L` Équation d`Einstein

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L' Équation d'Einstein
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Copyright
Titre: L'Équation d'Einstein
Auteur: Morphocode
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PRÉFACE
Depuis longtemps je voudrais démontrer l'équation
d'Einstein à partir du principe de moindre action. Certains
disent :"On ne démontre pas l' équation d'Einstein, il s'est
posé comme ça et ça marche , c'est tout !!"
Mais je pense que si cette équation marche bien, on doit
donc pouvoir l'en déduire à partir des principes de la
physique , une si belle équation comme ça doit
logiquement avoir une démontration... et il n'y a pas de
livres qui démontrent clairement cette équation, c'est très
confus, très flou ... C'est pourquoi j'ai décidé de retrouver
le chemin qui mène à cette équation.
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LE CALCUL TENSORIEL
CONVENTION ET DÉFINITION
1. Vecteur
indice haut
x = (x0, x1, x2, x3)
x0=ct, x1=x, x2=y, x3=z
2. Matrice
avec
Lij matrice de Lorentz et ℓij = (Lij)-1 l'inverse de Lij
3
où
V=vitesse du repère R' par rapport à R
µij matrice de Minkowski
3. Dérivée
où V(x0, x1, x2, x3)
exemples
Fij = ∂iAj - ∂jAi = [∂iAj]
où V(x0, x1, x2, x3)
exemples
Fij = ∂iAj - ∂jAi = [∂iAj]
4. La sommation
- indice-bas = indice-haut → la sommation
- indice de sommation (indice muet, indice 'sum') ils
bougent
- indice fixe = le rang, la position
aibi = a0b0+ a1b1+ a2b2+ a3b3 (convention d'Einstein)
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COORDONNÉES CARTÉSIE NNES
On ne va pas faire un cours théorique sur de calcul
tensoriel mais seulement donner des outils pratiques dont
nous avons besoin juste pour la relativité générale.
On va donc se placer directement dans R4, et dans R4 on se
donne un repère (O,bi) où O est un point fixe (nommé
origine) et (b0,b1,b2,b3) une base (nommée base
cartésienne). Dans R4 on a aussi un produit scalaire noté '.'
, tout ça se sont des donnés du problème.
Un point M de R4 sera répéré par 4 coordonnées ci
relativement à (O,bi) :
= cibi
Les ci sont par définition les coordonnées cartésiennes du
point M.
COORDONNÉES CURVILIGNES
On se donne 4 fonctions fk de classe ≥ C² de R4→R telles
que:
fk: R4→R
(x0,x1,x2,x3)→fk(x0,x1,x2,x3)
ck= fk(x0,x1,x2,x3)
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de plus on demande que le système fk(xi) soit bijectif, donc
on a le système inverse:
xi=gi(c0,c1,c2,c3)
En physique on note souvent
ck=ck(x0,x1,x2,x3) au lieu de ck= fk(x0,x1,x2,x3) pour dire que
les ck sont en fonction des xi, de même
xi=xi(c0,c1,c2,c3)
Un point M(c0,c1,c2,c3) de coordonnés (c0,c1,c2,c3) devient
en M(x0,x1,x2,x3) et inversement , ainsi on a une bijection
entre D→V .
par ex pour notre espace R3 , soit M(x,y,z) un point de R3 ,
en coordonnées cartésiennes (x,y,z) . un système de
coordonnées curvilignes (r,θ,h) est la donnée de 3
fonctions (de D sur V) de variables r,θ,h telles que
x = x(r,θ,h) = r cosθ
y = y(r,θ,h) = r sinθ
z = z(r,θ,h) = h
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le point M(x,y,z) devient maintenant M(r,θ,h)
le système est bijectif (de D sur V) on peut donc l'inverser
r=r(x,y,z) =
θ=θ(x,y,z) = arctg
h=h(x,y,z) = z
De même par ex:
un système de coordonnées curvilignes (r,θ,ϕ)
r∊[0,∞[ ; θ∊[0,π[ ; ϕ∊[0,2π[
x = x(r,θ,ϕ) = r cosθ sinϕ
y = y(r,θ,ϕ) = r sinθ sinϕ
z = z(r,θ,ϕ) = r cosϕ
le point M(x,y,z) devient maintenant M(r,θ,ϕ)
le système est bijectif (de C sur D) bien sûr.
r=r(x,y,z)
θ=θ(x,y,z)
ϕ=ϕ(x,y,z)
LES VARIÉTÉS
Nous dirons alors que V est une variété (plutôt un
morceau de la variété, mais ce n'est pas vraiment
important car on travaille toujours localement )
paramétrée par les xi (un système de coordonnées
curvilignes)
Les points de V sont décrits par les fonctions f k. Donc un
système de coordonnées curvilignes permet de
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paramétrer une variété V, se donner une variété c'est se
donner un système de coordonnées curvilignes.
On se donne donc une variétée V paramétrée par les x i
on définit une base appellée base locale ou naturelle par:
ei=
(la dérivée de M/coord curvilignes)
puis le repère (M,ei) associé à ei .
on pose :
gij=ei . ej , remarque gij est symétrique gij=gji
gij = (gij)-1 l'inverse de gij et g=dét(gij)
ei = gij ej
ei est la base covariante, ei est la base contravariante
associée à ei.
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Un vecteur A s'écrit alors:
A = Aiei
ou
A = Aiei
On dit que les Ai sont des composantes contravariantes de
A et les Ai sont des composantes covariantes de A, mais
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par abus de langage on dit que Ai est un vecteur
contravariant, et que Ai est un vecteur covariant au lieu de
composantes contravariantes et covariantes du vecteur A.
On a la propriété suivante:
A.ek = Aiei.ek= Ai gij ej.ek= Ai gij gjk=Aiδki (i=varie, k=fixe)
avec
symbole de Kronecker
d'où
Ak = A.ek
Le but c'est voir comment un vecteur contravariant Ai ou
covariant Ai s'est transformé quand on passe d'un repère
(M,ei) à un autre (M,eu') ou de la base ei à la base e'u
puisque M ne bouge pas.
On a des transformations pour passer du repère R au
repère R' et inversement
xi = xi(x'u)
x'u = x'u(xi)
Par définition de eu' c'est:
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et en inversant
Pour un vecteur contravariant on a:
ce qui montre que:
d'autre part
d'où
Pour un vecteur covariant
=
11
et
Ai=A.ei=A.
=
=
Résumé : les vecteurs contravariants et covariants sont
transformés suivant la loi (dite loi tensorielle) ci-dessous:
Définition d'un tenseur :
Une grandeur physique A, représentée dans le repère R(xi)
par une famille de nombres
, cette même grandeur
représentée dans un autre repère R'(x'u) par une autre
famille
, est un tenseur si
et
sont reliés par les
formules :
(1)
ou
(2)
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Par abus de langage on dira que
est un tenseur au lieu
de A est un tenseur. On dit que le tenseur
est d'ordre 3
(3 indices) et de type
1-contravariant et 2-covariant,
de même un vecteur covariant Ai est un tenseur d'ore 1 et
de type
etc ...
On dit que
s'est transformé en
suivant la loi tensorielle.
tensoriellement ou
Remarque important :
,
, x'u(xi) , xi(x'u) sont des
données. On doit prouver la relation (1) ou (2) ci-dessus
pour montrer que
est un tenseur.
