Géométrie I: Table des mati`eres

Géométrie I: Table des matières
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.1
Projection centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.2
Projection oblique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Projections de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.1
L’épure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Octants et quadrants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Droites et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.1
Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2
Plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3
Droites dans un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4
Plans projetants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Intersections de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1
Intersection de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.2
Intersection d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
Segments en vraies grandeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.1
Méthode du rabattement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5.2
Méthode de la rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.1
Rotation d’une figure dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6.2
Changement de plans de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
Figures planes en vraie grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7.1
Figures planes et rotations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7.2
Figures planes et plans de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.3
Figures planes et rabattements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Relèvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.1
Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
8.2
Relèvement de cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Sur le dessin d’ellipses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1
Section d’Architecture
Géométrie I
10
11
12
EPFL
9.1
Trois constructions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9.2
Diamètres et axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.3
Foyers et axes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.4
Tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Sections planes de certains solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
10.1
Section plane d’un polyèdre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
10.2
Section plane de cônes ou de cylindres droits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Développement de certains solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.1
Développement d’une pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.2
Développement d’un prisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Solides Platoniciens en projection de Monge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Version du 1er mai 2012
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Géométrie I
Section d’Architecture
EPFL
Ce cours est en grande partie basé sur l’ouvrage suivant:
H.-L. Lehmann, Géométrie Descriptive, éditions LEP.
Un grand merci à Jacques Saliba qui a décelé un nombre non négligeable de coquilles et de fautes
de conjugaison dans une version antérieure de ces notes.
1
Introduction
En 1798 paraissait le livre Géométrie Descriptive, basé sur des méthodes théorisées par Gaspard
Monge (mathématicien français, 1746–1818) dans un cours qu’il avait donné à l’École Normale
de Paris. Cette œuvre est généralement considérée comme le premier exposé technique de la
géométrie descriptive et de la formalisation de la projection orthographique.
Dans la pratique, une représentation bidimensionnelle d’un objet tridimensionnel doit permettre
d’extraire des mesures précises de l’objet en question, et à terme, de le recréer en trois dimensions. Cette représentation pose a priori de nombreux problèmes: les angles et les longueurs
sont rarement conservés, des lignes de construction sont cachées, etc. Parmis ces diverses
représentations graphiques apparaissent la projection centrale et la projection oblique,
toutes deux basées sur l’idée de projection d’un ou plusieurs objets géométrique de l’espace
sur un plan. La projection orthographique, ou projection orthogonale est simplement un cas
particulier de projection oblique.
1.1 Projection centrale.
Considérons un plan π dans l’espace, le plan de projection, et un point C, le centre de
projection, situé hors de ce plan. Tout point P (distinct du plan parallèle à π passant par C)
peut être projeté sur le plan π via l’intersection P ′ de la droite CP avec le plan π. Dans la figure
suivante, la projection centrale de C sur π d’une portion de plan triangulaire est schématisée:
C
R
P
Q
P′
Q
′
R′
π
Aperçu des avantages.
Cette méthode de représentation en deux dimensions donne une impression de perspective, et dynamise les illustrations. Du point de vue mathématique, elle a peu d’avantages; notons pourtant:
● une portion de droite de l’espace (ne contenant pas C) est envoyée sur une portion de droite;
● les angles ou cercles contenus dans des plans parallèles à π (et ne contenant pas C) sont
conservés.
Version du 1er mai 2012
3
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Aperçu des désavantages.
Selon son emplacement par rapport au centre de projection, un objet apparaı̂tra plus ou moins
déformé sur le plan de projection. L’inconvénient majeur de la méthode est qu’elle ne permet
que peu de mesures directes sur la projection, et est donc peu pratique techniquement. En effet,
presqu’aucun rapport de distance n’est préservé par la projection et donc:
● la mesure des angles contenus dans des plans non parallèles à π n’est pas conservée;
● les cercles ne sont pas conservés en général (et deviennent des ellipses, paraboles ou hyperboles).
Applications.
La projection centrale est utilisée par exemple pour représenter un objet tridimensionnel “de
manière réaliste” sur un écran d’ordinateur (qui serait ici donné par le plan π); l’image affichée
reconstitue l’objet comme vu par un observateur placé en C:
C
π
Si l’on se donne deux telles projections sur un même plan π mais obtenues par deux centres de
projections C et D distincts, l’information contenue dans les deux projections planes permet de
recréer la face visible de l’objet tridimensionnel. C’est le travail effectué par exemple par notre
cerveau et qui nous permet de voir l’environnement en trois dimensions: nos yeux, représentés
par les points C et D, fournissent chacun une projection sur la rétine.
La projection centrale apparaı̂t aussi lorsque C est une source lumineuse ponctuelle: la projection
de l’objet dessine alors son ombre.
1.2 Projection oblique.
Si le centre de projection C s’éloigne dans une direction déterminée C∞ , toutes les lignes de
construction CP , CQ, etc. de la figure précédente s’inclinent vers cette même direction: à la
limite, lorsque C est à l’infini, ces droites deviennent parallèles. Nous obtenons ainsi la projection
oblique (ou projection parallèle).
C∞
R
P
Q
P′
Q′
R′
π
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Aperçu des avantages.
Cette méthode de représentation permet la réalisation de croquis rapides et donne un dessin
souvent plus lisible que la projection centrale. En particulier, les objets sont projetés de manière
uniforme sur le plan π, indépendamment de leur position par rapport au point C. On remarque:
● une droite de l’espace (de direction distincte de C∞ ) est envoyée sur une droite dans π;
● les angles ou cercles contenus dans des plans parallèles à π sont conservés.
De plus,
● les mesures de longueur des segments parallèles à π se lisent directement sur la projection;
● deux droites parallèles (de direction distincte de C∞ ) restent parallèles après projection;
● le rapport de longueurs de segments parallèles est conservé.
Aperçu des désavantages.
Comme toute projection oblique, cette projection donne un aspect plus figé aux représentations
faites sur π. Et notons:
● la mesure des angles contenus dans des plans non parallèles à π n’est pas conservée;
● les cercles contenus dans des plans non parallèles à π sont projetés sur des ellipses.
Applications.
La projection oblique apparaı̂t dans les mêmes contextes que la projection centrale. Pour les
représentations bidimensionnelles, elle est plus aisée à utiliser, et facilite souvent la lecture de
l’image 2D. Cette projection peut aussi être vue comme le dessin de l’ombre d’un objet 3D projetée
par le soleil (une source lumineuse assez éloignée pour être considérée se trouver “à l’infini” par
rapport à l’objet qu’il illumine).
Cas particulier: la perspective cavalière.
