La résistance des matériaux simplifiée. Calcul immédiat des fermes

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LA RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX SIMPLIFIÉE
LOUIS C O M M A N D E U R
tNGÉNIEÛR MÉCANICIEN E.C.t.
BOULEVARD DES BROTTEAUX, 1
LYON .
CALCUL IMMÊ#
itf
DES
FERMES DE CHARPENTE
En Fer et en Bois
N O U V E L L E METHODE
PAR
LOUIS DURAND
Ing"éni©vir o i v l l d e s M!in.©s
DROITS
RÉSERVES
SAIfSCT-ÉTIEWWE
IMPRIMERIE TYPOGRAPHIQUE ET LITHOGRAPHIQUE
RÉG IS
NEYRET
TOUS
DROITS
RÉSERVÉS
AVANT-PROPOS
Lorsqu'on est chargé de dresser un projet de construction, le temps dont on dispose est
généralement très limité; aussi arrive-t-il fréquemment que le rédacteur d'un projet, après avoir
perdu un temps précieux à parcourir les auteurs traitant de la question, ne rencontrant que des
calculs compliqués et des formules convenant peu pour une solution rapide, finit par se résoudre
à puiser dans un album ou recueil quelconque, dans l'espoir d'y trouver un ouvrage à peu près
similaire de celui qu'il doit édifier. Il est bien rare que l'on rencontre
tout fait, un ouvrage
convenant entièrement au cas que l'on doit traiter, et alors, si le rédacteur du projet ne possède
pas une instruction technique suffisante pour bien se pénétrer de l'influence des modifications qu'il
apporte, il s'expose à des mécomptes de divers genres, dont le moindre est une exagération des
dimensions et, par suite, une dépense inutile.
Les questions les plus usuelles de la résistance des matériaux demandent, pour être traitées
théoriquement, des connaissances que ne possèdent pas à un degré suffisant tous ceux qui peuvent
être appelés à faire des applications de cette science, d'où la grande faveur des procédés empiriques :
tableaux, barèmes, graphiques, etc., n'exigeant qu'une instruction élémentaire et permettant cependant
de résoudre, vite et bien, la plupart des problèmes de la construction courante.
Depuis quelques années, les procédés graphiques ont permis de simplifier singulièrement la
pratique
de la résistance des matériaux ; la statique
graphique a, sur l'analyse mathématique,
l'avantage inappréciable de donner l'image exacte de la variation des efforts, d'où
l'on
déduit
ensuite très facilement une distribution rationnelle de la matière. — Certains problèmes dont la
solution analytique conduit à des calculs inextricables sont résolus par les procédés
graphiques
avec la plus grande facilité et surtout avec une rapidité extraordinaire. La statique graphique est
attrayante, facile à comprendre et n'exige que la connaissance de quelques principes de mécanique
élémentaire : règle du parallélogramme des forces et théorème des moments ; elle peut donc être
étudiée avec fruit par tous ceux qui possèdent l'instruction secondaire, mais reste inaccessible à
ceux qui n'ont reçu qu'une instruction élémentaire.
Le travail qui forme l'obiet de cet ouvrage tient de la méthode analytique et de la méthode
graphique : le calcul d'une ferme de charpente étant un problème usuel, nous
avons pensé qu'il
y avait quelque intérêt à indiquer des solutions simples et vraiment à la portée de tous.
Les lecteurs qui connaîtront la statique graphique penseront de prime abord que notre travail
ne peut leur être d'aucune utilité ; il nous suffira de leur
rappeler qu'une épure statique exige
toujours un certain effort intellectuel, qui sera complètement évité avec nos formules ou avec nos
diagrammes. Quant aux lecteurs ne possédant qu'une instruction élémentaire et, par suite, ignorant
la statique graphique, nous pensons qu'ils éprouveront une certaine satisfaction en rencontrant une
méthode donnant la solution cherchée
avec un
minimum
de temps
et
un effort
intellectuel
presque nul.
Nos formules font ressortir les rapports harmoniques existant entre les efforts des différents
éléments d'une ferme, rapports que la statique graphique elle-même ne mettait pas
suffisamment
en lumière.
Nos diagrammes des efforts ne sont que la traduction graphique des formules; ils ont l'avantage bien appréciable de permettre à toute personne connaissant l'usage de la règle et du compas
de pouvoir déterminer, avec une rapidité surprenante et sans aucun travail intellectuel, tous les
efforts d'extension et de compression subis par les divers orgajies d'une ferme. Dans tous les cas,
ces diagrammes constitueront un contrôle sûr des résultats obtenus par le calcul et rendront ainsi
toute erreur impossible.
INTRODUCTION
ET
CONSIDÉRATIONS
GÉNÉRALES
Dans une ferme de charpente, certains organes travaillent à l'extension, d'autres à la compression (i),
et quelquefois, simultanément à la flexion; la présence de ce dernier mode de travail entraîne presque
toujours une solution défectueuse ; il n'est pas économique et doit être évité le plus possible ; on sait que
pour atteindre ce but il suffit, dans une ferme de charpente, de faire coïncider les points d'appui
des pannes avec les nœuds des fermes (points de rencontre des divers éléments) et de ne pas
interposer d'autres pannes.
Ainsi, considérons, par exemple, un Polonceau simple à deux bielles bm et nd ; si on se borne
à placer des pannes aux points a, b, c, d, e, on n'aura que des efforts d'extension et de compression :
compression pour les éléments ab, bc, cd, de, composant les arbalétriers, et aussi pour les deux
bielles bm, nd ; tous les autres éléments am, me, en, ne et mn, appelés tirants, ne travailleront qu'à
l'extension. Nous ferons remarquer, en passant, que ces derniers éléments pourraient être constitués
par des organes filiformes, tels que des cordes ou des câbles; en effet, il n'est pas nécessaire qu'ils
possèdent une rigidité longitudinale, puisque les seules forces qui les sollicitent tendent à éloigner
leurs deux extrémités. Les éléments des arbalétriers et les deux bielles bm et nd travaillent, au
contraire, à la compression, c'est-à-dire qu'ils sont sollicités par des forces tendant à rapprocher
leurs deux extrémités, d'où l'absolue nécessité de leur donner une structure aussi rigide que possible,
eu égard à la quantité de matière employée ; aussi choisit-on de préférence,
pour ces derniers
organes, des fers double T à larges .ailes pour les arbalétriers et des fers à section cruciforme pour
les bielles.
Supposons maintenant que l'on vienne interposer des pannes aux points i, 2, 3, 4; de ce fait,
tous les efforts d'extension et de compression déjà
développera, en outre,
des efforts
existants subiront un accroissement et il se
de flexion dans les quatre tronçons des arbalétriers. Pour
(1) Dans tous les profils de ferme qui suivront, les organes représentés par des gros traits sont ceux qui travaillent
à la compression.
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déterminer les nouvelles
sections qui conviendraient, il faudrait,
évidemment, tenir compte des
nouveaux efforts engendrés. On calculerait séparément le taux du travail de la matière pour la
flexion seule et on l'ajouterait à celui qu'on aurait trouvé, d'autre part, pour les nouveaux efforts
de compression.
Pour une ferme établie suivant la dernière hypothèse, nos formules ne donneraient pas la
solution complète de la question (elles n'ont été établies qu'en vue des efforts d'extension et de
compression) ; du reste, dans ce cas, la statique graphique elle-même est également impuissante ;
après avoir fait une épure pour déterminer les efforts d'extension et de compression, on est obligé
de traiter l'arbalétrier à part, de le considérer comme une poutre appuyée ou partiellement encastrée
aux points a, b, c, et de déterminer séparément son travail à la flexion.
Il est donc bien entendu que nous ne considérons que des fermes chargées à leurs nœuds et ne
pouvant, par suite, subir dans chacun de leurs éléments que des efforts d'extension ou de compression ;
— nous répétons que ce mode de construction est le plus rationnel, le plus économique et le seul
dont les solutions puissent être données directement par nos formules ou par la statique graphique.
Nous nous sommes seulement proposé de donner en kilogrammes
la valeur de l'effort subi
par chacun des éléments ; nous laissons au lecteur le soin de choisir la matière, la forme la plus
convenable de la section pour éviter le flambage, de disposer les assemblages, etc., etc.
Ces dernières questions ne sont certainement pas à négliger dans la préparation d'un projet,
mais on les trouve traitées dans tous les ouvrages, et n'ayant, quant à présent, rien à proposer
de meilleur que ce qui existe, nons n'avons pas cru devoir nous encombrer de simples reproductions ; nous nous sommes strictement renfermé dans la question de la détermination des efforts,
qui est d'importance capitale.
Lorsqu'on connaîtra l'effort subi par un organe, il sera très facile d'en déduire la section :
on sait, que pour le fer, on prend généralement, pour les charpentes, 8 Kg pour le taux du travail
F
par millimètre carré, soit F l'effort en kilogrammes ; -g donnera la section en millimètres carrés (i).
Pour le bois, le taux du travail varie suivant la qualité et la nature du bois mis en œuvre ;
il est généralement compris entre 60 et 80 Kg par centimètre carré.
Nous croyons devoir indiquer ici les considérations qui nous ont guidé dans nos recherches.
Dans tout projet de charpente, il y a lieu de considérer la portée des fermes, leur espacement
et la charge qu'elles doivent supporter ; cette charge est variable suivant la nature et la composition
de la couverture (tuiles de diverses formes, ardoises, zinc, etc.). La portée et l'espacement sont ce que
nous appellerons des données directes ; quant à la charge,
il appartient au
constructeur
de la
déterminer; on trouve dans tous les traités spéciaux les charges par mètre carré superficiel pour
toutes les couvertures usitées.
Il ne faut pas oublier que ce terme doit comprendre également la surcharge due à la neige,
(,) Lorsqu'une pièce travaillera à la compression, il faudra, en outre, se préoccuper de sa résistance au flambage ; la plupart
des ouvrages et des a.de-memo.re donnent les formules qu'il convient d'appliquer, lorsque ce genre de flexion est à redouter.
la pression du vent et même le poids propre de la ferme, qui se détermine par analogie ou par
une étude approximative et préalable.
Nous supposons que le rédacteur du projet ait déjà fait, dans des ouvrages spéciaux, les
recherches nécessaires et qu'il ait, finalement, déterminé l'effort total par mètre carré superficiel (non
projeté) que doit supporter la charpente qu'il veut calculer (i). Etant en possession de ces trois
quantités : espacement, portée, poids total du mètre carré superficiel, considérons-les, pour un instant,
comme des variables et demandons-nous quelle pourrait être l'influence de chacune d'elles sur l'effort
éprouvé par chaque élément d'une
ferme? ou bien, pour parler d'une
façon moins abstraite>
supposons que nous ayons, par un procédé quelconque, calculé les efforts subis par tous les éléments
d'une ferme, avec un espacement, une portée et une charge déterminés ; qu'adviendra-t-il si nous
faisons varier séparément où simultanément ces trois données ?
.
Il est très facile de démontrer que l'effort d'un élément quelconque varie proportionnellement à
l'une ou l'autre de ces trois quantités et, par suite, à leur produit; d'où, si nous les désignons par
les lettres E, l, p, dans toutes nos formules, quel que soit le type de la ferme,
l'expression de
l'effort F subi par un organe quelconque pourra toujours comprendre le produit ExlXp
avec un coefficient numérique et un certain nombre de fonctions (fu f„f3...),
combiné
qui ne sont autre chose
que des expressions trigonométriques ou des fonctions circulaires, de sorte que la formule générale
d'un effort quelconque sera :
F = (coefficient numérique) X ElpX
(f„f,f,
)
fonctions L'iiculaîros ou trigonotnétriqups.
Nous avons trouvé que le nombre des fonctions f pouvait, après avoir fait les transformations
nécessaires, être très réduit, 5 au maximum (2) et nous les avons calculées pour toutes les valeurs de
l'angle, depuis o° à 900, de )o' en 30', ce qui, en pratique, est largement suffisant \ cependant, si le
lecteur voulait une plus grande approximation, il lui serait loisible de faire l'interpolation proportionnelle (elle ne serait utile que pour le calcul des fermes de très grande portée).
Nous avons pensé qu'il serait inutile et peut-être même nuisible de donner ici les démonstrations
de nos formules (3); la reproduction de nos calculs serait longue et fastidieuse ; nous avons suffisamment indiqué la voie suivie pour que les lecteurs qui ont quelque pratique de l'analyse mathématique la plus élémentaire et quelques notions dé mécanique puissent, s'ils le désirent, les établir
eux-mêmes; quant à ceux dont l'instruction serait insuffisante pour leur permettre de se livrer à
cet exercice, la simple vue de nombreux symboles pourrait les décourager et leur faire
rejeter,
a priori, notre travail, avant même d'en avoir connu le côté utilitaire.
Nous avons fait disparaître jusqu'aux désignations habituelles de la trigonométrie,
afin de
permettre à ceux de nos lecteurs ne possédant qu'une instruction élémentaire de pouvoir se servir
avec fruit de nos recherches.
(1) Nous donnons, sous le titre Renseignements pratiques, deux tableaux dont les données pourront servir pour tous les
projets courants.
1
(2) Ces cinq fonctions sont :
1
1
-,
,
, cosinus et tangente.
sinus cosinus sinus, cosinus
(3} Nous avons publié la théorie de notre méthode dans le Bulletin mensuel de l'Industrie minérale du mois de janvier 1895
et daris la Revue métallurgique du mois de mars 1895.
RENSEIGNEMENTS
PRATIQUES
D'après Planât, on peut, pour déterminer p, se baser sur les données suivantes :
LIMITE
NATURE DE LA COUVERTURE
de l'inclinaison
POIDS DE LA CHARPENTE
par mètre superficiel
POIDS
du
sur l'horizon
mètre superficiel
de couverture
Sapin
45°à 33°
60 kil
38 kil
27 a 21
75 à 90 —
35
-
Tuiles creuses maçonnées..
31 à 27
136 —
40
—
60
Tuiles mécaniques.
45 a 21
35
~
55
Ardoises
45
45 à 5 ° —
38 -
34
-
50
Cuivre en feuilles
21 à 18
H
25-
-
38
Zinc et tôle galvanisée
21 à 18
8" 5
2
-
38
Mastic bitumeux.
21 à 18
25 kil
34 —
50
Tuiles plates à crochets....
Tuiles creuses posées à sec
à
33
—
5
Chêne
5°
Ces poids sont rapportés au mètre superficiel de couverture compté suivant l'inclinaison de
celle-ci. (l)
Il faudra, en outre, ajouter de 30 à 40 kilos pour les surcharges accidentelles : neige et pression
du vent.
Pour les charpentes métalliques, on peut prendre comme chiffre approché à admettre dans un
premier calcul les nombres suivants. (Extrait de l'ouvrage de G. Oslet) :
POIDS DE LA CHARPENTE
NATURE DE LA COUVERTURE
à admettre
par mètre carré de toiture
Tuiles plates
55 kil.
Tuiles à emboîtement
50 —
Petites a r d o i s e s . . . . . .
50
Grandes ardoises
50 —
Zinc
40
—
(1) Certains ouvrages donnent P, le poids par mètre carré réel de surface à couvrir, c'est-à-dire de surface horizontale on a •
P
'
•
'
— = cos a, a étant l'angle de pente ou inclinaison de l'arbalétrier.
Si donc on prenait P dans un autre ouvrage, pour en déduire p il faudrait multiplier par cos *. Cette valeur est donnée
dans la 4 me colonne de nos tables.