Exemple, voyons si gij est un tenseur.
g'uv = e'u . e'v par définition
ce qui montre que gij est un tenseur (il est de type
), on
dit que gij c'est le tenseur fondamental, il permet de
monter ou déscendre des indices.
Un tenseur comme
, il y a plusieurs façons d'écrire les
indices comme par exemple
,
,
etc ....
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Car parfois la position des indices ont une importance.
Imaginons qu'on a une fonction f(i,j,k,L,M) =
la convention suivante: majuscule=indice-haut,
minuscule=indice bas, par exemple:
, avec
en générale on a
par exemple
il n'y a aucune raison que f soit symétrique en (LM)
f(L,M,i,j,k)=f(M,L,i,j,k) donc à priori
Parfois les indices ne jouent pas le même rôle, il faut donc
les distincguer en mettant une virguille ',' pour les séparer
les groupes.
par exemple
∂i + ∂j - ∂k = ∂i - ∂k + ∂j = - ∂k + ∂i + ∂j
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On voit bien que les indices i,j,k ne jouent pas le même
rôle, il y a deux groupes d'indices (ij) et k on écrit donc
Aij,k = ∂i + ∂j - ∂k = ∂i - ∂k + ∂j = - ∂k + ∂i + ∂j
ou
Ak,ij = ∂i + ∂j - ∂k = ∂i - ∂k + ∂j = - ∂k + ∂i + ∂j
le 'k' porte un signe mois '-'.
si on écrit Auvw on ne sait pas qui porte le signe moins '-' !!!
ou
∂i∂jAk
là encore on voit bien il y a deux groupes d'indices (ij) et k
on note par exemple
Uij,k = ∂i∂jAk ou
U k,ij = ∂i∂jAk
Résumé : En générale on doit respecter les positions des
indices, mais pour ne pas alourdir les écritures on écrira
quand il n'y a pas d'ambiguités
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Symétrique, antisymétrique
Le tenseur
est symétrique en (ij) si ∀k on a:
et antisymétrique en (ij) si ∀k on a:
exemples
Aij,k = ∂i + ∂j - ∂k ; Uij,k = ∂i∂jAk
on voit que Aij,k , Uij,k sont symétriques en (ij)
gij est symétrique.
Fij = ∂iAj - ∂jAi = [∂iAj]
Fij = -Fji il est antisymétrique en (ij)
Pij = AiBj - AjBi
Pij est antisymétrique en (ij)
Quand on a un tenseur antisymétrique ou il y a une
distinction entre les indices il faut respecter la position
des indices.
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OPÉRATIONS SUR LES TEUSEURS
Règle de monter ou descendre des indices
on a déjà vu, pour monter l'indice i en haut ei→ei on fait:
Monter: ei = gijej on dit que 'j' est l'indice de sommation
(l'indice 'sum'), et 'i' l'indice fixe
Descendre: ei = gijej
Voyons pour Ai, Ai
Aj = A . ej = Aiei . ej= gij Ai
Aj = gij Ai (i=sum)
A = Aiei = Ai gijej
Aj =gijAi
De même , soit
un tenseur
on monte le i
on descend le k
Pour deux indices , on aura :
Aij = gikgjm Akm
Aij = gikgjm Akm
etc ....
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Attention ! si le tenseur est antisymétrique il faut
respecter la position quand on monte ou descend des
indices, par exemple si
=
on monte le i à sa position
=
on monte le j à sa position
=
car
veut.
on descend le k à sa position
on ne peut pas monter i,j comme on
Egalité :
même indices même position
Somme de deux tenseurs:
Aij = Uij + Vij même indices même position
Produit par un scalaire:
Aij = aUij a=un scalaire
Produit de deux tenseurs:
On respecte la position et l'ordre des indices c'est tout !!
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Note: le produit tensoriel n'est pas commutatif, en effet
Aij = UiVj
Aji= VjUi
Il n'y a aucune raison que Aij soit symétrique !!
Contraction :
On contracte
Ai =
en j=k
on met l'indice j=k , haut=bas, (sommer sur k)
Il faut montrer que le résutat d'une contraction donne
bien un tenseur.
Démo
Ceci montre bien que la contraction donne bien un tenseur
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Un critère de tensorialité :
est un tenseur si quels que soient pi, qj le
invariant (par changement de repère)
piqj est
Démo
* Soit Aij tenseur, alors
ce qui montre que
piqj est invariant.
* Inversement
Aij s'est transformé suivant la loi tensorielle donc Aij est un
tenseur.
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De même
Aij est un tenseur si quels que soient pi, qj le Aij piqj est
invariant.
Corolaire :
a)
est un tenseur si quel que soit pk, le
un tenseur
b)
est
est un tenseur si quel ques soient pi,qj le
est un tenseur
Exemple, on a vu le symbole de Kronecker δij
voyons si c'est un tenseur, on a:
δij xj = xi pour tout xi donc δij est un tenseur !
Bien que les règles de calculs tensoriels ne sont pas
vraiment compliquées, il faut quand même prendre des
précautions.
a) Les indices de sommation vont par pair (haut=bas)
dans un terme
Ai BiCi + UkVj → mauvais
Am BmCi + UkVj → ok
Ai BmCm + UkVj → ok
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b) Les indices de sommation peuvent être le même dans
des termes différents, puisque les sommes sont
indépendants
Am BmCi + UkVk → ok
Am BmCi + UmVm → ok aussi
c) Quand on monte ou descend un indice, il faut remplacer
cet indice par l'indice de sommation dans toute
l'expression, sinon on aura des erreurs, par exemple
Uij = Vij
gjm Uim = gjm Vij (on a oublié de remplacer j par m dans Vij)
Uij = Vim
c'est bizarre, pour une égalité on doit avoir les même
indices dans la même position !!!!
Le plus simple c'est monter j en changeant en k par
exemple j→k
gkj Uij = gkj Vij
Uik = Vik
d) Parfois il faut changer les indices de sommation avant
de remplacer dans une expression par exemple
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dans (2) on change i=m avant de remplacer dans (1)
Car dans (1) 'i' est l'indice fixe, alors que dans (2) 'i' est
l'indice sum (l'indice de sommation, qui bouge) il faut
donc le changer avant de remplacer.
PROPRIÉTÉ DE g ij
Rappel: gij=ei . ej
on a construit gij à partir du système de coordonnées
curvilignes xi de V (le paramétrage de V).
dM = ∂iM dxi
dM=dxi ei
dM.dM = dxi ei . dxj ej = gijdxidxj
On note dM.dM=ds² d'où
ds² = gijdxidxj
On dit que ds² est un élément de "longeur" de V et que gij
est la métrique de V. Attention !! ds² c'est simplement une
notation, il peut donc être négatif !!
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* gimgjm = δij
* gijgij =
4
Attention !! l'écriture " δii " est une abréviation de δ00+ δ11+
δ22+ δ33 c'est une somme. De même δij est une abréviation
de:
* dg = - ggij dgij
* dg = g gij dgij
* δg = g gij δgij
* ∂kg= g gij ∂kgij
en effet
dg = g gij dgij → dg = g gij ∂kgijdxk = ∂kg dxk → ∂kg= g gij ∂kgij
* A.B = gij AiBj = AiBi=AjBj , le produit scalaire A.B
Vous avez sûrement remarquer qu'on écrit
la
question qu'on se pose alors pourquoi le déterminant de
gij est négatif ? dét(gij)=g <0 ??
