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Principais Modelos Discretos
Cronograma
PRINCIPAIS MODELOS DE
PROBABILÍSTICOS
Prof. Dr. Ivan Bezerra Allaman
Universidade Estadual de Santa Cruz - UESC
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Allaman, I.B.
Modelos
Principais Modelos Discretos
1
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Principais Modelos Discretos
Distribuição Bernoulli
Distribuição Binomial
Distribuição Poisson
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Distribuição Bernoulli
Distribuição Binomial
Distribuição Poisson
Como estudado na seção anterior, a função de probabilidade
fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da
variável aleatória. Em situações mais complexas, o cálculo de tais
probabidades poder se tornar trabalhosa. Os modelos
probabilı́sticos são funções de probabilidade que auxiliam no
cálculo das probabilidades.
ˆ Dentre os principais modelos de probabilidade de variáveis
aleatórias discretas destacam-se:
ˆ Bernoulli
ˆ Binomial
ˆ Poisson
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Distribuição Bernoulli
Distribuição Binomial
Distribuição Poisson
ˆ É uma das distribuição
mais simples de
probabilidade;
ˆ Experimentos que
consistem em apenas uma
única tentativa e cujo os
valores possı́veis são
somente dois, podem
utilizar esta distribuição
para o cálculo de
probabilidades.
Allaman, I.B.
Figura 1: Jakob Bernoulli. ∗ 1654
- † 1705
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Distribuição Poisson
ˆ Seja um experimento que
consiste no lançamento
uma única vez de uma
moeda.
ˆ Seja o evento de
interesse o surgimento
da face cara.
ˆ Logo, denominamos o
evento de interesse como
sucesso, representado
pela letra p e o outro
como fracasso,
Figura 2: Lançamento de uma morepresentado pela letra
eda.
q. Percebam que
p+q=1.
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Seja Y o número de sucessos em um única tentativa do
experimento. Então Y assumo o valor 0 que corresponde ao
fracasso, com probabilidade q, ou o valor 1, que corresponde ao
sucesso, com probabilidade p. Logo:
0 fracasso com P (Y = 0) = q
Y =
1 sucesso com P (Y = 1) = p
Portanto, a variável aleatória Y tem distribuição de Bernoulli, e
sua função de probabilidade é dada por:
P (Y = y) = py · q 1−y
com parâmetros
E(Y ) = p e V AR(Y ) = pq
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Examplo 1: Foi realizado uma entrevista com alunos de um
determinado curso da UESC e lhes perguntado se eles ingeriam
algum tipo de bebida alcoólica. Dos 20 alunos entrevistados 11
alunos responderam que não ingeriam nenhum tipo de bebida
alcoólica e 9 responderam que ingeriam algum tipo de bebida
alcoólica. Se escolhermos aleatoriamente um aluno deste curso,
qual é a probabilidade deste aluno ingerir bebida alcoólica?
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Distribuição Bernoulli
Distribuição Binomial
Distribuição Poisson
ˆ Experimentos que
consistem em mais de uma
tentativa e cujo os valores
possı́veis são somente
dois, podem utilizar esta
distribuição para o cálculo
de probabilidades;
ˆ Percebam quem uma
variável com distribuição
binomial consiste de n
tentativas independentes de
uma variável com
distribuição Bernoulli.
ˆ Denotamos Y com
Figura 3: Lançamento de uma modistribuição binomial como: eda n vezes.
Y : B(n,p).
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Distribuição Bernoulli
Distribuição Binomial
Distribuição Poisson
A função de probabilidade é dada como:
P (Y = y) = ny py q n−y
com parâmetros
E(Y ) = np e V AR(Y ) = npq
Exemplo 2: Considerando os mesmos dados do exemplo 1, vamos
supor agora a escolha aleatória de dois alunos. Qual a
probabilidade de um aluno ingerir bebida alcoólica?
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Exemplo 3: Uma remessa de 800 estabilizadores de tensão é
recebida pelo controle de qualidade de uma empresa. São
inspecionados 20 aparelhos da remessa, que será aceita se ocorrer
no máximo um defeituoso. Há 80 defeituosos no lote. Qual a
probabilidade de o lote ser aceito?
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ˆ É uma distribuição utilizada
em casos que envolvem
contagens e cuja a
probabilidade de ocorrência
de sucesso no intervalo é
proporcional ao intervalo;
ˆ Como exemplo podemos
citar:
ˆ carros que passam por
um cruzamento por
minuto, durante uma
certa hora do dia;
ˆ erros tipográficos por
página, em um material
impresso;
ˆ mortes por ataque de
coração por ano, numa
cidade.
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Figura 4: Contagem de carros em
um cruzamento.
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Distribuição Bernoulli
Distribuição Binomial
Distribuição Poisson
A função de probabilidade é dada como:
−λ y
P (Y = y) = e y!λ
com parâmetros
E(Y ) = λ e V AR(Y ) = λ
Exemplo 4: Em uma estrada há 2 acidentes para cada 100 km.
Qual a probabilidade de que em 250 km ocorram 3 acidentes?
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Exemplo 6: O número de partı́culas gama emitidas por segundo,
por certa substância radioativa, é uma variável aleatória com
distribuição de Poisson com λ = 3,0. Se um instrumento
registrador torna-se inoperante quando há mais de 4 partı́culas por
segundo, qual a probabilidade de isso acontecer em qualquer dado
segundo?
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