SÉRIE A
Considérons .les deux fermes ci-dessus; elles sont de portées différentes, de hauteurs différentes;
les angles à la base * sont aussi différents; cependant ces fermes ont un caractère commun : les
éléments I, 77 de la première sont verticaux, de même que les éléments I, II, III de la seconde; ce
qui constitue la différence essentielle entre ces deux fermes, c'est
le nombre des éléments de
l'arbalétrier : dans la première, nous en avons trois (A\, A,,, A,) et dans la deuxième quatref A,, A„ A3,
AJ.
On conçoit que l'on puisse établir des fermes du même genre, l'arbalétrier étant divisé en autant de
travées que l'on voudra, en conservant
toujours
aux contrefiches ou étrésillons (I, H, III
)
(, <i),(2), ()),...) la disposition ci-dessus.
Nous désignerons le nombre d'éléments Au
A„
A„ Ai ou de travées par N. Tous les efforts
des fermes du genre ci-dessus dérivent d'une formule générale dans laquelle il suffit de donner
à N les valeurs 2, y, 4, 5, etc.... pour avoir les formules particulières au cas de 2, j , 4, 5, etc....
travées. Nous avons appliqué la formule générale pour toute cette série de fermes jusqu'à dix travées
d'arbalétrier.
Le lecteur remarquera que la première ferme de cette série, pour N = 2, n'est pas autre chose
que la ferme dite ordinaire (1).
(1) Dans tous les types de ferme, de même que dans toutes les épures statiques, les organes représentés par des gros traits
sont ceux qui travaillent à la compression.
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P R E M I E R EXEMPLE DE LA SÉRIE A
La ferme représentée ci-contré est la ferme dite ordinaire^ avec une contrefiche partant du
milieu de l'arbalétrier et aboutissant à l'extrémité inférieure du poinçon.
FORMULES
Les efforts sont donnés par les formules suivantes :
Effort en kilogrammes dans l'élément
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»
»
»
(i) = -g X [E X l X p] X S*
2
A,=-^X[E
X l Xp] X S a
3
»
-
i , = - ^ x [ £ x l x ? ] X Sa
3
a=—X[Exlxp]xKx
I = ^rX[E
xlxp]
x R^
Exemple. — Supposons qu'on nous demande les efforts subis par les divers éléments d'une
ferme de io mètres déportée, chargée à raison de i6olil tout compris : neige, pression du vent, etc....
On se propose, dans le projet à l'étude, d'espacer les fermes de 4 mètres.
Nous avons donc . E espacement des fermes = 4™
l portée de la ferme
= iom
p poids du mètre carré = i6ok (toiture et toutes surcharges comprises).
Le produit de ces trois données entrant dans toutes les formules, nous le formons une fois pour
toutes; nous avons £ x ! x ^ = 4 X i o X 160 = 6400, l'effort (i) = g - X 6400 X S œ , il ne reste plus qu'à
trouver la valeur de S a pour avoir la valeur de l'effort (1); pour cela nous mesurons au rapporteur
l'angle « formé par l'entrait et l'arbalétrier (Fig.
1), nous trouvons 1 = 290, nous cherchons dans la
table l'angle 29°et sur la même ligne horizontale 5=2.3584 soit 2,36, il vient àonci =^ X 6.400 X 2,36= 1888.
Les valeursK % et -R œ sont sur la même ligne horizontale de la table; K% = 2.6b et R a = 1.14; nous
n'avons qu'à introduire ces valeurs dans les expressions de a et / pour avoir la valeur de ces efforts.
— i5 —
PROFIL DE LA FERME
1
pf
^V=29"
(FiS- O
M
1
^Sc
liTS.
a.
~w™Echelle : o m oi par mètre
ÉPURE STATIQUE
_
£
(Fig.
f"
2)
^2^z£Sf&.
Echelle : dr&o\ pour ioook
\è>\
DIAGRAMME DES E F F O R T S
A. = ^-C F
»
Ai
=~CF
8
Pour ce type de ferme, le diagramme des efforts est un triangle rectangle formé comme suit :
Sur une horizontale on mène la perpendiculaire D B = Elp, soit pour l'exemple choisi Elft=
6400 ;
par le point B ainsi obtenu, on mène une parallèle à l'arbalétrier de la ferme, de sorte que l'angle
BCD
= x\ on complète le triangle en menant B F perpendiculaire kBC.
parties aliquotes des côtés B C, C F,
BF.
Les efforts sont tous des
DEUXIEME EXEMPLE DE LA SÉRIE A
Cette ferme fait partie de la série A; les montants I, 77, III, etc., sont verticaux; l'arbalétrier
étant divisé en 5 parties égales, nous devons appliquer les formules trouvées précédemment pour N = 5.
Nous l,es reproduisons ici :
FORMULES
Â
>=mxElp
x
À
'-~WX
d" »
* = 2Ô X
'
^3~20X
d° »
c = ~X
» d» »
X
» d° »
A h — J-QX
d° »
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S
"
« = = 2 Ô X Elpx
8
d=TQx
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»
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X
»
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f.
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»
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20 X
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2
Fo x
=l x
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£/j» x #
» d° »
» d° »
» d° »
La ferme que nous avons choisie a 15"° de portée, d'où 1= i5 m . Nous la supposons chargée à raison
de i20k!l (toutes surcharges comprises, même le poids de la ferme uniformément réparti), donc p= i20 k .
D'aprèsle projeta l'étude, nous sommes amené à espacer les fermes de 5"1, donc E = $. Nous avons donc
E x l x p = 5 x 15 x 120 = 9000.
Nous mesurons ensuite au rapporteur les angles a, ? 1 , a., f,. o4, nous trouvons les graduations portées
sur la figure, ensuite nous cherchons dans la table des constantes l'angle x = 25°, en regard nous trouvons
J T a = 2 . 3 7 , i? a == 1.10, S = 2 . 6 1 ; nous cherchons ensuite de même pour chacun des angles <?,, <p„ etc...'
nous trouvons Ko, = 2.37, K<f, = 1.47, Ko3 = 1.23, A"<?4 = 1.15.
Il n'y a donc plus q u a porter ces valeurs dans les formules ci-dessus et on obtiendra en kilogrammes
la valeur de "tous les efforts ; nous les avons tous calculés et consignés sur l'épure statique pour
montrer la concordance de notre méthode avec la statique graphique. Le lecteur remarquera que pour les
efforts A „ A s , etc..., il conviendra de calculer d'abord .4 ,, de prendre le cinquième du résultat et ensuite
par des additions successives on obtiendra A 4, ,4 „ A „ A ,.; même remarque pour les efforts a, b, c d et
aussi pour I, II, III, IV.
.
— 17 —
PROFIL DE LA FERME'
Echelle
i£%o
ÉPURE STATIQUE
Echelle : omoi pour ioook
(Voir
à la page suivante
le diagramme
des
efforts)
— i8 —
Echelle —
Construction
du diagramme.
-
S u r l'horizontale BC
échelle déterminée la perpendiculaire DA=Exlx£,
en un point quelconque D, élevons à une
c'est-à-dire le produit de l'espacement
fermes, de la portée et d e l à c h a r g e : dans le cas actuel nous avons F / / > = 5
x
des
iç x 120=9000, puis
par le point A nous menons A B avec la même inclinaison que l'arbalétrier de la ferme, c'est-à-dire
faisant l'angle x avec l'horizontale ; pour cela on fait cet angle à part, vers le point O, et on mène
parallèle à ON,
ABC
puis ensuite nous menons AC
qui est rectangle en À. Les côtés AB,
perpendiculaire sur BA,
AC
nous avons ainsi le triangle
et BC de ce triangle groupent tous les efforts des
organes de notre ferme, sauf ceux des étrésillons (/), (2), (3), (4) •
mènera .4m, An,
AB
poU
r obtenir ces derniers, on
At comme on a mené AB ; ces droites devront faire avec l'horizontale les angles
?,-?.. ?4 (on avait par construction
?1
par ces points des horizontales,
on obtient les p o i n t s EFGH,
parties aliquotes de A E,
= a). On ramène les points B, m, n, /, en S ' , m', «', /' ; en menant
A F, A G, AH.
Cette
figure
les efforts
(/), (S) (3) (4)
peut être construite
notion de mécanique ; elle s'appliquera à toutes les fermes de la série A.
sans posséder
son*
d
aucune
SÉRIE A
La construction des fermes de cette série ne diffère de celles de la série précédente (Série A) que par
la surélévation de l'entrait, les étrésillohs /, //, III, e t c . . sont toujours verticaux.
Comme pour la série précédente, nous avons établi u n e formule générale dans laquelle entre N le
nombre de travées Àu A%, A%, Ak, e t c . . de l'arbalétrier ; n o u s avons fait successivement N = 2, 'S, i jusqu'à
10. Xous insistons sur ce p o i n t : les formules ci-après s o n t absolument g é n é r a l e s : elles s'appliquent
quelles que soient la portée, la charge, l'espacement des fermes, la hauteur de la ferme, l'angle à la base et
la surélévation de l'entrait (i).
(i) Dans tous les types de ferme, de même que dans toutes tes épures statiques* les organes représentés par des gros traits
— ?,o —
N= 2
FORMULES
A^fxElpxKpxRzXC^
-4! =
F
— X Elp x Kp
(i)=~x.ElPxK^
xRxxCx_p
1=
jxElpxKpxCx_pxT*--xElpxRI
d°
X
N= 3
FORMULES
à
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4
£ ^ XKpXR^xC^p
»
4 - 12i xx
*,
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d°
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/i =i'x£^XApXCa-pX'T œ -lx£/ i OX/J 1
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N=4
FORMULES
16
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(»)=ÏÔX
40
40
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20
ix = gx£/i.xArpxca.!,xr«r_l
XEIPX
—
24
—
PREMIER EXEMPLE DE LA SÉRIE A'
Cette ferme est suffisamment indiquée par la figure ci-contre : l'arbalétrier est divisé en trois parties
égales, les éléments / et / / sont verticaux. Le tirant est surélevé. (Voir les formules série A' pour N = 3.)
FORMULES
X Elp X A ' p X t f a x G a _
X
»
d°
a=T%xElp
>
= j^X
X JCp
» d° »
(i) = ^ x Elp X /T ?i X i ^ x C ^ p
(tj =
n
x
i
= î l
U
K„
x Elp x Rx
=j-iiXElpXK^XCx-^XTa:-j-^xElpXfi1
x
application.
— Nous avons appliqué ces formules à une ferme de i2 m de portée, d'où / = i2 m ,
chargée à raison de i8o k (toutes surcharges comprises, même le poids approximatif de la ferme),
d'où , 6 = 1 8 0 ;
E x lxp=
nous
supposons les
fermes
espacées de 4 m , donc E = j
et p a r . suite le
produit
4 x 12 x 180 = 8640. Comme toujours, nous mesurons au rapporteur les angles a, p, ?, et tp3
nous trouvons * = 300, p = 23 0 , ?, = 25 0 30', cp2 = 4S0 30' ; nous nous reportons à la table et, sur l'horizontale
de chacun, des angles ci-dessus, nous trouvons la valeur des constantes relatives à cet angle; nous avons
trouvé
/Cp = 2-559,
#1=1.15,
C(a-?)=o.99,
7 ^ = 0,177,
K<?i=2.^2
et
#©, = 1.40.
Il
suffit
d'introduire ces valeurs dans les formules et d'eflectuer les multiplications pour avoir en kilogrammes
la valeur de chaque effort ; nous les avons tous calculés et consignés dans l'épure statique pour m o n t r e r
la concordance des résultats.
Remirque.
— Dans les formules ci-dessus n'entre pas la surélévation du t i r a n t ; elles sont donc
indépendantes de cette surélévation et s'appliqueront quelle qu'elle soit. S i on n'y est pas obligé il
conviendra de ne surélever que très légèrement, car de ce fait les efforts subissent un accroissement
considérable.
— 25 —
PROFIL DE LA FERME
Echelle
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
(Voir
à la page suivante le diagramme
des
efforts).
— 20 —
Construction du diagramme. — A l'aide d'un rapporteur et à partir de l'horizontale OM on forme
les angles a, p, ?,, ©2,. ensuite sur le point C de l'horizontale AB on élève une perpendiculaire CD que
l'on prend à une échelle déterminée (^5 dans le cas actuel) égale au produit Elp=
8640 dans l'exemple
choisi. — On a ainsi le point D ; par ce point on trace des parallèles aux rayons ON., OP, OQ, OR ;
ces lignes forment ainsi avec l'horizontale AB
les angles ?, cp„ a, <p2. On prolonge la ligne formant
l'angle * (DJ) et du point A on abaisse la perpendiculaire AL que l'on prolonge indéfiniment. On revient
ensuite au point D.. où l'on trace DE formant avec DJ l'angle % ; cette ligne rencontre le prolongement
de A L en E. Du point D comme centre on ramène par des arcs de cercle les points ?,, cp2, et f\ f'„ puis
par ces derniers points on mène des parallèles à AE\ on obtient ainsi les points F et H. On trace ensuite
DB normale sur DL. Tous les efforts des organes de la ferme sont groupés sur cette figure que tout le
monde peut construire.
— 27 —
DEUXIÈME EXEMPLE DE LA SÉRIE A'
Ce type de ferme est suffisamment indiqué par la figure que nous donnons à la page suivante :
l'entrait est surélevé, les barres en chiffres romains I, //, ///, etc., sont verticales. (Ce type fait partie de la
Série A', voir les formules pour N = 6).
FORMULES
il
A , = ^ x Elp x /CpX^ a xCa-p
1 0
A
9
A
4
>
3=â7,X
A
^ûx
d°
8==
»
3ÎX
Elp
f
(i)=-x£/i J x J r ? i xiî a xc a t . ? / = i - 4 x Ê l ? x f i a
(f) = | x
»
X
»
X ff
10
24 X
*
*
—jjjX
'
d" »
d°
e
d°
d
d°
«=-3ÏX
= 24
3i X
24'
^=T4
K.
K
1.
» d° »
»
d°
»
//=f4x
III=YLX
= 24X
(3) = l
x
»
ir ?|
*
d
°
*
d°
12
F=||xiï/joxJKpXCx-px7i~x£i/)X5at
z4
.
_6
' '~24X
d°
Nous avons appliqué les formules à une ferme de 24™ de portée,, / = 24m, chargée à raison
de i25 k , d'où p = 125 ; bous
E xlxp=
supposons les fermes espacées de 5m, d'où E = 5 ; on a donc
t,x 24x125 Z?J/> = 15000. Calculons l'un des efforts (o) par exemple, l'angle r»«68*a = 26° 30'
et (a-?) =-7°; en nous reportant à la table, nous trouvons en regard de 68 pour la valeur de A', A'= 1.078;
«n regardde 26030'nous avons/?x = i.ii7et en regard de 70 on a C = 0 , 9 9 2 , d ' o ù ( o ) = ^ X 15000 X 1.078
X 1.117 x 0,992. En effectuant, on trouve la valeur indiquée sur l'épure.
— 28 —
PROFIL DE LA FERME
Echelle =
12S0
ÉPURE STATIQUE
Echelle ' =
< Voir à la page suivante
le diagramme
des
efforts).