En relativité restreinte l'espace-temps est un espace de
Minkowski et sa métrique vaut:
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le passage du repère galiléen cj au repère quelconque
(curviligne) xi : cj → xi donné par la transformation
xi=xi(cj)
le tenseur µij change en gij de façon suivante:
µij =
dét(µij) = J² dét(gij) = -1 où J désigne le jacobien de la
transformation J = |dét(
donc g<0 !!!
* donc en relativité g<0.
*
une formule à retenir
Démo
On part de la relation
dg = g gij dgij
comme gijgij = 4 → gij dgij + gij dgij = 0 → gij dgij =- gij dgij
dg = g gij dgij = - g gij dgij d'où
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et
.
Symbole de Christoffel :
En chaque point M de R4 , on attache un tenseur
,
dont les composantes s'expriment dans le repère local
(M,ei). On veut comparer
avec
, ce même
tenseur mais en dM, un point infiniment voisin de M. Ce
tenseur
, s'exprime dans le repère (dM,dei).
Pour pouvoir les comparer il suffit de connaitre comment
varie le repère (M,ei), comment (M,ei) passe en (dM,dei)
Pour ça, on exprime dM, et dei dans la base ei .
Mais d'abord posons:
∂i ej
ek (ek est en fonction des xi, ek(xi))
par définition
s'appelle symbole de Christoffel.
Ici on voit qu'il y a deux groupes d' indices dans
, le
groupe (ij) et k car ils ne jouent pas le même rôle
(k=sommation, i,j = fixe). Quand il y a une distinction entre
les indices il faut les respecter.
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On savait déjà.
dM=dxi ei
on pose
dej = ek
mais dej c'est aussi
dej = ∂iej dxi
dej = dxi ek
d'où
= dxi
Donc pour connaitre (dM,dei) il suffit de connaitre dxi et
les
. Les connectent les repères (M,ei) et (dM,dei)
c'est pourquoi ils s'appellent les symboles de connexion.
On descend k en respectant la différence entre (ij) et k
=
il y a deux groupes d'indices dans
et
, le groupe (ij)
et k car on ne peut pas permuter i et k par exemple
On voit facilement que
est symétrique en (ij)
Démo
∂iej = ∂i∂jM = ∂j∂iM = ∂jei (∂i∂j=∂j∂i théorème de Schwarz)
ek =
ek
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donc Γij,k aussi symétrique en (ij)
Γij,k = Γji,k
(ki puis kj)
Démo
gij = ei . ej
∂kgij = (∂kei) . ej + ei . (∂kej)
∂kgij = ( eh) . ej + ei . (
em)
∂kgij = (eh . ej)
scalaire
+ (ei . em)
propriété du produit
∂kgij = ghj
+ gim
on descend les indices en respectant leur distinction (les
groupes)
∂kgij = Γki,j + Γkj,i
permutation circulaire
droite (ijk)→(jki)→(kij)
Démo
∂kgij = Γki,j + Γkj,i (1)
∂igjk = Γij,k + Γik,j (2)
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∂jgki = Γjk,i + Γji,k (3)
On additionne (2)+(3)-(1) et comptenu la symétrique en
(ij) de Γij,k on trouve:
et si on monte l'indice k
Note :
n'est pas un tenseur, en effet.
Rappel:
e'v =
∂'u =
∂i ej =
ek
Par définition de
∂'ue'v =
est :
e's
d'où
∂'u (
)=
∂'u (
) =∂'u (
(
)
+
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=
(
+
Changeons des indices ∂pek → ∂iej
=
(
+
=
(
+
(
)=
=
Donc
ek
(
(
+
ek
+
ne s'est pas transformé comme un tenseur.
Différentielle covariante
DAi = dAi+
Am dxk
DAi=DkAi dxk
DkAi
∂kAi+
Am (def=par définition)
DkAi dérivée (partielle) covariante de Ai
DkAi
∂kAi -
Am
Pour les tenseurs d'ordre deux :
DkAij = ∂kAij +
Amj +
Aim
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DkAij = ∂kAij DkAij = ∂kAij +
Amj -
Aim
Amj -
Aim
Plus généralement
Théorème de Ricci
* Dgij = 0 très important
ça donne
* Dkgij = 0 ou Dkgij = 0
Démo
Dkgij = ∂kgij -
gmj -
Dkgij = ∂kgij -
+
gim
)
Dkgij = ∂kgij - ∂kgij = 0
La divergence de Ai
div Ai = DiAi = ∂iAi+
Am
on a
∂kgij gij ∂kgij -
+
)=0
+
)=0
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gij ∂kgij -
+
=0
= gij ∂kgij
or
* ∂kg= g gij ∂kgij
d'où
=
∂kg
=
d'où une formule sympa
div Ai = DiAi =
=
Tenseur de courbure
Il y deux façons de définit le tenseur de courbure: soit par
le concept "transport parallèle" soit par la dérivée
covariante. On va adopter la deuxième façon.
Calculons donc Du(DvAi) :
Du(DvAi) = ∂u(DvAi)
= ∂u(∂vAi
)
)
32
Du(DvAi) = ∂u∂vAi
Permuter les indices u,v:
Dv(DuAi) = ∂v∂uAi
après la simplication et changement des indices de
sommation on trouve.
Du(DvAi) - Dv(DuAi) =
Du(DvAi) - Dv(DuAi) =
On pose par définition le tenseur de courbure:
Pas facile à retenir par coeur !! et
Attention !! il faut respecter la position des indices (ik)
ainsi i,k peuvent monter ou descendre juste à leur place,
car on verra que ce tenseur est antisymétrique en (ik).
si on descend l'indice k en bas
(respectez la position des indices)
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Quelques propriétés : Rik,vu
Plaçons nous dans un repère normale, dans ce repère les
sont nuls, et Dk = ∂k
=
comme Dkgij = 0 → ∂kgij = 0 donc on peut rentrer gsk dans
∂v et ∂u
=
=
d'où
Compte tenu de ∂vu=∂uv et gij=gji On voit que:
* Ris,vu = - Rsi,vu antisymétrique en (s↔i)
* Rsi,uv = - Rsi,vu antisymétrique en (v↔u)
* Rvu,si = Rsi,vu symétrique en (si)↔(vu)
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on a:
faisons une permutation circulaire des (ivu) on trouve
En additionnant tous les trois:
en tenant compte de ∂uv = ∂vu et gij = gji ce qui donne
0
Tenseur de Ricci
On contracte
avec v=k
Par définition on pose:
Rij
35
Atention !! si on note les positions
la contraction se fait avec les positions (6,3). On démontre
alors que la contraction des indices du même groupe
donne le tenseur nul, du groupe différents donne R ou -R,
On montre que Rij est symétrique (pas évident)
Rij = Rji
Il suffit de montrer que
Pour ça on utilise la relation suivante:
Les autres termes de Rij sont symétriques donc Rij est
symétrique.
Contractons le tenseur de Ricci avec gij on obtient un
invariant R appelé courbure scalaire.
R = gijRij
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L'Identité de Bianchi
On se place dans un repère normal, le tenseur de courbure
vaut
car dans un repère normal
on a Dm=∂m
On fait une permutation des indices (mvu)
Puis en additionnant tous les trois ça donne
+
+
=0
C'est l'identité de Bianchi.
contractons m=k, et attention !! à l'ordre des indices (um)
+
=0
contractons encore avec giv
-
+
=0
On peut rentrer giv dans Dk car Dkgiv=0
-
+
=0
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Ici l'ordre des indices (vk) est important car le tenseur
est antisymétrique en (ik).