La perspective cavalière, ou perspective aérienne, est obtenue grâce à un système de 3
axes de coordonnées donnés dans un plan (figure de droite ci-dessous), résultat d’une projection
oblique sur un plan parallèle à Oyz (ou sur l’un des deux autres plans déterminés par les axes de
coordonnées, selon les conventions):
z
y
z′
z′
′
y
x
O
y′
O′
′
O
x′
π
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x′
C∞
π
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
1.3 Projection orthogonale.
La projection orthogonale est une projection oblique pour laquelle la direction C∞ est orthogonale au plan de projection π.
C∞
R
P
Q
P′
R′
Q′
π
Aperçu des avantages et désavantages.
Comme elle est un cas particulier de projection oblique, cette méthode de représentation en garde
tous les avantages et presque tous les désavantages—presque, car le caractère orthogonal de la
projection donne à la figure projetée sur π une apparence moins déformée.
Applications.
La projection orthogonale est extrêment utile pour une représentation technique en 2D de modèles
3D, et permet une analyse purement géométrique de problèmes 3D (cette projection est utilisée
pour les projections de Monges étudiées dans les sections suivantes).
Cas particulier: la perspective isométrique.
La perspective isométrique est obtenue grâce à un système de 3 axes de coordonnées donnés
dans un plan (figure de droite ci-dessous), résultat d’une projection orthogonale sur un plan
parallèle au plan passant par les points (1, 0, 0), (0, 1, 0) et (0, 0, 1) de l’espace 3D usuel (figure
de gauche):
z
O
z′
O′
y
′
z′
y
x
C∞
O′
x′
y′
x′
π
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π
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Section d’Architecture
Géométrie I
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EPFL
Projections de Monge
2.1 L’épure.
Une épure est la représentation plane d’un objet tridimensionnel à l’aide de deux ou trois de ses
projections orthogonales sur les plans suivants:
● le plan Oxy, aussi appelé plan horizontal de projection, ou premier plan de projection;
● le plan Oxz, aussi appelé plan vertical de projection, ou second plan de projection;
● le plan Oyz, aussi appelé plan de profil, ou troisième plan de projection.
Les plans Oxy et Oyz, ainsi que les projections de l’objet en trois dimensions, sont rabattus
autour des axes Ox et Oz respectivement, jusqu’à leur position verticale (l’axe Oy se dédouble
en deux copies: Oy et Oy ′ ); nous obtenons une représentation en deux dimensions comme dans
la figure de droite:
z
z
A2
A3
A3
O
x
A2
A
O
y′
y
A1
x
A1
y
Dans ce contexte, on utilisera la terminologie et les notations suivantes:
● les projections orthogonales sont aussi appelées projections de Monge;
● l’axe Ox est l’axe des abscisses, et forme la ligne de terre (ou ligne de base) de l’épure
(abscisses positives vers la gauche);
● l’axe Oy est l’axe des éloignements (éloignements positifs vers la droite);
● l’axe Oz est l’axe des cotes (cotes positives vers le haut);
● un point A de l’espace est projeté sur A1 dans Oxy, A2 dans Oxz, et A3 dans Oyz.
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Deux projections suffisent.
Soit A un point dans l’espace. Si on connait les coordonnées (x, y) de sa projection sur Oxy, et
(x, z) de sa projection sur Oxz, on en déduit immédiatement que ses coordonées dans l’espace
sont (x, y, z) et sa projection sur Oyz est (y, z). Il en va de même pour les projections de
Monge; en effet, donnés les projection A1 et A2 d’un point A de l’espace, la perpendiculaire à
Oy par A1 coupe la bissectrice de yOy ′ en B, et la perpendiculaire à Oy ′ par B coupe en A3
la perpendiculaire à Oz par A2 ; alternativement, on peut utiliser un arc de cercle plutôt que la
bissectrice:
z
z
A2
A3
A2
A3
x
y′
O
A1
ou
B
x
O
y′
A1
y
y
Remarques.
● Dans la pratique, la troisième projection est souvent fournie afin de diminuer les risques d’erreur
de lecture et faciliter la visualisation 3D.
● Pour faciliter la lecture de l’épure, les projections d’un même point A peuvent être reliées par
une ligne de rappel (souvent en trait fin ou rouge), verticale pour A1 et A2 , horizontale pour
A2 et A3 .
● Les lignes cachées à l’observateur sont représentées en traitillés.
● Les flèches en bout des axes de coordonnées sont fréquemment omises.
2.2 Octants et quadrants.
Bien qu’il soit plus logique de parler des 8 octants délimités par les plans Oxy, Oxz et Oyz, il
est plus courant de parler des 4 quadrants délimités par les plans Oxy et Oxz (cela est justifié
par le fait que nous nous concentrerons sur les projections sur ces plans). Le schéma suivant
illustre les positions des différentes projections horizontales et verticales de points situés dans les
4 quadrants:
● le point A est dans le premier quadrant, noté I;
● le point B est dans le second quadrant, noté II;
● le point C est dans le troisième quadrant, noté III;
● le point D est dans le quatrième quadrant, noté IV ;
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Géométrie I
EPFL
z
z
B2
B
B1
C1
A2
A
A2
D1
B1
y
C1
B2
x
A1
C2
D1
x
C
C2
D2
D
A1
D2
y
Remarque. La plupart du temps, il est possible de placer les objets à étudier dans le premier octant, c’est-à-dire l’octant dans lequel les points ont leurs trois coordonnées cartésiennes
positives ou nulles; ce positionnement facilitera la lecture de l’épure.
3
Droites et plans
3.1 Droites.
Dans l’espace, une droite est uniquement déterminée par deux de ses points (distincts). En
général, une droite d sera donc représentée comme suit via ses deux ou trois projections de
Monge:
z
d2
d2
B2
B2
A2
A2
x
d3
B3
A3
x
A1
A1
B1
d1
B1
d1
y
Comme pour les points, on note d1 , d2 , d3 les projections d’une droite d sur les trois plans de
projections.
Les traces d’une droite d sont les intersections de d avec les 3 plans de projections. On note D′ ,
D′′ , D′′′ les intersections avec le premier, le second et le troisième plan de projection respectivement, et on les nomme première trace, seconde trace, et troisième trace de d.
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Ces traces sont facilement déterminées sur une épure: la première trace D′ a une cote nulle, la
seconde D′′ a un éloignement nul, et la troisième D′′′ une abscisse nulle. Ci-dessous, les deux
premières, puis les trois traces d’une droite d en projection de Monge:
z
d3
d2
d2
D3′′′ D2′′′
d1
D2′′
D3′′ d1
D2′′
x
D2′
D1′′
x
D2′
D1′′
D1′′′
D3′
D1′
D1′
y
Positions relatives de deux droites.
