1.1 Conception de verres progressifs (lunettes)

1.1 Conception de verres progressifs (lunettes)
Le problème
Au fur et à mesure des années, le cristallin de l’œil humain devient de moins en moins
souple, et, à partir d’un certain âge (souvent entre 45 et 55 ans), il devient de plus en plus
difficile d”’accomoder”, c’est à dire de régler la courbure du cristallin de façon à s’adapter
à la distance de l’objet regardé. La personne en question a alors besoin de (au moins) deux
corrections différentes (l’une d’elles pouvant être neutre) : une pour la vision de loin,et une
pour la vision de près. L’utilisateur peut bien sûr avoir deux paires de lunettes, mais c’est
bien peu pratique !
Plusieurs solutions sont utilisées pour remédier à ce problème :
On constate qu’en général pour regarder de loin on lève les yeux, alors que pour regarder
de près on baisse les yeux... l’idée est alors d’utiliser la partie supérieure des lunettes pour
regarder la vision de loin, et la partie inférieure pour la vision de près. Il faut alors fabriquer
des lunettes ayant en meme temps les deux corrections.
Pour simplifier, nous supposerons ici qu’une correction donnée nécessite un verre sphérique
(c’est vrai pour l’essentiel, car un verre de lunette peut être assimilé à une lentille optique,
mais cela ne tient pas compte par exemple des questions d’astigmatisme).La difficulté réside
dans le fait que l’on ne peut ajuster de façon continue deux sphères de rayons différents. La
première méthode consiste donc à “juxtaposer” les deux sphères : on incruste une sphère
de plus fort rayon dans le bas du verre constitué par ailleurs d’une sphère de plus faible
rayon, de sorte que les objets situés loin et ceux situés près envoient des rayons lunmineux
qui arrivent sur l’oeil avec le même type de convergence, adapté à l’oeil de l’utilisateur. C’est
ce que l’on appelle des verres “à double focale” (figure 2).
Pas bête et efficace ! Mais il y a maintenant plusieurs inconvénients : la “rupture” entre
les deux types de corrections fragilise beaucoup les lunettes, crée un aspect inesthétique
quelquefois mal perçu par les utilisateurs (sans doute parceque le port de ces verres n’est pas
généralisé et est associé à une personne agée...), enfin et surtout, car le passage brutal d’un
type de correction à un autre fatigue beaucoup l’utilisateur (en baissant progressivement les
yeux, l’utilisateur essaie d’accomoder pour une vision de près avec une correction de loin,
puis passe tout d’un coup à une correction de près, nécessitant un nouveau changement
d’accomodation).
Verres progressifs : l’idée est donc maintenant de réaliser un verre qui ait la correction
“vision de loin” dans la partie supérieure du verre, la correction “vision de près” dans la
partie inférieure du verre, et qui transite de façon aussi progressive que possible entre ces
deux parties (voir figures).
Là encore, c’est géométriquement impossible de réaliser les choses parfaitement, et il faut
déterminer différents niveaux d’exigence. Pour cela, on va tout d’abord définir une zone
supérieure “sensible” (celle qui sert le plus souvent dans la vision de loin), où l’on exige que
la correction en vision de loin soit de très bonne qualité, ainsi qu’une zone inférieure sensible
où l’on exige que la correction de près soit de très bonne qualité ; on définira ensuite une
zone supérieure et une zone inférieure “standard” (parties du verre qui servent moins, mais
1
qui doivent tout de même avoir une bonne correction ; on demandera ensuite que la courbure
évolue progressivement (en particulier sans rupture ni oscillation, et en gardant la “sphéricité
locale” –voir la définition de la sphéricité locale au §suivant–) entre les deux zones sensibles ;
enfin, il est important que la “courbure principale” (voir définition plus loin) dans les zones
temporale et nasale soit verticale, car sinon l’utilisateur voit, lorsqu’il regarde à gauche ou à
droite, voit les verticales courbes, ce qui est désagréable ; pour finir, on admettra que dans
le reste du verre “on fait ce que l’on peut”.