-
+
-
+
-
= 0 (ϯ)
+
+
=0
=0
=0
On veut mettre Dk en facteur, on remplace donc Du par
δukDk
-
+
=0
=0
Ca signifie que la divergence du tenseur
est
nul.
=
=
=0→
car on peut sortir gkj de Dk en effet:
Dk(gijAuv) = Dk(gij) Auv+ gijDkAuv=gij DkAuv puisque Dkgij = 0
donc on peut entrer et sortir gij de Dk.
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On pose
ce tenseur est appelé tenseur d'Einstein
c'est un tenseur conservatif, très important en relativité
générale.
(ϯ)NOTE : dans le calcul si on ne fait pas attention, on
trouvra quelque chose de très bizzare,
→
→
→ DuR=0
l'erreur provient de
≠
position (6,3)
puisque la contraction ne se fait pas à la
Encore 3 foumules en intégrale c'est très utile.
on pose:
dΩ=dx0dx1dx2dx3 et Λ=scalaire
théorème d'Ostrogradski
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L'ÉQUATION D'EINSTEIN
GRANDEUR PHYSIQUE
Le but de ce paraghaphe, c'est démontrer l' équation
tensorielle d'Einstein
(¤)
à partir du principe de moindre action.
Mais avant rappellons certaines choses ... certaine quantié
change quand elle passe du repos au mouvement,
par exemple :
le volume : Ω = Ω0/γ (l'indice r , 0 signifie: propre, repos)
la masse : mb = γm (l'indice b=bouge, en mouvement)
l'énergie : E = γE0
la charge volumique : ρ = γρ0
le temps : t =γt0
la longeur : L = L0/γ
et µ la densité de masse (en mouvement) on a:
µ = µrγ2 (indice r=repos=propre) en effet
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Remarque : En relativité on distingue deux mesures: en
mouvement ou propre. En générale on utilise l'indice zéro
0 pour dire propre.
ρ en mouvement, normal
ρ0 propre
t temps normal, en mouvement
t0 = τ = propre
mais pour la masse
m = m0 = propre
mb= en mouvement, bouge
Donc dans une relation il faut savoir si les musures sont
propre ou en mouvement ?
Ici on note µr plutôt que µ0 pour ne pas confondre avec la
perméabilité du vide ε0 µ0 c²=1.
Dans l'équation (¤) le membre de gauche est claire, bien
défini il ne pose donc aucun problème, ce qui pose des
problèmes c'est le membre de droite, l'objet T ij !!
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On ne trouve pas vraiment une définition claire et nette
dans des livres, c'est très confus, il y a des défnitions dont
on ne voit pas la relation avec l'équation (¤) , il y a des
définitions qui ressemblent aux totologies comme 2=2 ....
bref c'est une vraie pagaille.
Pour que l'équation (¤) soit correcte il faut que l'objet Tij
vérifie un certain nombre de conditions, voici les
conditions que l'objet Tij doit vérifier
a) Tij doit être construit à partir de la matière
b) Il doit être un tenseur
c) Symétrique : Tij = Tji
d) Conservatif : div(Tij) = 0 (Dj(Tij) = 0)
or aucun livre donne les détailes de ces vérifications.
Attention: ne pas confondre la dérivée covariante de Ai:
DkAi avec la divergence de Ai: DiAi = div(Ai) en effet:
DkAi = ∂kAi + ΓkimAm (sommation sur m)
div(Ai)= DiAi = ∂iAi + ΓiimAm (sommation sur i,m)
Nous allons discuter sur toutes ces questions. Mais avant
tout, voyons une magnifique intégrale.
42
UNE MAGNIFIQUE INTÉGRALE
Pour bien comprendre la démarche qui mèmne à
l'équation d'Einstein il faut bien comprendre l'intégrale cidessous.
Soit Λij un tenseur d'ordre 2 et 2 fois covariant
, où Λij
ij
peut contenir des paramètres comme µ,q,G, c, g , ∂mgij, ...
on pose alors
Λ=gijΛij et
On veut calculer la variation δSΛ de SΛ par rapport à δgij
on considère que les gij, et ∂mgij sont des variables de Λ et
comme δ se comporte comme l'opérateur différentiel d
alors on a :
+
on va remplacer le dernier morceau par deux autres en
utilisant l'égalité ci-dessous et remarquant que δ∂m = ∂mδ
ça donne
=
+
43
=
-
mais la 2ième intégrale est nulle
=
=
= 0 (th: Ostrogradski)
finalement il reste
-
dΩ
voilà un beau résultat, puis on pose par définition:
-
(*)
d'où
Le Vij se nomme tenseur impulsion-énergie et le Λij se
nomme tenseur densité et le Λ la densité scalaire .
Donc quel que soit le choix de Λij on peut calculer sa
variation δSΛ.
Cette intégrale est magique car elle nous permet d'injeter
Vij dans l'équation d'Einstein !!
La question naturelle est suivante: étant donné un tenseur
Xij comment l'injeter dans l'équation d'Einstein ?
44
autrement dit comment choisir Λij pour que Xij soit le
tenseur impulsion-énergie ?
On va répondre cette question dans le cas de la matière.
On ne va pas casser la tête, on va choisir :
* Λij sans contenir gij, ∂mgij
* Λ sans contenir ∂mgij mais peut contenir gij .
Donc pour la matière, d'après nos choix la relation (*)
devient
=
(formule à connaitre)
=
=
pour la matière Λij ne contient pas les gij
=
45
=
d'où
Vij =
- Λij
V=gijVij = = gij
- gij Λij = 2Λ-Λ = Λ (gijgij = 4)
V=Λ
Ces deux relations sont très importantes, elles sont
indispensables pour retouver l'équation d'Einstein, ce sont
des relations entre le tenseur d'impulsion-énergie et
tenseur densité de la matière.
On part de SΛ = ∫Λ et on arrive à δSΛ=∫-Vij , ces relations cidessus montre que si on prend
Λij =
gij - Vij
on aura Vij comme tenseur impulsion-énergie, autrement
dit pour injeter Vij dans l'équation d'Einstein il faut
prendre ( gij - Vij) comme Λij avec Vij sans contenir gij,
∂kgij.
Donc la réponse à notre question est: il faut prendre
Λij =
gij - Xij avec X =gijXij
L'équation d'Einstein
Tout est prés maintenant pour l'aventure ....
46
Il faut mainteant trouver l'action SΛ de la matière, on va
prendre :
où
Λ = gijΛij
Λij =
- Tij
T = gijTij
Tij = µr
où µr désigne la distrubution de masse propre (au repos)
on note aussi:
tenseur vitesse de l'élément de volume µr
En relativité générale on travaille dans un espace
riemannien (V,ds²) avec
V=variété
ds² = gij dxidxj
donc tout est donné, on a tout !!
et les autres composantes:
47
et
Remarque:
on a
Λij =
- Tij
gijΛij = gij
- gij Tij
Λ = 2Tij - T = T car gijgij = 4
Calculons la variation δSΛ de SΛ par rapport à δgij
Allons y :
Méthode 1 :
Voyons que vaut
:
48
(formule à savoir)
donc
comme Λ=T et Λij =
Λij - Λgij =
- Tij
gij - Tij - Tgij = -Tij
d'où
Waoow ... c'est magnifique non ? on a pu injeter Tij dans
l'équation d'Einstein !!
49
On peut calculer δSΛ par une autre méthode:
Méthode 2:
Note: L'opérateur de variation δ se comporte comme la
différentielle d, et on a δd=dδ ces opérateurs commutent.