Deux droites a et b de l’espace sont parallèles exactement quand leurs projections le sont deux
à deux, c’est-à dire si et seulement si
a1 est parallèle à b1 et a2 est parallèle à b2 .
Deux droites a et b de l’espace sont concourantes exactement quand les intersections de leurs
projections respectives sont situées sur la même ligne de rappel, c’est-à dire si et seulement si
l’intersection de a1 et b1 est précisément à la verticale de l’intersection de a2 et b2
(a1 intersecte alors b1 en un point P1 , et a2 intersecte b2 en P2 , avec P1 , P2 les projections du point
d’intersection de a et b). Deux droites qui ne sont ni parallèles, ni concourantes, sont gauches.
a2
a2
b2
x
a2
b2
x
a1
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b2
b1
b1
b1
droites parallèles
x
a1
droites concourantes
a1
droites gauches
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Droites particulières.
z
z
d2 = d3
d2
x
d3
x
d1
d1
droite horizontale: parallèle à Oxy
droite verticale: perpendiculaire à Oxy
z
z
d2
d2
d3
x
d3
x
d1
d1
droite frontale: parallèle à Oxz
droite de bout: perpendiculaire à Oxz
z
z
d2
d3
d3
d1 = d2
x
x
d1
droite de profil: parallèle à Oyz
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parallèle à Ox: perpendiculaire à Oyz
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
3.2 Plans.
Dans l’espace, un plan est uniquement déterminé par trois de ses points (non-alignés), une droite
et un point (hors de la droite), ou par deux droites concourantes (en un seul point) ou parallèles.
De la même manière qu’une droite, un plan peut être représenté par ses traces, c’est-à-dire par
ses intersections avec les trois plans de projections. Donné un plan α, on note α′ , α′′ , α′′′ les
intersections avec le premier, le second et le troisième plan de projection respectivement, et on
les nomme première trace, seconde trace, et troisième trace de α. Dans les cas où α n’est
parallèle à aucun des plans de projections, ces traces peuvent facilement être dessinées grâce aux
intersections de α avec les trois axes Ox, Oy, Oz: par exemple, si la droite α′ coupe Ox en un
point P , ce point appartiendra à la fois à α, Oxy et Oxz, et donc à l’intersection de α et Oxz,
c’est-à dire à α′′ :
z
z
R2 = R3
α2′′
R
α′′
x
α2′ = α3′ = α1′′
x
α′′′
P
α′
α3′′′
P1 = P2
Q3
α1′′′ = α2′′′ = α3′′
α1′
Q
y
Q1
y
Comme les deux dernières projections de α′ sont confondues avec les axes de coordonnées, on
écrit parfois α′ au lieu de α1′ , et pour faciliter la lecture de l’épure, on ne mentionne pas α2′ et
α3′ ; ceci est d’autant plus justifié que α′ est effectivement confondu avec sa première projection.
Il en va de même pour α2′′ = α′′ et α3′′′ = α′′′ .
Cette même remarque peut s’appliquer aux traces d’un plan: par exemple, on note parfois D′ au
lieu de D1′ , et on ne mentionne pas D2′ et D3′ si cela peut faciliter la lecture de l’épure.
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Plans particuliers.
z
z
α2′′
α2′′ = α3′′′
x
α3′′′
x
α1′
plan horizontal: parallèle à Oxy
plan vertical: perpendiculaire à Oxy
z
z
α3′′′
α3′′′
α2′′
x
x
α1′
α1′
plan frontal: parallèle à Oxz
plan de bout: perpendiculaire à Oxz
z
α2′′
α1′ = α2′′
x
z
α3′′′
x
α1′
plan de profil: parallèle à Oyz
plan parallèle à Ox: perpendiculaire à Oyz
Notons qu’une droite horizontale sera contenue dans un plan horizontal, une droite verticale dans
un plan vertical, une droite frontale dans un plan frontal, etc.
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13
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
3.3 Droites dans un plan.
Si une droite d contenue dans un plan α coupe les plans de projections, ses traces appartiennent
aux traces de même indice du plan:
D
′′′
α2′′
d2
z
D2′′
D
α′′
′′
d
x
D′
d1
x
α′′′
α2′ = α1′′
D1′
α′
α1′
y
Cette remarque nous permet, par exemple, de dessiner les traces d’un plan déterminé par deux
droites. En effet, supposons que deux droites d et g sont données; leurs premières traces, respectivement D′ et G′ , déterminent la première trace α′ du plan α qui contient les deux droites; de
même, D′′ et G′′ déterminent α′′ (et α′′′ peut être trouvé directement via α′ et α′′ ou en utilisant
les troisièmes traces de D′′′ et G′′′ ).
d2 D′′
2
G′′2
α2′′
d2
G′′2
D2′′
x
d1
donne
g2
g1
x
d1
g2
G′1
D1′
g1
G′1
α1′
D1′
Si le plan est donné par un point et une droite (au lieu de deux droites), ou par trois points, on
tracera une, voire deux, droites auxiliaires pour se ramener au cas des deux droites concourantes
décrit ci-dessus.
Droites particulières dans un plan.
On remarque:
● toute droite horizontale contenue dans un plan est parallèle à la première trace de ce plan,
● toute droite frontale contenue dans un plan est parallèle à la seconde trace de ce plan,
● toute droite de profil contenue dans un plan est parallèle à la troisième trace de ce plan.
Ceci est illustré ci-dessous pour une droite horizontale:
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Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
z
z
α2′′
α′′
d2
d3
α3′′′
x
d
x
α
′′′
d1
α1′
α′
y
y
3.4 Plans projetants.
Le parallèle linguistique entre le nom des droites et des plans particuliers (droite horizontale/plan
horizontal, droite frontale/plan frontal, etc.) suggère de considérer pour n’importe quelle droite de
l’espace, certains plans particuliers. Un plan projetant d’une droite d est un plan qui contient d
et qui est perpendiculaire à un des plans de projection. On aura donc en général, pour une droite
d, un plan projetant vertical, un plan projetant de bout, et un plan projetant parallèle
à Ox (les plans projetants ne sont pas toujours uniquement déterminés: une droite verticale aura
une infinité de plans projetants verticaux, etc.). On parle aussi parfois du premier, second, ou
troisième plan projetant de d pour désigner ces mêmes trois plans.