1280
Ce diagramme est du même genre que le précédent; il en sera
ainsi pour toutes les fermes d'une même série. On formera à partir
de 0 M tous les angles entrant dans les formules ; par D on
mènera des parallèles aux rayons Op, O*, Of, e t c . . Au point D on
formera avec DM l'angle MDE
= a; on abaissera la perpendi-
culaire A M, qu'on prolongera. Les points /, 2, y, 4, 5 seront
ramenés suivant 1', 2', 3', 4', 5' par des arcs de cercle
ayant D
pour centre ; de ces derniers points on abaissera des perpendiculaires sur DM et on aura 1" 2" y" 4" 5". L'effort ( f ) = à ( d e r" D),
(2) = â d e (2"D), e t c . . Les efforts a,b,c,d,e
b=$deAD,
seronta = &de
AD,
e t c . . / = â d e DB, // = &de DB, etc.
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seront AK = lide ZT D, A^ — Irde E D, etc.
SÉRIE B
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Les deux fermes représentées par les figures ci-dessus sont de construction analogue : les arbalétriers sont, comme toujours, divisés en un certain nombre N de parties égales ; les montants /, //, III,
etc., sont verticaux et les étrésilîons (i), (f), (3), e t c . . sont inclinés dans le même sens pour les deux
fermes. Nous avons établi une formule générale donnant les efforts d'une ferme construite comme il vient
d'être dit, et dans cette formule nous avons donné à N (nombre de travées de l'arbalétrier) toutes les
valeurs, depuis 2 jusqu'à 10. Nous insistons sur ce point : les formules qui vont suivre sont applicables
quelle que soit la portée de la ferme, la charge, l'espacement des fermes, la hauteur, l'angle à la base ; elles
sont vraies pour toute ferme à montants verticaux et à étrésilîons inclinés comme dans les figures
ci-dessus.
(>) Dans tous les types de ferme, de même que dans toutes les épures statiques, les organes représentés par des gros traits
ceux qui travaillent à la compression.
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36
T-
PREMIER EXEMPLE DE LA SÉRIE B
Ce type de ferme est suffisamment indiqué par la figure ci-contre : l'arbalétrier est divisé en trois
parties égales, les points de division sont projetés sur l'entrait et joints comme l'indique la figure. On peut
relier le faitage au point c par un fil de fer de faible diamètre destiné à empêcher la flexion, sous son
p r o p r e poids, de la partie médiane de l'entrait ; ce fil de fer ne subit théoriquement aucun effort ; aussi
l'avons-nous indiqué en pointillé. (Voir les formules delà série B pour N = 3 .
FORMULES
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de i5o k,L le mètre carré, toutes surcharges comprises, p = iso1*. L'espacement des fermes est de 6 m , E = 6 ;
d o n c E l p = 10800 = 6 X 12 X 150. En mesurant au rapporteur les angles 2, nous trouvons a = 2Ô0ô'.
<p, = 190 et ? ; = 29°. E n
nous reportant à la table, nous trouvons
S * = 2.5. K*
84,
7?*=i.
/vo, = 5 . 0 7 , Ko, — 2.06. Il n'y a qu'à introduire ces valeurs dans les formules ci-dessus et effectuer
11 h
les
multiplications.
Diagramme
des efforts. — On peut éviter tous les calculs avec le diagramme des efforts; pour
construire ce diagramme, sur une horizontale, nous élevons la perpendiculaire B A = ExlXp
nous portons cette valeur à une échelle déterminée,nous avons pris ^ . E n un p o i n t O on trace OF,
= 10.800.
OG.OH
faisant avec l'horizontale les angles ?„ •, f„ puis par le point A on mène des parallèles à ces lignes ; on a
ainsi AE,
figure.
A C, A F.
On mène AD faisant 90° avec .4 C. On a ainsi tous les efforts groupés sur cette
PROFIL DE LA FERME
Echelle : omoi par mètre
I
12.00
ÉPURE STATIQUE
Echelle : omoi pour ioook
DIAGRAMME DES EFFORTS
Effort Ax = - de CD
*
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4
9
12
*
— 38 —
DEUXIÈME EXEMPLE DE LA SÉRIE B
Cette ferme fait partie de la série B ; les contrefiches /. //, etc. sont verticales, le nombre des travées
de l'arbalétrier N = 5. Nous reproduisons ici les formules trouvées pour ce cas.
FORMULES
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Application. — Le bâtiment que nous avons à couvrir a 20"11 de largeur ; la ferme a donc 20m de portée
Z = 2o; nous espaçons les fermes de 5m E = 5 ; nous avons pour le poids par mètre carré de toiture,
suivant l'inclinaison et en y comprenant le poids de la couverture, de la charpente, la surcharge de neige,
la pression du vent; en un mot toutes les surcharges comprises, p = 140^-, E = $, 1= 20, p = 140, d'où
£ X ï XJi = 5 X 20 X 140 = 14000. Nous mesurons au rapporteur les angles a, ep„ <ft, yé, <p4 et nous
trouvons *-== 220, ?, = 170, <?2 = 28°, <p, = j6°, cp4 = 420. Nous cherchons dans la table les valeurs de ces angles
et, en regard, sur la même ligne horizontale, nous trouvons K%= 2.67, Rx= 1.08, S * = 2.88, Kyt = 3.42,
K<?3 = 2.13* KO, = 1.70, K?A = 1.49. Il n'y a plus qu'à introduire ces valeurs dans les formules ci-dessus et
à effectuer les multiplications pour obtenir en kilogrammes la valeur de tous les efforts. Nous les avons
tous calculés et consignés sur l'épure statique pour montrer la concordance des résultats.
, Diagramme des efforts: — On peut éviter tous les calculs en construisant le diagramme des efforts
que l'on trouvera à la suite, ou bien on peut employer le diagramme comme moyen de contrôle.
3 9 PROFIL DE LA FERME
Echelle =
1250
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
1250
(Voir
à la page suivante
le diagramme
des
efforts).
»
^ , = ,
o
D1AGRAMA1F DES EFFORTS
Pour construire ce diagramme, à partir de l'horizontale O M, on fera, à l'aide du rapporteur, les angles <p,, a, <p„ ?3, <ft ; on
tracera ensuite sur une horizontale indéfinie la perpendiculaire DA, que l'on prendra égale au produit E l fi (dans l'exemple
actuel £" = 5, l — 20m, fi = 140); Elfi—
14000; par le point A ainsi obtenu on mènera AE, AB, A G, AH, ^/respectivement
parallèles aux rayons ON, OP, O Q_, O R, OS;
ABC
on tracera ensuite AC perpendiculaire sur A B, de manière que le triangle
soit rectangle en A. Cette figure qui, comme on le voit, est bien simple à construire, groupe tous les efforts de notre
ferme. Pour toutes les fermes de la série B, le diagramme sera analogue, les lignes AE,
A G, AH, AI seront plus ou moins
nombreuses suivant qu'il y aura un plus ou moins grand nombre de travées N de l'arbalétrier et, par suite, d'angles <p,, 9,, cp3, etc.
S É R I E B'
Les deux fermes indiquées par les
figures
ci-dessus font
partie d'une même série : les
montants /, II, III, etc.. sont verticaux et les étrésillons (i), (f), (3)... sont inclinés dans le même sens.
L'entrait horizontal / est surélevé. Ces deux fermes diffèrent par le nombre de travées de l'arbalétrier :
celui de la première est décomposé en quatre travées (VI,, A,, A31 At), tandis que celui de la deuxième
comprend huit travées. Nous avons établi une formule générale donnant les efforts de chacun des éléments
en fonction de N (nombre de travées de l'arbalétrier); dans cette formule, nous avons successivement donné
à N toutes les valeurs depuis 2 jusqu'à 10 et nous avons obtenu les formules que nous donnons ci-après ;
elles s'appliquent à toutes les fermes du type ci-dessus quelles que soient la portée, l'écartement, la charge
par mètre carré, ia hauteur de la ferme et aussi la surélévation de l'entrait, c'est-à-dire qu'elles sont
absolument générales. — La quantité n qui entre dans ces formules est le rapport de //, hauteur totale de
la ferme à h surélévation de l'entrait (i).
(i) Dans tous les types de ferme, de même que dans toutes les épures statiques, les organes représentés par des gros traits
—
42
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= 4o x *
.1°
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a: Ut
-
4
6 -
PREMIER EXEMPLE DE LA SÉRIE B'
Cette ferme fait partie de la série B ' .
Dans ce type de ferme, les barres / , / / , sont verticales et le tirant / est légèrement surélevé. (Voir les
formules de la série B ' pour N —3.)
FORMULES
A, =^X
= Jâ x
a
Elp X A'js X Rx XC(*-p)
*=-jsX
A. = A,
A 3—
Ï2X
Elp
x
» d°
^f
r<; = ï5 xBijixJr ?i
fflHà*
?JA
g
d°
i = j2X
n—1
Ê/
^
x
^
/;= r 2 x d°
t=ixElpxK<tX^j
H
n=
Applicalion.
— Nous avons pris une ferme de i 2 m d e portée, d'où l = 12, chargée à raison de 1 5 0 ^ tout
compris, d'où f> = 150; nous supposons les fermes espacées de 4 m , d o n c E ^ 4. par suite E XlXp=--
7200.
Nous m e s u r o n s au r a p p o r t e u r des angles a, <S, s*,, &,, nous trouvons a = 24030', p = 21 0 , <p, = i6°? 2 = 27 0 ; en
consultant la table, au regard de chacun de ces angles nous trouvons ify, = = 2 . 7 9 , ^ = 1.098, C;t~a\ = 0.998,
# ? , = 3.62, AT», = 2.2 ; i l ne reste plus à trouver que le nombre n, cette quantité n'est autre chose que le
rapport de / / (hauteur totale de la ferme) à h (surélévation de l'entrait). Dans l'exemple choisi, on a
H
? 75
/ / = 2m75 et A = o m 25, donc-j-= ^ 3 = 11 ; nous avons donc p o u r le calcul de l'effort
Effort (2) = ~ X 7.200 X 2.2 X
X
désigné par (?)
m ^
7ô
en effectuant, on trouve (2) = 3035, nous avons calculé tous les efforts et consigné les résultats sur l'épure
pour en faire ressortir la concordance avec nos formules.
PROFIL
D E LA
FERME
DONNEES
Echelle =
ra
E = 4
/== 12-
IOOJ
Elp = 7200
p = ISO
I3m00
(
x = 24°30'
,6 = 21»
*-p = a°30'
ÉPURE
STATIQUE
Echelle =
(Voir
à la page suivante
le diagramme
des efforts)-
48
Echelle
2000
Pour établir ce diagramme, on prendra un p o i n t / s u r une horizontale ; on appliquera en ce point le
centre d'un rapporteur et on marquera les angles ?„ p, *,? 2 ; on tracera les rayons/?\,jp,J%,y f l . puis on
portera sur une verticale MO, à une échelle déterminée, la valeur du produit £ x Z X / = dans l'exemple
choisi 7200; par le point O ainsi obtenu, on mènera des parallèles OA. OB. OC, OD aux rayons tracés,
précédemment; on aura ainsi reconstitué, à partir des points A,B,
C, D, chacun des angles T „ fc «et
?J .
Du point B on abaissera une perpendiculaire B G sur OC prolongé; puis ensuite, du point O et à partir
de O C, on formera l'angle * de manière que le triangle ROC soit un triangle isocèle ; le côté OR prolongé
coupera en G h perpendiculaire précédente. On tracera ensuite O E de manière que le triangle OCE
soit
rectangle en 0 . Les efforts subis par chacun des éléments de la ferme sont tous compris sur la figure ainsi
obtenue. Le lecteur pourra, s'il craint la confusion à cause du trop
O A, OB, OC
grand
nombre de lignes telles que
OD, faire plusieurs diagrammes séparés, l'un groupant les efforts qui sont fonctions des
angles ? l , * , l'autre les efforts fonctions de l'angle *, et enfin un troisième qui sera analogue au diagramme
trouvé pour les fermes poîonceau.
— 5o —
DEUXIÈME EXEMPLE DE LA SÉRIE B'
Ce type de ferme est suffisamment défini par la figure que nous donnons à la page suivante ;
il ne devra être employé que dans des cas spéciaux, car, à cause de la surélévation de l'entrait, les efforts
deviennent considérables.
FORMULES
ii
X Elp X Ko
24
il
^ . = - I Î * Bip X AoxifcxC(*-p)
24
A, - A,
A
*=
;X
10
X
S
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c = —x
24
» d°
» d° »
<L-^x
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d
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* — 24
(/)==_X£///XA'?(
i =
2lx
H=SîX
( § ) = 24'
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AT-
(*)=T4x
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A„
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24X
=24X
24
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fla
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*
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°
d"
.1° »
/ - - g X ^ I ^ X ^ X — J
Le nombre n qui entre dans les deux dernières formules est le rapport de H (hauteur totale de la
ferme) â h (surélévation de l'entrait t). Dans l'exemple choisi ce rapport
H
7
J~Y
O n mesurera, comme toujours, au rapporteur les angles a, p, <?, a>„ ç>3, o„ ? , et on cherchera dans la
table les valeurs correspondantes des constantes; on trouve K\i= 5.24, Rz=
1.99, C(*-f)= 0.976, /C^t = 6 . 3 9
A"<p, = 3.42, AV, = 2.5, A'st = 2.09, As s = 1.83. A* = 2. =507.
Application.
— Nous avons appliqué ces formules à une ferme de 32m d é p o r t é e , d ' o ù / = 32 ; la charge
totale est de 115k,K par mètre carré non projeté, d ' o ù ^ = 115 ; nous supposons que les fermes sont espacées
de 5 m , donc £ = 5 . Nous formons une fois pour toutes le produit de ces trois d o n n é e s ; nous avons
Exlxp
= <yX^2-x
115 = 18400. Calculons l'un des efforts, / par exemple : t = | - X E Ip X A* x r r i :
7
H
nous avons dit que « = 7 , / / = 7 et A = 3, d'où n=Jz\
la quantité Aa se trouvera dans la t a b l e ;
l'horizontale de l'angle 23030' on a A = 2.507.
•
/ =
"ii X 5 X 32 x 115 X 2.5 x ~j— = 20125
T o u s les autres efforts ont été calculés et leur valeur est consignée sur l'épure statique.
sur
PROFIL DE LA FERME
Echelle =
liooo
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
2ooo
1m,,#&-
h
&
*tfiji
*j«*'•;
>/
e
.5!/
su3'
SU',
Diagramme des efforis. — Nous n'avons pu insérer le diagramme à cause du manque de place ; le
lecteur pourra facilement le construire en se guidant sur l'exemple précédent. Les diagrammes pour toutes
les fermes d'une même série sont analogues.
SÉRIE C
Les deux fermes représentées ci-dessus, malgré leur dissemblance apparente, font partie d'une même
série ; ces fermes ont. en effet, un caractère c o m m u n ; les contrefîches /, // de la première sont normales à
l'arbalétrier, de même que les contrefîches /, H, III, IV,
V de la seconde. Les étrésillons (1), (2), (3), etc.,
sont inclinés dans le même sens pour les d e u x fermes. Nous avons, comme pour les séries précédentes,
établi une formule générale, dans laquelle e n t r e le n o m b r e N de travées de l'arbalétrier ; on voit que pour
la premère des fermes ci-dessus N = 3. t a n d i s que pour la seconde N = 6. Nous donnons à la suite les
formules particulières pour tous les cas, d e p u i s X = 2 jusqu'à N = 10.
La première de ces fermes pour N = 2 n'est pas autre chose que la ferme polonceau simple, sans
surélévation du tirant (i).