δSΛ donne 3 intégrales, on garde la (1) parce qu'on a déjà
le δgij
Pour (2) on a
mais
car Λij ne contient pas
les gij finalement l'intégrale (2) est nulle.
Pour (3)
50
On a déjà calculé:
(formule à savoir)
On change les indices (ij) gijΛij→ gkmΛkm car ils sont fixes
dans l'intégrale
soit
comme Λ=T et Λij =
Λij - Λgij =
- Tij
gij - Tij - Tgij = -Tij
Finalement δSΛ = (1)+(2)+(3) vaut
on trouve bien la même expression.
Pour l'action du champ SR , on va prendre :
51
Le calcul est pratiquement le même, sauf δ(Rij) n'est pas
nul car Rij contient des gij, mais mais ... par miracle son
intégrale est nulle !!! ( l'intégrale (2) est nulle).
Calculons la variation δSR par rapport à δgij
δSR donne 3 intégrales, on garde la (1) parce qu'on a déjà
le δgij
Pour (3)
Avant de remplacer il faut changer des indices gijRij→
gkmRkm car les indices (ij) sont fixes dans l'intégrale
52
Maintenant calculons l'intégrale (2) c'est le plus dur !!
Rappelons d'abord le Rij
Rij = ∂mΓijm - ∂jΓimm + ΓijpΓpmm - ΓimpΓpjm
Puis plaçons nous dans un repère normal, là les Γijk sont
nuls donc il nous reste
Rij = ∂mΓijm - ∂jΓimm
δRij = δ(∂mΓijm - ∂jΓimm ) = ∂m (δΓijm ) - ∂j (δΓimm)
Comme les Γijk sont nuls , la dérivée partielle ∂m est égale
à la dérivée covariante Dm c'est-à-dire ∂m = Dm , d'où
δRij = Dm (δΓijm) - Dj(δΓimm)
gij δRij =
[ gijDm(δΓijm) - gijDj(δΓimm) ]
comme Dmgij = 0 (th: Ricci) , on peut donc rentrer les gij
dans Dm
=
[ Dm (gij δΓijm) - Dj (gij δΓimm) ]
On veut mettre Dm en facteur et non pas d'indice m en bas.
donc on change m -> k dans Γimm et j->m dans Dj ça donne
gij δRij =
[ Dm(gij δΓijm) - Dm(gim δΓikk) ]
53
=
[ Dm (gij δΓijm - gim δΓikk) ]
gij δRij =
DmAm avec Am = gij δΓijm - gim δΓikk
en appliquant la formule d'Ostrogradski cette intégrale (2)
est nulle (la variation sur le bord est nulle).
Finalement δSR = (1)+(2)+(3) vaut
On a δ(SR + SΛ) = 0 (principe de moindre action)
δSR + δSΛ = 0
+
=0
cette inltégrale vaut zéro quel que soit la variation δgij
donc
(Rij - Rgij - χTij)
=0
c'est-à- dire
Rij - Rgij =
Tij
54
On peut écrire l'équation d'Einstein d'une autre façon:
Rij - Rgij =
Tij
gij (Rij - Rgij)=
gij Rij - R gij gij =
R- R=
R=-
Tij gij
Tij gij
T
T
soit Rij =
Tij - Tgij)
Tij est le membre de droite de l'équation d'Einstein, c'est
donc le tenseur impulsion-énergie. Vérifions que Tij
répond bien aux 4 conditions imposées.
(a) On voit donc que Tij est construit à partir de la matière
µr.
On a trouvé
Tij = µr
ça confirme bien que c'est le tenseur impulsion-énergie
car quand on se limite à la relativité restreinte les x'j(xi)
représentent la transformation de Lorentz:
55
et x'2=x2 , x'3 =x3
et
où V est la vitesse de R' par rapport à R et
x0=ct, x1=x, x2=y, x3=z
le Tij devient
Tij = µruiuj
avec
ui = (γc, - γv)
où ui = (γc,- γv) le quatrivecteur de vitesse de l'élément du
volume de µr .
Dans le cas de la relativité restreinte on peut aussi donner
Tij sous une forme de matrice.
56
La matrice Tij est de cette forme parce qu'on a choisi
x0=ct, x1=x, x2=y, x3=z
et la forme quadratique
ds² = c²dt² - dx² - dy² - dz²
certains auteurs adoptent d'autres choix, la forme de la
matrice sera donc différente. En tout cas en Relativité on a
plein de choix pour les constantes, les signatures, les
coordonnées etc ...
ce qui fait que les formules changent de formes, de signe,
de constantes ... bref une vraie pagaille, il n'y a pas de
normalisation, chaqu'un note , prend ce qui veut !!
Par exemple:
x0 = ct , x0 = t , x0 = ict, x0=x ...
ds²=c²dt²-dx²-dy²-dz² , sig=(+---)
ds²=-c²dt² +dx²+dy²+dz² , sig=(-+++)
57
ds²=dx²+dy²+dz²+ (icdt)² , sig=(++++)
....
(b) Comment voire que Tij est un tenseur ?
Visiblement Tij est un tenseur dans le sens de la relativité
restreinte c'est-à-dire on a:
T'uv = LuiLvj Tij où Lji est la matrice de Lorentz,
pour passer à la relativité générale il faut avoir la relation
T'uv =
Tij où x'u(xi) est une transformation
quelconque , pas forcément la transformation de Lorentz.
On va prendre Tij voir si Tij est un tenseur, on a :
Tij = µr c²
et
T'uv =µr c²
or
d'où
58
Ce qui montre que Tij (donc Tij) est bien un tenseur.
(c) Il est visiblement que Tij est symétrique,
(d) Il faut maintenant voir si Tij se conserve c'est-à-dire
div(Tij) = DjTij = 0
Comme Tij = µr ui uj , (
ça donne
Dj(Tij) = Dj(µr ui uj) = µr Dj(ui uj) = µr Dj(ui) uj + µr ui Dj(uj)
= µr Dj(ui) uj + ui Dj(µr uj)
or Dj(µ uj) = 0 ⇒ Dj(µr uj) = 0 car il y a la conservation de
masse (comme dans le cas de conservation de charge
Dj(ρuj) = 0 ) il nous reste donc
Dj(Tij) = µr uj Dj(ui) = µr c Dj(ui)
= µr c
Dj(Tij) = µr c
or Dui = D(gij uj) = D(gij) uj + gij D(uj) = gij D(uj)
car D(gij) = 0 (théorème de Ricci)
59
donc
Placçons nous dans un repère normal, les gamma Γjkm sont
nuls. Et la distribution µr n'a pas d'interaction avec
extérieur (particule libre) la vitesse de la distribution est
constante donc il n'y a pas d'accélération .
finalement on a bien
Dj(Tij) = 0
QUELQUES REMARQUES SUR L'EQUATION
D'EINSTEIN
L'équation d'Einstein s'écrit donc:
Rij - Rgij =
Tij
[A] Comme je l'ai déjà dit le membre de droite, l'objet Tij
pose vraiment un problème de clarté. En effet dans des
livres comme dans:
60
Éléctromagnétisme et Gavitation Relativistes (Jean-Claude
BOUDENOT) page 159 il donne Tij comme par définition:
Sans nous dire ce que c'est Λ, ce qu'il vaut ? c'est assez
agaçant !!!
de même dans Théorie des champs (L. LANDAU / E.