Si une droite d est donnée par ses projections, la construction des traces des plan de projections est
immédiate. Par exemple, le plan projetant vertical α de d aura α1′ = d1 et α2′′ sera perpendiculaire
à Ox, et le plan projetant de bout aura α2′′ = d2 et α1′ perpendiculaire à Ox:
α2′′
d2
x
α2′′ = d2
x
d1
α1′ = d1
α1′
plan projetant vertical
4
plan projetant de bout
Intersections de droites et de plans
4.1 Intersection de deux plans.
En général, deux plans de l’espace s’intersectent en une droite (sauf bien sûr s’ils sont parallèles ou
confondus). Il suffit donc de déterminer deux points distincts appartenant à cette intersection,
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15
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
car une seule droite passera par ces deux points. Si deux plans α et β sont donnés par leurs
traces, les premières traces se coupent en un point D′ , et les secondes en un point D′′ ; chacun de
ces points appartient aux deux plans, et donnent donc les deux premières traces de la droite d,
intersection de α et β:
D2′′
α2′′
β2′′
d2
x
α1′
β1′
d1
D1′
Cette méthode pour déterminer l’intersection de deux plans doit parfois être raffinée. Voyons
certaines situations particulières:
D2′′
d2
α2′′
β2′′
x
d2
α2′′
β2′′
x
α1′
β1′
α1′
β1′
d1
d1
D1′
premières traces parallèles
Version du 1er mai 2012
secondes traces parallèles
16
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
β2′′
β2′′ = d2
D2′′
d2
α2′′
x
x
α1′
β1′
d1
α1′ = d1
D1′
un des plans est horizontal
un des plans est frontal
D2′′
α2′′
d2
D2′′
α2′′ = d2
β2′′
x
β2′′
x
β1′ = d1
α1′
β1′
α1′
D1′
d1
D1′
un des plans est vertical
un des plans est de bout
Utilisation d’un plan auxiliaire.
Si les traces des deux plans α et β—dont on cherche à déterminer l’intersection—se coupent
en-dehors de l’épure, nous pouvons avoir recours à un troisième plan pour trouver la droite
d’intersection des deux plans. Il sera pratique de choisir ce plan auxiliaire parallèle à un des
plans de projections. Par exemple, donnée l’épure de gauche ci-dessous,
γ2′′
I2
h2
α2′′
β2′′
α2′′
J2
x
x
α1′
β2′′
α1′
g1
d1
h1
β1′
Version du 1er mai 2012
β1′
J1
I1
17
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
nous dessinons la seconde trace d’un plan horizontal γ. Ce plan coupe α selon une droite d, et le
plan β selon une droite g; l’intersection de d et g (toutes deux dans le même plan γ) appartient
donc à la fois à α et β et détermine un point I de l’intersection h de ces deux plans. Dans le cas
présent, l’autre point J sur h est directement donné par l’intersection des premières traces de α
et β, mais il se peut qu’un autre plan auxiliaire, vertical cette fois, doive être utilisé.
4.2 Intersection d’une droite et d’un plan.
En général, pour construire le point d’intersection P d’une droite d et d’un plan α, on construit
d’abord l’intersection g du plan α avec un plan auxiliaire β qui contient d, et l’intersection de g
et d fournit l’intersection cherchée.
Il sera pratique de choisir β comme un des plans projetants de d:
d2
d2
α2′′
α2′′
x
P2
β2′′
g2
x
β1′ = d1 = g1
α1′
α1′
d1
P1
Remarquons que l’intersection d’une droite d avec un plan vertical α ou de bout β est immédiatement
fournie par l’intersection de d1 avec α1′ ou de d2 avec β2′′ , respectivement:
d2
d2
P2
α2′′
x
Q2
β2′′
α1′
d1
x
β1′
d1
P1
Q1
Dans le cas où le plan α est donné par deux droites coplanaires a et b, il n’est pas nécessaire
de dessiner les traces de α pour déterminer le point d’intersection P de α et d: en effet, le plan
projetant β qui contient d va intersecter a et b en deux points, facilement déterminés comme
ci-dessus, qui appartiendront déjà à l’intersection g de α et β. L’intersection de g et d donnera
le point d’intersection P de d et α.
Version du 1er mai 2012
18
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Dans le cas où l’on cherche l’intersection de deux plans α et β, chacun donné par une paire de
droites a, b et c, d, on pourra exploiter la construction précédente pour trouver:
● l’intersection P de c avec le plan α donné par a, b;
● l’intersection Q de d avec le plan α donné par a, b;
● la droite P Q qui appartient à la fois à α et β, et qui fournit l’intersection cherchée.
Ombres portées.
La construction des intersections d’un plan avec une famille de droites permet de dessiner les
ombre portées; en effet, les rayons de lumière sont représentés par des droites (voir les applications
des projections centrales et obliques, pages 4 et 5).
5
Segments en vraies grandeurs
Donné un segment en projections de Monge, il est aisé de retrouver sa longueur grâce au théorème
de Pythagore (adapté à des triangles dans l’espace). Il est néanmoins aussi très pratique de
pouvoir dessiner ce segment en vraie grandeur sans avoir recours à l’algèbre. Dans ce but, nous
décrivons la méthode du rabattement, ainsi que la méthode de la rotation.
5.1 Méthode du rabattement.
Un segment AB et sa première projection A1 B1 déterminent un trapèze rectangle situé dans le
premier plan projetant du segment. Trois mesures de ce trapèze sont facilement accessibles sur
une épure:
● A1 B1 est donné par la première projection du segment AB;
● AA1 est la cote de A, mesurable en seconde projection;
● BB1 est la cote de B, mesurable en seconde projection.
Il est donc possible de rabattre le trapèze rectangle sur le plan horizontal de projection, en prenant
A1 B1 comme charnière. On obtient la vraie grandeur AB du segment AB sur le plan Oxy:
B2
B
A2
x
/
x
//
donne
//
B1
A
B1
//
/
A1
/
//
A
B
A1
/
AB
B
A
Version du 1er mai 2012
19
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Au lieu du plan projetant vertical, on peut utiliser par exemple un plan projetant de bout pour
obtenir la vraie grandeur dessinée sur le plan Oxz, comme dans la figure de gauche ci-dessous. De
plus, en remplaçant la charnière dans le plan de projection par une charnière parallèle (passant
par exemple par une des extrémités du segment AB), les constructions sont simplifiées, comme
le démontre la figure de droite (dans laquelle la charnière A1 B1 est remplacée par une charnière
dans le plan horizontal α passant par le point A, et le rabattement est effectué sur α).