(il Dans tous les types de ferme, de même que dans toutes les épures statiques, les organes représentés par des gros traits
b;>
N= 2
FORMULES
A,
= TTX
Elp x S
a = - 5 r X £ ^ / J X A.
d»
A,=sX
&
•-rXElpxTx
=ix
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(i) = - s X Ê l f x A'.
d° »
N= 3
FORMULES
A
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X
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N=4
FORMULES
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4 , = 16'
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^ = Ï6X
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» d° » —— x
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d°
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» d° »
lo
I^-xElp
16
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"We* d°
W = igX
ElpxK
-
5
-
4
N-5
FORMULES
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J
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A)
A
9
- 8 x
~2ÔX
^* = I5 X
4
6
»~2l) X
È'/p X
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2
^xElpxTx
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X
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J
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x
w = â » *?i
®-ix » S,
(4) = 2 ^ x
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— =o —
N-7
FORMULES
13
A , = =
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X Elp
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X Sa
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*
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A3=-X
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5
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4 4 = g x > d" » - i x d»
~XElp
d
X d°
= 2 8 X d°
(6)=48x ,
K,
p«
° *
N=8
FORMULES
18
a = y,X Elp x K%
i , = p X Elpx Sx
A2 = §X
.
14
^3-g|X
A4=|x
,.
12
32
Ae=£x
A,=|x
» d° » _ | x £ i p x r «
d°
.±X d»
32
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l
1 4
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. ^ » - l x d»
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w = | x do
(2) = | x
»
K,
7//-=^X d"
(3)=|x
.
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ir = ±x d«
(4) = 35 X
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A'
6
V ^ 3 l X d»
(3) = ! x
»
À'
V7 = J x d»
(6)=|X
»
À'
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»
K
13
c = ^|X
s d° »
12
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11
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x
x
x
x
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x
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X
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sis si» si» Si- SI» £1" SI*»
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S!
en
P R E M I E R E X E M P L E DE LA S É R I E C
Cette ferme fait partie de la série C ; les contrefiches I, / / , / / / , sont normales à l'arbalétrier et les
étrésillons (/), (2), (3) sont inclinés comme l'indique la figure. Le nombre des travées à l'arbalétrier
A„,
At,
etc., étant de 5, nous n'avons qu'à appliquer les formules données précédemment pour N = 5.
Nous les reproduisons ici
FORMULES
2
A
= 2 J J X Elp
X
a =
Sx
A
2Ô x
Elp><
3
X
'20
d°
c==-
» d»
A,=lx20
. d»
i
X
'20
d°
rf
*
i,=£x
• d° »-Fo x
2Tx
,
d
°
*
= iô " d° "
*
-43 =
K
=2Ô
d
°
X £/p
(i)=^xfî/i)X^!?i
II —— x d°
20x a
7 7 7 = - ^ x d°
"* = » *
d
"
(3) = | x
»
*?$
W-Bx
0
20
— L a ferme que nous voulons calculer a 15"1 de portée, d'où Z = 15 ; les fermes sont
Application,
espacées de 4% d'où E = 4 ; le poids par mètre carré, toutes surcharges comprises, est de 140^'-, compté
suivant l'inclinaison de ia toiture, d'où p = 140 ; par suite on a £ x ! X p = 4 x 15 x 140 = 8400. Nous
m e s u r o n s ensuite au rapporteur les angles *, fu <ps, ?„ ç4, nous trouvons * = 23°3o', m, = 2^°jo, tsa =4i°3o",
?»— 53°' ?4 = 6o°3o'. En consultant la table des constantes, nous trouvons sur l'horizontale de 2^03o' les
valeurs concernant l ' a n g l e » ; on a £ « = 2 . 5 1 , Rr=
/C(p,= 1.51, %
=
1.25, Ku=
109, S y =
2.7? ;
on
trouve de même
%=2.<;ï,
1.15 et 7 k = 0 . 4 3 . Il n'y a qu'à introduire ces valeurs dans les formules
ci-dessus et effectuer les multiplications pour avoir les efforts en kilogrammes.
- 5
9
-
PROFÏL DE LA FERME
ÉPURE STATIQUE
Echelle = - 1 _
IOOO
( Voir à la page suivante
le diagramme
des
efforts).
— 60 —
Echelle
i
!l
EcheUe ==
1^00
20
Pour construire ce diagramme, sur une horizontale 0 M, au point 0, on place le centre d'un
rapporteur et on fait les angles *, o,, o,, s3, oi (dans cette série de fermes x = o1). On trace les rayons 0 M,
ON, OP, OQ, OR. Ensuite, sur une horizontale indéfinie A B, on élève la perpendiculaire D C égale
à E lp ; dans le cas actuel ce produit = 8.400. On peut choisirl'échelle à volonté ; nous avons pris J^Q ; par
le point C ainsi obtenu on mène C A, CE, CF, CG respectivement parallèles à. ON,
comme on le voit, ces lignes forment avec l'horizontale les angles *,
?1 ,
ç.s) ?3)
OP,
O Q,
OR;
?4 .
On complète le diagramme en traçant C B perpendiculaire sur A C, autrement dit le triangle CAB
est rectangle en C
Comme on le voit, cette figure est très simple à construire ; elle servira à la détermination immédiate
efforts ou encore au contrôle des efforts obtenus par les formules.
DEUXIÈME EXEMPLE DE LA SÉRIE G
Cette ferme fait partie de la série C ; ies contrefiches 7, II, III, etc., sont normales à l'arbalétrier ;
les étrésillons (/). {2), (3). etc., sont inclinés comme l'indique la figure.
Nous avons pris comme exemple une ferme de 24™ de portée, l = 24 ; nous la supposons chargée à
raison dei50 k i l - par mètre carré suivant l'inclinaison de la toiture, cette charge comprenant toutes les
surcharges accidentelles et aussi le poids de la ferme, d'où p = 1501"1- D'après le projet à l'étude, les fermes
doivent être espacées de ym, d ou E = ? m . On a donc E x / x ^ = 3 x 24 X 150 = 10800.
P o u r avoir en kilogrammes la valeur des efforts développés dans chaque élément, nous remarquons
que l'arbalétrier est divisé en 6 parties égales ; il faut donc se reporter aux formules précédentes pour le
cas N = 6.
Il ne reste plus ensuite qu'à mesurer au rapporteur les angles <*, »„ »,, ft; <p,, sp4, o 5 ; nous avons indiqué
la graduation trouvée * = 18°30', », = i8°3o' (dans cette série de fermes a égale toujours »,), a, = 3 4 ° ,
», = 4 5 0 3 o ,
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Il y a plus ensuite qu'à se reporter à la table des constantes et on trouvera Kr = 3.15, S œ = 3,32,
7» — 0.33. Kz,t = 3.15, /Co, = 1.78. Afcp., = 1.40, K-u = 1.24, /6p6—• 1.15.
Il n'y a qu'à introduire ces valeurs dans les formules et à effectuer les calculs, qui se simplifieront
beaucoup si on a soin de calculer u n vingt-quatrième de chacune des quantités indiquées et de les multiplier
ensuite par la série des nombres entiers.
Nous d o n n o n s plus loin le diagramme des efforts, qui permettra d'éviter tous ces calculs ou, mieux
servira à les contrôler.
— 63 —
PROFIL DE LA FERME
Echelle =
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24 m 00.
ÉPURE STATIQUE
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Pour construire ce diagramme, à l'aide d'un rapporteur, on forme, à partir de l'horizontale O M, les angle «, <j>, tp,, 9,, cp4, 9, ;
on trace les rayons ON, OP.OQ,
OR, OS; ensuite, sur une autre horizontale indéfinie B G, on élève en un point quelconque II
la perpendiculaire IIA égale au produit El p. Dans l'exemple choisi, Elp = 10800; on a ainsi obtenu le point A; parce point on
trace les lignes A B, AD, A E, A F, A G respectivement parallèles aux rayons ON, O P, O Q, OR, OS,
de sorte que ces lignes
formeront avec l'horizontale B C les angles a, cp,, 9,, 9,, <p4) <p5. On trace ensuite A C perpendiculaire sur A B, de manière que le triangle
ABC soit rectangle en A. Tous les efforts de la ferme sont groupés sur cette figure.
On voit combien on pourra déterminer rapidement les efforts oubien contrôler les résultats obtenus à l'aide des formules.
SÉRIE C
Les deux fermes ci-dessus ont des portées différentes; il en est de même des h a u t e u r s / / ; dans
chacune d'elles, l'entrait est surélevé, mais inégalement ; cependant elles ont un caractère commun qui
permet de les comprendre dans une même série, c'est-à-dire de trouver l'expression des efforts exercés sur
chacun de leurs organes par des formules analogues ; leurs contrefîches /, II, ///, etc., sont normales aux
arbalétriers et les étrésillons (/), (!?), (3), etc., sont inclinés dans le même sens ; dans chacune d'elles,
l'entrait / est plus ou moins surélevé. Ces trois conditions suffisent pour les comprendre dans une même
série. Les formules que l'on trouvera ci-après dérivent d'une formule générale dans laquelle entre N, le
nombre de travées de l'arbalétrier ; l'une des deux fermes ci-dessus est à trois travées, Au At, A„ et l'autre
à sept travées. Pour que le lecteur n'ait qu'à appliquer directement, nous donnons les formules particulières
pour toutes les valeurs de N depuis 2 iusqu'à 10.
Le nombre n qui entre dans l'expression de certains efforts est le rapport de
h
(i).
( 0 Dans tous les types de feime, de même que dans toutes les épures statiques, les organes représentés par des gros traits
sont ceux q-ji travaillent à la compression.
— 66 —
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45XE
— 74 —
PREMIER EXEMPLE DE LA SÉRIE
C
Cette, ferme fait partie de la série C ; les contrefiches / , / / , / / / , etc. sont normales à l'arbalétrier;
les étrésillons (/), (2), (3), etc. sont inclinés comme l'indique la figure ; l'entrait est surélevé.
P o u r déterminer les efforts, nous comptons le nombre de t r a v é e s ^ , As, As, etc., de l'arbalétrier ;
n o u s en avons six ; il faut donc se reporter aux formules précédentes et prendre le cas où N = 6. Il est inutile
de les reproduire ici.
Comme toujours, on mesurera au rapporteur tous les angles qui entrent dans les formules et on
cherchera ensuite les constantes dans la table.
La ferme que nous avons choisie a 24™ de portée, d ' o ù / = 24 ; elle est supposée chargée à raison de
M
1 io -(toutes surcharges comprises); les fermes sont supposées, dans le projet à l'étude, espacées de 3™,
d'où E=
3. On a donc E = 3, Z= 24, ft = iio W L , d'où £ ' x / x ^ = 3 X 2 4 X 1 1 0 = 79 2 o-
La h a u t e u r totale II de la ferme est supposée égale à 5m5o, et h, la surélévation de l'entrait, à i m 50.
Dans les expressions des efforts (0) et / e n t r e la quantité n, qui est le rapport d e - j - = ~ f t = 3 . 6 6 6 . . .
Nous
avons choisi à dessein ce rapport incommensurable pour montrer que nos formules sont absolument
générales.
.On trouve, dans la table des constantes, Kx = 241, Kp ou Kî = 3.42, K®, = 1.91, Ktp3 = 1.466,
A ' ? 1 = 1.287, K'f* ~ ï-1*?' Rx=
1.098, C(x-fi) = o,99, Tt- = 0,455, Cp = 0.956. Il n'y a qu'à introduire ces
valeurs dans les formules et à effectuer les multiplications.
Il est à peine utile de faire remarquer qu'en prenant le vingt-quatrième de chacune des expressions
e n t r a n t dans les formules, il suffira de calculer un seul des efforts de chaque catégorie; pour avoir les
autres, il n'y aura plus qu'à multiplier par la série des nombres entiers.
On p o u r r a contrôler rapidement ces calculs ou bien les éviter complètement
le diagramme des efforts que nous donnons plus loin.
en
construisant
PROFIL DE LA FERME
Echelle
1500
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
(Voir
à la page suivante le diagramme
des
efforts).
Pour construire ce diagramme, à partir de l'horizontale O M, à l'aide d'un rapporteur, on formera les angles fi, a, <pi,?n<ps>?*i <ps;
on tracera ON, OP, OQ, OR, OS, OT. Sur une horizontale indéfinie, on mène la perpendiculaire FA
égale au produit Elp
7920 dans cet exemple). Par le point A ainsi obtenu on mène une série de lignes A D, A B, A G, AH,
AI,
(égale
^/respectivement
parallèles aux rayons partant du point O ; ces lignes formeront ainsi avec l'horizontale les angles p, », <p,, <p,, <p3, s>4, tps ; ensuite on mène
A V formant avec A B l'angle a et on prolonge indéfiniment. Du point D on abaisse une perpendiculaire sur le prolongement de AB,
en prolongeant on obtient le. point V. Cette figure comprend tous les efforts de notre ferme.
-
7
8 -
DEUXIÈME EXEMPLE DE LA SÉRIE C
Cette ferme appartient à la série C ; les contrefiches /, //, / / / s o n t normales à l'arbalétrier; l'entrait
est surélevé.
Nous voyons que l'arbalétrier est divisé en quatre travées Au Au A,, A^. Nous nous reportons aux
formules précédentes pour le cas N = 4 et nous les appliquons.
La ferme choisie a i6 m de portée, d'où l = 16; le poids par mètre carré suivant l'inclinaison de
l'arbalétrier est p = 120 kil' toutes surcharges comprises, ainsi que le poids de la ferme. Dans le projet à
l'étude les fermes doivent être espacées de 5ra, donc E = 5. On a £ I ^ = ; x
16 X 120 = 9600.
Nous mesurons au rapporteur les angles *, P, ?,, &,, *3.
La hauteur de la ferme étant H = 300 et la surélévation de l'entrait h = 0.56, le nombre n qui entre
dans l'expression des eflorts de t et de (3) est ~ = '— = 7. n = 7. En consultant la table des constantes
nous trouvons Kvt = 2.996, /6p2 = 1.74, /v=p3 = 1.37, K* = 2.508, AT? = 2.996, C(a-fs) = 0.998, T% = 0.43,
O = 0.94. Il n'y a plus qu'à introduire ces valeurs dans les formules et à effectuer les calculs. Nous avons
consigné les résultats sur l'épure statique.
Nous donnons aussi le diagramme des efforts, figure que tout le monde peut construire sans avoir la
moindre notion de mécanique, qui donne immédiatement la valeur de tous les efforts sans aucun calcul.
On pourra appliquer indifféremment l'une ou l'autre des deux méthodes ou bien toutes les deux et s'assurer
de la concordance des résultats.
(Voir à la page suivante le profil de la ferme et l'épure statique.)
— 79
-
PROFIL DE LA FERME
I6mOO
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
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00
Pour construire ce diagramme, à l'aide d'un rapporteur, on formera, à partir de l'horizontale 0 M, les angles j3, a, <p,, ?«, <p3 ; on
trace les rayons ON, OP, OQ, OR;
égale au produit Elp
sur une autre horizontale indéfinie EU, on élève la perpendiculaire G X, que l'on prendra
= 9.600 dans l'exemple choisi ; par le point A ainsi obtenu, on mènera AE, AB, AG, AII, respectivement
parallèles aux rayons OAr, OP, O Q, OR,
de sorte que ces lignes formeront avec l'horizontale ED les angles p, fplt a, ^2, «,3 ; on
prolongera AB et du point E on abaissera E F perpendiculaire sur ce prolongement. Pour déterminer F on fera en A avec la ligne
AB l'angle « ; on obtiendra ainsi A F.
FERMES DIVERSES
— 82 —
FERME EN BOIS
i
Cette ferme est des plus simples que l'on puisse construire ; le poinçon c a été représenté en pointillé
parce qu'il ne subit aucun effort ; il empêchera simplement le faux entrait b de fléchir sous son propre
poids ; on peut, si on le désire le prolonger jusqu'à l'entrait a ; il remplira encore le même but pour
l'entrait a et il ne subira aucun effort si cet entrait ne supporte aucune charge directe.
