D’après
Seminara et al. [45]
2.4
2.4.1
L’approche de Bagnold
Présentation de l’approche de Bagnold
Selon Bagnold [3], la contrainte de cisaillement totale se décompose en
deux parties à l’intérieur de la couche de charriage (f ig. 2.3 pour les notations) :
– une partie qui agit sur la phase fluide τlf ,
– une partie qui agit sur la phase solide τls .
Bagnold, cité par Seminara & al. [45], considère les deux phases
comme des milieux continus et les suppose toutes deux en équilibre dynamique. A partir de considérations dynamiques et grâce à des approximations
non présentées ici, Bagnold obtient l’équation suivante :
τf B + ρ(s − 1)gξI = τf b + τsb
(2.6)
où τf B est , ρ, g ξ = Ch est la concentration solide moyenne.
Pour un lit pratiquement horizontal, l’équation précédente se réduit à :
τf B = τf b + τsb
(2.7)
Cela signifie que, pour des pentes pratiquement nulles, la contrainte de
cisaillement totale qui existerait au niveau du fond en l’absence de couche
de charriage est égale à la somme de la contrainte de cisaillement au niveau du fond en présence de la couche de charriage et de la contrainte de
cisaillement au niveau du fond due à la phase solide. Pour "fermer" ces équations, Bagnold, cité par Seminara & al. [45], formule deux hypothèses
fondamentales :
2.4.2
Les hypothèses de Bagnold
– 1ère hypohèse : les contraintes normale (pression) et tangentielle (cisaillement) de la phase solide sont reliées par un coefficient de Cou20
lomb µd0 (loi du frottement) :
τsb = µd0 Psb
(2.8)
– 2ème hypothèse : dans des conditions d’équilibre dynamique, la contrainte
de cisaillement au niveau du fond est égale à la valeur critique de début
de mouvement :
τf b = τf c0
(2.9)
2.4.3
Résultats de Bagnold
Grâce à ces deux hypothèses, Bagnold obtient l’expression de la vitesse
moyenne adimensionnelle (première hypothèse) ainsi que la concentration
moyenne de la couche de charriage (première et deuxième hypothèses). En
combinant ces deux équations, Bagnold obtient une expression du débit
solide adimensionnel. Dans le cas des résultats de Fernandez Luque &
van Beek [33], cités par Seminara & al. [45], on obtient, en choisissant
µd0 =1.515, l’expression suivante :
qs
qs∗ = q
(s − 1)gdd
√
√
= VP ∗ ξ∗ = 7.59(τ∗ − τ∗cr0 )( τ∗ − 0.7 τ∗cr0 )
(2.10)
1
√
√
τf c0
. En remarquant que : τ∗ − 0.7 τ∗cr0 '(τ∗ − τ∗cr0 ) 2 , on
où : τ∗cr0 = ρ(s−1)gd
obtient une formule de débit solide adimensionnel de la forme suivante (où
A est une constante expérimentale) :
3
qs∗ = A(τ∗ − τ∗cr0 ) 2
2.4.4
(2.11)
Échec de l’approche de Bagnold
Seminara & al. [45] pointe le paradoxe suivant dans la formulation de
Bagnold. Les données de Fernandez Luque & van Beek [33], à pente
pratiquement nulle, nécessitent, pour correspondre avec la formulation de
Bagnold, de choisir un coefficient de Coulomb µd0 égal à 1.515. Or, une
telle valeur est irréaliste dans la mesure où elle correspond à un angle de
repos des particules de 56.6o , soit une valeur anormalement élevée pour un
sédiment naturel. Partant de ce constat, Seminara & al. [45] présente un
développement théorique valable quelque soit la pente de l’écoulement qui
prouve qu’aucune concentration en matière solide, aussi grande soit elle, n’est
suffisante pour réduire la contrainte de cisaillement au niveau du fond à la
21
valeur critique. Ils démontrent ainsi l’échec de la [deuxième] hypothèse de
Bagnold. Parker & al. [39] proposent alors une nouvelle formulation
fondée sur l’approche d’Einstein.
2.5
2.5.1
L’approche d’Einstein
Les travaux d’Einstein
En s’appuyant sur des concepts hydrodynamiques, Einstein6 [16] propose
en 1942 et 1950 un modèle probabiliste de transport par charriage. Selon
Einstein cité par Graf & Altinakar [21], la probabilité pe d’érosion d’une
particule à un instant quelconque dépend de la force hydrodynamique FH ,
ici la portance, et du poids déjaugé FW :
pe = pe (
FW
)
FH
(2.12)
Le transport solide par unité de longueur peut s’écrire à l’aide des taux
de dépôt et d’érosion (taux d’érosion calculable à partir de la probabilité
d’érosion d’une particule) :
δqs = (rE − rD )δx
(2.13)
En postulant qu’en régime permanent le taux d’érosion égale le taux de
dépôt et en explicitant la probabilité d’érosion d’une particule, Einstein
obtient une équation de charriage non citée ici.
2.5.2
L’approche de Parker, Seminara & Solari
Après avoir démontré l’échec de la [deuxième] hypothèse de Bagnold [45],
Parker, Seminara & Solari [39] proposent une nouvelle approche du
charriage qui s’appuie sur l’approche probabiliste d’Einstein. Parker &
al. font l’hypothèse que les taux adimensionnels d’entraînement E∗ et de
dépôt D∗ des particules présentent les formes suivantes : E∗ = √ Eb
=
(s−1)gd
3
2
Ae0 (τ∗b − τ∗cr0 ) et D∗ =
√ Db
(s−1)gd
1
2
= Ad0 (τ∗ − τ∗b ) ξ. Grâce à ces hypothèses,
Parker & al. obtiennent une expression du débit solide adimensionnel pour
6
Voir Ettema & Muttel [17] pour une présentation du scientifique.
22
des pentes pratiquement nulles :
qs∗ = VP ∗ ξ∗ =
√
√
f
K0
(τ∗ − τ∗cr0 )( τ∗ − λ0 τ∗cr0 )
µd0 (1 + K0 )
(2.14)
où f , K0 , λ0 et µd0 sont des constantes expérimentales. Le coefficient
de Coulomb µd0 , en utilisant les données expérimentales de Fernandez
Luque & van Beek [33] prend alors une valeur réaliste de 0.30. Parker &
al. généralisent cette approche pour des pentes quelconques et obtiennent
des résultats satisfaisants, même pour des pentes pour lesquelles la formulation de Bagnold échoue complètement.
2.6
2.6.1
Les formules semi-empiriques de débit solide de charriage
Forme générale et limitations
Les approches du charriage présentées précédemment proposent des formulations théoriques qu’il faut ensuite caler à l’aide de considérations expérimentales : on parle alors de formules semi-empiriques. La plupart de ces
formules utilisent la différence entre la contrainte de cisaillement totale et la
contrainte de cisaillement critique définie par Shields. Koulinski [28] énumère plusieurs de ces formules sous la présentation générale de Tsujimoto
[49] :
3
2
∗cr
qs∗ = Aτ
A
8
4.25
17
5.7
m
3/2
1
1
3/2
n
0
0
1
0
τ∗
(1 − cr )m (1 −
τ∗
s
τ∗cr n
)
τ∗
(2.15)
auteurs
Meyer-Peter & Muller
Bagnold
Ashida & Michuie
Fernandez Luque & van Beek
Selon Koulinski [28], ce type de formules fournit des résultats satisfaisants. Cependant, quatre limitations importantes doivent être signalées :
– la granulométrie étendue déjà présentée plus haut,
– le pavage : il s’agit d’une configuration morphologique particulière qui
présente une stratification verticale de la granulométrie du lit. Les éléments en contact avec l’écoulement sont trop gros pour être emportés ;
23
le débit solide résultant est alors plus faible que ne le prévoit les formules empiriques. C’est la raison pour laquelle on dit de ces formules
qu’elles fournissent la capacité maximale de transport, c’est-à-dire le
débit solide à l’équilibre lorsqu’il n’y a pas de pavage. Voir Parker et
al. [38] sur les raisons du pavage, Hunziker & Jaeggi [25] sur les
processus.
– le début de mouvement : les formules semi-empiriques permettent une
bonne approximation du débit solide lorsque le seuil de mouvement
est très largement dépassé. Lorsqu’on se rapproche du seuil de mouvement, les résultats sont bien moins bons. On peut avancer l’explication
suivante à cela : le seuil de mouvement est une notion très subjective
dont la signification véritable dépend de l’observateur. De plus, le phénomène est peut-être plus complexe qu’il n’y paraît. Ainsi, Bagnold
[4] considère que le phénomène de transport est plus simple aux forts
débits qu’aux faibles débits et aux débits de transition. On peut se demander si l’existence d’un seuil est vraiment juste ou s’il ne s’agit pas
plutôt d’un plage de début de mouvement.
– la pente : Shields lui-même reconnaît les limites de son approche pour
les fortes pentes :
”(...) Excepté dans le cas où la pente devient très appréciable. Dans ce cas, Rh I n’est pas constant [pour le débit
de transport] mais augmente avec la pente et la diminution
de la profondeur. L’explication de ce phénomène est liée au
fait qu’avec la diminution de la profondeur la rugosité relative augmente. La déviation devient notable avec ks /Rh supérieur à 1/25.” (Shields [46] cité par Graf [19], rapporté
par Koulinski [28])
2.6.2
La prise en compte de la pente
L’approche de Smart & Jaeggi
Smart & Jaeggi [47] ont procédé à des expériences pour des pentes
comprises entre 3 et 20 %. Le critère de Shields est adapté de la façon
suivante :
I
= τ∗cr (cos(arctanI))(1 −
τ∗cr
I
)
tanϕ
avec ϕ : angle de repos du matériau et I : pente de l’écoulement.
24
(2.16)
Smart & Jaeggi obtiennent alors à partir de leurs résultats expérimentaux et ceux de Meyer-Peter & Muller la formule suivante, valable à la
fois pour les pentes importantes et les pentes pratiquement nulles :
qs ∗ =
d90
τ∗cr (s − 1)dm
4
( )0.2 I 1.6 (1 −
)
(s − 1) d30
hm I
(2.17)
L’approche de Rickenmann
L’approche suivie par Rickenmann [41] consiste à considérer non pas un
excès de contrainte de cisaillement mais un excès de débit. Selon Richard
[40], cela présente l’avantage de ne pas nécessiter le calcul de la hauteur
d’eau. Ce calcul est en effet indispensable pour évaluer la contrainte de cisaillement et, nous l’avons vu précédemment, ce calcul est peu adapté dans
un contexte torrentiel où les formules de type Darcy-Weisbach sont en
général fausses. En utilisant les données de Smart & Jaeggi ainsi que ces
propres données (obtenues grâce à des expériences en conduite en considérant
différentes concentrations en argile), il obtient la formule suivante :
qs∗ = 12.6(
d90 0.2
I2
)
(q − qcr )
d30
(s − 1)1.6
(2.18)
avec :
√
−1.12
qcr = 0.065(s − 1)1.67 gd1.5
50 I
(2.19)
Rickenmann [43] a montré qu’en l’absence de rugosité de forme ”substantielle” (angl. : substantial form roughness), les formulations en terme de
débit et celles en terme de contrainte de cisaillement étaient équivalentes.
2.6.3
Conclusion sur les formules semi-empiriques
Les formules semi-empiriques, si elles sont pour la plupart très simples
d’utilisation, ne sont en général valables que dans les conditions des expériences pour lesquelles elles ont été établies. Une des limites de ces approches
que nous avons citée plus haut est le début de mouvement. Des travaux fondés sur une étude stochastique du début de mouvement ont été effectués pour
tenter de mieux décrire le charriage dans ces conditions.
25
Fig. 2.5 – Présentation de la configuration du problème. D’après Wu &
Chou [54]
2.7
2.7.1
L’approche stochastique
Présentation de l’approche stochastique
L’approche probabiliste initiée, selon Cheng & Chiew [12], par Lane
& Kalinske [29] et Einstein [15] a été poursuivie par d’autres auteurs
pour tenter de décrire le transport solide de façon statistique. La démarche
consiste à déterminer les distributions de probabilités (angl. : probability
density function pdf ) des variables aléatoires intervenant dans le phénomène
pour ensuite calculer des probabilités d’états. On parle alors de description
stochastique. Plusieurs auteurs ont abordé le transport solide de cette façon :
Hu & Hui [24] pour les caractéristiques de la saltation ; Cheng & Chiew
[12], Papanicolaou & al. [37], Kleinhans & van Rijn [27], Wu & Lin
[55], Cheng & al. [13] pour le début de mouvement. Nous nous contenterons
ici de présenter le travail de Wu & Chou [54] qui est représentatif de cette
approche.
2.7.2
Présentation des travaux de Wu & Chou
Conditions dynamiques
Wu & Chou [54] considèrent que chaque particule est soumis à trois forces
pour lesquelles ils choisissent les expressions suivantes : le poids déjaugé FW =
3
ρAu2
ρAu2
(ρs − ρ)g πd6 ; la traînée FD = CD 2 b ; et la portance FL = CL 2 b
A partir de considérations dynamiques et des expressions précédentes, ils
déterminent deux vitesses seuils7 (BR et BL ) de mise en mouvement pour
une particle au repos :
– la particule reste au repos : BR < ub
– la particule est mise en roulement : BR < ub < BL
– la particule est mise en saltation : BL < ub
26
Variables aléatoires
Wu & Chou considèrent deux variables aléatoires dans leurs calculs :
la vitesse instantanée de l’écoulement (moyennée sur la surface de chaque
particule) et la distance δ entre la partie inférieure de la particule et la ligne
de niveau du lit (f ig. 2.4). La distribution de la vitesse instantanée ub suit
une loi log-normale8 (cf Wu & Lin [55]). vb = log(ub ) suit donc une loi
normale :
1
(vb − vb )2
exp[−
]
(2.20)
2σv2
2πσv
où vb et σv , respectivement moyenne et écart-type de la distribution normale,
sont déterminés expérimentalement. En supposant un lit parfaitement aléatoire, la distribution de la distance δ entre le lit et la partie inférieure de la
particule [54] est une constante sur toute la gamme de variation de δ :
f (vb ) = √
1
(2.21)
0.866d0
avec −0.75d ≤ δ ≤ 0.116d [54]. d0 est le diamètre exposé de la particule.
f (δ) =
Probabilités de mise en mouvement
La probabilité de mise en roulement d’une particule quelconque se calcule
de la façon suivante :
PR =
Z 0.116d
−0.75d
PR (δ)f (δ)dδ
(2.22)
où PR (δ) est la probabilité de mise en roulement d’une particule située à
une distance δ du lit :
PR = P (BR < ub < BL )
(2.23)
Wu & Chou suivent la même démarche pour le calcul de la probabilité
P L de mise en saltation et obtiennent ainsi trois probabilités : la probabilité
de rester au repos, la probabilité de mise en roulement et celle de mise en
saltation pour une particule quelconque du lit. On peut voir certains résultats
sur la f ig. 2.5.