LIFCHITZ) page 353 c'est pareille !
On lit dans certain article provenant de l'internet qui
donne la définition de Tij un peu prés pareille
Là aussi il ne dit pas ce que c'est SM !!
Hrumm Hrrumm .....
Les gens se sont contentés de copier/coller sans rien
ajouter une touche personnelle, une explication propre, un
détail de démontration, ... ça enrichira le texte original. Le
copie pur et dur je trouve que c'est assez nul comme
démarche !!
[B] On voit aussi la définition Tij comme
Tij = µuiuj où ui = (γc, -γv)
Il y a deux problèmes dans cette définition:
61
1. On ne voit pas comment intégrer ce T ij dans l'équation
d'Einstein ! pour cela il faut relier µuiuj avec Λ mais
comment ??? donc on n'a pas plus avancé.
2. On relativité générale on manipule les tenseurs, la
définition ci-dessus n'est pas suffissante car on voit qu'elle
s'est transformé en Lorentzien seulement et pas pour
toutes les transformations comme exige de la relativité
générale.
On sait donner l'action du champs
Mais personne ne sait donner l'action de la matière !!
personne ne sait dire ce que c'est Λ !!
J'ai donc décidé attaquer le problème, et j'ai mis quand
mêm beaucoup de temps ... bref en fait il faut expliquer de
façon suivante.
Pour la matière on a un tenseur Λij à choisir
convenablement à notre aventage, il faut choisir un Λij qui
ne contient pas les gij et ∂mgij .
Et ummbala umbala... et huppp on prend !!!!
Λij =
avec
- Tij
62
Tij = µr
T = gijTij , Λ = gijΛij .
et pour l'action on prendra
c'est tout !
Q1: Qu'est ce que c'est le tenseur impulsion-énergie ?
R1: C'est le tenseur Vij donné par la formule (*)
Q2: Comment calculer le tenseur impulsion-énergie ?
R2: Il faut connaitre le tenseur densité Λij et appliquer la
formule (*)
Par exemple pour le champ électromagnétique on connait
le tenseur densité Λij = ∩ij
Λij = ∩ij =
gkmFikFjm ,
donc ∩ = gij∩ij
Le tenseur impulsion-énergie Uij du champ
électromagnétique est donc
63
=
Attention ! il faut changer d'indices gij∩ij → guv∩uv sinon le
calcul sera faux car les indices (ij) sont fixes par gij
=
=
=
=
Comme Fij est antysymétrique , il faut respecter la position
quand on monte ou descend des indices.
=
On change des indices sum dans
=
car on a la symétrie suivante:
→
64
Pour remplacer ∩, il faut changer des indices (ij)→(st) :
→
avant de remplacer dans
l'expression car les (ij) ils sont fixes dans l'expression.
et
=
finalement
.
C'est bien le tenseur impulsion-énergie du champ
électromagnétique. Il est symétrique et conservatif
Uij = Uji
Ceci montre Uij est symétrique
DkUik =0
65
Pour passer au contravariant on multiplie Uij par giugjv
.
giugjv
.
Note: on a la symétrie suivante:
L'action du champ électromagmétique vaut:
ce qui donne sa variation
Donc en présent du champ éléctromagnétique l'équation
d'Einstein devient
Rij - Rgij =
(Tij+Uij)
Il faut noter que ∩ est un invariant, en effet on a:
∩ = gij∩ij =
(B² - )
* De même pour la matière, le tenseur densité est donné
par:
66
Λij =
- Tij
avec
Tij = µr
T = gijTij
ainsi on a pu injeter Tij dans l'équation d'Einstein cela
confirme bien que Tij est le tenseur impulsion-énergie !!
finalemnt on a trois belles actions :
pour le champ gravitationnel
pour la matière
pour le champ électromagnétique
qui ont une structure très semblables.
il faut noter que
n'est pas un quadrivecteur
x'u(xi)
puisque les
sont des transformations quelconque
pas seulement des tranformations de Lorentz.
On peut bricoller, fabriquer ... un tenseur Xij et l'appeler ce
que vous voulez : tenseur tordu, tenseur torchon, ... et
même tenseur impulsion-énergie, ce n'est pas parce qu'on
a donné le nom 'tenseur impulsion-énergie' qu'il est le
tenseur impulsion-énergie !
67
Xij est le tenseur impulsion-énergie si on peut l'injecter
dans l'équation d'Einstein ou Xij=Vij il provient de la
relation (*).
Autrement dit il n'y a que deux façons de voir si un
tenseur donné Xij est un tenseur impulsion-énergie
1. Soit: Il faut trouver un Λij , Λ=gijΛij tel que:
2. Soit: Prouver la relation:
Rij - Rgij =
Xij
[D] Si on regarde de plus près la démontration de
l'équation d'Einstein on peut admirer la nature, car elle
fait tout exactement pour que ça marche !
1. Pour la matière on a chosir Λij tel que δ(Λij)=0 donc
∫ δ(Λij)=0 mais l'intégrale
= 0 provient du miracle
car Rij contient des gij, il faut existence des théorèmes
comme théorème de Ricci, théorème d'Ostrogradski etc....
2. Une chose très importante on a Λ=T , sans cette relation
on est coincé !!
3. Il faut noter que dans les actions SΛ et SR il faut que Λ et
R soient scalaires invariants par changement de
référentiel.
comme Λ=T allons voir pour T.
68
On a :
Tij = µr c²
or
ds² = gij dxidxj → 1 = gij
→ µrc² = gij µrc²
µrc² = gijTij = T = Λ
Ce qui montre bien que Λ est invariant par changement de
repère puisque µr est propre et c invariant.
Pour R, on a la relation
R = -χT = -
µr
Que des constantes donc invariant par changement du
repère
4. Il faut bien comprendre que le tenseur impulsionénergie est par définition donné par la relation (*). quant à
Tij = µr
c'est ce qu'on a trouvé (d'après la définition), ce n'est pas
une définition !!
Résumons :
1. Pour la matière le tenseur impulsion-énergie Tij est
donné par la formule:
69
où Λ=gijΛij et Λij =
gij - µr
Et le calcul montre que Tij vaut:
Tij = µr
2. On peut injeter ce tenseur Tij dans l'équation d'Einstein
(à droite) ce qui prouve qu'il est bien le tenseur
impulsion-énergie.
3. Ce tenseur possède toutes les propriétés requises:
symétrique, conservatif etc....
4. Le
n'est pas un quadrivecteur (comme
beaucoup de gens en pensent) mais un tenseur, il est un
quadrivecteur si on est dans l'espace-temps de Minkowski,
autrement dit si on est en relativité restreinte.
En relativité restreinte le :
Tij = µuiui avec ui=(γc,-γv)
est un "tenseur" dans le sens de la relativité restreinte
c'est-à-dire on a:
T'uv = LiuLjv Tij
Cette formule
70
ressemble beaucoup à
71
LIMITE NEWTONNIEN
On voudrait retrouver la mécanique newtonienne en
supposant que le champ et la vitesse sont faibles,
autrement dit on veut trouver l'équation
∆ϕ = 4πGµ où µ = distribution de masse
à partir de l'équations d'Einstein.