B2
B2
x
AB
A2
x
α2′′
//
//
A2
B
//
/
B1
//
B1
/
A
A1
B
AB
A1 = A
5.2 Méthode de la rotation.
Au lieu d’utiliser une des traces d’un segment AB comme axe de rotation, il est possible de
considérer un axe vertical ou de bout. Dans ce cas, le segment sera rendu respectivement frontal
ou horizontal après une rotation appropriée. La vraie grandeur sera conséquemment lue en
seconde ou première projection. Pour rendre compte de ces transformations, on notera que par
exemple un axe vertical de rotation envoie un plan horizontal sur lui-même, et ne changera
donc pas les cotes en seconde projection; par contre, vues depuis dessus, c’est-à-dire en première
projection, les extrémités du segment décriront des arcs de cercles. Les épures ci-dessous illustrent
une rotation par un axe vertical a et par un axe de bout b respectivement, passant par A dans
chaque cas (pour faciliter les constructions).
AB
B2
x
B2
A2 = A2
a2
B2
x
B1
A2 = A2 = b2
B2
B1
B1
b1
AB
B1
Version du 1er mai 2012
A1 = A1 = a1
A1 = A1
20
Section d’Architecture
Géométrie I
6
EPFL
Déplacements
Donnée une figure en projection de Monge, il est parfois utile de la représenter vue sous un
autre angle. Pour y parvenir, nous pouvons modifier la position de l’objet dans l’espace par des
rotations, ou encore modifier la disposition des plans de projections.
6.1 Rotation d’une figure dans l’espace.
Les rotations que nous considérons sont celles qui s’opèrent autour d’un axe perpendiculaire à
l’un des plans de projections, ici Oxy ou Oxz. Notons qu’une rotation oblige à refaire le dessin
de chaque projection. Les principes énoncés pour la rotation d’un segment (page 20) restent
pertinents ici. Ci-dessous, nous effectuons une rotation de 135○ d’axe vertical a du tétraèdre
régulier ABCD; la figure obtenue est A B C D. Une seconde rotation d’angle −120○ et d’axe de
bout b donne ensuite A B C D.
C2
B2
D2
D2
a2
−1
20 ○
A2
C2
C2
B2
D2
A2
B2
A2
b2
C1
D1
b1
a1
B1
○
B1
5
13
A1
B1
D1
C1
A1
D1
A1
C1
6.2 Changement de plans de projection.
Plutôt que de déplacer une figure de l’espace, il peut être avantageux de déplacer un des plans de
projection. Nous nous concentrerons sur les deux premiers plans de projection qu’il conviendra
de maintenir perpendiculaires l’un à l’autre. Le nouveau plan de projection, qu’il soit vertical
ou de bout, sera appelé quatrième plan de projection, et les nouvelles projections indicées
en conséquence. Notons que cette transformation nécessite à chaque fois le dessin d’une seule
Version du 1er mai 2012
21
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
nouvelle projection (pour autant qu’on néglige la troisième projection).
A2
//
A2
A4
A4
A
donne
x12
//
x12
x14
A1
A1
x14
Ci-dessus, le plan Oxz a été remplacé par un autre plan vertical. La nouvelle ligne de terre est
notée x14 , et l’ancienne ligne de terre devient x12 plutôt que x: le passage x12 ↝ x14 indique bien
que le second plan de projection devient le quatrième. Ici, A1 n’a pas bougé, les lignes de rappel
sont toujours perpendiculaires à la ligne de terre correspondante, et la cote de A2 devient la cote
de A4 .
On peut également changer le premier plan de projection, comme illustré ci-dessous.
A2
x24
A2
x24
A
x12
//
donne
x12
//
A4
A4
A1
A1
Si un autre changement de plan de projection est nécessaire, le nouveau plan de projection
sera appelé le cinquième plan de projection, les nouvelles projections seront indicées en
conséquence avec un 5, et on notera x45 la nouvelle ligne de terre. Ci-dessous, nous donnons l’épure
d’un segment AB qui a subi deux changements de plan de projection, le premier changement
“horizontal” (x12 ↝ x24 ), le second “vertical” (x24 ↝ x45 ):
Version du 1er mai 2012
22
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
B5
B2
B4
A2
B1
A5
x12
A1
A4
x24
x45
Remarquons finalement que la troisième projection d’une figure peut être considérée comme
obtenue via un changement du premier plan de projection avec la nouvelle ligne de terre x24 = x23
perpendiculaire à x12 :
x23
A2
//
A3
//
x12
A1
Application.
Pour une droite, les changements de plans de projection qui s’avèrent a priori les plus utiles seront
ceux qui permettent de la rendre parallèle ou perpendiculaire à un nouveau plan de projection.
● Pour rendre une droite parallèle à un nouveau plan de projection, il suffit de choisir une nouvelle
ligne de terre x14 ou x24 parallèle à la première ou seconde projection de la droite, respectivement. Par exemple, pour rendre un segment AB “horizontal”, la “première” (en fait, la
quatrième) projection peut être quelconque, mais la seconde doit être parallèle à la ligne de
terre: on prendra x24 parallèle à A2 B2 .
● Pour rendre une droite perpendiculaire à un nouveau plan de projection, il faut d’abord la rendre
parallèle à un plan de projection, puis perpendiculaire à un autre. Par exemple, pour rendre
un segment AB “de bout”, on le rendra d’abord “horizontal” comme ci-dessus (x24 parallèle à
A2 B2 ), puis on prendra la nouvelle ligne de terre x45 perpendiculaire à A4 B4 .
Nouvelles traces d’un plan.
Lors d’un changement du second plan de projection, la première trace d’un plan α ne va pas
être modifiée. Pour la seconde trace, nous pouvons dessiner la quatrième projection du point M ,
intersection des secondes traces de α et du nouveau plan de projection, comme ci-dessous.
Version du 1er mai 2012
23
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
(2)
M
α′′
α4′′′′
M2
(4)
α′′
donne
x12
x12
α′
x14
//
α′′′′
M4
//
M1
α′
(1)
x14
Une construction similaire se fait bien sûr lors d’un changement du premier plan de projection.
Application.
Comme pour une droite, les changements de plans de projection qui s’avèrent a priori les plus
utiles pour un plan seront ceux qui permettent de le rendre perpendiculaire ou parallèle à un
nouveau plan de projection.
● Pour rendre un plan perpendiculaire à un nouveau plan de projection, il faut choisir la nouvelle
ligne de terre perpendiculaire à l’une des traces du plan. Par exemple, pour qu’un plan α
soit “vertical”, sa seconde trace doit être perpendiculaire à la ligne de terre: on prendra x24
perpendiculaire à α2′′ .
● Pour rendre un plan parallèle à un nouveau plan de projection, il faut d’abord le rendre perpendiculaire à un plan de projection, puis parallèle à un autre. Par exemple, pour rendre un
plan α “frontal”, on le rendra d’abord “vertical” comme ci-dessus (x24 perpendiculaire à α2′′ ),
puis on prendra la nouvelle ligne de terre x45 parallèle à α4′′′′ .