7
Ling [32] suit la même démarche en considérant d’autres forces telles que l’effet Magnus ou la force centrifuge de portance (angl. : lift due to centrifugal force).
8
Selon Cheng & Chiew [12], la distribution de la vitesse instantanée suit une loi
normale.
27
Fig. 2.6 – Relations entre probabilité de mise en mouvement et contrainte
adimensionnelle. D’après Wu & Chou [54]
2.7.3
Conclusion sur l’approche stochastique
L’approche stochastique permet de déterminer des débits solides avec une
bonne précision à proximité du début de mouvement alors que les formulations fondées sur d’autres approches sont en général inadaptées dans de telles
conditions (Kleinhans & van Rijn [27]).
Plus haut, nous présentions les limitations des formules semi-empiriques.
Partant du principe que cet échec était dû à une description trop ”grossière”
du charriage, une description mécaniste à l’échelle de la particule a été développée. Cette approche est celle de Maxey & Riley, bien que ces auteurs
n’aient pas travaillé sur le transport solide en cours d’eau.
2.8
2.8.1
L’approche mécaniste à l’échelle de la particule
L’approche de Maxey & Riley
Introduction
Maxey & Riley [34] ont proposé une équation du mouvement d’une
sphère rigide dans un écoulement fluide non permanent et non uniforme.
Leur travail n’est pas directement proposé pour l’étude du transport solide9 .
Mais cette approche mécanique à l’échelle de la particule a depuis été utilisée
par d’autres auteurs dans le cadre de cette problématique (Wiberg & Smith
[53], Niño & García [36], Schmeeckle & Nelson [44]).
Présentation de l’approche de Maxey & Riley
Il s’agit d’étudier le mouvement d’une sphère rigide, localisée à la position
−−→
Y (t), dans un écoulement d’un fluide newtonien, incompressible, de densité
−−−
−
−→
−−
→
uniforme, de vitesse v(x(t)t) non uniforme et non permanente. La difficulté
9
Dans leur article, Maxey & Riley [34] présente une étude générale de mécanique
des fluides. Ainsi, cette démarche est utilisée dans d’autres disciplines, par exemple en
dynamique des gaz par van der Geld [50].
28
vient du fait que la présence de la sphère modifie localement le champ de
−−−
−
−→
−−
→
vitesse uniforme u(x(t)t) du fluide qui existerait en son absence.
Equation du mouvement
−−−
−
−→
−−
→
Les conditions vérifiées par la vitesse v(x(t)t) du fluide sont les suivantes
(théorèmes de la quantité de mouvement et de conservation de la masse) :
ρ(
→
∂−
v
→
→
−
→
+−
v .∇−
v ) = ρ→
g − ∇p + µ∇2 −
v
∂t
−
∇.→
v =0
(2.24)
(2.25)
Avec les conditions aux limites suivantes :
→
− −
→
→
– sur la sphère (même vitesse pour la sphère et le fluide) : −
v = V +Ω×
−−→
→
[−
x − Y (t)]
−−→
→
– lorsque |−
x − Y (t)| → ∞ (c’est-à-dire hors de la zone d’influence de la
−−→
−−→ −−−
−−→
sphère) : v(−
x , t) = u(→
x , t)
−−→ −−→
où V (t) et Ω(t) sont respectivement les vitesses de translation et de rotation de la particule.
Le fluide étant newtonien, son comportement est régi par la loi suivante :
σij = −pδij + µ(
∂vi
∂vj
+
)
∂xj ∂xi
(2.26)
Le mouvement de la particule est régi par l’équation suivante (théorème
de la quantité de mouvement) :
mρ
I
dVi
= mρ gi +
σij nj dS
dt
S
(2.27)
La difficulté de résolution du problème provient de l’évaluation du tenseur
des contraintes du fluide. Pour résoudre cela, Maxey & Riley effectuent
−−−
−−→
une décomposition de la vitesse v(→
x , t) du fluide en deux parties : la vitesse
−−−
−−→
→
u( x , t) qu’aurait le fluide en l’absence de la sphère et la partie complémentaire. En introduisant cette décomposition dans les équations précédentes et
à partir de considérations dynamiques, Maxey & Riley parviennent à exprimer, à l’aide d’approximations (notamment en se plaçant dans le cas d’un
faible nombre de Reynolds particulaire), l’ensemble des forces agissant sur la
particule, obtenant ainsi l’équation finale du mouvement de la sphère (non
présentée ici).
29
2.8.2
Modélisations du charriage fondées sur l’approche
mécaniste à l’échelle de la particule
Introduction
Plusieurs travaux ont été effectués en transport solide selon l’approche
mécaniste à l’échelle de la particule. Le transport solide par charriage étant un
phénomène dense, les auteurs utilisent, en plus d’une équation de mouvement
de type Maxey & Riley, une équation de choc pour prendre en compte
les collisions entre particules (ainsi qu’entre la particule et le fond). Ainsi,
Wiberg & Smith [53], Niño & García [36], ainsi que Schmeeckle &
Nelson [44], ont mis au point des modèles selon cette démarche. Ces modèles
permettent non seulement de proposer des formules de débit solide, mais aussi
de présenter les trajectoires des particules, ce qui est très intéressant pour
acquérir une meilleure compréhension du phénomène de charriage.
Les forces en jeu
La difficulté principale de cette approche est d’établir la liste des forces
régissant le mouvement de la particule dans l’écoulement d’eau et surtout
de savoir lesquelles parmi ces forces sont négligeables et lesquelles ne le sont
pas10 . Selon les auteurs, les forces prises en compte, ainsi que leurs expressions, diffèrent. Nous nous contenterons de présenter l’équation proposée en
dynamique des gaz par van der Geld [50] :
−
→
dV
−→ −−→ −
→ −
→ −−→ −
→
m
= FW + FAM + FD + FL + FP G + FB
dt
(2.28)
où :
−→
−
– FW = (m − mf )→
g est le poids déjaugé de la particule,
−
→
−
→
−−→
U − d V ) est la force de masse ajoutée,
– FAM = mf CAM ( DDt
dt
−
→
– FD est la force de traînée. En général, on utilise une expression expérimentale faisant intervenir un coefficient de traînée CD . Par exemple :
−
→
−
→ −
→ −
→ −
→
FD = CD πd2 ρ 18 ( U − V )| U − V |
−
→
– FL est la force de portance. On utilise une formulation analogue à la
force de traînée en introduisant un coefficient CL (l’effet Magnus, dû
à la rotation de la particule et qui joue un rôle de portance également,
−
→
−
→ −
→ −
est ainsi ”intégré” dans ce coefficient) : FL = CL mf ( U − V )×→
w
10
Voir Niño & García [36] pour l’influence des forces d’histoire de Basset et de
Magnus (force additionnelle de portance)
30
−
→
−−→
U est la force de gradient de pression (angl. : pressure
– FP G = mf DDt
gradient force),
−−→
R dU (τ )
√
−
→
1
– FB = 23 d2 πρµ 0t ( dt − dVdt(τ ) ) √t−τ
dτ est la force d’histoire de Basset.
est la dérivée totale par rapport à un élément fluide, dtd la dérivée totale
par rapport au centre de la particule. CAM est le coefficient de masse ajoutée
→
−
−
→
(0.5 pour une sphère). V est la vitesse de la particule et U est la vitesse du
fluide en l’absence de la sphère, selon l’approche de Maxey & Riley.
D
Dt
2.9
Conclusion sur l’étude bibliographique
Cette étude bibliographique avait pour but de présenter un large éventail
des différentes approches du charriage ainsi que de l’évolution des recherches
dans ce domaine. Aucune des approches présentées n’a été étudiée en détail
dans le cadre de ce rapport et les équations et formules proposées ne doivent
être perçues que comme des illustrations des démarches présentées. On retiendra en conclusion que le charriage est un phénomène complexe qui peut être
étudié à plusieurs échelles allant de l’échelle globale (échelle du cours d’eau
ou du tronçon de cours d’eau aboutissant à des formules semi-empiriques
globales) à l’échelle ”microstructurelle” de la particule (aboutissant à des modèles fondés sur des bilans de forces et des lois de choc). Actuellement, ces
deux échelles sont étudiées au Cemagref dans le cadre d’un projet PNRH :
”étude multi-échelle du transport solide par charriage : effet d’une distribution d’une granulométrie étendue”. Dans le cadre de mon mémoire de DEA,
j’ai travaillé sur l’approche microstructurelle (échelle de la particule) à l’aide
d’un canal expérimental afin d’étudier le transport de particules solides par
charriage à forte pente. Le chapitre suivant présente le dispositif expérimental
utilisé durant mon stage de DEA.
31
Chapitre 3
Dispositif expérimental
3.1
Introduction
Fig. 3.1 – Photographie du dispositif expérimental. D’après Böhm [8].
Le canal expérimental utilisé durant mon stage (f ig. 3.1) a été construit à
l’occasion de la thèse de Bigillon [10] en 1998 au Cemagref de Grenoble.
Ce dispositif permet d’étudier les mécanismes du charriage torrentiel à l’aide
d’un système modèle. Depuis, de nombreuses modifications ont été apportées
afin de pouvoir poursuivre l’étude de ce phénomène. Cette partie présente
le dispositif expérimental tel qu’il a été utilisé durant mon stage de DEA
(f ig. 3.1 et 3.2).
3.2
Le canal expérimental
Fig. 3.2 – Schéma du dispositif expérimental. D’après Böhm [8].
3.2.1
Le canal
Le canal (voir f ig. 3.1), d’une longueur de 2 m, est constituée de deux
parois de verre d’épaisseur 10 mm séparées par un fond métallique amovible
32
(plusieurs exemplaires différents ont été usinés). L’étanchéité du fond est assurée par une bande de caoutchouc collée sous le fond du canal et par des
bandes de papier placées entre le fond et les parois. La largeur est réglable
selon le nombre de fonds que l’on décide d’installer côte à côte : un fond : 6.5
mm, deux fonds : 12.7 mm... Dans le cadre de nos expériences, la largeur est
réglée à 12.7 mm alors qu’elle était de 6.5 mm dans le cadre des travaux de
Böhm [8]. L’ensemble du canal est maintenu par une armature en acier permettant de régler la pente jusqu’à et 20 %. Dans le cadre de nos expériences,
nous avons fait fait varier la pente entre 7.5 et 15 %. Un seuil, de hauteur
réglable, est placé à l’aval du canal pour permettre la constitution d’un lit
de billes.
3.2.2
Le débit liquide
L’alimentation en eau se fait au moyen d’un réservoir à charge constante.
Le débit peut être réglé à l’aide d’une vanne. Un débitmètre, placé juste à
l’amont du point d’introduction de l’eau dans le canal par un tuyau, permet
la mesure du débit (compris entre 10−5 m3 /s et 2 × 10−4 m3 / ±10−6 m3 /s).
L’incertitude est de 10−3 L/s, ce qui correspond à une incertitude relative
inférieure à 7 % pour le plus petit débit mesuré dans les expériences du
chapitre 5 (et 0.5 % pour le plus grand). En sortie de canal, l’eau est récupérée
dans un bassin d’environ 0.5 m3 dans lequel une pompe est utilisée pour
alimenter le réservoir à charge constante cité plus haut. Le circuit d’eau est
donc un circuit fermé. Le débit liquide de nos expériences varie dans la plage
[0.015 ; 0.200 L/s] (chapitre 5).
3.2.3
Le débit solide
Le matériau solide est constitué de billes de verre de taille uniforme (diamètre : 6 mm) et de masse volumique 2.5 × 103 kg/m3 . L’apport de billes
dans le canal se fait à l’aide d’un distributeur (f ig. 3.3) : une roue dentée
(comprenant 20 encoches, chaque encoche contenant la place pour une bille)
mise en rotation à l’aide d’un dispositif constitué d’un moteur (vitesse de
rotation réglable) et d’une poulie (trois tailles différentes). Les fluctuations
de vitesse de ce dispositif par rapport à la vitesse moyenne sont de l’ordre
de 5 % à l’échelle de la dent (f ig. 3.4) mais aucune dérive à long terme n’a
été constatée. Le débit solide peut être réglé entre 5 et 25 billes/s environ,
la mesure de sa vitesse moyenne se faisant au chronomètre en comptant le
nombre de tours de la roue dentée avec une incertitude d’environ 1 % pour
les faibles débits solides et inférieure à 5 % pour les plus importants. Les
billes sont récupérées en sortie de canal à l’aide d’un tamis.
33
Fig. 3.3 – Photographie du distributeur. D’après Böhm [8].
3.3
3.3.1
L’acquisition d’images
L’éclairage
Un éclairage constitué de quatre spots de 50 W et de tension 12 V , alimentés en courant continu pour constituer une lumière stable, est placé sur
un côté du canal. Entre ce dispositif et le canal, un diffuseur constitué d’une
plaque blanche légèrement transparente, permet une répartition uniforme de
l’éclairage sur la zone d’observation.
3.3.2
La caméra
L’acquisition d’images se fait à l’aide d’une ou plusieurs caméras Pulnix
progressive scan TM-6705AN. Dans la configuration habituelle, la caméra
est placée à environ 1 m du canal, de l’autre côté de l’éclairage pour pouvoir
filmer les billes par ombroscopie. Ainsi positionnée, la caméra utilisée en mode
”balayage partiel” 1 permet l’acquisition d’images de taille 640X160 pixels
(correspondant à une zone d’environ 25 cm sur 8 cm) à une fréquence de 130
images/s environ.
3.4
Protocole expérimental
– On règle la pente du canal. Il faut distinguer la pente des billes (c’est
celle que l’on souhaite connaître) de la pente du canal (c’est celle que
1
La réduction du nombre de lignes de l’image permet d’atteindre un nombre d’images
par seconde plus élevé pour la même bande passante.
34
vitesse de rotation du distributeur (tr/min)
42
40
38
0
10
20
te m ps (s)
Fig. 3.4 – Vitesse de rotation du distributeur au cours du temps (mesurée
par comptage du passage des dents de la roue devant un capteur).