FORMULES
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a = ^XElpX
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» d° »
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°
o
Cette ferme convient plus particulièrement pour supporter un plancher : dans ce cas, il faudra ajouter
au travail obtenu par l'entrait a le travail dû à la flexion ; on traitera cet entrait comme une pièce chargée
uniformément et appuyée à ses deux extrémités ; les autres organes ne sont pas affectés par la charge du
plancher.
Application.
— Nous prenons une ferme de i2m de portée 1= 12, chargée à raison de i6o k i l par
mètre carré de toiture, en y comprenant toutes les surcharges, ainsi que le poids de la charpente, le lout
compté suivant l'inclinaison de la toiture, p = 160 ; les fermes sont supposées espacées de 5°, donc E — 5.
Le produit Elp = 5 X 12 X 160 = 9600.
Nous mesurons l'angle a au rapporteur, nous trouvons a = 30"; en consultant la table des constantes,
nous avons sur l'horizontale de 300 *'* = 2.00 et Sa = 2.309; il n'y a plus qu'à introduire ces valeurs dans
les formules ci-dessus et on obtiendra les efforts en kilogrammes.
Diagramme. — Après avoir fait le produit Elp = 9600, on le porte à une échelle déterminée suivant
DA
sur une perpendiculaire à 1 horizontale BC; par le p o i n t a ainsi obtenu on mène une parallèle à
l'arbalétrier de gauche de la ferme ; on trace ainsi A B formant l'angle x avec l'horizontale ; on a ainsi le
point B; on trace ensuite A C perpendiculaire sur BA, de manière que le triangle ABC
en A ; on a ainsi un triangle groupant tous les efforts de cette ferme.
soit rectangle
— 83 —
PROFIL DE LA FERME
DONNÉES
£ = %* \
1 = 12™ > £/> =9600
P = 1G0 >
Echelle =
EPURE. STATIQUE
0
00
C4
Echelle =
"5
b-4800
,
Echelle
- 8
4
-
FERME EN BOIS
ii
Cette ferme est suffisamment caractérisée par le profil que nous donnons à la page suivante : l'espace
entre les deux cntraits a et b est entièrement libre.
FORMULES
4f==~X
» d» »
2
6= - X
4,**~X
» d- »
f=^xElPX
» d» » *
Rx
. Si l'entrait a supporte un plancher, il faudra déterminer à part le travail dû à la flexion en le
considérant comme une pièce chargée uniformément et appuyée à ses deux extrémités. Ce travail devra
être ajouté à celui qui est dû à l'effort d'extension.
Les autres organes ne sont pas affectés par la charge du plancher.
Application. — Nous avons appliqué ces formules à une ferme de 12™ de portée, l = 12, chargée à
raison de 150 kn-,tout compris : poids de la charpente et surcharges diverses, p = 1^0 ; nous supposons les
fermes espacées de 4°", E = 4 ; donc Elp
= qx
12 X 1 5 0 = 7200.
Après avoir mesuré au rapporteur l'angle <xet trouvé a = 340, nous consultons la table des constantes
et, sur l'horizontale de 340, nous trouvons Kx = 1.788, R* = 1.206 et Sx = 2.157 ; il n'y a plus qu'à porter
ces valeurs dans les formules et effectuer. Les résultats sont consignés sur l'épure statique pour montrer
la concordance:
Diagramme des efforts. — On peut éviter tous ces calculs ou, mieux, les contrôler en construisant le
diagramme.. Nous menons DA perpendiculaire sur B C et égale à Elp = 7200; on peut prendre une
échelle à volonté, nous avons choisi ^ .
On trace AB parallèle à l'arbalétrier de gauche, de sorte que
cette ligne forme avec l'horizontale l'angle a. On mène ensuite A C perpendiculaire sur BA, autrement dit
le triangle ABC est rectangle en A. Tous les efforts de la ferme sont groupés sur cette simple figure.
— 85
PROFIL DE LA FERME
DONNÉES
£ = 4m
12m
Echelle
150
ÉPURE STATIQUE
Echelle
A
Echelle =
Effort Al=jidlB
c
l
4500
— 86
FERME MIXTE BOIS ET FER
Ce type de ferme est suffisamment indiqué par la figure que nous donnons à la page suivante ;
l'arbalétrier est formé de trois travées égales, ainsi que l'entrait, de sorte que l'élément At = A, — At = A T .
FORMULES
(Pour le cas ou l'entrait ne supporte aucune charge)
K
==HX El])
XS
«
a=-^xElPxKx
4
A, = T a X
lz
i
A3--
» d° »
é==
4
Î2X
"
T=
d
±xElpxRx
° *
3
C=
Ï2 X
*
"
A> = A = ïâXEZj>XSa
Application.
— Supposons une ferme de 14°" de portée, l = 14, chargée à raison de i5o k ' u le mètre
carré réel de toiture, tout compris : surcharges de toutes sortes et aussi le poids de la charpente, d'où
p — 15ok ; les fermes sont espacées de 5™. On a donc E = 5", l = 14, /> = 15ok.
Nous mesurons au rapporteur l'angle a, nous trouvons a = 290 ; en consultant la table nous trouvons,
sur l'horizontale de 2g0. Kx = 2.06, jRa = 1.15, Sa = 2.36 ; en introduisant ces valeurs dans les formules
ci-dessus, on aura l'expression numérique en kilogrammes de tous les efforts.
Le lecteur aura, sans doute, déjà remarqué la relation harmonique qui régit les efforts subis par les
divers organes de cette ferme ; cette relation, mise en évidence par nos formules, ne s'aperçoit pas au
simple examen de l'épure statique.
Diagramme des efforts. — On peut éviter de faire les calculs ci-dessus ou bien les contrôler par le
diagramme qui se réduit à un simple triangle rectangle.
Sur l'horizontale B C, on porte DA = ExlX.p=
10500 dans l'exemple choisi ; on mène A B
parallèle à l'arbalétrier de la ferme et on complète le triangle rectangle en menant A C perpendiculaire
sur A B. Tous les efforts sont des parties aliquotes de ce triangle.
- 8
DONNÉES
7
PROFIL DE LA FERME
^ = 5™ j
1 = 14™ \ Elp = iOoOO
Echelle : o m oi par mètre
p = 150 '
ur°o
ÉPURE STATIQUE
Echelle : omoi pour 1000*
A
Echelle ==
2500
Effort/*, = i l deflC
A,=
2 =
•»Ai=A^=
12
12
-
88 —
p
p
FERME PRECEDENTE
SUPPORTANT UN PLANCHER
Reprenons la ferme précédente ; le lecteur remarquera que ce type de ferme réserve un grand espace
libre vers le milieu ; on peut donc l'utiliser pour les greniers, magasins, e t c . ; en un mot, on peut faire
supporter un plancher à l'entrait.
Les formules données précédemment ne supposant qu'une toiture, l'entrait ne servait que de tirant
pour annuler les poussées horizontales contre les murs ; il ne lui était pas appliqué de charge directe.
Nous avons établi des formules donnant les efforts supplémentaires subis par chacun des éléments de
cette ferme pour le cas ou elle supporte un plancher chargé. Dans ces formules E désigne toujours
l'espacement des fermes, / la portée et q le poids du mètre carré du plancher, y compris la surcharge.
FORMULES COMPLÈTES
(Avec toiture et plancher chargé)
At=^X
Elp X S^+^xElqxKx
» <i° » +l±x
A,=~X
.
-
4
1
3
= =
At=A3
r7
12
X
.
*
dJ
a = Y%X Elpx
» d°
* = À X '" d° , ) + | x
(Cet organe ne
» - j - 0 subit aucun effort
du faitdu plancher)
+0
A"
Kx+^xElqxKzxCx
3
-
C= j—X
12
T=
»
,
'
11
Q" » ~\
X
30
d
°*
•%
»
d°
»
±xElPxRx+^xElq
Remarque. — Les premiers termes de ces formules sont la reproduction pure et simple des formules
précédentes ; les seconds termes, dans lesquels entre le produit E l q, représentent l'effet du plancher.
Application. — Nous reprenons la ferme précédente avec les mêmes données E = 5m, l = 14, et nous
supposons le plancher chargé à raison de 20okl1- le mètre carré. L'angle * = 29. — Calculons l'un des efforts,
b par exemple. La première partie
)2
X Elp X AT* a été trouvée égale à 72o8kil- ; nous n'avons pas à y revenir;
il n'y a qu'à calculer - x Elq xKxX
Ca, la table a donné Kx= 2.06 ; en face l'angle 290, nous trouvons
C* = 0.874, donc - Elq X Kx X Cx = - x 5 X 14 X 200 X 2.06 X 0.874 = 9240^'-, d'où effort b = 7208
+ 9240k = i6448 k ''\ Tous les autres efforts ont été calculés et portés sur l'épure.
~ 89 _
PROFIL DE LA FERME
Echelle : o'"oi par mètre
b-
b-
X
X
5
O
Ô
^ •
<*4
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
'><
V
<s^
yr
1250
a -18250
c = 14646
S
•
^
1
b=16US
NOTA.
— II est bien entendu qu'on devra ajouter pour les organes a et b les efforts de flexion : si l'en-
trait est tout d'une pièce, c'est-à-dire s'il forme une poutre continue, on obtiendra très facilement le
moment fléchissant en m ou en n, puisque les réactions en ces points s o n t - x Elq;
extrêmes seront : — x Elq.
celles des points
On simplifiera la question en ne prenant que le tiers de l'entrait total et le
traitant comme une poutre appuyée à ses deux extrémités et chargée uniformément.
— 9o —
II
La figure ci-après montre suffisamment le type de cette ferme : l'arbalétrier est divisé en 4 parties
égales et le tirant inférieur en 3 parties ; les deux extrêmes sont égales et chacune d'elles est la moitié de
la partie centrale. •
FORMULES
(L'entrait ne supportant aucune charge)
; 4 , ^ - j g X Elp x Sx
^,-=T6x
» d° »
A3=A,
i
^ 4 =7fiX
16
a=^xElpxKx
b
=T&X
* d° *
= -n;X
» d° »
C
» d» »
As—A,
2
V=T,xElj>xRx
16'
T=^xElPxRxxSx
32'
Application. — La ferme que nous avons représentée a une portée de 12*, l = 12 ; nous la supposons
chargée de 130k'1- par mètre carré, tout compris : toiture, neige, pression du vent, etc., p = 130 ; nous
supposons les fermes espacées de 5™, d'où £ " = 5 . Nous mesurons l'angle x au rapporteur, nous trouvons
x = 300 30'; il n'y a qu'à chercher cet angle dans la table et sur la même horizontale on trouvera les valeurs
de Kx, Rx, Sx, que l.'on introduira dans les formules ; pour Au par exemple, on aura A^ = -, x i X 12X IJO
X 2.286 = 7801, etc.
Il est à peine utile de faire remarquer qu'il conviendra de calculer d'abord AK et, pour avoir
A3,Ai,Al
il suffira de multiplier par les nombres 6 et 7. Même remarque pour a, b, c.
Diagiamme des efforts. — On mène la verticale C A = Elp = 7800 dans le cas actuel ; par le pointa
on mène AB parallèle à l'arbalétrier de gauche de la ferme, de sorte que l'angle A B C =F X = y0° 30'; on
complète ensuite le triangle rectangle en menant AD perpendiculaire sur B A.
Le triangle/^ B D groupe tous les efforts de cette ferme, sauf l'effort de l'organe 7 ; pour avoir ce
dernier, on ramène BD sur Bis avec un arc de cercle dont le centre est B ; on mène E F parallèle à A D et
on obtient BF. L'effort
T=~deBF.
—
DONNEES
9
i —
PROFIL DE LA FERME
E=^ \
/=12 m [ Elp =7800
p = 130 )
î i . 00
ÉPURE STATIQUE
Echelle : o' u oi pour iooo kil.
Echelle ==
1/830
20/00
Effort^, = j-gdcBD
À,=
16
1
,
^t=
Effort T =
r i rdeBD=// !
«ileBf
-
FERME
92 —
'
*.
PRECEDENTE
En combinant ce type de ferme, nous avons cherché à repousser les divers organes intérieurs^, V, T,
autant que possible vers les extrémités de la ferme, de façon à ménager un grand espace libre dans la
partie médiane ; cette ferme conviendrait donc très bien pour des ateliers ou pour toute autre destination
dans laquelle l'entrait aurait à supporter une charge. Nous donnons ci-après les formules des efforts d'extension et de compression dans cette hypothèse.
FORMULES COMPLÈTES
(Avec toiture et plancher chargé)
At=l&X
Elp X S%+§gXElqx
fi
K7
* . = i * »d° » + J S X
K,
»d°
« = = 1 X Elp x
9
fj
'' = ïë x ' d° »+Txm
c=ux
i
At=j-X
Ab=At-
d
°
»
» d» » + jXWs
d»
v
2
»
***
57
2 87
4
A3=A2
K^^XElqXKàxC*
d°
» + 0
(L'effort subi par
cet organe n'est
pas accru par la
charge du plancher).
V = -~X
*•«
Elp
X R* +
_
•3
T = ^ X
„ ,
„
E/fX-fiaX
0
r. , 1
87
_ ,
n
Sï + g X J g g X £ / < / X Sx
Application. — Nous reprenoas la ferme précédente avec les mêmes données, mais nous supposons
en outre l'entrait supportant un plancher chargé à raison de i5okil- le mètre carré, d'où q = 150. L'angle
a = 300 30' ; nous trouvons dans la table Kk = 1.99, 5a = 2,286, Rz = 1.16, Cx = 0.86 ; en introduisant
ces valeurs dans les formules et effectuant, on aura tous les efforts en kilogrammes. Dans les formules
ci-dessus les premiers termes représentent la partie de l'effort due à la toiture seule et les seconds termes
celle qui est due au plancher seul.
Nous avons calculé tous les eilorts et consigné les résultats sur l'épure statique. Il restera ensuite à
déterminer le travail à la flexion pour l'entrait.
9 3 -
PROFIL DE LA FERME
DONNEES
5'"
\
12m
( Elp
=9000
150 1
Echelle =
1000
Echelle =-
i
1000
NOTA- — Nous avons dit qu'il faudrait déterminer le travail à la flexion de l'entrait et l'ajouter au
travail d'extension, pour cela il est nécessaire de connaître le moment fléchissant maximum.
1
M
ta
N
x
] 30
•M
\ o u s reproduisons l'entrait et pour toute poutre fractionnée dans les proportions ci-dessus i. a.', i,
1 niions les réactions aux points M et P. Le moment fléchissant maximum sera aux points d'attache
P et 0 sa valeur est : Moment » Ï J . Y . = ~ (Elq)xl.
(E l q) est la charge totale, l la portée de la ferme.
— 94 —
III
Ce type de ferme est composé comme suit : l'arbalétrier est divisé en trois tronçons égaux et l'entrait
en trois parties qui sont entre elles comme les nombres i, 2. i ; cette ferme réserve un grand espace au
milieu qui peut être utilisé, mais nous commençons par supposer que l'entrait ne supporte aucune charge.
FORMULES
(L'entrait ne supportant aucune charge)
1S
Ai=^xElp.x
Sy.
13
A, = - x » d° »
15
aElpx
~ 3ggX
6 X Elpx
a-=
12
» d°
èb =
~ 336
6 Xx ' d°
A,=jLx
9
c~
= 36 X
- d° >
Application.—Nous
» d°
Ko.