7
Figures planes en vraie grandeur
Nous avons vu à la Section 5 comment représenter un segment en vraie grandeur, mais pour les
figures planes, il est plus naturel—et efficace—d’opérer globalement sur la figure, plutôt que sur
chacun de ses segments séparément. Nous avons maintenant à notre disposition 3 techniques
pour représenter une figure plane en vraie grandeur:
● rotation autour d’un axe vertical ou de bout;
● changement de plan de projection;
● rabattement.
Version du 1er mai 2012
24
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
7.1 Figures planes et rotations.
Cas particulier.
Dans le cas où la figure dont on veut déterminer la vraie grandeur est contenue dans un plan
projetant, on peu faire subir à ce plan une rotation qui le rendra parallèle ou confondu avec un
des plans de projection. Par exemple, si la figure est contenue dans un plan vertical, on peut
utiliser sa seconde trace comme axe de rotation:
C2 C 2
θ
C2
a
donne
C
A2
A
A1
A2
A2
C1 B 1
x12
A1
a1
B2
B2
B2
B
x12
a2
C1
B1
θ
A1
C1
B1
Dans cet exemple, nous avons fait subir une rotation de l’angle aigu θ formé par le plan contenant
ABC et le second de projection. Une rotations d’angle θ − 180○ aurait aussi été possible, avec
l’avantage non négligeable d’une meilleure lecture de l’épure (mais elle aurait exigé plus de place
sur le dessin).
Cas général.
Une figure plane dans l’espace peut être représentée en vraie grandeur sur un des plans de projections si le plan dans lequel elle est inclu est rendu parallèle à un des plans de projections. Pour
cela:
● on détermine les traces du plan α qui contient la figure (il suffit en fait de déterminer une seule
de ses traces, voir ci-dessous);
● grâce à une rotation d’axe vertical ou une rotation d’axe de bout, on rend α perpendiculaire
à un des plans de projection; une autre rotation rend ensuite α parallèle à un des plans de
projections.
Ceci est illustré ci-dessous: on veut dessiner en vraie grandeur un triangle ABC dont les deux
premières projections sont données. Pour cela, on détermine α′′ grâce aux secondes traces des
droites AB et BC. On effectue ensuite une rotation d’axe de bout (non dessiné, mais avec b2 à
l’intersection de α2′′ avec Ox) pour redresser α en un plan vertical, noté α; sur l’épure, cela revient
simplement à trouver l’angle de rotation qui rend α2′′ vertical, et à faire subir au triangle A2 B2 C2
une rotation de cet angle. La première projection de A B C détermine la nouvelle première trace
de α (non dessinée ici). Finalement, comme dans le cas particulier ci-dessus, une rotation d’axe
vertical (non dessiné, mais avec a1 = b2 ) rend α frontal. La seconde projection de A B C est en
vraie grandeur.
Version du 1er mai 2012
25
Section d’Architecture
Géométrie I
A2
EPFL
A2
B2
B2
C2
C2
α′′2
A2
α2′′
C2
B2
A1 C 1
B1
A1
C1
C1
A1
B1
B1
7.2 Figures planes et plans de projection.
Cas particulier.
Dans le cas où la figure dont on veut déterminer la vraie grandeur est contenue dans un plan
projetant, ce dernier—ou tout autre plan parallèle—peut être utilisé comme nouveau plan de
projection:
C2
(2)
C2
C
A2
A
A2
donne
x12
B2
B
x12
A1
B2
(4)
C1 B1
A1
x14
C1
A4
(1)
B1 x14
B4
C4
Notons que la contruction utilisée pour effectuer un tel changement de plan de projection correspond précisément à celle utilisée pour un rabattement de la figure plane ABC dans laquelle la
nouvelle ligne de terre sert de charnière.
Version du 1er mai 2012
26
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Cas général.
Donnée une figure plane dans l’espace, on peut procéder comme suit pour la rendre parallèle à
un nouveau plan de projection:
● on détermine les traces du plan α qui contient la figure (il suffit en fait de déterminer une seule
de ses traces, voir ci-dessous);
● grâce à deux changements de plan de projection, on rend α parallèle à un des plans de projections (comme décrit à la page 24); la figure sera représentée en vraie grandeur sur ce dernier
plan.
Ceci est illustré ci-dessous: on veut dessiner en vraie grandeur un triangle ABC dont les deux
premières projections sont données. Pour cela, on détermine α′ grâce aux premières traces des
droites AB et BC, puis on établit x14 perpendiculaire à α1′ . On détermine la quatrième projection
du triangle (qui se trouve entièrement contenue dans α4′′′′ ), et on établit x45 parallèle à α4′′′′ . La
cinquième projection de ABC est en vraie grandeur.
C5
A2
A5
B5
C2
B2
x12
C1
α1′
A1
x45
B1
B4
C4
A4
α4′′′′
x14
Notons qu’on a pu se passer de dessiner la seconde trace de α car la quatrième projection du
triangle a déterminé α′′′′ . Alternativement, on aurait pu tracer α1′ , α2′′ , puis α4′′′′ comme indiqué
à la page 23; les quatrièmes projections de A, B, et C auraient été immédiatement déterminées
par l’intersection des lignes de rappel perpendiculaires à x14 avec α4′′′′ .
7.3 Figures planes et rabattements.
Cas particulier.
Considérons d’abord le cas où la figure dont on veut déterminer la vraie grandeur est contenue
dans un plan projetant α, par exemple vertical. Le paragraphe concernant ce même cas particulier
à la section 7.1 décrit précisément le rabattement d’une telle figure ABC avec la seconde trace
Version du 1er mai 2012
27
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
de α utilisée comme charnière. De même, la section 7.2 décrit le rabattement de cette figure
ABC avec la première trace de α prise comme charnière; comme il s’agit d’un rabattement, les
notations diffèrent légèrement:
C2
A2
B2
x
A1
C1
A
′
B1 α1
B
C
Cas général.
Contrairement au deux méthodes précédentes, la méthode du rabattement peut se faire d’une
seule traite (le cas général de la méthode des rotations 7.1 nécessitait deux rotations, et celle des
changements de plans de projection 7.2 deux telles opérations). En effet, considérons un plan α
comme dans la figure de gauche ci-dessous, et rabattons-le en utilisant sa première trace comme
charnière. Un point A de α subira une rotation dans un plan perpendiculaire à α′ pour venir se
rabattre sur Oxy en un point A.
A2
//
A2
A
A1
α
θ
A1
//
(A)
A
α′
A
α1′
Dans l’épure correspondante, le rabattement A se trouvera donc sur une perpendiculaire à α1′ .