–
–
–
–
l’on mesure). La pente du canal est mesurée à l’aide d’un réglet par
différence de hauteur entre deux points de l’armature du canal distants
d’un mètre (incertitude absolue sur la mesure : 0.1 %). La détermination de l’équilibre dynamique consiste ensuite à s’assurer que la pente
des billes est la même que celle du canal, la principale difficulté étant
de pouvoir déterminer à l’œil une ligne de fond moyenne. Pour cela, on
mesure la hauteur du lit en différents points de l’écoulement. L’incertitude est d’environ un rayon de bille (3 mm) sur un mètre. L’incertitude
globale absolue sur la pente des billes est donc inférieure à 0.5 %.
On place la caméra selon un axe perpendiculaire au canal. On vérifie
cela à l’aide d’un parallélépipède placé sur la paroi du canal : on s’assure
que ses tranches soient le moins visibles possible au centre de l’image
filmée (f ig. 3.5).
On incline la caméra de telle sorte que la ligne horizontale de l’image
filmée soit parallèle aux lignes d’une mire placée dans le canal (f ig. 3.6).
On fait l’acquisition d’une image de la mire pour calculer l’échelle
(f ig. 3.6) : environ 0.0380 cm/pix.
On place un seuil à l’aval du canal afin de permettre la constitution
d’un lit. La hauteur du lit de billes intervenant sur les variables d’équilibre (chapitre 5), on choisit une taille de seuil de façon à avoir un
35
Fig. 3.5 – Vérification de la perpendicularité de l’axe de la caméra par rapport au canal. D’après Böhm [8].
Fig. 3.6 – Mire permettant de s’assurer de l’inclinaison de la caméra et de
calculer l’échelle des images.
lit constitué sur la hauteur de deux à trois billes. La hauteur de seuil
nécessaire pour cela dépend des conditions. En général, il s’agit d’un
seuil de 20 mm de haut.
– On règle le débit solide à la valeur souhaitée (changer de poulie si
nécessaire). Pour cela, on mesure à l’aide d’un chronomètre la durée de
la roue dentée pour effectuer 40 tours.
– On règle le débit liquide à l’aide de la vanne de façon à obtenir l’équilibre dynamique. L’équilibre dynamique est considéré atteint lorsque la
pente du lit de billes égale la pente du canal. Afin de vérifier l’uniformité de la hauteur du lit sur l’ensemble du canal, on utilise des niveaux
scotchés sur les parois et un réglet, l’observation à l’oeil de l’ensemble
du lit fournissant une première idée. Il faut préciser que si la détermination approximative de l’équilibre est très simple, sa détermination
présise est assez subjective et dépend fortement des critères choisis. Le
temps d’établissement de l’équilibre dépend des conditions de l’expérience mais il est en général inférieur à 10 minutes. Une fois l’équilibre
atteint, on lit la valeur du débit liquide sur le débitmètre et on mesure à nouveau le débit solide pour vérifier qu’il n’y a aucune dérive du
distributeur.
36
– On fait l’acquisition des images souhaitées.
– On note toute remarque particulière concernant l’expérience.
3.5
L’analyse d’images
Les images acquises par la caméra sont des images au format ”.tif” d’environ 120 ko. Pour leur traitement, nous avons utilisé le logiciel Wima développé au laboratoire TSI de l’Université Jean Monnet de Saint-Etienne avec
qui une collaboration très fructueuse est établie. En plus de mettre à disposition de l’utilisateur les outils classiques de traitement d’images, ce logiciel
peut être développé en language C++ et ainsi être enrichi de nombreuses
fonctionnalités supplémentaires adaptées à nos besoins. Les outils d’analyse
d’images utilisés durant mon stage sont présentés dans le chapitre 4.
37
Chapitre 4
Outils d’analyse d’images
4.1
Introduction
La grande force de la thèse de Böhm [8] (même dispositif expérimental
mais largeur de 6.5 mm alors que nous travaillons en canal de largeur 12.7
mm) est la détermination du débit solide ”instantané” 1 tous les 1/130 s.
Cette mesure repose sur la détection de toutes les billes image par image
et sur la détermination des vecteurs déplacements entre deux images, ce qui
permet d’accéder à la vitesse de chaque bille à chaque instant. Le débit solide
instantané est alors obtenu par sommation de ces vitesses ui sur l’ensemble
de la fenêtre d’observation (de longueur L), selon l’eq. 4.1 :
ṅ =
N
1X
ui
L i=1
(4.1)
Dans le cas d’un canal plus large (12.7 mm), la détection des billes est plus
difficile, comme le montre la f ig. 4.1. Il y a en effet de la place pour environ
deux billes (diamètre : 6 mm) dans le sens de la largeur. Au cours de mon
stage, je n’ai pas réussi à développer d’algorithme de détermination du débit
solide instantané dans cette nouvelle configuration. La démarche que j’ai
suivie est toutefois présentée ci-dessous. Les autres grandeurs caractéristiques
de l’écoulement - la hauteur d’eau, la vitesse - sont déterminées par d’autres
algorithmes d’analyse d’images que j’ai développés et qui sont également
présentés ci-dessous.
1
Böhm a ainsi mis en évidence de très fortes fluctuations du débit solide instantané
(chapitre 2.
38
Fig. 4.1 – Comparaison entre des images obtenues en canal de largeur 6.5
mm (en haut) et de largeur 12.7 mm (en bas).
4.2
4.2.1
Débit solide instantané
Problématique
La détermination du débit solide instantané repose sur deux étapes fondamentales :
– la détection des billes : il faut être capable de repérer l’ensemble des
billes mobiles (c’est-à-dire qui participent au débit solide). La difficulté
de cette étape vient du fait qu’à l’exception de celles qui sont en saltation, les billes constituent un amas assez compact dont il est difficile
de déterminer les contours avec précision. D’autre part, l’observation
du canal par un côté fait qu’une partie des billes est cachée.
– le tracé du déplacement de chaque bille entre deux images : il faut
pour cela être capable de suivre une bille d’une image sur l’autre. La
difficulté vient du fait que toutes les billes sont identiques et que de
nombreuses trajectoires se croisent.
4.2.2
Algorithme de détermination du débit solide instantané
On cherche à déterminer le débit solide à chaque instant. Pour cela, on
utilise deux images consécutives (f ig. 4.3). A l’aide d’une fonction spécifique
du logiciel Wima (RechercheMotifR), on balaye l’ensemble de la première
image à l’aide d’un modèle de bille (f ig. 4.4). Les centres des billes détectées
correspondent aux maxima de corrélation. On place alors sur chaque centre
de bille détectée une fenêtre (f ig. 4.5) à l’intérieur de laquelle on va effectuer
39
Fig. 4.2 – Interface du logiciel de traitement d’images Wima du laboratoire
TSI de Saint-Etienne.
un calcul de corrélation2 sur la seconde image. La taille des fenêtres que l’on
place sur chaque centre de billes (30 pixels) est choisie de façon à contenir
sur la seconde image la même bille à l’instant suivant. Cependant, la fenêtre
ne doit pas être trop grande pour éviter les confusions avec les autres billes.
Le vecteur déplacement de chaque bille s’obtient alors par différence entre les
deux positions déterminées3 (f ig. 4.6). Sa composante horizontale correspond
au déplacement entrant en compte dans le calcul du débit solide (eq. 4.1). Elle
s’obtient par extraction de contours sur l’image des vecteurs déplacements.
4.2.3
Echec de la détermination du débit solide instantané
Au niveau de la détection, cet algorithme, s’il ne permet pas de repérer
l’ensemble des billes situées dans le lit, permet au moins de détecter la quasi2
Cette technique de recherche est similaire à la PIV (Particle Image Velocimetry).
L’ensemble de ces opérations est regroupé dans la macro DetectMouvBilles3 présentée
à l’annexe 7.1.1
3
40
Fig. 4.3 – Deux images consécutives (décalage temporel de 1/130 s environ).
L’écoulement va de la droite vers la gauche.
Fig. 4.4 – Modèle utilisé pour la détection des billes (agrandi).
Fig. 4.5 – Billes détectées à l’aide de la fonction Wima RechercheMotifR.
41
Fig. 4.6 – Vecteurs déplacements entre les deux images de départ (vecteurs
multipliés par 10).
totalité des billes en saltation et environ les 2/3 des billes de la première
couche du lit. Par contre, le tracé des vecteurs déplacements pose beaucoup
plus de difficultés : les billes étant très entassées, de nombreuses trajectoires
se croisent, ce qui rend la recherche des déplacements hasardeuse. En effet,
plusieurs billes - parmi lesquelles la bille suivie - se situent à l’intérieur de
chacune des fenêtres de détection. Le problème est qu’il n’existe pas de critère
précis pour repérer la bille suivie.
Si la détermination du débit solide instantané s’avère un échec, les algorithmes développés dans cette optique pourront, en étant adaptés, être
utilisés dans le cas de l’étude la granulométrie étendue (chapitre ??).
4.3
4.3.1
Vitesse moyenne de l’écoulement
Problématique et objectifs
Dans le cadre des travaux antérieurs effectués sur ce dispositif expérimental
(Böhm [8]), la vitesse moyenne de l’écoulement U était calculée à partir du
débit liquide QL et de la hauteur d’eau h selon la formule : U = QL /h.
Cependant, la notion de hauteur d’eau étant très difficile à apprécier dans
le cas d’un ”fond mobile” (quelle référence choisir pour le fond du canal ?),
on a cherché à mettre au point une méthode de mesure indépendante. Cette
méthode devra répondre à trois exigences fondamentales :
– être non faussée : vérifier la véracité des hypothèses faites et éviter
toute interaction entre le phénomène observé et la méthode de mesure
(les dimensions du canal étant très petites et des billes étant en général présentes sur toute la hauteur de l’écoulement, aucune méthode
intrusive ne sera utilisée).
42
– être suffisamment précise : l’incertitude de mesure doit être la plus
faible possible.
– être facile à mettre en oeuvre.
4.3.2
Description de la méthode retenue
La méthode retenue consiste à injecter une faible quantité de ”traceur”
(encre de Chine) dans l’écoulement et à déterminer à l’aide d’une caméra
le temps de passage du pic de concentration entre deux positions afin d’en
déduire la vitesse moyenne de l’écoulement.
Protocole expérimental
– injection à l’aide d’une seringue d’une goutte d’encre de Chine diluée
(degré de dilution à adapter à chaque expérience) en amont de la fenêtre
d’acquisition ; la distance d’injection dépend des conditions expérimentales : elle est choisie pour assurer une diffusion de l’encre sous toute
la hauteur de l’écoulement ; elle est comprise entre 10 et 50 cm selon
les caractéristiques de l’expérience.
– acquisition à l’aide d’une caméra à la fréquence de 129 images/s des
images du passage du nuage d’encre,
– détermination de la différence de temps de passage t2 − t1 des pics de
concentration entre les extrémités amont x1 et aval x2 de la fenêtre
d’acquisition (f ig. 4.7).
Détermination du pic de concentration
On place deux fenêtres de contrôle : l’une à l’amont et l’autre à l’aval des
images de la séquence obtenue (f ig. 4.8). La détermination de l’instant de
passage du pic de concentration se fait alors soit en calculant la moyenne
des niveaux de gris soit en déterminant le pixel maximum4 sur chacune des
deux fenêtres. Si l’utilisation du maximum supprime une bonne partie du
bruit dû à la présence de billes dans l’écoulement (ce qui peut empêcher la
détermination précise du pic), elle nécessite également de choisir une fenêtre
de taille assez réduite pour ne pas que le pixel retenu soit situé à l’extérieur du
nuage d’encre (c’est particulièrement difficile à obtenir lorsque la surface libre
est très fluctuante). Dans les deux cas, le pic de concentration correspond au
minimum de la courbe du niveau de gris (f ig. 4.9).
Choix de la méthode
4
Le niveau de gris est compris entre 0 et 255, 0 correspondant au noir et 255 au blanc.
43
niveau de g ris (pixel)
250
200
150
100
p ic o b ten u s u r la fen ê tre a m on t
50
pic o bt en u s ur la f en êt re a v al
d u rée d e pa s s a ge d u pic
0
1 .5
2.0
2.5
3.0
3 .5
4.0
te m p s (s)
Fig. 4.7 – Détermination de la différence de temps de passage des deux pics
(expérience F10-10). Méthode du maximum.
Fig. 4.8 – Détermination de l’instant de passage du pic de concentration dans
les deux fenêtres (expérience F10-10). L’écoulement va de droite à gauche.
44
niveau de gris (pixel)
250
200
150
100
50
m a xim um
m o ye nn e
0
2
3
4
tem p s (s)
Fig. 4.9 – Courbes de niveau de gris obtenus sur une fenêtre ; comparaison
entre la méthode de la moyenne et la méthode du maximum.
Selon les circonstances, on choisira la 1ère ou la 2ème méthode :
– la moyenne lorsque la hauteur d’eau sera importante : dans ce cas, le
bruit dû aux billes présentes dans l’écoulement sera facilement identifiable sur la courbe (c’est le cas de la f ig. 4.9),
– le maximum pour les faibles hauteurs d’eau : dans ce cas, les billes en
saltation occupant pratiquement toute la hauteur de l’écoulement, elles
conduirait à une moyenne complètement faussée.
En pratique, le choix de la méthode se fait le plus souvent au cas par cas.
Calcul de la vitesse moyenne de l’écoulement
On calcule la vitesse moyenne de l’écoulement selon la relation :
U=
x2 − x1
t2 − t1
(4.2)
L’incertitude de la méthode est essentiellement due à la détermination du
pic5 , c’est-à-dire sur la durée t2 − t1 : cette incertitude est déterminée par
5
L’incertitude sur les positions x1 et x2 est beaucoup plus faible ; c’est le rapport de la
largeur des fenêtres amont et aval choisies sur la taille de l’image, soit environ 1.5 % si on
choisit des fenêtres de 10 pixels de large.
45
lecture sur les courbes de concentration (assez faible pour la fenêtre amont
où le nuage est peu diffus, assez importante pour la fenêtre aval où le nuage
est en général très étalé). Elle est en général comprise entre 10 et 20 % mais
peut être beaucoup plus importante (65 % pour m’expérience F7-24) si la
dilution de l’encre et la distance d’injection sont mal choisies. Ainsi, si au
niveau de la fenêtre d’acquisition le nuage d’encre est trop dilué, alors le
pic de concentration sera difficilement repérable en raison de la présence de
nombreuses petites particules sombres dans l’encre. Si au contraire l’encre
est trop peu diluée, alors le niveau de gris sera saturé et le pic aura la forme
d’un plateau.