Rij - Rgij = χTij (a)
On peut écrire cette équation sous une autre forme
gij Rij - gij gij R = χ gij Tij
-R = χT
(a) devient
Rij +
χTgij = χTij
Rij = χ(Tij - Tgij) (b)
Dire que le champ et la vitesse sont faibles revient à
supposer:
1) Tij = 0 partout sauf T00 = µrγ2c2, ⇒ T=Tii=T00
2) Rij = 0 partout sauf R00
3) Le champ gij est de la forme
72
gij = ηij + hij
où ηij=0 partout sauf η00=1, η11 = -1, η22 = -1, η33 = -1 et
g00 = 1 +
= η00 + h00 ⇒ h00 =
Remarque on aura aussi (règles de monter/descendre des
indices dans l'espace de Minkowski) η00 = 1, η11 = -1, η22 =
-1, η33 = -1
On utilise la forme (b) de l'équation et comme le champ
est faible on remplace gij → ηij
R00 = χ(T00 - η00T)
soit
R00 = χT00
Quand le champ est faible il ne reste que R00
R00 = ∂mΓ00m
Γijm =
ηmk(∂ihjk + ∂jhik - ∂khij)
Γ00m = ηmk(∂0h0k + ∂0h0k - ∂kh00)
Mais ∂0 = 0 , car le champ est statique, pas de dérivé en t
Γ00m = -
ηmk ∂kh00
∂m Γ00m = -
ηmk ∂m∂kh00
73
∂m Γ00m = ∂m Γ00m =
R00 =
ηmm ∂m∂mh00
∂2m ( )
∆ϕ
∆ϕ = χT00
∆ϕ = χ µrγ2c4
or µrγ2 = µ d'où
∆ϕ =
µrγ2 c4
∆ϕ = 4πG µ yzoupi !
74
LA METRIQUE DE SCHWA RZSCHILD
En 1916 Schwarzschild donne une solution de l'équation
d'Einstein pour un astre à symétrie sphérique de masse M
de rayon R, c'est-à-dire la géométrie ds² de l'espace-temps
autour de l'astre (r>R) .
Nous allons retrouver cette métrique, et acrochez-vous il y
a beaucoup de calculs.
La symétrie sphérique impose ds² de la forme:
où ν=ν(r,t) et λ=λ(r,t) à trouver
Pour trouver cette métrique, il faut résoudre l'équation
d'Einstein Rij=0.
Allons y, il faut calculer gij → gij → Γijk → Rij c'est du boulot !!
rappel:
Rij =
75
On note:
et
76
L'équation Rij=0 s'écrit alors:
(1)
(2)
(3)
=0 (4)
(4) →
→ λ=λ(r) λ ne dépend pas du temps.
(1)-(2) → ν'+λ'=0(5) → ν+λ=k cte →
ν=ν(r) ν ne dépend pas du temps.
de (3) et (5)
on pose y=
y + ry' = 1 → y' = - r-1 y + r-1 (6)
→
77
C'est une équation différentielle de Riccati qui se résoud si
on connait une solution particulière. En effet soit y 0 une
solution particulière de (6) on pose
y = y0 + u
y'=y0'+u' = - r-1 (y0+u ) + r-1
y0'+u' = - r-1 y0 - r-1 u + r-1
u' = - r-1 u puisque y0 est une solution de (6)
c'est une équation à variables séparées, donc on les
sépare! !
soit
ln(u) = ln(1/r) + ln(u0) où u0=constante (à trouver)
ln(u) = ln(u0/r)
u=
et
y = y0 +
La solution particulière y0 est évident, c'est y0=1 !!!
y=1+
il nous reste maintenant de trouver la constante u0
78
on sait que
g00 = 1+
1+
et ici on a g00 = 1 +
=1+
u0=
donc finalement
y=1
voyons la relation
ν+λ=k →
quand r→∞ on veut que la métrique devient la métrique
de Minkowski c'est à dire
→1 donc →1
autrement dit k=0.
d'où
79
Et voilà ce beau résultat
et on pose
rayon de Schwazschild
Il faut noter que d'après le théorème de Birkhoff non
seulement la métrique de Schwazschild est une bonne
solution mais c'est la seule !!
C'est un champ crée à l'extérieur de l'astre (dans le vide, il
n'y a pas d'autre masse que la masse centrale M) , par un
astre M à symétrie sphérique.
80
Si on veut voir ce qui se passe à l'intérieur de l'astre il faut
trouver une autre solution, la solution ci-dessus décrit
seulement la déformation de l'espace à l'extérieur de
l'astre (r>R et Tij=0) , à l'intérieur de l'astre Tij≠0.
On voit que cette solution comporte 2 singularités:
1) Quand r=0 , mais ce n'est pas très surprenant car on a
déjà rencontré ce genre de singularité en électrostatique
avec la loi de Coulomb:
2) Quand le rayon r=K , on appelle cette singularité la
singularité de Schwarzschild.
Cette singulalité conduit à l'existance des trous noirs, les
astres dont le rayon R≤K !!!
81
Pour un astre de rayon R.
I. Que ce passe t-il quand R=K ? ⇒ il n'y a plus de temps, dt
disparait et on tombe sur l'infini ∞ '
ç
dire ?
II Q
< ⇒
permutés !! l'espace de vient le temps et le temps devient
l'espace !!??
Bref ... c'est vraiment étrange.....
En fait la singualité de Schwarzschild n'est pas une vraie
singularité !! ce n'est pas une singualité sur la variété.
Il y a deux façons de voir cela, on peut voir par le
déterminant de gij
dét(gij) = g = -r4sin2θ < 0 quand r=K on a toujours g<0
82
donc pas de singularité, par contre on a un vrai problème
quand r=0 (la forme quadratique ds² est dégénérée en
zéro 0).
on peut aussi calculer l'invariant Pétrov du tenseur
courbure Rki,uv
I1 = Rki,uv Rki,uv =
, Q dépend de la variété et non des
coordonnées, quand r=K il n'y a aucun problème sur la
variété (par contre il y a une vraie singularité pour r=0)
La singualité de Schwarzschild apparait par ce qu'on a
utilisé un mauvais paramétrage , un mauvais système de
coordonnées curvilignes (ct,r,ϴ,ϕ) .
On peut faire disparaitre cette singularité en changeant de
coordonnées !
on prend:
ct
(Eddington-Finkelstein)
et la métrique ds² devient:
ds² = (1
)c²dt² - 2c dtdr - (1
)dr² -r²dϴ² - r²sin²ϴdϕ²
quand r=K il n'y a plus de singularité !!!
83
Remarque : on a
Ksoleil=3km
Kterre=9mm
Donc pas de panique !! le soleil ou la terre ne sont pas des
trous noirs !!!
LES GÉODÉSIQUES
Une géodésique est un chemin (une courbe) de V qui
demande le moindre d'effort (δS=0) lorsqu'on l'emprunte.
Il y a plusieurs façons de trouver les géodésiques de la
variété, on peut les trouver par ex, à partir du principe de
moindre action .
→ δSl = 0 où Sl = action de la particule libre
mais la plus simple c'est utiliser la dérivée covariante, en
effet le principe d'équivalance nous permet de passer de
'd' à 'D'.
En relativité restreinte une particule libre suit une
géodésique suivant l'équation :
84
où ui=(γc,γv) est le quadrivecteur de vitesse de la
particule.