Le triangle de rabattement, représenté en gris clair sur les figures, est un triangle rectangle
obtenu sur l’épure grâce à:
● A1 ;
● la cote de A2 reportée parallèlement à α1′ depuis A1 ;
Version du 1er mai 2012
28
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
● l’intersection de la droite α1′ avec sa perpendiculaire par A1 .
L’hypothénuse de ce triangle donne le rayon de l’arc de cercle décrit par A pendant le rabattement.
Cet arc peut être reproduit sur le dessin et permet d’obtenir A comme suggéré ci-dessus.
Notons que cette construction permet aussi de déterminer l’angle θ formé par α avec un des plans
de projection!
La méthode du rabattement est illustrée ci-dessous: pour dessiner en vraie grandeur un triangle
ABC dont les deux premières projections sont données, on détermine α′ (grâce aux premières
traces des droites AB et BC), puis on obtient A comme précédemment.
A2
C2
B2
J
A1
C1
α1′
B1
(A)
I
C
B
A
En exploitant le fait que tout les points de l’axe de rotation α1′ restent fixes, il n’y a pas besoin
de répétér la construction du rabattement. En effet, si I dénote l’intersection de A1 B1 avec α1′ ,
la droite IA est envoyée par le rabattement sur IA; l’intersection de IA avec la perpendiculaire
à α1′ par B1 donne donc B. On peut procéder de même avec l’intersection J de A1 C1 avec α1′
pour obtenir C, et donc A B C en vraie grandeur.
8
Relèvements
8.1 Construction.
Un relèvement sur un plan α (autour d’une de ses traces) est l’opération inverse d’un rabattement
de α. Une telle construction peut être utile si on veut par exemple représenter une certaine figure
sur un plan α: on la dessine d’abord sur un des plans de projection, puis, on la relève sur α.
Cette opération se fait simplement en effectuant les constructions d’un rabattement dans l’ordre
inverse. Supposons par exemple avoir dessiné un triangle ABC sur le premier plan de projection,
et que l’on veut le relever sur un plan α autour de la charnière α1′ : on procède alors comme suit:
● par une des premières projections d’un point de la figure, par exemple A1 , tracer une perpendiculaire à α1′ ; cette perpendiculaire coupe α1′ en un point T1 et l’axe Ox en P1 .
Version du 1er mai 2012
29
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
● dessiner T2 sur l’axe Ox (le point T appartient donc à l’intersection de Oxy, α, et le plan vertical
par A perpendiculaire à la charnière α′ ), et P2 sur α2′′ (le point P appartient à l’intersection
de Oxz, de α, et du plan vertical par A perpendiculaire à la charnière α′ ). La droite P T est
l’intersection de α avec le plan vertical par A perpendiculaire à α′ .
● on construit le triangle de rabattement du point P ; à l’intersection de l’arc de cercle par A1
centré en T1 et de la droite portant l’hypothénuse du triangle de rabattement se trouve (A),
que l’on utilise pour construire A1 , puis A2 sur P2 T2 .
● les autres relèvements peuvent être obtenus en prenant des droites par A, leur intersection avec
α1′ , et leur relèvement dans α par A1 .
P2
A2
α2′′
C2
B2
T2
P1
A1
C1
α1′
(P )
B1
(A)
B
C
T1
A
8.2 Relèvement de cercles.
La technique du relèvement d’une figure dans un plan nous permet en particulier d’esquisser des
cercles ou des arcs de cercles contenus dans un plan quelconque. En effet, bien que les angles ne
soient pas préservés sur l’épure, les droites le sont; de plus, une tangente à un cercle sera toujours
tangente à la courbe représentée par le relèvement du cercle (n’intersectant celui-ci qu’en un seul
point), et peut être relevée au même titre que n’importe quelle autre droite. Dans la figure de
gauche ci-dessous, nous avons relevé le point A grâce à la méthode décrite précédemment (en
fait, nous avons relevé le centre du cercle, ainsi que le point antipodal de A de la même manière).
Les autres points ont été relevés à l’aide de droites qui intersectent la charnière et passent par
des points dont le relèvement est déjà connu. Par contre, tous les traits de constructions des
tangentes ne sont pas représentés:
Version du 1er mai 2012
30
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
α2′′
α2′′
A1
A1
α1′
A
α1′
A
Le grand axe de l’ellipse dans la première projection est obtenu grâce à des points sur une parallèle
à la charnière, et que le petit axe provient des points sur une perpendiculaire. Dans la figure
de droite, nous avons dessiné les secondes projections des points obtenus sur l’ellipse. Pour A2
par exemple, nous avons utilisé la technique du dessin de la seconde projection d’une droite dans
un plan, la droite en question étant ici la tangente par A1 (les traits de construction des autres
points ne sont pas représentés). Notons que le grand axe et le petit axe de la première projection
deviennent des droites quelconques dans la seconde projection (elles passent tout de même par le
centre de l’ellipse).
Pour obtenir le grand axe de la seconde projection de l’ellipse, on peut: tracer la première
projection d’une droite parallèle à Ox par le centre de la première projection de l’ellipse, rabattre
cette droite, trouver ses points d’intersection avec le cercle, relever ces points en première, puis
en seconde projection. La perpendiculaire au diamètre tracé dans le cercle donnera de la même
manière le petit axe. Il est aussi possible cependant d’exploiter des constructions de base relatives
aux ellipses.
9
Sur le dessin d’ellipses
9.1 Trois constructions.
Une ellipse peut être construite de plusieurs manières (équivalentes, bien sûr, mais notre propos
ici n’est pas de le démontrer).
● Traditionnellement, une ellipse est définie comme le lieu des points dont la somme des distances
c à deux points fixes du plan, les foyers de l’ellipse, est constante:
Version du 1er mai 2012
31
Section d’Architecture
d1
Géométrie I
F1
EPFL
d2
où d1 + d2 = c = constante > F1 F2 .
F2
La “méthode du jardinier” permet de tracer une telle ellipse: planter deux pieux en F1 et
F2 , et à l’aide d’une corde (de longueur constante) attachée à ces points fixes, tracer l’ellipse
en tendant la corde. Même si une ficelle et deux punaises peuvent remplacer le matériel du
jardinier, cette méthode traditionnelle se révèle en vérité très peu pratique pour un dessin
précis—à moins de disposer d’un matériel relativement sophistiqué. Néanmoins, un compas
nous permet de tracer l’ellipse point à point (une fois donné c et les deux foyers).