4.3.3
Justification de la méthode
Hypothèses
– Première hypothèse : sur une zone restreinte des images acquises par
caméra, le niveau de gris est proportionnel à la concentration en encre.
Cette hypothèse est justifiée par l’utilisation d’un éclairage stabilisé
(courant continu).
– Deuxième hypothèse : malgré la présence des billes au sein de l’écoulement, le déplacement de l’encre est régi par un comportement de type
convection-dispersion. Cette hypothèse est justifiée par l’observation
du nuage d’encre au cours du temps.
Considérations théoriques
Le déplacement du nuage est régi par une équation de convection-dispersion
en régime turbulent. Une fois les diffusions verticale et transversale achevées6 ,
le comportement du traceur est régi par l’équation 1D suivante (Graf & Altinakar [21]), dans laquelle C est la concentration en encre, t le temps, x la
coordonnée d’espace (direction de l’écoulement) et Kx le coefficient de dispersion dans la direction de l’écoulement (du à la turbulence essentiellement) :
∂C
∂ 2C
∂C
+U
= Kx 2
∂t
∂x
∂t
(4.3)
La principale difficulté est de déterminer la longueur de mélange, c’est-àdire la distance à partir de laquelle on peut utiliser l’équation précédente.
Selon Cao [11], cet état n’est jamais atteint dans le cas de son dispositif
6
C’est-à-dire lorsque la concentration devient uniforme latéralement et verticalement,
indépendamment de la configuration géométrique de la source (Cao [11]). On parle de
”longueur de mélange”.
46
expérimental constitué d’un canal de longueur 14 m et de largeur 0.50 m.
Dans le cas de notre dispositif expérimental aux dimensions beaucoup plus
réduites (longueur d’environ 2 m, largeur 12.7 mm), il apparaît à l’œil que le
mélange est achevé au bout d’environ 10 cm pour la plupart des écoulements
(pour certaines expériences, notamment celles à pente 7.5 %, la longueur
est plus grande ; l’injection d’encre sera alors effectuée plus en amont de la
fenêtre d’observation : à 30 cm ou à 50 cm). Une fois le mélange achevé,
la concentration est donnée par l’expression analytique suivante (Graf &
Altinakar [21] pour une injection uniforme sur la section du canal), où A1
et A2 sont des constantes (A2 = 4Kx ) :
C(x, t) = A1 exp[−
(x − U t)2
]
A2 t
(4.4)
En un point donné x, le temps t de passage du pic de concentration (maximum) depuis l’injection est donné par l’équation suivante :
−2Kx t + x2 − U 2 t2 = 0
(4.5)
En combinant les eq. 4.5 obtenues pour chacun des points d’observation x1
et x2 du nuage et en supposant Kx constant, on obtient l’expression suivante
pour la vitesse moyenne de l’écoulement U , où t1 et t2 sont les temps de
passage du pic en respectivement x1 et x2 :
U=
v
u x2
2
u 1 − x2
t t1
t2
t1 − t2
(4.6)
Considérations expérimentales
L’eq. 4.6, si elle est juste, n’est cependant pas très pratique à utiliser car il
faudrait connaître précisément les temps de passage des pics depuis l’injection
(ce qui nécessite l’utilisation d’une caméra supplémentaire pour déterminer
l’instant d’injection) alors qu’il est plus simple expérimentalement de mesurer
la durée t2 −t1 (différence de temps), ce qui ne nécessite qu’une seule caméra.
1
, strictement valable lorsque la dispersion est
L’équation simplifiée U = xt22 −x
−t1
négligeable, serait plus simple à utiliser.
47
x1
x2
t1
t
s2
x2
x2
1− 2
t1
t2
t1 −t2
2Kx
U 2 t2
2Kx
U 2 t1
x2 −x1
t2 −t1
U=
(m)
(m)
(s)
(s)
0.102
0.345
0.158
0.638
(m/s)
0.500
0.166
0.673
0.506
(m/s)
Tab. 4.1 – Résultats d’un test caractéristique de validation du protocole de
mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement : injection à 10 cm de la fenêtre
d’acquisition, encre diluée (1/4 d’encre), débit liquide QL = 0.0772 L/s.
Dans le cas des résultats du tableau 4.1, d’après les valeurs des expressions
et U2K2 tx1 , on peut simplifier l’expression théorique suivante :
2Kx
U 2 t2
q
x2 − x1
=
t2 − t1
U [t2 1 +
2Kx
U 2 t2
q
− t1 1 +
2Kx
]
U 2 t1
(4.7)
t2 − t1
en utilisant les développements limités adéquats suivants :
s
2Kx
Kx
'1 + 2
2
U t2
U t2
(4.8)
2Kx
Kx
Kx2
'1
+
−
U 2 t1
U 2 t1 2U 4 t1
(4.9)
x2 − x1
Kx2 t1
'U [1 +
]
t2 − t1
2U 4 t22 (t2 − t1 )
(4.10)
1+
s
1+
On obtient alors :
2
x t1
L’erreur commise est alors une surestimation voisine de 2U 4 tK2 (t
, c’est2 2 −t1 )
à-dire de l’ordre de 1 %7 , ce qui est tout à fait acceptable compte tenues des
incertitudes de détermination du pic (10-15 %). Ainsi, on obtient 0.506 m/s
à la place de 0.500 m/s pour les données du tableau 4.1.
7
Le fait d’utiliser une durée, c’est-à-dire une différence de temps, compense une partie
des erreurs commises sur chacun des deux temps : ainsi, les termes d’ordre 1 en Kx
s’annulent.
48
4.3.4
Bilan sur la mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement
Dans le but d’obtenir une mesure indépendante de la vitesse moyenne de
l’écoulement, nous avons mis au point une méthode de mesure par suivi d’un
nuage d’encre. Il s’agit d’une méthode utilisable même en présence d’un charriage important et permettant d’obtenir une précision de l’ordre de 10-20 %
lorsqu’on parvient à obtenir une dilution adéquate de l’encre au niveau de
la fenêtre d’acquisition. Pour être parfaitement validée, les résultats de cette
méthode devraient être comparés avec ceux d’une autre mais nous n’avons
trouvé aucune autre méthode qui soit adaptée à nos conditions expérimentales. Nous avons donc seulement comparé avec la valeur trouvée à l’aide du
débit et de la hauteur d’eau (partie 4.4).
4.4
4.4.1
Hauteur d’eau
Problématique
La hauteur d’eau est une variable classique en hydraulique. Si elle peut
paraître être une variable sans ambiguïté dans le cas d’un cours d’eau à fond
fixe et dont la surface est relativement calme, elle devient très difficile à apprécier dans le cas d’un torrent à lit mobile et dont la surface est sujette à
de nombreuses fluctuations. Dans le cas du dispositif expérimental du Cemagref, si la surface est sujette à de nombreuses fluctuations temporelles,
sa détermination apparaît tout de même sans aucune ambiguïté. Par contre,
le fond pose beaucoup plus de difficultés : quelle limite choisir entre le fond
et l’écoulement ? D’ailleurs, la notion de ”fond” a-t’elle réellement un sens
dans le cas d’un lit mobile ? Nous avons choisi la définition suivante pour
le ”fond” de l’écoulement : le fond est constitué de toutes les billes qui sont
immobiles à une échelle de temps fixée. L’algorithme de traitement présenté
par la suite a pour but de déterminer une hauteur d’eau moyenne : il s’agit
à la fois d’une moyenne temporelle (sur l’ensemble d’une séquence d’images)
et spatiale (sur l’ensemble de la fenêtre d’observation).
4.4.2
Analyse d’images
Images brutes
Pour déterminer la hauteur d’eau, on dispose de séquences d’images de
l’écoulement (f ig. 4.10) sur lesquelles on distingue très clairement les billes et
49
Fig. 4.10 – Images brutes de l’écoulement.
la surface libre. Les paragraphes suivants présentent les étapes de l’algorithme
de détermination de la hauteur d’eau.
1ère étape : séparation des billes de la surface libre
La première étape consiste à séparer les billes de la surface libre afin de
pouvoir déterminer les positions du fond et de la surface par des méthodes
adaptées à chacune d’entre elles. Pour cela, on dispose de séquences d’images
de l’écoulement (nous reviendrons plus tard sur le choix du nombre d’images
de la séquence). On seuille alors chacune des images constituant la séquence
brute à un niveau de gris8 de 128 afin d’obtenir seulement deux classes de
pixels. Après inversion et étalement des niveaux de gris, on dispose d’une
séquence d’images sur lesquelles les billes et la surface sont en blanc (niveau
de gris : 0) et le reste en noir (255) (première image de la f ig. 4.11). On
érode alors le blanc de 4 pixels (deuxième image) puis on le dilate de 6
pixels : la surface libre a ainsi été rognée (troisième image). Par multiplication
entre les deux séquences précédentes, on obtient une séquence sur laquelle ne
figurent que les billes (quatrième image). Par soustraction entre les séquences
correspondant aux quatrième et première images, puis étalement du niveau
de gris entre 0 et 255, on obtient une séquence sur laquelle la surface libre
apparaît seule en blanc (255) sur fond noir (0) (cinquième image). Les billes
et la surface libre ont ainsi été séparées.
2ème étape : détection de la surface libre moyennée dans le temps
On part de la séquence d’images obtenues dans l’étape précédente, sur
lesquelles ne figure que la surface libre (f ig. 4.11, cinquième image). On
cumule alors l’ensemble des images de cette séquence en une seule image (il
s’agit d’une moyenne arithmétique des niveaux de gris). On distingue alors
sur l’image résultat (f ig. 4.12, deuxième image) en noir tous les points de
l’image qui n’ont jamais été atteint par la surface et en différents niveaux de
8
Le niveau de gris d’une image ”octet” est compris entre 0 et 255, 0 correspondant au
blanc et 255 au noir.
50
Fig. 4.11 – 1ère étape : séparation des billes de la surface libre.
51
Fig. 4.12 – 2ème étape : détection de la surface libre moyennée dans le temps.
gris l’ensemble des points occupés par la surface à un instant de la séquence.
Après seuillage, dilatation et érosion (6 pixels) pour supprimer les points
isolés parasites, un amincissement permet d’aboutir à une courbe d’épaisseur
1 pixel correspondant à la surface libre moyennée dans le temps (troisième
image)9 .
3ème étape : détection de la ligne de fond
Le principe de la détermination du fond est assez similaire à la détermination de la surface libre. On fait ainsi tout d’abord le cumul des images
de la séquence correspondant aux billes seules (f ig. 4.11, quatrième image)
sur lesquelles les billes apparaissent en blanc (0). Après cumul puis seuillage
à un niveau de gris très légèrement inférieur à 25510 , il apparaît en blanc
les zones occupées par une bille d’une image sur l’autre sur l’ensemble de la
séquence11 (f ig. 4.13, deuxième image). Après érosion puis dilatation de 6
pixels (correspondant au diamètre des billes), on ne conserve que les billes
qui sont restées immobiles sur l’ensemble de la séquence (f ig. 4.13, troisième
image). La ligne de fond s’obtient alors en détectant la frontière noir-blanc
(cinquième image) sur une image sur laquelle on a comblé les trous noirs du
fond (quatrième image).
9
Les étapes 2 et 3 sont présentées dans la macro LignesFondSurface (annexe 7.1.2).
255 − 10−6 .
11
Cela ne signifie pas nécessairement que la bille n’a pas bougé mais seulement que
l’emplacement a été occupé par des billes tout au long de la séquence.
10
52
Fig. 4.13 – 3ème étape : détection du fond.
53
Fig. 4.14 – Ligne de fond et surface libre moyennée dans le temps.
Fig. 4.15 – Superposition de la ligne de fond et de la surface sur trois images
de la séquence brute (décalage temporel de 0.04 s environ entre chaque
image). L’écoulement va de la gauche vers la droite.
Détermination de la hauteur d’eau
En superposant les deux images obtenues lors des deuxième et troisième
étapes, on obtient une image sur laquelle figure à la fois la ligne de fond
et la surface libre (f ig. 4.14). On supprime alors une bande de 20 pixels sur
chaque côté de l’image obtenue afin de supprimer les ”effets de bord” parasites
(dus aux érosion et dilatation précédentes). On peut vérifier les lignes trouvées par superposition avec les images de la séquence brute (f ig. 4.15). La
hauteur d’eau moyennée sur l’ensemble de la fenêtre s’obtient alors par une
lecture de cette image grâce à un programme écrit sous Matlab (annexe 7.2,
chapitre 7).
54
Choix du nombre d’images de la séquence de départ
La hauteur d’eau obtenue par cette méthode dépend énormément du nombre
d’images de la séquence de départ choisie. En effet, à une grande échelle de
temps, les billes sont mobiles sur environ trois à quatre épaisseurs de billes
(voire plus) alors qu’à une échelle de temps plus faible , seule une partie des
billes de la première couche est mobile. Ainsi, cet algorithme aboutit à une
hauteur d’eau d’autant plus grande que la séquence de départ est grande
(jusqu’à une certaine limite) : on obtient par exemple pour l’expérience F1220’ (chapitre 5) une hauteur d’eau de 35 mm avec 10 images, 42 mm avec
50 images, 44 avec 100 et 52 avec 500.
Après réflexion, nous avons choisi de calculer la hauteur d’eau avec des
séquences de 10 images ; cette valeur a été choisie essentiellement par observation des résultats, la ligne de fond obtenue apparaissant comme la plus
proche de celle que l’on choisirait à l’œil. Prendre une séquence plus importante aboutirait à une ligne de fond située dans des zones où les billes et
l’eau sont peu mobiles ; prendre moins de 10 images aboutirait à des hauteurs
d’eau très dépendantes des images choisies. L’ordre de grandeur du seuil de
mouvement correspondant à 10 images est d’environ 0.02 m/s12 . En choisissant différentes séquences de 10 images d’un même écoulement, on constate
des différences de hauteur d’eau déterminée par l’algorithme en général inférieures à 3 pixels (soit un écart inférieur à 10 % pour une hauteur d’eau de
11 mm environ).