Ka.
»
*
4
(l) = j^x Elpx
4
(2)=^x
Elpx
K$ x R*.
K*{ X Rx
»
prenons une ferme de i4 m de portée/ = 14" chargée à raison de 125kîl" par mètre
carré non projeté, le chiffre de 125 comprenant comme toujours toutes les surcharges et même le poids de
la charpente^) = i25kl1-. Nous supposons les fermes espacées de 5'" = E. O n a E l p = 5 X 14 x 125 = 8750.
On mesure au rapporteur les angles a, p, y, nous trouvons a = 260 30', p = 440, y = 64 0 . Nous cherchons ces
angles dans la table et sur chacune des horizontales correspondantes nous trouvons les valeurs S* = 2.5
ATa= 2.24, Rx=
1.12, j£{J = 1.44 iTy = 1.11. En portant ces valeurs dans les formules et effectuant, on aura
les efforts en kilogrammes : nous les avons tous calculés et consignés sur l'épure statique.
Diagramme des efforts. — Pour construire le diagramme, nous portons sur une horizontale la verticale B A = E X l X />= 8750 ; ensuite en un point quelconque O, nous menons ON, OP, 00,
formant
avec OMles angles a, ($,y', par le point A, nous menons des parallèles à ces droites, nous obtenons AC
AE,AF,
du point A comme centre, nous ramenons AE et A F sur la verticale AB prolongée
menons ensuite les horizontales GI et HJ et nous avons ainsi terminé le diagramme.
nous
— 95 —
PROFIL DE LA FERME
DONNEES
E
l
P
5m j
14m [ Elp = 81$0
125 )
Echelle =-
EPURE STATIQUE
, < & ^
Echelle =
N ^ ^
1-6533
8166
A
V:
'
^
^ '
^
t -4899
• • #
/90S
Echelle
1500
^
%
Vf
»
- >•
96
?
9
FERME PRECEDENTE
Reprenons une ferme du même type que la précédente, mais en changeant toutes les données et en
supposant l'entrait chargé.
Nous allons donner les formules complètes pour ce cas.
Nous désignons par q la charge par mètre carré de plancher.
FORMULES
COMPLÈTES
(Plancher chargé)
i t , = . g x Elpx
At = ^x
3
>3 = ^ r x
A
Sx+mxElPxK*
a=Ji.xElpxKaL+mxElqxKzxCz
» d° v + ^ x '» d°
»
36
d
°
» + 0
(Cet
ne n
°T ,
ft
'T
pas affecte par la
charge du plancher.)
=
c
S x * d° * +
9
= 5ir><
jXm><El<ixK*xCz
3
°
d
°
x
»+ T
J5
4
S7
T9«x
*
d
°
*
138
(l)=~xElpxK^xBoi+0
4
(2) = ^X
67
Elp x Ky X R* + -fègX
ElqxKy
Les seconds termes de ces formules sont relatifs à la charge seule du plancher et les premiers à la
charge de la toiture.
Application. —Prenons une ferme de i2 m de portée, Z = 12, chargée à raison de i40kl1, le mètre carré
(suivant l'inclinaison de la toiture et toutes surcharges comprises), donc p = i4oki1-. Les fermes sont supposées espacées de 4 m , d'où E = 4, finalement o n a £ I ^ = 4X 12X 140= 6720. Le plancher est supposé
57
chargé à raison de I-JCF1 le mètre carré, q— 170, on a donc E Iq = 4 X 12X 170 = 8160 et ^ X £717 = 3633.
Nous mesurons au rapporteur les angles *, fi et Y» nous avons trouvé a = 300, p = 490 30' et i = 66° 30', nous
0
trouvons ensuite dans la table K* = 2.00, S* =2.31 AT[3 = \.32, Ky= 1.09, Cx = 0.866, Rx= 1.15. Il n'y a
plus qu'à porter ces valeurs dans les formules et à effectuer les calculs : nous avons consigné les résultats
sur l'épure statique.
— 97 —
DONNÉES
E = 4'"
P R O F I L DE LA FERME
\
/ = 12- ( £/;, =6720
V — 140 )
9 = 170
Elq =8160
Echelle = •
É P U R E STATIQUE
Echelle =
c-vm
NOTA.
— Pour les oganes a et b, il faudra chercher à part le travail à la flexion et l'ajouter à celui qui
proviendra des efforts d'extension donnés par les formules ; nous donnons les véritables réactions en m et «;
les réactions aux extrémités en résultent par différence ; il est donc bien simple de déterminer les moments
fléchissants en m et n et de traiter la poutre comme une poutre continue à trois travées inégales dans le
rapport. /, t, / (voir l'exemple précédent). Pour plus de simplicité, on pourra ne s'occuper que du plus
grand tronçon b et le considérer comme une poutre chargée uniformément et appuyée à ses deux extrémités.
S
— 98 —
FERME A LA MANSARD
1
"
"
•
Dans cette ferme, l'entrait T supporte le plancher de. l'étage ménagé entre T et le tirant a.
FORMULES
Effort T=jx
Elpx
»
C= —X
2
3
» A.=
— X
1
» i , =
»
»
I=S
XIaxiipXCa
n est le rapport de la portée
x
MN de la contrefiche C.
1
X
o
2
T
o
II = ~- X
4
3
a=—X
X
n
»
P
» x
d°
»•,";
» X
'**d° • . »
-
_
» X
d°
-.
» X
d°
o
Application.
Dans toutes ces formules
XA.Xiîii
x
?
M-2
_
» X
X Sa
8
y
-^~-
totale PN
à la projection
Ces formules sont vraies
quel que soit n, entier ou
X lia
P
fractionnaire.
xA'n — effort T
r
— Calculons par exemple une ferme de io m 50 de portée, Z = i o m 5 0 , chargée, tout
compris, à raison de i5o kl '- suivant l'inclinaison de la toiture, d ' o ù / ' = 150 ; si nous supposons que, dans le
projet à l'étude, les fermes doivent être espacées de 4 œ , n o u s aurons E = 4, donc E X l X p = 4 X 10.50
X 150 = 6 3 0 0 .
Nous mesurons au rapporteur les angles x et p et n o u s trouvons, dans la table des constantes, pour
a = 63° et P = 24», Kt—
Ï.12, R$=
1.09, Cx = 0.45, S^--=2.6o et ^ = 246. Nous avons n= 5 ^ = 7 ^ == 8 -4
(nous avons pris à dessein un exemple avec n fractionnaire). Il n'y a plus qu'à porter ces valeurs dans les
calculs.
Diagramme
ONetOP
des efforts. — A partir du point 0 de l'horizontale 0 M nous traçons avec le rapporteur
formant les angles £ et *, ensuite nous m e n o n s A F perpendiculaire sur l'horizontale indéfinie
B C et nous prenons cette droite égale au produit Elp
menons A B et A D parallèles à ONetOP;
point A comme centre, nous ramenons AD
=
6 3 0 0 ; nous avons choisi l'échelle n^. Nous
nous traçons AL
perpendiculaire sur A B ; ensuite, du
en A G et par le point G nous menons une parallèle à -F C ;
nous faisons la même opération pour la ligne F D en p r e n a n t F comme centre. Nous avons ainsi construit
une figure simple groupant tous les efforts de la ferme à la Mansard.
Il ne faudra pas oublier que le tirant T supportant le plancher travaille aussi à la flexion ; il faudra
calculer ce dernier effort en le traitant comme une poutre appuyée à ses deux extrémités.
— 99 —
DONNÉES
m
E= 4
\
m
/ = iO 5o[ Elp =6300
PROFIL DE LA FERME
Echelle
EPURE STATIQUE
Echelle
\
*
\
Echelle
O
Efforts, = t " X
s—:
ae a
^ 5 = -g- X
»
d°
»
» / =ix
»
d°
j»
»
=
—
TOO
FERME A LA MANSARD
ii
Nous avons appliqué les formules précédentes à une ferme du même type, mais avec des données
entièrement différentes.
La portée de la ferme est, ici, de 14'", d'où 1= 14 ; la charge par mètre carré comptée suivant l'inclinaison de la toiture et toutes surcharges comprises est de i20kl1-, d'où p = 120 ; nous supposons les fermes
espacées de ç", d'où Is —'5. On a donc Elp = ç,x 14 X 120 = 8400. Le nombre n qui entre dans les
formules étant toujours égal au rapport de la portée totale PÀ r à la projection de la contrefîche C, on a donc
PN
dans ce cas PN = 14 et MN'=
14
1, d'où^y = -7 == 14, donc n = 14.
Nous avons trouvé * = 72° 30 et [i = 230. Il n'y a donc plus qu'à appliquer les formules comme il a été
expliqué à l'exemple précédent. Nous avons aussi construit le diagramme des efforts et l'épure statique,
afin que le lecteur puisse s'assurer de la concordance des trois procédés, ce qui prouve l'exactitude et la
généralité de nos formules et de notre diagramme.
PROFIL DE LA FERME
DONNEES
E
l
P
-= 0"
14m > Elp =
120 ;
8m
Echelle =
—
IOI
—
i ^ ( T E c H N i Q u E -l'as]
ÉPURE. STATIQUE
Echelle
Echelle =
l(>2
—
—
POLONCEAU SIMPLE
(UNE SEULE BIELLE SOUS CHAQUE ARBALÉTRIER)
Ce type de,ferme est bien connu : il consiste en deux fermettes renversées, reliées par le tirant T3 ; ce
tr
tirant est plus ou moins surélevé; on prend souvent le rapport- = 5, c'est le rapport que nous avons
adopté pour ce premier exemple, mais nous avons établi des formules absolument générales ; dans nos
formules, n = — quel que soit ce rapport, entier ou fractionnaire.
FORMULES
Effort A, = - ^ x Elp X ù*> X R(*$#) X K$
•
*
Tt=2xFjlpxJïp
T.=l
-
»
'
T, = LXElpx
4
*
El
v
Application.
xElpx
8
R$ X ^ i - r
M— 1
'
/T(a + p i x — ~
n—1
P
— Supposons une ferme de n m de portée, chargée à raison de i8owl- le mètre carré, les
fermes étant espacées de 511'. E = 5,1= 1 i,p — 180, Elp = 9900, « — 10, p = 170 et '«+p)= 270
Nous reportant à la table, nous trouvons G* = 0.984, /?(*+(!)= 1.1233,/££ = 3.42 et /fix+p» = 2.2.
Introduisant ces valeurs dans les formules, nous aurons tous les efforts, sauf pour T, et T3 où il faut
fixer la valeur de n : nous avons dit plus haut que le tirant était surélevé d u - de la hauteur totale c'est-à
dire-r = « = n.
Calculons 7",, on a :
i
5+1
r. = - x 9900 x 3.42 x ——
O
'
0
1
ou T. = — x 9900 x 3.42 x - = 6348
s
4
La valeur numérique de tous les autres efforts est indiquée sur l'épure statique
— io3 —
DONNEES
E = S
m
\
l =-- il-» J
p = 180 )
PROFIL DE LA FERME
2?/|> = 9900
Echelle : o'"oi par mètre
ÉPURE STATIQUE
Echelle : o m oi par 1000 kil.
^
Ti-6S0e
104
Pour construire ce diagramme, on fait en un point quelconque O de l'horizontale les angles S et («+&).
On obtient ainsi ON etOM\
puis en un autre point quelconque A on élève une perpendiculaire et l'on
porte a une échelle déterminée le produit Elp,
qui dans le cas actuel = 9900 : par le point C ainsi obtenu,
on mène C B et CD parallèles à O N et O M ; on prolonge C D indéfiniment; du point B on abaisse la
perpendiculaire B E, que l'on prolonge aussi indéfiniment ; ensuite on revient au point Cet l'on trace C G
faisant avec C D un angle == (<*+?) ; on prolonge C G : cette ligne coupe le prolongement de B E en F. On
trace / / en ramenant C A avec un arc de cercle et on élève la perpendiculaire sur C D. Cette figure très
simple à construire, groupe tous les efforts du polonceau.
Ainsi dans le cas actuel, en donnant à n la valeur convenue, n = 5. on aura pour T. par exemple :
r.=;
(o — i)
oz
Tt = 6348M-
— io6
POLONCEAU SIMPLE
(UNE SEULE BIELLE SOUS CHAQUE ARBALÉTRIER)
II
FORMULES
Efforts, = - g
»
r
X
Elp X 6a X H(a+P) X K%
3
i=-g
xElpxK^
{
»
3,3 = I
n-\-i
X
E/
; 3 X
^+?)X^-
1
Données. — La ferme a 8m de portée et chargée à maison de 150"'- par mètre carré non projeté, y
compris pression du vent, poids de la neige, de la toiture et de la charpente ; les fermes sont espacées de 6m.
Nous avons donc E = 6m, l = 8"\ fi — 15okiL, d'où El fi = 7200.
Nous mesurons au rapporteur les angles % et {$ ; nous trouvons % = 180 et p = 270, d'où (oc+fi) = 45 0 . En
nous reportant à la table, nous trouvons sur la ligne horizontale de 180 et dans la colonne C le nombre
0.951, donc Cx= 0.951 ; puisque (*+?) = 450, nous nous reportons à l'angle 450 et, sur la même horizontale,
colonne R, nous trouvons le nombre 1.414, donc i?(a-|-p)= 1.414 ; on trouvera de même ^ = 2.203,
7fc-f-{J) = 1 et M*+f ) = 1.414. En introduisant ces valeurs dans les formules ci-dessus et effectuant les
multiplications, on aura les valeurs des efforts.
Nous rappelons que n = y dans le cas actuel, la hauteur totale = 4moo et la surélévation de l'entrait est
de i-oo, donc-7-=-j-=4, donc n = 4, donc pour T2 et T, nous aurons
n+ 1
n-i
n
n—l
4+ 1
4—1
4
4—1
5
3
4
3
On voit que nos formules sont absolument générales, quelle que soit la surélévation de l'entrait ; elles
a
s'appliqueraient aussi au cas où —ne serait pas un nombre entier.
— 107 —
PROFIL DE LA FERME
DONNÉES
E = 6'"
\
' = 8- ( Elp = 7200
p = I50k J
Echelle
=
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
iooo
Le lecteur pourra s'assurer de la concordance entre les résultats obtenus par nos formules et ceux que
donne l'épure statique ci-dessus.
Diagramme des efforts. — Pour le polonceau, nous avons réussi à grouper les efforts sur une figure
simple, que tout le monde peut construire sans avoir aucune connaissance de la statique graphique ni des
lois de la mécanique (Voir la figure à la page suivante).
Nous formons le produit E X / X p = 7200 dans le cas actuel, nous portons ce chiffre à une échelle
déterminée sur la verticale AB. Nous prenons ensuite un point O quelconque sur l'horizontale et nous
formons avec le rapporteur les angles P et (*+?) ; nous traçons O M et O N, par le point B nous menons
BC'et
BF
respectivement parallèles à O M et à ON;
nous obtenons ainsi les points C et F ; nous
prolongeons S F et de C nous abaissons la perpendiculaire CGD.
efforts du polonceau.
La figure ainsi obtenue groupe tous les
— io8 —
Dans cet exemple (x-j-3) = 4 c;° e t le prolongement de BA donne DB dont les^= l'effort Ai ; le diagrammegénéral, c'est-à-dire quels que soient * et S et leur somme, se formerait comme il a été dit" précédemment,
mais la dernière ligne, au lieu d'être le prolongement de BA, s'obtiendrait en faisant l'angle FBP —(a+fO et
l'effort At, serait les --j de BP.