En relativité générale, il suffit de remplacer 'd' par 'D' donc
une particule test dans un champ de gravitation suit une
géodésique dont équation est:
Or
Dui=dui+
ujdxk
d'où en divisant pas ds ça donne
d'où
Remarque : cette équation n'est valable que pour une
particule m de masse non nul, mais pas pour la lumière
(un photon), en effet pour un photon le ds=0 !! car
r=ct → dr=cdt
85
ds² = c²dt² - dr² = c²dt² - c²dt²=0
il faut alors utiliser un autre paramétrage. En optique
géométrique on démontre que le quadrivecteur d'onde
ki = (ω/c,k) où k=
est paramétré par un paramètre
nommé σ et on a :
et dki = 0
ce qui nous donne Dki=0 d'où
Donc pour une masse non nul on utilise le quadrivecteur
vitesse ui et dui=0 , pour la lumière on utilise le
quadrivecteur d'onde ki et dki=0.
86
L'ÉQUATION DE LA TRAJECTOIR
En relativité générale, l'espace-temps est courbé par les
masses, et une particule test doit suivre la géodésique de
cet espace-temps.
On va chercher l'équation des géodésiques de cette espace
pour la métrique de Schwazschild.
x0=ct, x1=r, x2=θ, x3=ϕ
On impose que θ=π/2 → mouvement dans le plan (M,v) et
on note
Nous avons besoin seulement
et
et
87
pour
: t''+
=0
pour
: ϕ''+ r'ϕ' =0
t''+
=0 →
t''+
or
]' =
+
]' = 0 →
'
=β constante
de même
ϕ''+ r'ϕ' =0 → r²ϕ''+2rr'ϕ' =0
or
(r²ϕ')'=2rr'ϕ'+r²ϕ''
(r²ϕ')'=0 → r²ϕ'=α constante
comme θ=π/2 le ds² devient
divisons tous par ds
=0
88
Et voilà ...
C'est l'équation des géodésiques, pour avoir l'équation du
mouvement il suffit de remplacer
par
(τ=temps
propre, ou t=temps 'usuel' ) autrement dit exprimer r=r(τ)
ou r=r(t).
Et si on veut la trajectoire il suffit de remplacer
autrement dit exprimer r=r(ϕ).
Maintenant chechons la trajectoire de la particule.
on a:
posons u=1/r →
(1- Ku)α-2 = c²β²α-2 -
- u²(1-Ku)
par
89
dérivons cette relation par rapport à ϕ
+3K
simplifier du/dϕ
+3K
finalement l'équation de la trajectoire est
+
90
VÉRIFICATIONS
L' avance de périhélie de Mercure
On a trouvé l'équation de la trajectoire d'une particule test
plongé dans la métrique de Schwarzschild
où
et h=αc=cr²
Voyons le cas newtonnien, dans ce cas l'équation devient
et la solution vaut:
→
C'est donc une éllipse.
Pour résoudre l'équation (1) on va utiliser la méthode des
petites "perturbations"
On pose
u=µ+ν=
(1+ecosϕ)+ν
u'=µ'+ν' =
esinϕ+ν'
91
u'' =
u''+u =
ecosϕ+ν''
ecosϕ+ν''+
(1+ecosϕ)+ν =
ν''+ν=
ν''+ν' =
On vire 2µν et ν² car ils sont trop petits !!!
ν''+ν' =
(1+ecosϕ)²
ν''+ν=A(1+2ecosϕ+e²cos²ϕ)
où A=
Cherchons une solution de la forme :
ν = A(α+βcos2ϕ+eΦsinϕ)
Il suffit de dériver cette expression et essaie de trouver α,β
allons y
ν'=A(2βsin2ϕ + esinϕ + eϕcosϕ)
ν''=A(4βcos2ϕ + ecosϕ + ecosϕ - eϕsinϕ)
ν''+ν=A(α+5βcos2ϕ+2ecosϕ)
ν''+ν=A(α+5β(2cos²ϕ - 1)+2ecosϕ)
ν''+ν=A(α+10βcos²ϕ - 5β+2ecosϕ)
92
On identifie donc
10β=e²
α - 5β = 1
d'où
β=
α=1 +
finalement
ν= A(1 +
+
cos2ϕ+eϕsinϕ)
On va tout virer et garder seulement
ν = Aeϕsinϕ
car les autres termes sont trop petits.
u=µ+ν=
u=
(1+ecosϕ)++
eϕsinϕ
(1+ecosϕ+beϕsinϕ) avec
comme
cos(ϕ - bϕ)=cosϕ.cosbϕ+sinϕ.sinbϕ
or bϕ est petit on peut prendre cosbϕ=1 et sinbϕ=bϕ
donc
93
cos(ϕ - bϕ)=cosϕ+bϕsinϕ
finalement (huuff !!)
u=
[ 1+ecos(ϕ(1-b)) ]
On voit que la solution est périodique de période
plus grande que T1= 2π,
donc l'avance de l'angle vaut
on vire 1-b car
94
or
d'où
sachant les formules
rayons de Schwarzschild
p=a(1-e²) (relation pour une ellipse: p=paramètre,
a=demi-grand axe, e =excentricité)
(troisième loi de Kepler)
On peut écrire δ de plusieurs façons
Pour le Mercure on a:
95
a=5,795.
m ; e=0,2056 ; T=7,60234.
s
on trouve: δ=43",03 (par siècle)
Dérivation de la lumière
En relativité générale, l'espace est courbé par des masses,
donc la trajectoire d'un rayon lumineux (un photon) ne
serait pas une droite mais suit la géodésique de l'espace,
en un mot la trajectoire serait courbée. de plus pour un
photon on a ds=0 effet
ds²=c²dt²-dr² comme dr=cdt (la vitesse du photon vaut c)
ds²=c²dt²-c²dt²=0
C'est le même calcul ...
L'équation de la trajectoire est
où
et
Mais dans le cas du photon on a:
puisque ds=0,
l'équation se réduit à
Comme tout à heure on cherche la solution de:
96
et la solution vaut:
µ = αsinϕ
voyons que vaut α. Quand il n'y a pas de masse centrale M,
le photon va tout droit donc
finalement µ vaut
posons
u = µ+ν
u'=µ'+ν'=cosϕ/d + ν'
97
u''=µ''+ν''= -sinϕ/d + v''
u''+u=-sinϕ/d + v''+ sinϕ/d +ν=
ν''+ν=
ν''+ν=
Puis on vire 2µν et ν² , ils sont trop petits
ν''+ν=
ν''+ν=
Cherchons la solution de la forme:
ν=α+βcos2ϕ
allons y
ν'= - 2βsin2ϕ
ν'' = -4βcos2ϕ
ν''+ν=-3βcos2ϕ+ α=-3β(1-2sin²ϕ)+α=α-3β+6βsin²ϕ
on identifie avec:
α-3β+6βsin²ϕ=
ça donne
98
α-3β=0
d'où
ν=α+βcos2ϕ=
finalement
u = µ+ν =
+
quand r→∞ on a u→0, donc quand on est très loin de la
masse centrale M on a
0=
+
mais dans ce cas l'angle ϕ est très petit , on prendre:
sinϕ=ϕ, cos2ϕ=1 d'où
0= +
ϕ=
99
quand on est à l'infini on voit bien que l'angle est négatif.
En entrant le point d'impact le rayon a dévié d'un angle ϕ
et en sortant du point d'impact il a dévié aussi un angle ϕ
(c'est symétrique) donc la déviation totale est δ=2|ϕ|
δ=
Voyons pour notre soleil, un rayon lumineux venant d'une
étoile passe en rasant le bord solaire, dévie d'un angle δ
δ=1",75
avec
Msoleil=1,991.1030kg ; Rsoleil=6,9595.108m
Note: en théorie newtonienne la déviation donne:
δnewton =
=
100