4.4.3
Incertitude sur la mesure de la hauteur d’eau
Comme présenté en introduction de ce chapitre, la hauteur d’eau est une
valeur très ambiguë à déterminer dans le cas d’un lit mobile car se pose la
question de la référence à choisir pour le fond. Si les résultats obtenus par
différentes méthodes sont généralement très proches lorsque la hauteur d’eau
est importante, ils deviennent très divergents lorsqu’elle est très faible (de
l’ordre du diamètre des billes). Dans de telles conditions, on peut se demander
si la hauteur d’eau est vraiment un paramètre pertinent de description de
l’écoulement. Cela est d’autant plus gênant que la hauteur d’eau intervient
dans le calcul d’indicateurs hydrauliques telles que le nombre de Froude.
Dans un premier temps, il serait déjà plus juste de parler de ”une” hauteur
12
Par observation des résultats de la méthode, on a constaté qu’une bille était supprimée
par l’algorithme de détermination de la ligne de fond si elle s’était déplacée de plus de 3 ou
4 pixels. Ce calcul est très approximatif. Il est néanmoins cohérent en ordre de grandeur
avec la valeur de 0.025 m/s retenue par Böhm [8]
55
d’eau puisqu’il apparaît que l’on peut choisir plusieurs définitions pour le fond
de l’écoulement : billes immobiles à une échelle de temps donnée (définition
temporelle, ce qui a été retenue ici), billes en contact avec le fond (définition
instantanée), etc.
4.5
Conclusion sur l’analyse d’images
Nous avons mis au point un protocole de mesure de la vitesse moyenne
de l’écoulement par injection d’encre dans l’écoulement et suivi du pic de
concentration par acquisition d’images : cette méthode, lorsqu’elle est utilisable, permet d’obtenir la vitesse moyenne de l’écoulement avec une précision
en général comprise entre 10 et 20 %.
Nous avons également développé un algorithme de détermination de la
hauteur d’eau par traitement d’images. Nous avons choisi d’utiliser pour cela
des séquences de 10 images : en choisir davantage aboutissait à une ligne
de fond très basse dans l’écoulement ; en choisir moins rendrait la hauteur
d’eau très dépendante des images choisies. Nous estimons que cet algorithme
donne de bons résultats lorsque le rapport hauteur d’eau sur diamètre des
particules h/d est suffisamment important, typiquement : h/d > 1.5.
Après comparaison des résultats sur les expériences pour lesquelles les deux
méthodes ont été utilisées, nous avons constaté que la vitesse calculée à partir
de la hauteur d’eau - déterminée par l’algorithme présenté ci-dessus - aboutissait à une valeur inférieure d’environ 10 % à celle obtenue par la méthode
de l’encre. Ceci militerait en faveur du choix d’une définition instantanée du
fond de l’écoulement (ce qui aboutirait à une hauteur d’eau plus faible) :
le fond à l’instant t serait par exemple constitué de l’ensemble des billes en
contact avec au moins une autre bille. Toutefois, l’incertitude sur la vitesse
obtenue par la méthode de l’encre étant d’environ 10-20 %, nous avons décidé
de conserver notre définition du fond : le fond est constitué de l’ensemble des
billes immobiles à l’échelle de temps de 10 images, c’est-à-dire 0.08 s environ.
CONCLUSION A REVOIR ! ! ! ! ! ! !
56
Chapitre 5
Résultats expérimentaux et
analyse
5.1
Introduction
L’objectif principal défini en introduction (chapitre 1) est le suivant : étudier l’effet des parois sur l’hydrodynamique et le charriage dans le canal. Un
deuxième objectif a été également formulé : étudier l’influence de la taille
du seuil aval sur l’équilibre dynamique. Afin de répondre à ces problématiques, nous avons procédé à une trentaine d’expériences. Ces dernières sont
présentées ci-dessous.
5.2
Tableau de l’ensemble des résultats
Le tableau 5.1 présente de façon synthétique l’ensemble des résultats obtenus en canal de largeur 12.7 mm lors de mon stage. Les résultats détaillés
ainsi que ceux obtenus par Böhm [8] se trouvent en annexe 5.16 (chapitre 7).
Noms des expériences
Les expériences sont nommées de la façon suivante : E correspond à une
expérience effectuée en canal de largeur 6.5 mm (Böhm [8]), F à une expérience effectuée en canal de largeur 12,7 mm. Le chiffre suivant cette lettre
indique la pente de l’expérience : 7 pour 7.5 %, 10 pour 10 %, 12 pour 12.5
%, etc. Enfin, le nombre suivant le tiret indique le débit solide en billes par
57
Pente (%)
qL (L/s)
n0 (billes/s)
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
7.5
0.0750 - 0.1969
8.4 - 25.6
1.2 - 1.7
13.7 - 26.2
0.43 - 0.60
7490 - 12210
1.17 - 1.34
2.3 - 4.3
2.2 - 4.1
10
0.0490 - 0.0971
8.2 - 25.3
1.9 - 3.8
9.4 - 14.3
0.37 - 0.51
5850 - 7540
1.06 - 1.39
1.6 - 2.4
1.5 - 2.2
12.5
0.0397 - 0.0457
11.4 - 19.4
3.2 - 4.8
9.1 - 11.4
0.30 - 0.37
4800 - 5600
0.91 - 1.22
1.5 - 1.9
1.4 - 1.8
15
0.0343 - 0.0388
19.0 - 24.4
6.3 - 7.1
10.4 - 10.5
0.26 - 0.29
4080 - 4630
0.81 - 0.92
1.7 - 1.8
1.6 - 1.7
Tab. 5.1 – Plages de variation des variables descriptives des expériences
menées en canal de largeur 12.7 mm.
seconde (arrondi à l’unité)1 . Ainsi, F7-15 correspond à une largeur de 12.7
mm, une pente de 7.5 % et un débit solide voisin de 15 billes/s.
5.3
5.3.1
Critique des résultats
Incertitudes sur les variables
Les incertitudes sur la pente, le débit liquide et le débit solide sont assez faibles, les imprécisions étant essentiellement dues à la détermination
de l’équilibre (paragraphe 5.3.3). Par contre, d’autres variables sont assez
imprécises. Ainsi, la hauteur d’eau h, si sa valeur est relativement précise
lorsque le rapport h/d est assez grand, présente une très grande incertitude
pour des valeurs de h/d inférieures à 1.5 (chapitre 4). La vitesse moyenne
de l’écoulement, calculée avec h, est assez imprécise (chapitre 4). Elle l’est
d’autant plus pour les faibles valeurs de h/d pour lesquelles la valeur de h
est très approximative. Les valeurs de Re et F r calculées également à partir
de h (et U , calculée avec h) présentent une forte incertitude dans le même
domaine que h. De même, tous les calculs effectués à partir de h présentent
une forte incertitude : c’est notamment le cas du coefficient de frottement f
de Darcy-Weisbach.
1
On distingue des expériences qui correspondraient au même nom au moyen d’une
apostrophe.
58
5.3.2
Conditions hydrodynamiques
Nombre de Reynolds
Dans toutes les expériences, le nombre de Reynolds est supérieur à 4000
(sauf pour les expériences E12-9, E15-16 et E15-21 pour lesquelles il est
légèrement inférieur à 4000). On a donc affaire à un écoulement turbulent.
Nombre de Froude
Le nombre de Froude est en général supérieur à 1, sauf pour quelques
expériences en canal élargi à forte pente (12.5 et 15 %). Il faut cependant
être prudent avec ces valeurs car ces expériences correspondent à de faibles
hauteurs d’eau dont la détermination est très imprécise. Remarquons néanmoins que la valeur de 0.81 obtenue pour l’expérience F15-19 est confirmée
par la présence d’un ressaut hydraulique assez marqué à l’amont du canal.
En régime subcritique - F r < 1 - les hauteurs d’eau déterminées ne correspondent pas nécessairement au régime uniforme en raison de l’influence
hydraulique aval. Le canal a en effet été conçu pour le régime supercritique
mais par souci d’exhaustivité, nous reportons les expériences obtenues en
subcritique.
5.3.3
Retour sur la détermination de l’équilibre
La détermination de l’équilibre est décrite dans le protocole expérimental
du chapitre 3. Il consiste à s’assurer que la pente formée par le lit de billes
est la même que celle du canal. Dans certaines expériences (F7-8 et dans une
moindre mesure F10-8, F10-23 et F10-25), cette vérification s’est avérée assez
difficile car le fond était vallonné, sans cependant que l’on observe de formes
de lit particulières (angl. : bedforms). L’équilibre a de ce fait été déterminé
à l’oeil en regardant l’ensemble du lit de billes dans tout le canal.
Enfin, la détermination de l’équilibre est rendue difficile par des phénomènes d’hysteresis. L’équilibre obtenu par érosion du lit (diminution de la
pente du lit) ne peut en général pas être atteint par constitution du lit (augmentation de la pente) : ceci met en évidence la protection des billes par ses
voisines (c’est le cas lors de l’érosion du lit) alors qu’une bille seule est plus facilement emportée par l’écoulement (constitution du lit). Cela était flagrant
dans les expériences F12-11, F12-14, F12-16 et F12-19. Les débit obtenus
selon le mode de constitution du lit peuvent ainsi être très différents.
59
7.0
débit liquide (L/s/m)
6.8
6.6
6.4
6.2
6.0
m ê m e p en te (10 % ),
m ê m e d éb it s o lid e (20 -2 0 .5 b ille s/s ),
m ê m e h au te ur d 'e a u (1 3 -1 4 m m ) .
5.8
5.6
20
40
60
h a u te u r d u s e u il a v a l (m m )
Fig. 5.1 – Evolution du débit liquide d’équilibre pour les expériences F1021’, F10-20 et F10-20’ en fonction de la hauteur du seuil placé à l’extrémité
aval du canal.
5.4
5.4.1
Influence du seuil aval
Introduction
Si en régime supercritique - F r > 1, comme dans la plupart des expériences effectuées - le canal n’est soumis à aucune influence hydraulique aval,
l’obstacle2 placé à la sortie aval du canal afin de permettre la constitution
d’un lit a très clairement une influence sur l’amont du dispositif : la plus
flagrante étant bien sûr le maintien d’un lit de billes.
5.4.2
Résultats
On a mené trois expériences avec le même débit solide (et à la pente 10
%) : l’une avec un seuil de 20 mm (F10-21 et F10-21’), l’autre avec un seuil de
40 mm (F10-20), la dernière avec un seuil de 60 mm de haut (F10-20’). Pour
chacune de ces expériences, le débit liquide est adapté de façon à obtenir un
équilibre dynamique.
2
Cet obstacle, constitué en plastique, est encastré entre les parois de verre à l’extrêmité
aval du canal.
60
5.4.3
Analyse
La f ig. 5.1 montre très clairement qu’à pente et débit solide fixés, le débit
liquide d’équilibre dynamique augmente avec la taille du seuil, la taille du
seuil étant directement liée à l’épaisseur du lit. Cette augmentation est très
importante : environ +10 % entre le débit du seuil de 20 mm et celui de 40
mm et entre le débit du seuil de 40 et celui de 60. On peut proposer deux
interprétations à cela :
– l’écoulement d’eau dans le lit de billes : on peut penser que les espaces
présents entre les billes du lit sont occupés par de l’eau en mouvement
à une vitesse suffisamment importante pour participer au débit liquide
mais beaucoup trop faible pour générer un débit solide conséquent. En
effet, les billes du fond du lit, maintenues plus fermement par leurs
voisines, sont beaucoup moins facilement mobilisables que les billes
présentes dans la première couche du lit. Cette interprétation trouve
écho dans le fait que la ligne de fond déterminé par l’algorithme du
chapitre 4 est d’autant plus basse qu’on prend un nombre important
d’images. Cela montre bien que les billes du fond sont elles-aussi mobiles
mais à une échelle de temps plus grande.
– la nature des chocs entre les billes de l’écoulement et les billes du lit : le
débit solide est généré d’une part par la force exercée par le fluide sur
les billes mais aussi d’autre part par les chocs des billes en mouvement
sur les billes immobiles du lit3 . On peut penser que ces chocs entre
billes en mouvement et billes du lit sont d’autant moins élastiques que
l’épaisseur du lit est importante. En effet, l’amortissement du choc est
d’autant plus grand qu’il y a d’épaisseurs de billes dans le lit. De ce
fait, les billes sont moins facilement entraînées, d’où la nécessité d’un
débit liquide plus fort pour arriver au même débit solide d’équilibre.
La première hypothèse est confirmée par l’estimation du débit d’infiltration : nous avons mesuré, pour une pente de 10 % et une largeur de 12.7
mm, le débit qui transitait dans un massif d’environ 2 à 3 couches de billes :
pour cela, nous avons réglé le débit liquide de telle sorte que la surface libre
coïncide avec la hauteur du seuil (débit ”affleurant”). Un écoulement souterrain de vitesse faible étant en effet régulé par la hauteur piézométrique, nous
pouvons en première approximation estimer que ce débit correspond au débit
d’infiltration. Nous avons mesuré : 0.0085 L/s. Il apparaît alors que ce débit
est loin d’être négligeable pour les débits liquides totaux inférieurs à 0.500
3
Lorsqu’on se situe dans la zone de début de mouvement, on constate ainsi qu’il suffit
qu’une bille soit mise en mouvement par le fluide pour qu’un groupe de billes soit ensuite
mobilisé par choc avec la première bille.
61
(écart d’environ 15 %).
5.4.4
Conclusion sur l’influence de la taille du seuil
Nous venons de mettre en évidence que la taille du seuil - responsable
de l’épaisseur du lit - influence très grandement l’équilibre dynamique en
augmentant le débit liquide pour un même débit solide. Conscient de cette
constatation et pour pouvoir comparer l’ensemble des expériences, nous avons
placé dans chacune de nos expériences un seuil de taille choisie de telle sorte
que le lit soit constitué d’environ 2-3 couches4 de billes. Cela correspond
généralement au seuil de 20 mm. Parfois, en raison de formes partiulières
du lit, nous avons du placer des seuils de 25 ou 27,5 mm pour obtenir cette
épaisseur de lit.
Remarque sur le calcul de la vitesse
Nous avons constaté que la hauteur d’eau était constante quelque soit la
taille du seuil (13-14 mm). On peut supposer que, le fond étant dans tous les
cas constitué de billes, la loi d’écoulement est la même quelque soit le seuil
et que donc, la vitesse est identique dans les trois configurations de seuil.
Or, la vitesse étant calculée par division du débit (en augmentation) par la
hauteur d’eau (constante), on obtient pour chacune de ces trois expériences
des vitesse calculées différentes (0.42, 0.46 et 0.51 m/s pour respectivement
F10-21’, F10-20 et F10-20’). Ceci met en évidence une limite du calcul de la
vitesse avec la hauteur d’eau lorsque le débit circulant dans le massif n’est
pas négligeable.