On espère obtenir ainsi des verres “naturels”, puisqu’avec une bonne correction dans les
zones qui servent le plus, une évolution “en douceur” entre les corrections de près et de loin,
et une correction acceptable dans les autres zones.
Le problème est donc maintenant de définir la forme de tels verres : définir une “surface
mathématique” qui, lorsqu’elle sera réalisée, donnera les corrections ainsi définies.
Bien que beaucoup de choses soient beaucoup plus simples à une variable (on peut raccorder “correctement” des arcs de cercles de rayons et de centres différents), il est interessant
à titre d’exercice et de prise en main du problème, de formuler ce problème à une variable
et d’examiner comment résoudre ce probème simplifé. Deux versions à examiner pour cela :
tout d’abord en utilisant des arcs de cercles (solution exacte, en quelque sorte), puis sans
utiliser les arcs de cercles, puisque nous serons amenés a ne pas utiliser les sphères à plusieurs
variables, puisque l’on ne pourra les raccorder proprement. On rappelle à ce propos que la
00
courbure d’une fonction y = f (x) en un point x est (1+yy02 )3/2 . On ne demande pas, cependant,
de faire cela dans le détail (ne pas y passer plus d’un quart d’heure).
Avant d’aller plus avant, il est nécessaire d’avoir quelques notions de géométrie...
2
Quelques bases de géométrie : courbure et notions associées
Dans ce paragraphe, nous gardons une vision “lunette” de l’horizontal et de la verticale :
l’axe Ox est qualifié de horizontal, et l’axe Oy est qualifié de vertical ; l’axe Oz est bien
sûr orthogonal au plan xOy. Par ailleurs, les résultats indiqués ne sont pas démontrés car
l’analyse géométrique n’est pas l’objet de ce cours.
Examinons les propriétés locales d’une fonction à deux variables, en un point x.
Courbures
On appellera “courbure verticale” de la fonction f au point x la courbure de la section de
la surface représentative de f avec le plan parallèle à yOz et passant par x. Cette courbure
a pour valeur
fy002 (x)
q
Cfv (x) =
(1)
(1 + fy0 (x)2 ) 1 + fx0 (x)2 + fy0 (x)2
De même la “courbure horizontale” de la fonction f au point x est la courbure de la
section de la surface représentative de f avec le plan parallèle à xOz et passant par x. Cette
courbure a pour valeur
Cfh (x) =
fx002 (x)
q
(1 + fx0 (x)2 ) 1 + fx0 (x)2 + fy0 (x)2
(2)
Enfin, on appelera courbure de f la somme des courbures horizontale et verticale :
Cf = Cfh + Cfv
(3)
Sphéricité locale en x
Soient e1 , e2 et e3 les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz. Soit α compris entre 0 et
2π, et soit eα le vecteur unitaire obtenu à partir de e1 par une rotation d’angle α (on a donc
eα = e1 cos α + e2 sin α). Soit Pα le plan contenant les vecteurs eα et e3 , et soit maintenant
Rα le rayon de courbure en x de la coupe de Pα avec la surface représentative de la fonction
f . On définit enfin xα = x + Rα eα . Faisons tourner ce plan autour de la direction Oz (α varie
de 0 à 2π), de sorte que le point x décrit une courbe autour de x, révélatrice du rayon de
l’évolution du rayon de courbure autour de x. On démontre que cette courbe est une ellipse.
On parle de sphéricité locale au point x lorsque l’ellipse définie ci-dessus en x est en
fait un cercle, de sorte que le rayon de courbure d’une coupe de la fonction avec le plan
parallèle à l’axe Oz et passant par x ne dépend pas du plan en question. On remarquera
que la condition Cfv (x) = Cfh (x) est nécessaire mais non suffisante pour la sphéricité de f en
x, puisqu’une ellipse de petit axe et de grand axe différents de Ox et Oy peut avoir même
valeur le long des axes Ox et Oy (voir figure).
(le terme sphéricité”) vient du fait qu’alors il existe une sphère osculatrice en x à la
surface représentatrice de f , comme il existe un cercle osculateur à une courbe).