—
I IO —
POLONCEAU SIMPLE
SANS SURÉLÉVATION DE
L'ENTRAIT
Cette ferme est un polonceau simple sans surélévation de l'entrait.
FORMULES
3
Effort A , = - g X ElpX
s
i. =
Sa
^ ' x «
o
»
T„ =— x
8
» d" »
/»
r3 = - . x
» d° »
>
Application.
v
=
^
— Nous avons pris comme exemple une ferme de io m de portée, chargée à raison de
i8o kil , toutes surcharges comprises ; nous supposons que les fermes sont espacées de 6m ; nous avons donc
E=^6m,
1= io ra , p= i8o klK . On mesure l'angle <* au rapporteur, nous trouvons 2 = 22 ; nous cherchons cet
angle dans la table et, sur la même horizontale, nous trouvons S« = 2.879, 7« = 0 404, ^ = 2.67; en
portant ces nombres dans les formules, nous obtiendrons, après avoir effectué les multiplications, la valeur
de tous les efforts. Nous les avons tous calculés et inscrits sur l'épure statique.
Diagramme
des efforts. — P o u r ce type de ferme, le diagramme des efforts est un simple triangle
rectangle construit en p o r t a n t sur une verticale BA la valeur du produit E lp qui, dans le cas actuel, est
égal à :o8oo ; par le point A ainsi obtenu on mène une parallèle à l'arbalétrier ; on obtient ainsi A C ; puis
on mène A D faisant avec A C un angle droit.
Cette figure groupe tous les efforts des divers organes de la ferme.
III
—
PROFIL DE LA FERME
DONNÉES
E = G"' \
/ = 10m l Elp = 10800
p = 180k )
Echelle =
ÉPURE STATIQUE
Echelle =
Echelle = -
Effort^ = -f de CD
,
A, = -§-dc CD— J-de BD
I 12
—
POLONCEAU DOUBLE
(TROIS BIELLES SOUS CHAQUE ARBALÉTRIER)
FORMULES
Effort ii, =Y% *
E l p X
^
X
fi(a+W
» 4 =4,-^x1^)
Elp
X
8
*&
Effort r , = 7 N,
»
r 2 = 6 iv,
i
d°
»
r
X d°
*
T
iV, = ~ x £ / p X «jj
»
r5 =
T
>
F, =
T
8
»
X
3
=
«+i
x
F
" - 16
X
Ë'?XÀ'?X—4
3n+i
d°
X
n —1
x £ij> x *(«-B0 x
^
La quantité n qui
entre dans l'expression de ces trois efforts
est le rapport -f
H est la hauteur t o tale de la ferme, h la
/ surélévationdel'entrait
x JEIj»
L =n.
F, = L
Application.
— Supposons une ferme de i2 m de portée, 1= 12™, chargée à raison de i30 kiL , p — 130 ;
supposons que nous voulons espacer les fermes de 4™, alors E = 4 ; le produit de ces trois quantités
Elp
= 4 X 1 2 X 1 3 0 = 6420 ; pour ce cas nous avons voulu déterminer l'angle à la base de la ferme rigou-
r e u s e m e n t ; il suffira, dans la pratique, de l'évaluer avec u n bon rapporteur ; nous avons trouvé * = 170,
S = 22° 4 8 ' ; notre table ne donne les coefficients que pour 220 3 o e t 2 3 ° ; alors nous interpolons proportionnellement et nous trouvons 0 = 0.956, i ^ a + p ) = 1.301, K j j = 2.57. F(a+£>= 0.833, K(x-fp) = 1.562.
Nous avons déjà vu pour le polonceau simple que n était le rapport de la hauteur H de la ferme à la
surélévation de l'entrait h ; n = -r ; dans le cas actuel - = n = - ^ r . On n'aura qu'à introduire ces valeurs
dans les formules ci-dessus et on trouvera les valeurs numériques inscrites sur l'épure ; on constatera
qu'elles concordent avec celles de l'épure et aussi avec celles du diagramme que l'on trouvera plus loin. Il
ne faudrait pas s'inquiéter de quelques différences
insignifiantes, elles sont inhérentes à tout
tracé
géométrique : elles ne proviennent que de l'imperfection de ces derniers, qui ont été faits à trop petite
échelle.
— n3 —
P R O F I L DE L A
FERME
DONNÉES
m
E=!k
\
m
?=- 12
( Elp
=6420
p = 130" )
ÉPURE
STATIQUE
Echelle : o m oi par iooo kil.
Diagiamme
des efforts. — Ceux de nos lecteurs qui connaissent la statique graphique voudront bien
se rappeler qu'il est impossible de faire l'épure statique ci-dessus du polonceau double sans calculer directement l'effort du tirant Tb, ce calcul n'est pas difficile, il est vrai, mais encore faut-il connaître quelques
principes de mécanique. Avec le diagramme que l'on trouvera ci-après, u n simple dessinateur sachant uniquement faire un angle, mener une parallèle et une perpendiculaire à des droites déterminées p o u r r a en
moins de temps qu'il ne faut pour le dire obtenir une figure qui groupera tous les efforts des éléments du
polonceau double. Nous pensons que ce diagramme p o u r r a être utile à une certaine catégorie de lecteurs,
celle qui nous intéresse surtout, car encore une fois, c'est p o u r eux que nous avons travaillé. Nos recherches
n'ont aucune prétention à la science, mais bien à la simplification.
— ii4 —
* * * * * *
Echelle =
Pour former ce diagramme, on trace OM et ON faisant avec l'horizontale les angles 3 et (x+f), en un
1
point quelconque B, on élève une perpendiculaire égale au produit El fi ; par le. point C, on mène CA et
C i ) parallèles à ON et O M, on prolonge CD, et du p o i n t a , on abaisse la perpendiculaire A E que l'on
prolonge. On trace ensuite CF
en faisant l'angle de cette droite avec CE — (*+$). Pour obtenir
A.:.A,.A„ il faut encore rabattre CB = Elfi,
suivant CH et élever sur C D la perpendiculaire HJ. Tous
les efforts du polonceau double sont des parties aliquotes de AC, CD, C F, HJ.
— 116 —
POLONCEAU DOUBLE
(TROIS BIP2LLES SOUS CHAQUE ARBALÉTRIER)
II
Cette ferme étant très usitée, nous donnons un deuxième exemple en faisant varier toutes les données.
Il, n'y a qu'à introduire les nouvelles données dans les formules précédentes. Après avoir mesuré les
angles
x
et g, nous trouvons dans la table C a = 0.994, ^^g == 2.855, ^( a +P)
=
*"• 117, ^( x +?) ^
2 2
- 4,
k
71(a+§) = 0.498. — La portée de cette nouvelle ferme = 16™, la charge par mètre carré = 15o ''-, les fermes
sont supposées espacées de 51". La hauteur de la ferme est de 4m et la surélévation de l'entrait de om5o, le
nombre n qui entre dans les formuLes précédentes sera donc égal à — = 8.
Nous avons consigné la valeur de tous les efforts sur l'épure statique. Le diagramme des efforts se
construit comme il est expliqué dans l'exemple précédent.
PROEIL DE LA FERME
DONNEES
/ = lti™
|
k
'
p = 150
Elp
lp = 12000
Echelle
=
—
II
7
—
ÉPURE STATIQUE
Echelle = •
u8
POLONCEAU DOUBLE
SANS SURÉLÉVATION DE
L'ENTRAIT
FORMULES
Effort A, = — x Elp
„
A., =
»
d" »
,
d'
»
x /?/// x r x
-
d°
Nt =
»
Effort T. = —X
lo
x Sa
»
d°
r, = — x
}_ x
8
» d° »
r = —x
3
4
»
V1 =
» d°
16
» à°
16
2 5\ = — X
16
-xElPxK^
K
d"
^ S *
- X
8
iV2 = Nx
ElpX
16
V3 = —
16
» d° »
-xElp
d°
L\ = Y
Application.
— La ferme à laquelle nous avons appliqué ces formules a 14°" de portée, l = 14, elle est
chargée à raison de i6o kih par mètre carré mesuré suivant la toiture p = ioo kiL . Ce poids comprend aussi
celui de la charpente et toutes les surcharges accidentelles, neige, pression du vent. L'espacement des fermes
J5 = 4/5O. Nous mesurons au rapporteur l'angle , n o u s trouvons _ = 2 5 ° . Nous cherchons dans la table des
constantes, on trouve K a = 2.366, Sa — 2.61, T = o. 466.
Il n'y a plus qu'à introduire ces valeurs dans les formules ci-dessus et effectuer pour avoir les efforts
exprimés en kilogrammes. P o u r cette ferme, le diagramme des efforts est un simple triangle rectangle, il
sera utile de le construire pour contrôler les calculs ou bien pour les éviter si l'on est pressé.
— 119 —
DONNÉES
PROFIL DE LA FERME
E = 4m50 1
l = 14- j Elp = 10080
p = 160 )
Echelle
=
14? 00
ÉPURE STATIQUE
Echelle = •
120
Echelle
C\
Q
^
^V
T3
•a
4s HS \
\
\
^
Efforts, ==-^deflC
A
^
A
Ak
l_
— 16
d° — fdeDC
L
d° — J-de£>C
-JL.
' 16
d°
-§-deOC
Pour construire ce diagramme, on forme le produit des trois quantités E, espacement des fermes = 4"-,
l portée de la ferme = 14, p poids par mètre carré = i6okiL, o n a £ I ^ = 10.080, on porte cette quantité à
une échelle déterminée suivant D A perpendiculaire sur BC, on a ainsi le point A. Ensuite, en un point
quelconque de la feuille, on trace ON faisant avec l'horizontale OM l'angle a , angle à la base de la ferme,
on mène A B parallèle à ON, de sorte que cette droite forme avec l'horizontale B C l'angle , puis on trace
A C faisant avec B A un angle droit, de sorte que le triangle ABC
est rectangle en A.
—
122
FERME DE GRANDE PORTÉE
MÉNAGEANT
UN E S P A C E
AU
MILIEU
Le type de cette ferme est suffisamment indiqué par la figure ci-contre : l'arbalétrier est décomposé en
cinq travées égales. Les tirants a, b, c sont égaux et d comprend la projection des quatre travées d'arbalétrier.
FORMULES
À
El
< =J0x
PXSa
20
X Elp x K%
b=¥ox
A3 -
20
X
C =
2Ô
» d* »
X
*
d
° *
»
d
°
(sans plancher)
V=-xflJpX*
a
(i)==
iô x £ ^ x \
xR
*
// = 2 - X
d°
&=»*
^
x d»
W = ^ X
d»
(3) = 2oX
/ ^ x do
rf
=Fo =
^xFox
' d°
Remarque
' = » =
: Les efforts //,, A.. A%, A_u A.„ sont entr'eux comme les nombres entiers 9, 8, 7, 1, on
calculera d'abord l'effort Ab et en multipliant successivement le résultat obtenu par 7,- 8, 9, on aura les
autres efforts. De même les efforts a, b, c, d varient comme les nombres 9, 8, 7, 6, on calculera le ~0
deElpxKêten
reraar
multipliant ensuite cette quantité par les nombres 6, 7, 8, 9, on aiya d, c, b, a. Même
'e pour les efforts /, II, III. O n voit combien les calculs seront ainsi abrégés.
— Soit une ferme de i8 ra de portée l = i8 r a , nous supposons que l'on veut espacer les
Application.
fermes de 4™ d'où E — 4 et qu'on les charge à raison de 15okil- tout compris (poids par mètre carré réel avec
toutes les surchages). Nous avons donc £ 1 ^ = 4 x 18 X 150 =
0
10800. Nous mesurons ensuite les
0
angles *, P,, P2, ?3 avec le rapporteur, nous trouvons * — 24 , §, = 42 , p, = 54°, (J, = 6i°. — En consultant la
table, nous trouvons S a = 2.69, K% = 2.458, R% — 1.095. K^, = 1.494, Ko,, = 1.236, Ko, = 1.14. Il n'y a qu'à
porter ces valeurs dans les formules et effectuer les calculs, on trouvera les résultats inscrits ci-contre sur
l'épure statique.
Diagramme
des efforts. — Nous portons CB=
Elp
= 10800 ; par B nous menons B A parallèle à
l'arbalétrier, B I parallèle à (1), B J et BL parallèles à (2) et (5), après avoir comme toujours, mené B D perpendiculaire sur B A, nous ramenons avec une série d'arcs de cercle ayant leur centre au p o i n t B, les longueurs BI. BJ, BL sur le prolongement de B C par les points L',f.
droites L' E,f
V ainsi obtenus, nous menons les
F. F G parallèles à l'horizontale, nous obtenons ainsi BE, B F, BG. Nous avons ainsi le
diagramme comprenant tous les efforts.
— 123
PROFIL DE LA FERME
DONNEES
E
4
ra
)
l
18'» j
P
iSO* )
Elp=
10800
Echelle
Echelle
=
-<
\
* o
124 —
FORMULES POUR LE PLANCHER SEUL
t
$
J!»
53
£3
SI
w
x
NI
L'entrait de la ferme précédente est divisé comme la ligne ci-dessus, Xous avons fait une épure statique
en appliquant la théorie de la poutre continue et nous avons trouvé les réactions indiquées ; celles des
41
points c ety*sont négatives, c'est-à-dire qu'il faudrait charger la poutre de l'entrait de ~ X Elq pour que
tous les points d'attache de l'entrait restent de niveau ; il s'en suit que ce type de ferme n'est pas très
recommandante.
Néanmoins, nous donnons des formules approchées pour le cas d'un plancher chargé, on devra
ajouter ces efforts aux précédents.
A=
' Tox
El
<i><K*
At=At
4 - i - xX
A
*=2Ô"X
.4S=Û
(/)=|x
»
d°
<*>Hi*
»
»
d°
W-gx
»
6
» <1° »
> ~ 20
i
a = - X El,jx K%xC%
> d° »
=2ÔX
7
C
=20X
A
f=d
2 1
»
d«
Elq X Ko
/ ^0
iJi
A
>,
ll=,~XElq
W
/// |
13
2
- 2 0 XV °d°
I2Ô
FERME
—
ANGLAISE
(ARBALÉTRIER EN TROIS
TRAVÉES)
Dans cette ferme. les points m, a sont la projection des points milieu des éléments A, et A,
FORMULES
a = =
A, X 1 8 Q x
d"
Application.
Î2X
E/;
'
X
6=F2X
» d*
C==
* d"
l2X
K%
7=_lx-B/?XîXi?
//=f„x
ATB
d°
a
(Ï)=1ÏX
13
(f)=-X
L2
ElpxK^
?s
— La ferme choisie a I2'--1 de portée l = 12. le poids par mètre carré de toiture, toutes
surcharges comprises, est de 175kil- d'où p = 175, nous supposons que dans le projet à l'étude on veuille
espacer les fermes de 4°" 50 d'où E = i^ôetElp^
4.s X 12 x 175 = 945°. On mesure au rapporteur les
angles -/., [3,, p„ y, ?,, on cherche dans la table des constantes et on trouve S., = 2.83, K% = 2.61. R y = 1.08,
K^ — 1.555, Kp = 1.16,
JBTJ
= 1.74, #,r2 = 1.41, il n'y a plus qu'à effectuer. Les résultats de ces calculs sont
consignés sur l'épure statique.