4
Déterminé à l’oeil.
62
5.5
5.5.1
Effet des parois - Influence de la largeur
Introduction
Classiquement, le rapport d’aspect 2h/L - double du rapport hauteur d’eau
sur largeur (Bigillon [10]) - est une grandeur négligeable devant 1, si bien
que le rayon hydraulique Rh 5 peut être approché par la hauteur d’eau h. Dans
le cas du dispositif expérimental du Cemagref, que ce soit en largeur 6.5 ou
12.7 mm, le rapport d’aspect est toujours supérieur à 1 ; il est même supérieur
à 12 dans l’expérience E7-11. Dans de telles conditions, nous pouvons nous
attendre à une (très) forte influence des parois. C’est cette influence que nous
proposons d’étudier au moyen des résultats expérimentaux et notamment du
rapport d’aspect 2h/L. Dans un premier temps, cette étude portera sur les
aspects hydrodynamiques ; dans un second temps, elle concernera le transport
solide. Enfin, nous proposerons des corrections du critère de Shields afin de
prendre en compte cette influence du rapport d’aspect.
5.5.2
Influence sur l’hydrodynamique
Evaluation du frottement
A l’échelle macroscopique, un écoulement est classiquement décrit par une
loi globale de type Darcy-Weisbach :
s
8
U
=√
f
gRh sinθ
(5.1)
où f est le coefficient de frottement6 . Rappelons que ce type de formulation est peu adaptée aux torrents (chapitre 2). De plus, cette formulation
suppose une rugosité uniforme sur l’ensemble du périmètre mouillé, ce qui
n’est précisément pas le cas pour le dispositif expérimental. Le coefficient
de frottement f permet cependant d’avoir une idée de la dissipation globale
d’énergie provoquée par la turbulence ainsi que la rugosité du fond et des
parois.
Sur la f ig. 5.2, nous avons tracé le coefficient f en fonction du rapport
d’aspect 2h/L. Le coefficient f a été calculé à l’aide notamment de la vitesse
moyenne de l’écoulement, obtenue par l’intermédiaire de la hauteur d’eau.
Nous constatons que si la majorité des points présentent des valeurs de f
Lh
.
Rh = L+2h
Lorsque 2h/L est grand devant 1, le rayon hydraulique peut être p
approché
p par L/2.
Dans ce cas, la vitesse de l’écoulement tend vers la vitesse limite U = 8/f gsinθL/2.
5
6
63
0.7
L = 6 .5 m m
L = 1 2 .7 m m
0.6
0.5
f
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
2
4
6
8
10
12
14
2 h /L
Fig. 5.2 – Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du facteur d’aspect 2h/L.
64
L =6.5 m m , I=7 .5%
L =6.5 m m , I=1 0%
L =12 .7m m , I= 7.5 %
L =12 .7m m , I= 10%
0 .22
0 .20
0 .18
0 .16
f
0 .14
0 .12
0 .10
0 .08
0 .06
0 .04
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2h /L
Fig. 5.3 – Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du facteur d’aspect 2h/L. Largeurs de 6.5 et 12.7 mm. Pentes de 7.5 et 10 %.
65
classiques pour un canal expérimental (de l’ordre de 0.05-0.1) un certain
nombre d’entre eux correspondent à des coefficients f très importants (>
0.4) c’est-à-dire des conditions très rugueuses (proches d’un torrent naturel).
En fait, ces points ”extrêmes” correspondent à de faibles rapports h/d, c’està-dire principalement les expériences effectuées en canal large à forte pente :
autrement dit, ceux dont nous savons qu’ils sont peu sûrs. De plus, la sousestimation de la vitesse moyenne obtenue par le calcul à l’aide de la hauteur
d’eau a tendance à sur-estimer f . Par la suite, nous proposons de supprimer
tous les points des expériences effectuées aux pentes 15 et 12.5 %, que ce
soit à la largeur 12.7 mm ou 6.5 mm7 . La f ig. 5.3 présente le coefficient
f en fonction du rapport d’aspect pour les expériences sélectionnées. Nous
constatons une grande variabilité des conditions de frottement - f varie de
0.04 à plus de 0.2, variabilité qui s’explique tout à fait par le rapport d’aspect
2h/L : globalement, f diminue avec 2h/L, autrement dit le frottement est
d’autant plus faible que le rapport d’aspect est grand.
Caractérisation du frottement
Les f ig. 5.5 et f ig. 5.4 permettent d’en apprendre davantage sur les pertes
d’énergie dans le canal. Nous constatons ainsi que celles-ci dépendent à la
fois du nombre de Reynolds Re et du rapport Rh /d selon un comportement
qualitatif similaire aux formules classiques de pertes de charge type Colebrook & White (eq 5.2, Graf & Altinakar [20]) : décroissance de f en
fonction de Re et croissance de f en fonction de kS /Rh 8 . Dans les deux cas,
l’influence de la largeur est flagrante : le canal étroit présente globalement
des coefficients de frottement f inférieurs au canal élargi.
s
1
kS /Rh
bf
√ )
= −2log(
+
(5.2)
f
af
Re f
où af et bf sont des coefficients empiriques compris respectivement entre 12
et 15, et 0 et 6.
Aucune expérience ne suit une loi complètement rugueuse (bf =0) bien
certaines expériences à 10 % et 12.7 mm soient assez proches de la loi suivante
(eq. 5.3) :
s
kS /Rh
1
= −2log(
)
f
15
7
(5.3)
A 6.5 mm, les valeurs du coefficient f sont de l’ordre de 0.1 mais les faibles valeurs
de h/d - parfois inférieures à 1 - incitent à laisser ces points de côté.
8
En première approximation, on choisit la valeur du diamètre d pour kS .
66
0 .4 0
0 .3 5
0 .3 0
L =6 .5 m m , I= 7 .5 %
L =6 .5 m m , I= 1 0%
L =1 2.7m m , I= 7.5%
L =1 2.7m m , I= 10 %
0 .5
(1/f) =-2 log (k S /R h /1 5)
f
0 .2 5
0 .2 0
0 .1 5
0 .1 0
0 .0 5
1 .2
1 .4
1.6
1 .8
2 .0
2.2
2 .4
d/R h
Fig. 5.4 – Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du rapport q
d/Rh .
Largeurs de 6.5 et 12.7 mm. Pentes de 7.5 et 10 %. Loi rugueuse f1 =
h
−2log( kSa/R
).
f
67
0 .2 4
L =6 .5 m m , I= 7.5 %
L =6 .5 m m , I= 10 %
L =1 2 .7 m m , I=7 .5%
L =1 2 .7 m m , I=1 0 %
0 .2 5
B la siu s : f=0 .3 1 64 /R e
0 .2 0
f
0 .1 6
0 .1 2
0 .0 8
0 .0 4
4 0 00
60 0 0
8000
1 0 00 0
12 0 0 0
1 4 0 00
Re
Fig. 5.5 – Coefficient f de Darcy-Weisbach en fonction du nombre de
Reynolds. Largeurs de 6.5 et 12.7 mm. Pentes de 7.5 et 10 %. Loi ”lisse”
de Bigillon [10].
68
Nous constatons par ailleurs que toutes les expériences présentent des coefficients f supérieurs à ceux obtenus selon la loi de Blasius (frottement turbulent lisse, eq. 5.4). les expériences à 7.5 % et 6.5 mm présentant néanmoins
des coefficients très faibles.
f=
0.3164
Re0.25
(5.4)
La quasi-totalité des expériences présentent donc un comportement turbulent mixte : ni complètement ”lisse” (f dépendrait uniquement du nombre
de Reynolds Re) ni complètement ”rugueux” (f dépendrait uniquement du
rapport rayon hydraulique Rh sur taille des aspérités ks ). Les coefficients de
Darcy-Weisbach sont néanmoins très étalés, laissant percevoir des comportements en terme de frottement assez variés.
Conclusion sur l’hydrodynamique du canal expérimental - effet des
parois.
Après avoir laissé de côté les expériences présentant des valeurs h/d faibles
(caractérisées par une grande incertitude sur la valeur de la hauteur d’eau),
nous avons constaté que le frottement dans le canal expérimental est très
varié (f varie de 0.04 à plus de 0.2), la plage du comportement turbulent
lisse au turbulent rugueux étant pratiquement balayée. L’effet des parois est
flagrant ; il intervient par l’intermédiaire du rapport d’aspect : plus 2h/L est
important, plus le frottement est lisse, c’est-à-dire plus le comportement se
rapproche de celui du verre (faible coefficient f ).
5.5.3
Influence sur le transport solide
Introduction
Nous venons de voir que la faible largeur du canal expérimental entraîne
une forte influence des parois sur l’écoulement dont il faut être conscient.
Voyons à présent quelle est l’effet des parois sur le transport solide.
Débit solide
Dans le but d’avoir une idée du comportement global du transport solide,
nous avons comparé les résultats expérimentaux avec la formule de Rickenmann [41], qui permet d’obtenir un ordre de grandeur du débit de charriage
connaissant le débit liquide. La formule de débit présentée dans le chapitre 2
69
prend en compte des débits par unité de largeur et s’écrit dans les conditions
expérimentales du canal de la façon suivante :
qS = 6.27(qL − qcr )tan2 θ
avec :
(5.5)
q
qcr = 0.128 gd3 tan−1.12 θ
(5.6)
La f ig. 5.6 présente la comparaison entre les valeurs mesurées et celles
calculées selon la formule de Rickenmann. On constate ainsi que la majorité
des résultats expérimentaux est cohérente avec cette formule (écart relatif
inférieur à 50 %) bien qu’il y en général toujours une surévaluation du débit
solide par la formule ; on constate une bonne concordance pour les expériences
en canal de 12.7 mm à la pente de 10 % (écart d’environ 15 %) et même une
très bonne concordance aux pentes de 12.5 et 15 %9 (écart de 5-10 % environ).
Par contre, les écarts pour les expériences en canal de 6.5 mm à la pente de
7.5 % sont tous supérieurs à 100 %, atteignant même 325 % pour l’expérience
E7-11. Pour ces expériences, le débit solide calculé est vraiment surévalué par
rapport au débit solide mesuré. On peut l’expliquer ainsi : une grande partie
du débit liquide ne peut pas participer à la génération du débit solide car il
est dissipé par les parois : seule une partie du débit liquide est ”en contact”
avec le fond. Cela rejoint les résultats de l’étude hydraulique précédente qui
avait montré que dans de telles expériences (correspondant à des rapports
d’aspect très importants), l’écoulement était régi par les parois.
Concentration solide
On définit la concentration solide comme le rapport du débit solide sur le
débit liquide10 (Meunier [35]) :
CS =
qS
qL
(5.7)
Dans la nature, la concentration est une fonction croissante avec le débit
liquide. La concentration tend vers une valeur limite plus le débit liquide
augmente. Cela est bien illustré par le calcul de la concentration à l’aide de
la formule de Rickenmann :
9
La connaissance de la hauteur d’eau n’étant pas nécessaire dans ce paragraphe, nous
conservons donc les données correspondants à de faibles hauteurs d’eau.
10
Une autre concentration est souvent utilisée : il s’agit de la concentration solide volumique, définie comme le rapport du volume occupée par les particules solides sur le volume
total. Une relation de passage permet de passer de l’une à l’autre.
70
0.8
L= 6.5m m
I=7.5%
0.7
q s calculé (L/s/m )
0.6
L= 6.5m m
I=10%
0.5
L= 12.7m m
I=7.5%
0.4
0.3
L= 6.5m m
I=12.5%
0.2
L= 12.7m m
I=12.5%
0.1
L= 6.5m m
I=15 %
L= 12.7m m
I=15%
L=12.7m m
I= 10%
0.0
0 .0
0 .1
0 .2
0 .3
0 .4
q s m e su ré (L /s/m )
Fig. 5.6 – Comparaison entre débit solide mesuré et débit solide calculé selon
la formule de Rickenmann.
71
1.2
1.1
C S (% )
1.0
0.9
0.8
0.7
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
q L (L /s/m )
Fig. 5.7 – Concentration CS en fonction du débit liquide qL pour les expériences en canal étroit (6.5 mm) à pente faible (7.5 %).
CS = 6.27(1 −
qcr
)tan2 θ → 6.27tan2 θ
qL
(5.8)
Si on laisse de côté les expériences présentant de faibles écarts à ce comportement en raison sans doute des imprécisions dues à la détermination de
l’équilibre (chapitre 3), il y a tout de même des expériences dont le comportement est aberrant. Ainsi, les expériences effectuées en canal de largeur
6.5 mm à 7.5 % (f ig. 5.7) : la concentration diminue de 1.2 à 0.7 % entre
les expériences E7-9 et E7-11 alors que le débit liquide qL est pratiquement
doublé. Les expériences à pente 7.5 % en canal élargi (expériences F7-8 à
F7-28) présentent elles-aussi quelques discontinuités mais sans commune mesure avec l’expérience E7-11. Remarquons que cette expérience correspond à
un rapport d’aspect 2h/L supérieur à 12. Cette aberration comportementale
est due à un effet des parois ; nous pouvons interpréter le phénomène de la
façon suivante : pour mobiliser un débit solide donné, l’écoulement nécessite
un débit liquide beaucoup plus important car une grande partie de ce débit
n’interagit pas avec les billes.
Plutôt que de décrire le transport solide au moyen de variables débits, on
utilise plus généralement des paramètres adimensionnels dont le plus utilisé
72
est le critère de Shields adimensionnel.
Critère de Shields
Comme présenté dans le chapitre 2, le critère de Shields est un nombre
adimensionnel utilisé pour caractériser la capacité d’un écoulement à générer
du transport solide. Son expression est la suivante :
τ∗ =
ρgRh sinI
(ρs − ρ)gd
(5.9)
Cette expression ne permet cependant d’expliquer le transport solide que
lorsque la rugosité du canal est uniforme sur tout le périmètre mouillé (fond
et parois), ce qui n’est pas le cas du canal expérimental puisque les parois
sont constituées de verre lisse et le fonds de billes présentant une certaine
rugosité. Le calcul de τ ∗ avec les valeurs du rayon hydraulique des différentes expériences conduit à des valeurs inférieures au seuil de mouvement11
(f ig. 5.9), ce qui est en complète contradiction avec les expériences qui sont
bel et bien situées au-dessus de ce seuil puisqu’il y a un débit solide non nul.
Le critère de Shields calculé de cette façon n’apparaît donc pas comme un
critère pertinent de description du transport solide.