Remarque La sphéricité locale est essentielle pour une bonne correction de vision, car si un
verre n’est pas localement sphérique en un point, la correction en ce point (qui ne dépend en
fait que de la courbure de la courbe obtenue en coupant le verre par le plan parallèle à Oz et
contenant le rayon incident) dépend de la direction du rayon incident, donc de la direction
de l’objet où se trouve l’objet, ce qui évidemment est très désagréable.
On démontre que pour avoir la sphéricité locale en x, il est nécessaire et suffisant que les
trois égalités suivantes soient satisfaites en x :
3



00
fx0 fy0 fx002
= (1 + fx02 ) fxy
00
(1 + fy02 ) fxy
= fx0 fy0 fy002
(4)


02
00
02
00
(1 + fx ) fy2 = (1 + fy ) fx2
On pourra éventuellement remarquer que deux égalités entrainent la troisième, mais on
préfèrera, par la suite, utiliser un critère faisant intervenir les trois égalités, car on obtiendra
alors un critère plus symétrique.
Verticalité d’une direction principale
Une direction principale est une direction pour laquele le rayon de courbure est minimal
ou maximal. Une condition pour qu’une direction principale soit verticale en x est que l’on
ait, en x,
00
(1 + fy02 ) fxy
= fx0 fy0 fy002
(5)
Remarque : dans le plan tangent, les deux directions principales sont orthogonales (résultat
pas évident a priori, et qui est directement dû au fait, pas évident non plus, que la somme
des courbures dans deux plans perpendiculaires au plan tageant et perpendiculaires entre
eux ne dépend pas de l’orientation de ces plans, et est appelée la courbure à la surface).
Mais leurs projections sur le plan xOy ne sont pas nécessairement orthogonales. Ajouter au
critère ci-dessus le critère que l’autre direction principale soit horizontale impliquerait une
contrainte sur le plan tangent, ce qui n’est pas souhaité.
Bilan
Récapitulons la situation :
Le verre est divisé en 9 zones, dans lesquels on a les souhaits ou exigences suivants :
“HP”, “BP” : Zone Haute Sensible (resp. zone Basse Sensible) : sphéricité locale et
courbure égale à la courbure de la vision de loin (resp. de près), ces deux critères devant être
respectés aussi précisément que possible.
“H”, “B” : Zone Haute Standard (resp. zone Basse standard) : de même que les zones
Haute et Basse Sensibles, mais les critères peuvent être moins bien respectés.
“I” : Canal de Transition : relie la zone Haute Sensible à la zone Basse Sensible : bonne
sphéricité, et pas d’oscillation de la courbure entre ces deux zones.
“T” et “N” : Zones temporale et Nasale : direction principale verticale.
“L” : Autres lieux du verre (zone permissive) : pas de contraintes.
Par ailleurs, il est plus confortable pour l’utilisateur que les variations de correction
ne soient pas (trop) brutales, et pour cela que la courbure de la surface soit continûment
dérivable.
On aimerait définir une surface qui satisfasse exactement ces critères... mais ce n’est pas
en général pas possible (surtout si les zones sensibles et le canal de transition occupent une
grande part de la surface du verre). Il s’agit donc de trouver une surface qui satisfasse ces
critères “au mieux”...
A vous de trouver une stratégie qui vous permette de trouver une telle surface, éventuellement
de visualiser cette surface ainsi que sa courbure et la qualité de satisfaction des critères cidessus. Vous vous servirez bien sûr de l’expérience acquise pour la mise au point de la solution
du problème simplifié (à une variable), dans le cas où vous n’utilisez pas les cercles.
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1.2 Tomographie à émission
1.2.1 Le problème :
Le problème médical :
Ce problème vient de l’imagerie médicale, en vue de détecter en particulier les tumeurs
ou les zones nécrosées à la suite par exemple d’un infarctus. Pour cela, on veut utiliser le
fait que dans ces zones malades, le sang circule moins (voire pas du tout !) alors que dans
les zones saines, la circulation est bonne. Pour repérer donc la qualité de circulationdu sang,
l’idée est d’injecter un produit radioactif (à durée active courte !) dans le sang du patient,
puis d’examiner la radioactivité locale du patient, qui devient directement liée à la circulation
sanguine.