Diagramme
des efforts. — On peut éviter les calculs précédents ou mieux les contrôler à l'aide du
d i a g r a m m e . Avec un rapporteur, à partir de 0 M (fig. 3), on forme les angles *, {*,, P„ ?,, <?„ ensuite on élève
D A perpendiculaire sur l'horizontale indéfinie BC;
on prend-D A égale au produit Elp
= 9450 dans
l'exemple choisi, par le p o i n t a on mène des parallèles à tous les rayons émanant du point O, on reforme
ainsi sur la base B C les angles précités.
Du point A, avec u n compas, on ramène les points F et / / , correspondant aux angles p, et (32, en F'
et H' ; par ces derniers points, on mène des parallèles à D C ; on obtient ainsi les points / et /. On avait
préalablement mené A C perpendiculaire sur A B, de manière à former comme toujours un triangle B A C,
rectangle en A.
—
DONNEES
m
E = 4 50 ^
/ = 12m ' Elp =9450
p = 173 )
Î 2
7
—
PROFIL DE LA FERME
Echelle =
ÉPURE STATIQUE
Echelle = -
Echelle
=
128
FERME ANGLAISE
(ARBALÉTRIER EN QUATRE TRAVÉES)
Dans ce type de ferme l'arbalétrier est divisé en quatre parties égales et chacun des points de division
est joint aux points m, n, p, qui sont la projection des points milieu des éléments A,_, A3,
A
<
==
19
Aà
U
4 X
=k
112X
» d° *
C
» d° »
r,
Application.
Elp X *x
6
» d° »
>'-&x
27
A3 - 8Q X
A
a X
7
Elp.%
i6X
S
=Ï6
d°
d"
X
4
-iX
/ J
=!
X
^=F4
X
At.
(l) = - x
Ko
d»
ElpxK^
(g) = - x
-.»
( 3 )=F6 X
*
A.
?»
A',
d°
— La ferme que nous avons choisie a i6 m de portée, l = 16 ; elle est chargée à raison de
i8okU- (toutes surcharges comprises) par mètre carré réel de toiture, donc / > = 180 ; nous supposons que les
fermes sont espacées de 4 m , E = 4. Le produit E l p est donc égal à 4 X 16 X 180 = 11520.
Nous mesurons au r a p p o r t e u r les angles a, p,, {J,, p,, ©,, <?,, <p3, et en consultant la table, en regard des
valeurs de chacun de ces angles, nous trouvons la valeur des expressions S a , K^, Rx, K01, K02, Ko3,
A*„2. K
Koi,
J
Nous avons trouvé, en cherchant dans la table, l'angle a = 2c/ 3o' ; pour les valeurs des constantes
relatives à cet angle Sx = 2.33y, K% = 2.03, R^ = 1.143. Si nous voulons calculer l'effort At par exemple,
7
nous avons Ax=
d~
,
x Elp
7
X S ï = - X 4 X i 6 x 180 X 2 . 2 3 7 = 11758. Nous avons calculé tous les autres
efforts et consigné les résultats sur l'épure statique pour montrer qu'il y a concordance, ce qui doit
toujours arriver puisque nos formules sont absolument rigoureuses.
Diagramme
des efforts. — P o u r construire le diagramme, on prendra un rapporteur dont on fera
coïncider l'horizontale avec OM;
on formera ainsi les angles *, ?,, ?„, <p3, p i ; p2j p,. Après avoir, comme
d'habitude, porté sur une verticale B A la valeur à une échelle déterminée du produit Elp
l'exemple choisi), on mènera par le point A des parallèles aux lignes O a , O c ,, O ,, etc
lignes AC,
AD,
AE,
AF,
AG,
AH;
= (11520 dans
, on aura ainsi les
on ramènera, comme l'indique la figure, les points F,
G, H
correspondant aux angles P1; ps, p„, sur le prolongement de AB ; on obtiendra ainsi les points s, /, v.
E n menant des horizontales on obtiendra les points / , L, M d'intersection avec la droite AM, qui avait
préalablement été tracée en faisant un angle de 90 0 avec AC.
— 129 —
PROFIL DE LA FERME
DONNÉES
— 4m
16- [ EiP = \m<i
Echelle
=
ÉPURE STATIQUE
Echelle
Echelle = •
Remarque : Les lignes A^% et A^, se co nfondent suivant A F ; c'est une coincidence tout à fait fortuite
causée par l'égalité des angles p, et ?,.
i3o
FERME ANGLAISE
(ARBALÉTRIER
EN CINQ TRAVÉES)
Cette ferme est construite comme suit : L'arbalétrier est, comme toujours, divisé en un certain
nombre de parties égales, en cinq dans cet exemple ; puis on prend le milieu de At, A3, A„ A6, et on projeté
les points obtenus sur l'entrait ; on a ainsi les points m, n, f>, q, qui sont les points de jonction des contrefiches /, / / , etc., avec les étrésillons (1), (2), etc. Il résulte de là que les longueurs interceptées sur l'entrait
sont égales entre elles, sauf celles des extrémités.
FORMULES
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iô kil par mètre carré suivant l'inclinaison de la toiture, toutes surcharges comprises, ainsi que le poids de
la charpente, les fermes étant supposées espacées de 5", d'où 2T— $, On mesure au rapporteur-les angles
*i P«. P», Ps> P* e t ? , , s.. Ï-„ «p«. On cherche ensuite dans la table des.constantes et on trouve S a = 2 . 8 7 9 ,
# , = 2.669, / ? a = 1.078, X ^ = 1.6a,
/^,—1.166,
^=1.078,
ATft,= 1.045,
^1=170,
^=1.41,
A"^ = I.-Î, / C t == 1.244.
Il n'y a plus qu'à introduire ces valeurs dans les formules et effectuer. On peut éviter tous ces calculs
ou bien les contrôler a l'aide du diagramme que nous donnons ci-après.
— I3I —
DONNÉES
£=5m
PROFIL DE LA FERME
\
* = 20»
Elp =15000
p = 150k J
ÉPURE STATIQUE
Echelle
1250
Pour construire ce diagramme, à l'aide d'un rapporteur, on forme, à partir de l'horizontale O M les angles a, p,, p2, p3, P4 et.
Tu ?» Ta» T» ! ensuite, sur l'horizontale indéfinie B C, on porte D A égale au produit E lf> — 15000 dans l'exemple choisi; par le
point ^4, on mène des parallèles aux rayons émanant du point O, on voit que ces lignes formeront avec l'horizontale tous les angles
précités, ensuite du point A avec un compas, on ramène F,J, K, L correspondant aux angles p,, p2, p3, pA, en F',J', K', L', on mène par
ces points des parallèles à D C et on obtient les points N, O, P, Q.
— 134 —
FERME DE HANGAR
Nous avons appliqué notre méthode à une ferme de hangar composée de sept travées d'arbalétrier
Ai A.
, A,).
Les formules que nous donnons ci-dessous sont générales ; elles s'appliqueront à toute
ferme du type ci-contre quelles que soient la portée, la pente de la toiture, la charge, la surélévation de
l'entrait, les seules conditions sont que l'arbalétrier soit fractionné en sept parties égales et que les étrésillons
et contrefîches soient disposés comme l'indique le profil de la ferme ci-contre.
FORMULES
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Le n o m b r e n qui entre dans ces formules est le r a p p o r t - | (voir sur le profil de la ferme vers le faîtage).
On appliquera ces formules comme d'habitude en mesurant au rapporteur les angles x, ,3, ? „ ?2,-<p3, etc., et
en cherchant dans la table les valeurs correspondant à ces angles. Nous les avons appliquées à u n e ferme de
i4 m de portée totale chargée à raison de i 6 o k i \ les fermes étant supposées espacées de .6™, d'où Exl'xj>
X 14 X 160 = 13440. Dans l'exemple choisi «== 0.666.
= (>
A;
135 —
DONNEES
PROFIL DE LA FERME
6"
14™ > Etp== 13440
160 •
hclk ==
10,00
ÉPURE STATIQUE
Echelle
— i36 —
II
La démonstration des formules de l'exemple précédent serait extrêmement longue et fastidieuse,
nous n'avons pas jugé utile de la donner ici, aussi avons-nous appliqué ces mêmes formules à un
2mc exemple dont les données sont totalement différentes de celles du précédent. Nous prenons une ferme de
28"" de portée totale Z = 28, chargéeà raison de i2okil- toutes surcharges comprises, ^>= 120, nous supposons
les fermes espacées de 5"°, E— 5 d'où E x / Xfi = 5 X 28 X120 = 16800. Dans cet exemple le nombre n = —
(voir le profil de la ferme au faîtage) a été choisi différent de celui de l'exemple précédent, nous avons n— 0.86.
Nous avons consigné les résultats sur l'épure statique afin de montrer la concordance des résultats.
PROFIL DE LA FERME
DONNEES
5"
28m \ Bip = 16800
120 )
EPURE STATIQUE
Echelle = —
TABLE DES CONSTANTES
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0.4877
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1.1274
2.4722
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0.8870
0.5095
0.5205
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2.0957
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1.1379
2.4124
2.3848
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0.8788
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2.0308
2.3584
2.3332
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0.8703
0.5543
0.5657
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1.1547
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0.8660
0.8616
0.5773
0.5890
31°
30'...
1.9416
1.9139
1.1666
1.1728
2.2652
2.2446
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0.8526
0.6008
0.6128
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33°
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1.8871
1.8612
1.1792
1.1857
2.2252
2.2068
0.8480
0.8433
0.6248
0.6370
1.8361
1.8118
1.1924
1.1992
2.1892
2.1728
0.8386
0.8338
0.6494
0.6618
34°
30'...
1.2062
1.2134
2.1570
2.1422
0.8290
0.8241
0.6745
0.6872
35°
30'...
36°
30'...
1.7883
1.7655
1.7434
1.7221
1.2208
1.2283
2.1284
2.1152
0.8191
0.8141
0.7002
0.7132
1.7013
1.6812
1.2361
1.2440
2.1030
2.0914
0.8090
0.8038
0.7265
0.7399
37°
30'...
1.6616
1.6427
1.2521
1 2605
2.0806
2.0706
0 7986
0.7933
0.7535
0.7673
38°
30'...
1.6243
1.6064
2.0612
2.0526
0.7880
0.7833
0 7812
0.7954
39°
30'...
1.5890
1.5721
1.2690
1.2778
1.2868
1.2960
2.0446
2.0374
0.7771
0.7723
0.8097
0.8243
40°
30'...
1.5557
1.5398
1.3054
1.3151
2.0308
2.0250
0.7660
0.7604
0.8391
0.8540
41°
30'...
1 5243
1.5092
1.3250
1.3352
2.0196
2.0150
0.8692
0.8847
42°
30'...
1.4945
1.4802
1.3456
1.3563
2.0110
2.0076
0.7547
0.7489
0 7431
0.7372
43°
30'...
1.4663
1.4527
1.3673
1.3786
2.0048
2.0028
0.7313
0.7253
0.9325
0.9489
44°
30'...
1.4395
1.4267
1.3902
1.4020
2.0012
2.0002
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0.7132
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0.9827
45°
30'...
1.4142
1.4020
1.4142
1.4267
2.0000
2.0002
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1.0000
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30'...
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30'...
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48°
30'...
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2 0110
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49°
30'...
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50°
30'...
1.3054
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1.5721
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2.0374
0.6427
0.6360
1.1917
1.2131
cosinus
tangente
DEGRÉS
.
1
1
1
sinus
cosinus
sinus . cosinus
•
-
0.9004
0.9163
—
I4I
—
K
DEGRÉS
R
S
c
T
51°
30'..
1.2868
1.2778
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1.6064
2.0446
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1.2571
30'..
1.2690
1.2605
1.6243
1.6427
2.0612.
2.0706
0.6156
0.6087
1.2799
1.3032
53°
30'..
1 2521
1.2440
1.6616
1.6812
2.0806
2.0914
0.6018
0.5948
1.3270
1.3514
54° . . . .
30'..
1.2361
1.2283
1.7013
1.7221
2.1030
2.1152
0.5877
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1.4019
55°
30'..
1.2208
1.2134
1.7434
1.7655
2.1284
2.1422
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0.5664
1.4281
1.4550
56°
30'..
1.2062
1.1992
1.7883
i:8ii8
2.1570
2.1728
0.5591
0.5519
57°
30'..
1.1924
1.1857
1.8361
1.8612
2.1892
2.2068
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0.5373
1.5398
1.5696
58° . . .
30'..
1.1792
1.1728
1.8871
1.9139
2.2252
2.2446
0.5299
0.5225
1.6003
1.6318
59° . . .
30' . .
1.1666
1.1606
1.9416
1.9703
2.2652
2.2868
0.5150
0.5075
1.6642
1.6976
60° .
30'..
1.1547
1.1490
2.0000
2.0308
2.3094
2.3332
0.5000
0.4924
1.7320
1 7674
61°...30' . .
1.1434
1.1379
2.0627
2.0957
2.3584
2.3848
0.4848
0.4771
1.8040
1.8417
62°
30' . .
1.1326
1.1274
2.1301
2.1657
2.4124
2.4416
0.4694
0.4617
1.8807
1.9209
63°
30'...
1.1223
1.1174
2.2027
2.2411
2.4721
2.5042
0.4539
0.4402
1.9626
2.0056
64° ' .
30' . . .
1.1126
1.1079
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2.3228
2.5380
2.5736
0.4383
0.4305
2.0503
2.0965
65° .
30' . . .
1.1034
1.0990
2.3662
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2.6108
2.6500
0.4226
0.4146
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2.1943
66°
30° . . .
1.0946
1.0905
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2.5078
2.6912
2.7346
0.4067
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2.2460
2.2998
67°
30' . . .
1.0864
1.0824
2.5593
2.6131
2.7804
2.8284
0.3907
0.3826
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2.4142
68°
30' . . .
1.0785
1.0748
2.6695
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2.8790
2.9326
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0.3665
2.4751
2.5386
69°
30' . . .
1.0711
1.0676
2.7904
2.8554
2.9890
3.0486
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2.6051
2.6746
70°
30'...
1.0642
1.0608
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3.1114
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30'...
1.0576
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3.2486
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2.9886
72° .
30'...
1.0515
1.0485
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3.3255
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3.0776
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73° , . .
30'...
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7-4°
30'...
1.0403
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75°
30'...
1.0353
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3.9939
4.0000
4.1254
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cosinus
tangente
1
1
1
sinus
cosinus
sinus . cosinus
-
.
1.4825
1.5108
— 142 —
K
R
S
C
T
76»
30"...
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1.0284
4.1337
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4.2602
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/ /"
30'...
1.0263
1.0243
4.4454
4.6202
4.5624
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4.3314
4.5107
78"
30...
1.0223
1.0205
4.8! 197
5.0158
4.9172
5.1186
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4 9151
79»
30'.:
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1.0170
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5.5808
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80"
30»...
1.0154
1.0139
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5.8476
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0.1736
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5.9757
81»
30'..,
1.0125
1.0111
6.3924
6.7655
6.4720
6.8406'
0.1501
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6.6911
82° . . . .
30'...
1.0098
1.0086
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7.6613
7.2560
7.7274
0.1391
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7.1153
7.5957
83"
30'...
1.0075
1.0065
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8.2674
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84»
30'...
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85»
30'...
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86»
30'...
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87» . . . . .
30'...
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22.9037
88»
30'...
1.0006
1.0003
28.6537
38.2015
28.6712
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28.6362
38.1884
89»
1.O0OI
57.2987
57.3044
DEGRÉS
1
1
sinus
cosinus
^°-°17i
1
9
tangente
L
sinus . cosinus t c.
—
FIN
57.2900
/
* >

La résistance des matériaux simplifiée. Calcul immédiat des fermes

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