5.5.4
Correction du critère de Shields par le rapport
d’aspect
Des corrections sont habituellement proposées pour prendre en compte
l’effet de la largeur sur le critère de Shields au moyen du rapport d’aspect
2h/L. Le principe de ces méthodes est de calculer un ”rayon hydraulique
de fond” à l’aide d’un ”coefficient de frottement de fond”. Pour cela, on décompose la section mouillée en aires dont l’hydrodynamique est régie par les
parois ou par le fond (f ig. : decompositionp erimetre). Nous faisons alors
trois hypothèses fondamentales (Cao [11]) :
– on peut définir pour chacune des sections mouillées un rayon hydraulique et un coefficient de frottement reliés par une équation de DarcyWeisbach :
11
Le seuil de début de mouvement vaut 0.06 ou 0.047 selon les auteurs ; notons qu’il
s’agit d’un phénomène assez ambigü : on considère que c’est un phénomène à seuil mais
il s’agit plutôt d’une plage de début de mouvement selon la définition que l’on donne au
mouvement.
73
Fig. 5.8 – Décomposition du périmètre et de la section mouillés.
s
s
8
u
=√
f
gRh sinθ
8
ff ond
s
8
fbord
=q
u
gRhf ond sinθ
u
=q
gRhbord sinθ
(5.10)
(5.11)
(5.12)
– la pente est la même pour toutes les sections mouillées,
– la vitesse moyenne est la même dans toutes les sections.
En manipulant les trois expressions précédentes, on parvient à exprimer
les égalités suivantes :
Ref ond
Rebord
Re
=
=
f
ff ond
fbord
ff ond = f +
2h
(f − fbord )
L
74
(5.13)
(5.14)
Afin de boucler ce système et en faisant l’hypothèse que les parois sont
lisses, nous pouvons utiliser une expression de frottement turbulent lisse pour
calculer fbord 12 . Cao [11] propose l’équation de Nikuradse pour les nombres
de Reynolds compris entre 104 et 4.106 :
fbord = 0.0032 +
0.321
Re0.237
bord
(5.15)
D’autres formules de frottement turbulent rugueux peuvent aussi être utilisées ; ainsi la formule (REFERENCE) :
fbord =
0.182
Re0.203
bord
(5.16)
Nous sommes alors capable de calculer ff ond en utilisant l’eq. 5.13. Les
calculs de Rhf ond puis de τ ∗ (Rh ) se font ensuite au moyen de l’eq 5.11 et de
l’eq 5.9.
La f ig. 5.9 présente le graphe débit solide adimensionnel - critère de
Shields adimensionnel (calculé avec Rh et avec Rhf ond ). Première constation, les valeurs de critère de Shields obtenues après correction sont situées
au-dessus du seuil de mouvement alors que les valeurs non corrigées sont
en-dessous. Les valeurs corrigées sont plus cohérentes. De plus, les valeurs
corrigées par le rapport d’aspect semblent mieux expliquer l’augmentation
de débit solide adimensionnel par une croissance plus franche.
Il faut toutefois prendre garde. Les corrections apportées au critère de
Shields ne sont pas de petites modifications mais bel et bien une modification très importante de sa valeur. Il faut remarquer à ce propos que ce type
de correction est très dépendant de la formule choisie pour calculer fbord et
que l’utilisation de formules différentes peut aboutir à des comportements de
critère de Shields corrigés divergents. Ainsi, les valeurs calculées avec la formule REFERENCE et la formule de Colebrook en négligeant la rugosité
kS (tableau 5.16).
Conclusion sur le transport solide
Par comparaison du débit solide mesuré avec la formule de Rickenmann,
nous avons constaté, malgré quelques expériences très bien ajustées, que globalement le débit liquide mesuré était supérieur aux calculs. Ce comporte12
Cette relation de frottement turbulent lisse met en relation fbord et Rebord
75
0 .1 6
0 .1 4
0 .1 2
τ∗( R h fo n d ), L = 6.5m m
0 .1 0
τ∗
τ∗( R h fo n d ), L = 12 .7 m m
τ∗( R h ), L = 6.5m m
0 .0 8
τ∗( R h ), L = 12 .7 m m
0 .0 6
0 .0 4
0 .0 2
0 .04
0 .0 8
0 .1 2
0 .1 6
0 .2 0
φ
Fig. 5.9 – Graphe débit solide adimensionnel φ - critère de Shields adimensionnel et corrigé (REFERENCE DE LA FORMULE).
expérience
E7-6
E7-8
E7-9
E7-11
τ (Rh τ (Rhf ond 1)
0.O23 0.078
0.023 0.079
0.024 0.093
0.025 0.109
τ (Rhf ond 2)
0.055
0.053
0.063
0.059
Tab. 5.2 – Comparaison entre les critères de Shields corrigés par la formule
REFERENCE 1 et la formule de Colebrook 2.
76
ment est exacerbé pour les expériences en canal étroit à faible pente, c’està-dire les expériences correspondant aux plus grands rapports d’aspect. Il
s’agit donc clairement d’un effet des parois.
mesuré est beaucoup plus faible (écart supérieur à 300 % dans le cas de
l’expérience E7-11). Cela signifie qu’une grande partie du débit liquide ne
participe pas à la génération du débit solide. En ce qui concerne la concentration solide, nous avons constaté une aberration comportementale de l’expérience E7-11 : la concentration diminue avec le débit liquide alors que le
comportement naturel est une croissance asymptotique.
5.5.5
Conclusion sur l’effet des parois
Nous avons cherché à étudier l’influence des parois sur l’hydrodynamique et
le transport solide grâce aux expériences effectuées sur le canal expérimental
du Cemagref de Grenoble. Par comparaison entre les expériences effectuées
par Böhm [8] (largeur : 6.5 mm) et mes propres expériences (12.7 mm),
nous avons pu mettre en évidence l’influence des parois par l’intermédiaire
du rapport d’aspect 2h/L.
Au niveau hydraulique, nous avons constaté une très grande variabilité
des conditions de frottement. Si certaines expériences se rapprochent des
conditions de frottement en torrents (canal large, pentes fortes), d’autres
(canal étroit, pentes faibles) en sont extrêmement éloignées et présentent des
coefficients de frottement f très faibles13 , ce qui montre que dans de telles
conditions expérimentales, l’écoulement est régi presque entièrement par les
parois. Les autres expériences correspondent quant à elles à des conditions
hydrauliques intermédiaires mais néanmoins très variées.
En ce qui concerne le transport solide, par comparaison avec la formule
semi-empirique de Rickenmann, nous avons mis en évidence une très bonne
concordance entre les mesures et les calculs pour les expériences effectuées
en canal large à fortes pentes (qui présentent les conditions hydrauliques
les plus proches des torrents naturels). Par contre, les expériences en canal
étroit à faible pente (très éloignées hydrauliquement des torrents) présentent
une aberration de comportement puisque la concentration solide présente
un comportement décroissant avec le débit liquide (expériences en canal de
largeur 6.5 mm à pente 7.5 %) alors qu’il est asymptotique dans la nature.
13
Ou des rugosités de Manning-Strickler K très élevées.
77
On peut expliquer cela par le fait que tout le débit liquide ne participe
pas à la génération d’un débit solide. En effet, comme nous l’avons mis en
évidence dans la partie 5.5.2, pour des valeurs si importantes de rapport
d’aspect, le comportement hydraulique est régi par les parois : on peut donc
penser qu’une grande partie du débit est évacuée sans interaction possible
avec les billes du lit, et donc sans pouvoir générer de débit solide. On peut
aussi voir dans la vitesse au niveau de la première couche de billes du lit une
explication de ce phénomène (annexe 7.4, chapitre 7).
Pour conclure, nous retiendrons que le dispositif expérimental du Cemagref permet l’étude du charriage torrentiel à l’échelle de la particule. En
raison des grandes valeurs prises par le rapport d’aspect, l’influence des parois est en général très importantes. Elle est parfois tellement importante que
le transport solide ne suit plus un comportement ”naturel”. Nous proposons la
valeur de 7 pour le rapport d’aspect comme limite d’utilisation du dispositif
expérimental.
5.6
Conclusion sur l’analyse des résultats
analyse pas encore terminée : on peut encore en tirer des choses ! ! !
78
Chapitre 6
Conclusion et perspectives
Rappel du contexte
Ce mémoire de DEA, effectué au sein de l’unité Erosion Torrentielle, Neige
et Avalanches (ETNA) du Cemagref de Grenoble, porte sur l’étude microstructurelle du charriage torrentiel de particules solides. Un canal étroit, de
pente et largeur variables, permet d’étudier l’équilibre dynamique entre les
débits liquide et solide à une pente donnée. Une caméra permet l’acquisition
d’images tous les 1/130 s, images qui sont ensuite traitées pour déterminer les
caractéristiques de l’écoulement. Plusieurs travaux ont déjà été effectués sur
ce dispositif expérimental à une largeur de 6.5 mm (Bigillon [10], Böhm
[8], Jodeau [26]). Dans le cadre de mon stage, le canal expérimental a été
élargi à 12.7 mm afin d’étudier l’influence de la largeur.
Mesure de la vitesse et détermination de la hauteur d’eau
Après une étude bibliographique du charriage torrentiel (chapitre 2) et une
présentation du dispositif expérimental (chapitre 3), le chapitre 4 présente
plusieurs algorithmes d’analyse d’images qui ont été mis au point durant
ce stage. Après l’échec de la détermination du débit solide instantané, nous
avons développé un protocole de mesure de la vitesse moyenne de l’écoulement par détermination de la durée de passage du pic d’un nuage d’encre.
Cette méthode permet d’obtenir une mesure indépendante de la vitesse avec
une incertitude d’environ 15 % - même en présence d’un charriage intense alors que la vitesse était jusqu’à présent calculée à partir du débit et de la
hauteur d’eau.
79
Nous avons aussi développé un algorithme de détermination de la hauteur
d’eau qui ne nécessite pas la connaissance des trajectoires de chaque bille.
Nous avons alors pointé toute l’ambiguïté de la hauteur d’eau pour un écoulement à fond mobile, a fortiori lorsque la hauteur d’eau est faible par rapport
à la taille des particules. En comparant la vitesse mesurée par la méthode de
l’encre et la vitesse calculée grâce à la hauteur d’eau, nous avons constaté que
la vitesse calculée était systématiquement inférieure de 5 à 10 %. Cependant,
malgré cette sous-évaluation, la vitesse moyenne indiquée dans les résultats
a été calculée avec la hauteur d’eau car la méthode de l’encre n’a pas pu être
utilisée dans toutes les expériences.
Influence de la largeur
En comparant les expériences de Böhm [8] en canal de largeur 6.5 mm et
les expériences effectuées en canal de largeur 12.7 mm durant le stage, nous
avons étudié l’influence des parois sur l’hydraulique et le transport solide du
canal par l’intermédiaire du rapport d’aspect 2h/L (chapitre 5). Nous avons
ainsi mis en évidence la très grande variabilité des conditions hydrauliques
selon la valeur du rapport d’aspect : les rapports d’aspect faibles correspondent à des conditions hydrauliques proches de celles des torrents alors
que les rapports d’aspect élevés correspondent à des conditions hydrauliques
très ”lisses” pour lesquelles le comportement du transport solide s’écarte complètement de celui d’un torrent : le débit liquide est en grande partie évacué
par les parois sans générer de débit solide. Nous avons alors proposé la valeur
de rapport d’aspect de 7 comme limite d’utilisation du dispositif expérimental. Au-delà de cette valeur, des aberrations comportementales apparaissent :
ainsi, la concentration ne suit pas un comportement asymptotique.
Un pas vers la granulométrie étendue
Dans la suite du stage (juillet-août), nous proposons de faire un pas de plus
en étudiant la granulométrie étendue, cette dernière étant - avec le début
de mouvement et le pavage - une des raisons généralement avancées pour
expliquer l’échec des formules semi-empiriques (chapitre 2). Notre but est
d’arriver à mieux comprendre les mécanismes de charriage en granulométrie
étendue par une observation fine du phénomène. Pour cela, nous proposons
de régler la largeur du canal à 6.5 mm et d’injecter des billes de diamètres
3 et 6 mm dans l’écoulement. Afin d’éviter d’avoir un amas de billes dont
il serait très difficile de déterminer les contours - comme en largeur de 12.7
mm avec des billes de 6 mm - nous proposons d’utiliser des billes de 6 mm
80
Fig. 6.1 – Exemple d’un écoulement en canal de largeur 6.5 mm avec deux
diamètres de billes : 6 mm (couleur noire) et 3 mm (incolore). Les conditions
expérimentales sont mauvaises.
de couleur noire et des billes de 3 mm incolores. Une première image est
présentée avec la f ig. 6.1.