Pour mesurer maintenant la radioactivité du patient, on va mettre au dessus de lui une
plaque photosensible, qui sera d’autant plus imprimée que les émissions seront importantes.
Ceci ne permet cependant pas de détecter d’où viennent précisément les émissions ; afin de
pouvoir détecter d’où viennent ces émissions, deux adaptations sont encore nécessaires : tout
d’abord on met devant la plaque un “rateau” en plomb (voir figure), de sorte que les rayons
qui ne sont pas perpendiculaires à la plaque viennent heurter les “dents” du rateau et sont
absorbés par le plomb de ces dents et donc les seules émissions qui touchent un point donné
de la plaque sont issues de points situées sur la perpendiculaire à la plaque issue de ce point
(c’est la somme de ces émissions que mesure l’impression de la plaque en ce point). Mais ceci
ne permet pas encore de distinguer les émissions issues le long de cette perpendiculaire ; pour
dissocier ces points, on fait maintenant tourner la plaque ainsi équipée autour du patient et
on mesure ainsi la somme des émissions dans différentes directions.
yk
xk
A partir de ces différentes mesures, il s’agit pour nous de déterminer la quantité d’émission
radioactive émise par chaque partie du corps (la “densité radioactive”), et d’établir ainsi une
“carte” de la radio-activité, donc de la circulation sanguine (une fonction à trois variables
représentative de cette densité radioactive).
Dans un premier temps on simplifiera le problème en le considérant comme un problème
bi-dimensionnel : le corps (ou plutôt la partie examinée du corps) est bidimensionnel (partie
5
finie du plan xOy), et la plaque devient monodimensionnelle, sa position étant repérée par
son angle α avec l’axe des x.
Il faut donc d’abord faire une modélisation de ces mesures : exprimer en fonction de la
densité f de radioactivité (f est une fonction de la variable bidimensionnelle x) la mesure
faite en un point xkj de la plaque d’angle αk . Il faudra ensuite modéliser la fonction f ellemême, pour enfin déterminer les paramètres de ce modèle afin qu’il corresponde le mieux
possible à ces données.
Vous percevrez vite qu’il ne s’agit pas de faire de l’interpolation, mais de l’approximation.
Vous définirez donc un critère à minimiser, choisirez une famille de fonctions sur laquelle
vous chercherez à minimiser votre critère, afin de choisir, dans cette famille, la fonction
qui “convient le mieux” aux données apportées par les mesures. Dans un premier temps
vous considerez que votre famille de fonctions est en fait un Espace Vectoriel et que vous
disposez d’une base de cet Espace Vectoriel. Vous verrez ensuite qu’avec les fonctions à base
radiale, vous ne disposez pas (en général) d’une telle base, mais que vous devrez ajouter une
contrainte (linéaire) sur les coefficients...
Notations et ordres de grandeur :
Mesures :
En général nα = 64 positions de plaque, et donc αk = k π/nα pour k = 0 : nα − 1.
En général nxk = 64 capteurs par plaque monodimensionnelle (n2xk = 4096 pour une plaque
bi-dimensionnelle) ; on notera xkj (j = 0 : nxk −1) l’abscisse de la mesure le long de la plaque ;
on notera xkj (j∈[0 : nxk − 1]2 ) dans le cas de la plaque bi-dimensionnelle.
Ce qui implique donc un total de nα nxk = 4096 mesures (nα n2xk ' 250000 dans le cas
surfacique)
Temps de l’examen :
Environ 20 secondes par position, donc un temps total de l’ordre de 30 minutes (sans
bouger, bien sûr).
Quelques améliorations :
L’explication ci-dessus est bien sûr très simplifiée par rapport aux vraies conditions
d’expérience. Selon le niveau de précision que l’on désire avoir, il peut être important de
tenir compte des points suivants :
L’éloignement du point d’émission de la plaque : la quantité de radioactivité qui arrive à
la plaque est en 1/d2 si d est la distance du point d’émission à la plaque.