81
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85
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86
Chapitre 7
Annexes
7.1
7.1.1
Macros Wima
Détermination du débit solide instantané
La macro Wima de détermination du débit solide instantané se compose
de 3 macros :
La macro DetectMouvBilles
void @DetectMouvBilles(Image imS0,Image imS1,RImage imT1)
// imS0 = modèle de bille
// imS1 = image des billes
// imT1 = image de sortie = image des billes sur laquelle les billes repérées
sont encadrées en vert
{
Image imT0 ;
RechercheMotifR(imS0,imS1,imT0,0) ;
Max4DirR(imT0,imT0) ;
PlaceFenetreO(imS1,imT0,imT1,32,0.1) ;
LibereImage(imT0) ;
}
La macro DetectMouvBilles2
void @DetectMouvBilles2(Image imS0,Image imS1,Image imS2,RImage imT0,RImage
imT1)
//sélectionner les images à t+dt, à t, puis le modèle de bille
87
{
@DetectMouvBilles(imS0,imS1,imT0) ;
DeplCorrelDirSubV(imT0,imS2,imT1,0.5,0.5,0,0,0) ;
}
La macro DetectMouvBilles3
void @DetectMouvBilles3(Image imS0,Image imS1,Image imS2,RImage imT0,RImage
imT5)
//sélectionner les images à t+dt, à t, puis le modèle de bille
//MultConstV(imT1,imT2,valeur de multiplication du vecteur)
//pb : augmentation de la taille de l’image
{
Image imT1 ;
Image imT2 ;
Image imT3 ;
Image imT4 ;
@DetectMouvBilles2(imS0,imS1,imS2,imT0,imT1) ;
MultConstV(imT1,imT2,10) ;
TraceVecteur2DO(imT2,imT3) ;
SeuilleManuR(imT3,imT4,2,0.1,0,0,0) ;
EtaleR(imT4,imT5,0,255) ;
LibereImage(imT3) ;
LibereImage(imT4) ;
LibereImage(imT2) ;
LibereImage(imT1) ;
}
7.1.2
Macro du tracé de la ligne d’eau et de la surface
libre à partir des images cumulées des billes et de
la surface
void @LignesFondSurface(Image imS0,Image imS1,RImage imT4)
// on sélectionne tout d’abord l’image cumulée de la surface puis ensuite
l’image cumulée des billes
{
Image imT0 ;
Image imT1 ;
Image imT2 ;
88
Image imT3 ;
SeuilleManuR(imS0,imT0,2,254.999999,0,0,0) ;
ErodeNFoisR(imT0,imT0,6) ;
DilateNFoisR(imT0,imT0,16) ;
ErodeNFoisR(imT0,imT0,10) ;
ErodeNFoisR(imT0,imT1,1) ;
SoustrR(imT0,imT1,imT2) ;
LibereImage(imT0) ;
LibereImage(imT1) ;
EtaleR(imT2,imT2,0,255) ;
SeuilleManuR(imS1,imT3,2,1e-06,0,0,0) ;
DilateNFoisR(imT3,imT3,6) ;
ErodeNFoisR(imT3,imT3,6) ;
AmincitR(imT3,imT3,0) ;
EtaleR(imT3,imT3,0,255) ;
AddR(imT2,imT3,imT4) ;
LibereImage(imT3) ;
LibereImage(imT2) ;
}
7.2
Programme Matlab de détermination de
la hauteur d’eau
clear all ;
I=imread(’c ://...nom du fichier.tif’) ;
h=0 ;
for j=1 :600
a=0 ;
for i=1 :192
if I(i,j) =0
a=a+1 ;
z(a)=i ;
else
end
end
hx(j)=z(a)-z(a-1) ;
h=h+hx(j) ;
end
89
h=h/600 ;
7.3
Correction du critère de Shields
Cao [11] propose de calculer un coefficient fbord de Darcy-Weisbach des
parois selon la formule suivante :
Le coefficient ff ond s’obtient alors par la formule suivante :
Cependant, si ce type de correction permet d’obtenir des valeurs de citère de Shields cohérentes avec le seuil de mouvement, il n’en demeure pas
moins que cela ne permet pas d’expliquer l’incohérence de comportement de
l’expérience E7-11.
7.4
Remarque sur la vitesse
Remarque sur la vitesse
En supposant que la vitesse U (y) de l’écoulement est régie selon une loi
du type1 (où y est la hauteur prise depuis le fond de l’écoulement) :
U (y) = Aln(y) + B
(7.1)
on peut calculer la vitesse de l’écoulement à une hauteur y égale à un
diamètre de bille d. Détaillons les résultats pour les expériences E7-6, -8, -9
et -11 :
Ce calcul met en évidence le fait que même si le débit liquide augmente,
la vitesse à une certaine hauteur fixe de l’écoulement peut diminuer. On
peut y voir un autre début d’explication aux faibles débits solides constatés
expérimentalement comparativement aux débits liquides.
7.5
Résultats complets
1
Bigillon [10] a montré que dans le cas du canal du Cemagref d’une largeur de 6.5
mm et à la pente 10 %, la vitesse est régie par une telle loi logarithmique pour des rapports
de profondeur relative y/h compris entre 0.15 et 0.5. Pour y/h inférieur à 0.15, la vitesse
réelle est supérieure à celle calculée selon cette loi ; pour des valeurs de y/h supérieure à
0.5, la vitesse réelle est inférieure à celle calculée.
90
expérience
E7-6
E7-8
E7-9
E7-11
U
0.53
0.55
0.56
0.64
y/h
0.32
0.29
0.24
0.15
U(y=d)
0.28
0.27
0.25
0.20
Tab. 7.1 – Valeurs de la vitesse (m/s) selon la loi logarithmique établie par
Bigillon [10].
Exp.
L (mm)
I (%)
qL (L/s/m)
qS (L/s/m)
φ
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
qRick. (L/s/m)
écart (%)
f
kS (mm)
K (m1/3 s−1 )
E7-6
6.5
7.5
10.00
0.099
0.06
0.9
18.9
0.53
5860
1.23
3.16
5.83
0.233
-135
0.059
0.2
98
E7-8
6.5
7.5
11.54
0.135
0.08
1.2
20.8
0.55
6230
1.23
3.47
6.40
0.287
-113
0.054
0.1
102
E7-9
6.5
7.5
13.85
0.151
0.08
1.2
24.9
0.56
6400
1.13
4.15
7.65
0.369
-144
0.055
0.1
101
E7-11
6.5
7.5
26.15
0.190
0.11
0.7
40.8
0.64
7720
1.02
6.80
12.54
0.803
-323
0.043
0.01
113
Tab. 7.2 – Résultats obtenus par Böhm [8] pour une largeur de 6.5 mm et
une pente de 7.5 %.
91
Exp.
L (mm)
I (%)
qL (L/s/m)
qS (L/s/m)
φ
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
qRick. (L/s/m)
écart (%)
f
kS (mm)
K (m1/3 s−1 )
E10-6
6.5
10
4.15
0.092
0.05
2.4
10.2
0.41
4020
1.30
1.69
3.13
0.106
-15
0.116
1.1
71
E10-7
6.5
10
4.42
0.117
0.07
2.7
10.8
0.41
4090
1.26
1.80
3.33
0.123
-6
0.117
1.1
70
E10-8
6.5
10
5.38
0.139
0.08
2.5
12.2
0.44
4550
1.29
2.03
3.74
0.184
-32
0.102
0.9
75
E10-9
6.5
10
5.54
0.174
0.10
3.0
12.5
0.44
4570
1.27
2.08
3.85
0.193
-11
0.103
0.9
75
E10-16
6.5
10
8.19
0.268
0.15
3.3
16.9
0.48
5280
1.19
2.82
5.21
0.360
-34
0.091
0.7
79
E10-21
6.5
10
10.31
0.348
0.20
3.5
19.4
0.53
5910
1.22
3.23
5.97
0.492
-41
0.077
0.5
85
Tab. 7.3 – Résultats obtenus par Böhm [8] pour une largeur de 6.5 mm et
une pente de 10 %.
92
Exp.
L (mm)
I (%)
qL (L/s/m)
qS (L/s/m)
φ
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
qRick. (L/s/m)
écart (%)
f
kS (mm)
K (m1/3 s−1 )
E12-9
6.5
12.5
2.97
0.161
0.09
5.6
7.0
0.42
3760
1.62
1.17
2.16
0.103
+36
0.122
1.1
70
E12-16
6.5
12.5
3.85
0.264
0.15
7.0
8.2
0.47
4360
1.65
1.37
2.53
0.189
+28
0.104
0.8
75
E12-21
6.5
12.5
4.46
0.348
0.20
7.7
9.4
0.48
4600
1.58
1.56
2.88
0.250
+28
0.104
0.9
75
E15-16
6.5
15
2.31
0.271
0.15
11.6
4.9
0.47
3680
2.16
0.82
1.51
0.106
+61
0.103
0.7
78
E15-21
6.5
15
2.92
0.374
0.21
12.2
6.7
0.44
3830
1.72
1.11
2.05
0.192
+49
0.134
1.3
68
Tab. 7.4 – Résultats obtenus par Böhm [8] pour une largeur de 6.5 mm et
des pentes de 12.5 et 15 %.
93
Exp.
L (mm)
I (%)
qL (L/s/m)
qS (L/s/m)
φ
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
qRick. (L/s/m)
écart (%)
f
kS (mm)
K (m1/3 s−1 )
F7-8
12.7
7.5
5.91
0.075
0.04
1.3
13.7
0.43
7480
1.18
2.28
2.16
0.089
-18
0.137
2.8
59
F7-11 F7-10 F7-15
12.7
12.7
12.7
7.5
7.5
7.5
7.46
7.69
9.29
0.102 0.093 0.126
0.06
0.05
0.07
1.4
1.2
1.4
15.2
15.4
17.5
0.49
0.50
0.53
8790 9000 9900
1.27
1.29
1.29
2.53
2.56
2.91
2.40
2.42
2.75
0.144 0.152 0.208
-41
-63
-65
0.109 0.105 0.097
1.9
1.8
1.6
66
67
70
F7-16
12.7
7.5
9.68
0.141
0.08
1.5
18.9
0.51
9750
1.20
3.14
2.97
0.222
-57
0.106
1.9
66
F7-17 F7-22
12.7
12.7
7.5
7.5
9.80
11.50
0.153 0.192
0.09
0.11
1.6
1.7
18.9
20.8
0.52
0.55
9870 10750
1.21
1.22
3.15
3.47
2.97
3.28
0.226 0.286
-48
-49
0.104 0.094
1.9
1.6
67
70
F7-20
12.7
7.5
11.65
0.176
0.10
1.5
21.2
0.55
10740
1.21
3.53
3.34
0.291
-66
0.095
1.6
70
Tab. 7.5 – Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et une pente de
7.5 %.
94
F7-20’
12.7
7.5
11.65
0.176
0.10
1.5
19.8
0.59
11340
1.34
3.29
3.11
0.291
-66
0.081
1.1
76
Exp.
L (mm)
I (%)
qL (L/s/m)
qS (L/s/m)
φ
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
qRick. (L/s/m)
écart (%)
f
kS (mm)
K (m1/3 s−1 )
F7-20’
12.7
7.5
11.65
0.176
0.10
1.5
19.8
0.59
11340
1.34
3.29
3.11
0.291
-66
0.081
1.1
76
F7-24
12.7
7.5
15.45
0.216
0.12
1.4
26.2
0.59
12070
1.17
4.36
4.12
0.425
-97
0.086
1.4
73
F7-26
12.7
7.5
15.50
0.228
0.13
1.5
25.9
0.60
12210
1.19
4.32
4.08
0.427
-87
0.084
1.3
74
F10-8
12.7
10
3.86
0.073
0.04
1.9
10.4
0.37
5850
1.16
1.73
1.64
0.088
-21
0.225
5.1
47
F10-10
12.7
10
4.00
0.086
0.05
2.2
9.4
0.42
6430
1.39
1.57
1.49
0.097
-13
0.166
3.2
55
F10-11
12.7
10
4.17
0.094
0.05
2.2
11.0
0.38
6120
1.16
1.83
1.73
0.108
-15
0.218
5.0
48
F10-12
12.7
10
4.49
0.110
0.06
2.4
10.9
0.41
6620
1.27
1.81
1.71
0.127
-16
0.185
4.0
52
Tab. 7.6 – Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et des pentes de
7.5 et 10 %.
95
F10-13
12.7
10
4.54
0.115
0.06
2.5
11.4
0.40
6500
1.20
1.90
1.79
0.130
-13
0.201
4.6
50
F10-16
12.7
10
4.76
0.139
0.08
2.9
12.0
0.40
6610
1.16
1.99
1.88
0.145
-4
0.205
4.8
49
Exp.
L (mm)
I (%)
qL (L/s/m)
qS (L/s/m)
φ
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
qRick. (L/s/m)
écart (%)
f
kS (mm)
K (m1/3 s−1 )
F10-14
12.7
10
4.91
0.129
0.07
2.6
11.3
0.43
7070
1.31
1.88
1.78
0.154
-18
0.168
3.6
54
F10-18
12.7
10
5.22
0.164
0.09
3.1
13.5
0.39
6670
1.06
2.26
2.13
0.173
-41
0.228
5.7
46
F10-19
12.7
10
5.28
0.172
0.10
3.2
13.5
0.39
6770
1.08
2.25
2.12
0.177
-63
0.220
5.4
47
F10-21
12.7
10
5.75
0.185
0.10
3.2
13.3
0.43
7420
1.20
2.22
2.10
0.206
-65
0.181
4.2
52
F10-21’
12.7
10
5.75
0.185
0.10
3.2
13.8
0.42
7230
1.13
2.31
2.18
0.206
-57
0.198
4.8
49
F10-23
12.7
10
5.76
0.206
0.12
3.6
13.1
0.44
7540
1.24
2.18
2.06
0.207
-48
0.172
3.9
53
F10-25
12.7
10
5.88
0.225
0.13
3.8
14.3
0.41
7250
1.11
2.38
2.24
0.215
-49
0.202
5.0
49
Tab. 7.7 – Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et une pente de
10 %.
96
F10-20
12.7
10
6.17
0.179
0.10
2.9
13.4
0.46
7920
1.27
2.24
2.12
0.233
-66
0.160
3.5
55
F1012.7
10
6.86
0.182
0.10
2.7
13.5
0.51
8790
1.40
2.25
2.12
0.276
-66
0.130
2.6
61
Exp.
L (mm)
I (%)
qL (L/s/m)
qS (L/s/m)
φ
CS (%)
h (mm)
U (m/s)
Re
Fr
h/d
2h/L
qRick. (L/s/m)
écart (%)
f
kS (mm)
K (m1/3 s−1 )
F12-11
12.7
12.5
3.13
0.101
0.06
3.2
9.1
0.34
5150
1.16
1.51
1.43
0.119
-17
0.308
6.9
41
F12-14
12.7
12.5
3.28
0.124
0.07
3.8
11.0
0.30
4800
0.91
1.84
1.74
0.134
-8
0.445
10.6
33
F12-16
12.7
12.5
3.44
0.146
0.08
4.2
9.6
0.36
5480
1.17
1.60
1.51
0.150
-3
0.290
6.6
42
F12-18
12.7
12.5
3.47
0.163
0.09
4.7
9.4
0.37
5600
1.22
1.57
1.48
0.153
+6
0.272
6.1
43
F12-19
12.7
12.5
3.60
0.173
0.10
4.8
11.4
0.31
5140
0.94
1.91
1.80
0.165
+4
0.404
9.9
35
F13-17
12.7
13.5
3.31
0.149
0.08
4.5
10.6
0.31
4980
0.98
1.76
1.66
0.178
-20
0.426
10.1
34
F15-19
12.7
15
2.70
0.170
0.10
6.3
10.5
0.26
4080
0.81
1.75
1.65
0.161
+5
0.699
14.9
27
Tab. 7.8 – Résultats obtenus pour une largeur de 12.7 mm et des pentes de
12.5, 13.5 et 15 %.
97
F15-24
12.7
15
3.06
0.218
0.12
7.1
10.4
0.29
4630
0.92
1.74
1.64
0.211
+3
0.539
12.2
30