L’absorption des rayons par les parties du corps traversées : la radioactivité est absorbée,
de façon différenciée, par les différentes parties du corps que le rayon traverse (c’est d’ailleurs
exactement cela qui est utilisé dans la radiographie “classique”). Il faut tenir compte de cela...
avec deux circonsatnces différentes : ou bien on connait la “carte d’atténuation” (coefficient
d’absorption de la radioactivité), ou bien on ne connait pas cette carte d’atténuation (situation plus délicate à gérer, bien sûr, mais aussi plus réaliste)
Le temps et l’évolution de la radioactivité au cours du temps. En effet, les produits
utilisés sont à demi-vie courte, et donc leur emission radioactive peut baisser pendant la
durée de l’examen. La situation générale est même la suivante : comme il faut un peu de
temps pour que le produit radioactif parvienne de façon homogène dans la partie examinée,
la radioactivité totale émise par la partie examinée commence par augmenter, pour atteindre
un maximum puis diminuer. Il faut aussi tenir compte de cela...
Enfin, l’imperfection de l’appareillage en général peut imposer de considérer un certain
bruit de mesure...
Bref, on peut considérer que l’on n’est pas sorti de l’auberge !
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Stratégie de travail :
(prévision !)
Séance 1 : Commencez par prendre le problème en main, d’abord individuellement (10 min.),
puis en groupe (10 min.).
Examinez ensuite le problème à 2 variables et modélisez-le à l’aide de fonctions très
génériques (Espace Vectoriel dont les éléments de base ne sont pas encore définis) ; définir
en particulier un critère à minimiser pour déterminer la fonction à choisir dans cet Espace
Vectoriel (1h).
Travail personnel pour préparer la séance 2 Ce critère ne sera certainement pas linéaire
en les coefficients de la fonction dans la base de l’Espace Vectoriel (à cause de l’expression
de la courbure, en particulier). Utilisez alors le fait que fx0 et fy0 varient peu en fonction de
x et y pour approcher le critère par un critère linéaire et proposer une stratégie itérative de
résolution du problème (toujours avec un Espace Vectoriel “générique”).
Séance 2 : 15 min. : regroupez les propositions des membres du groupe
2 fois 20 min : les groupes traitant le même problème se mettent ensemble pour présenter
problème (maxi 5 min) , puis le présentent ainsi que la façon de le résoudre (20 min. maxi)
(présentateur tiré au sort !)
puis 15 min : l’enseignant précise quelques points et le travail à faire.
Séance 3 :
Présentation très rapide par l’enseignant des parties 3 et 4 (produit tensoriel et
splines polynomiales à deux variables)
Travail personnel pour préparer la séance 4
Pour les deux séances suivantes, vous devez
travailler individuellement la partie 4 de façon à permettre une mise en commun en groupe
des difficultés et découvertes de cette partie.
Séance 4 : Mise en commun et résolution en groupe des difficultés rencontrées sur la partie 4
(splines polynomiales).
Travail personnel pour préparer la séance 5 : Interpolant de Powell-Sabin à une variable,
à l’aide des points de controle des polynômes impliqués., et étude de la partie 2 (produit
tensoriel).
Séance 5 : Exercice : interpolant de Powell-Sabin, d’abord à une variable (en groupe), puis à
plusieurs variables (avec l’enseignant).
Séance 6 :
Mise en commun et résolution en groupe des difficultés rencontrées sur la partie
3 (produit tensoriel).
Séance 7 : Présentation rapide par l’enseignant de la partie 4 (fonctions radiales), et du travail
de Bureau d’Etudes à faire pendant le mois de mai.
Travail personnel pour préparer la séance 8 : partie 5 (fonctions radiales).
Séances 8 : Mise en commun et résolution en groupe des difficultés rencontrées sur la partie
5 (fonctions radiales).
Séance 9 : Cours de restructuration (vision d’ensemble, réponses à certains points restés en
suspens).
Travail personnel pour préparer les séances 11 et 12 :
Séances 11 et 12 : Début du BE.
Mise en place du BE.
Travail personnel (fin avril et mai) : BE
Fin mai et juin :
à préciser ultérieurement : fin du BE, Approximation à une variable :
B-splines cubiques, subdivision...
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