● Une ellipse (de demi grand-axe a et demi petit axe b) peut aussi être tracée à l’aide d’une règle
de longueur fixe a, portée en deux points P1 et P2 séparés d’une distance fixe a − b et dont
l’un d’eux est placé à une des extrémités de la règle. Lorsque P1 fait des aller-retours sur l’axe
Ox, P2 fait de même sur l’axe Oy, et la courbe tracée par l’extrémité libre de la règle est une
ellipse:
a
b
P1
P2
L’ “ellipsographe” requis pour cette construction est peu encombrant. . . mais aussi peu courant!
● Une ellipse peut être vue comme un cercle qui a été “écrasé”1 dans une certaine direction.
Comme un cercle de centre O et de rayon r est donné par tous les points de la forme
(r cos(t), r sin(t))
où
0 ≤ t ≤ 2π ,
une ellipse de demi grand-axe a et de demi petit-axe b peut être décrite par les points de la
forme
(a cos(t), b sin(t)) où 0 ≤ t ≤ 2π .
1
Une transformation du plan qui envoie les droites sur les droites, garde les points d’une droite a fixes, et envoie
chaque droite parallèle à une droite d sur elle-même, s’appelle une affinité d’axe a et de direction d. Dans ces
notes, l’“écrasement” dont il est question est une affinité de direction perpendiculaire à un axe a—lui-même souvent
représenté dans les épures par la trace d’un plan.
Version du 1er mai 2012
32
Géométrie I
Section d’Architecture
EPFL
Deux cercles apparaissent dans cette description: l’un de rayon a, l’autre de rayon b. L’ellipse
est donc le lieu des points qui empruntent une abscisse au premier cercle, et une ordonnée au
second:
b
P
Q
b sin(t)
C
t
a
a cos(t)
On en déduit la construction suivante—due, comme la précédente, à Proclus (philosophe et
mathématicien grec, 412–485)—donné un cercle de rayon a et un cercle de rayon b centrés au
même point C: chaque demi-droite issue de C coupe le “grand” cercle en P et le “petit” en Q;
la verticale par P coupe l’horizontale par Q en un point de l’ellipse.
9.2 Diamètres et axes.
Un diamètre d’une ellipse est une droite qui passe par son centre (c’est-à dire par le centre
du “grand” ou du “petit” cercle utilisé dans sa construction ci-dessus). Le plus grand de ces
diamètres est le grand axe de l’ellipse, et le plus petit le petit axe, formant les deux diamètres
principaux de l’ellipse. Deux diamètres quelconques de l’ellipse sont conjugués s’ils proviennent
de diamètres perpendiculaires dans les cercles utilisés dans la construction:
Si l’on se donne une ellipse seule avec deux diamètres conjugués, il est possible de retrouver
ses deux axes de la manière suivante (connue comme la “construction de Rytz”, d’après David
Rytz von Brugg, enseignant suisse 1801-1868—même si Pappus propose déjà une solution. . . et
Euler quatre!). Supposons que l’on ait deux diamètres conjugués d’extrémités P et P ′ comme
ci-dessous:
Version du 1er mai 2012
33
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
Y
P′
M
P
Q
O
X
On fait subir une rotation de 90○ à OP , l’envoyant sur OQ. Le milieu M du segment P ′ Q devient
le centre d’un cercle passant par O qui coupe P ′ Q en X et Y . Les droites OX et OY donnent
alors les directions des deux axes principaux de l’ellipse. Les distances P ′ Y et P ′ X donnent de
plus les longueurs des axes de l’ellipse.
Cette construction est justifiée si l’on reproduit les opérations décrites dans une figure où les
cercles donnant les diamètres sont dessinés. La rotation de 90○ recolle les deux triangles rectangles
(en pointillés) utilisés dans la construction des point P et P ′ , donnant un rectangle dont les côtés
sont parallèles aux axes de l’ellipse. La droite P ′ Q est une des diagonales de ce rectangle, et M
son centre; le cercle par M permet la construction d’un rectangle semblable de même centre et
dont deux des côtés reposent sur les axes par O.
Y
A
P′
M
P
Q
B
X
O
Finalement, si A désigne le sommet en haut à gauche du petit rectangle en pointillés, et B le
sommet en bas à droite, on a
a = AO = QX = P ′ Y
et
b = BO = P ′ X .
9.3 Foyers et axes.
Donnés les foyers d’une ellipse (et la mesure du grand axe), les axes de l’ellipse sont immédiatement
déterminés. Inversément, si les axes sont donnés, les foyers peuvent être obtenus par l’intersection
d’un cercle centré à l’une des extrémités du petit axe et de rayon la moitié du grand axe:
Version du 1er mai 2012
34
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
a
b
F1
F2
9.4 Tangentes.
Les deux constructions d’une ellipse, via ses foyers ou ses diamètres principaux, nous permettent
chacune de tracer les tangentes en un point.
● Si l’on connaı̂t les foyer F1 et F2 , la tangente en un point P de l’ellipse peut être obtenue
comme suit: on reporte la longueur d1 = P F1 sur P F2 vers l’extérieur de l’ellipse pour obtenir
̂
un point Q; la bissectrice t de QP
F1 donne la tangente:
t
d1
P
d2
d1
Q
F1
F2
En effet, tout autre point P ′ sur cette droite sera à une distance d′1 de Q et d′2 de F2 , avec
d′1 + d′2 plus grand que d1 + d2 car F2 , P et Q sont sur une droite; comme d′1 est aussi la distance
de P ′ à F1 (par construction, QP ′ F1 est isocèle), tout point P ′ ≠ P sur t est en-dehors de
l’ellipse, et donc t n’intersecte l’ellipse qu’en un point, le point de tangence. Notons que cette
tangente peut aussi être vue comme la perpendiculaire en P à la bissectrice de l’angle F̂
1 P F2 .
● On peut aussi utiliser que les points sur le grand axe de l’ellipse sont fixes dans l’“écrasement”
du grand cercle qui donne l’ellipse; la tangente au grand cercle (coupant ce dernier en un seul
point) devient la tangente à l’ellipse:
P
10
Sections planes de certains solides
Les solides que nous allons considérer avant tout sont les prismes, les pyramides, les cylindres, et
les cônes.
Version du 1er mai 2012
35
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
10.1 Section plane d’un polyèdre.
Comme les faces d’un polyèdre sont des morceaux de plans et les arêtes des segments de droites,
l’intersection d’un plan α avec un tel solide formera en général un polygone: l’intersection de α
avec chaque face forme un segment de droite, et l’intersection avec chaque arête un point; ces
intersections donnent respectivement les côtés et les sommets d’un polygône. Il suffit donc de
déterminer l’intersection de α avec chacune des arêtes du polyèdre, puis de joindre les sommets
qui appartiennent à la même face.
Cas particulier.
Lorsque le plan α dont on veut déterminer l’intersection avec le polyèdre est perpendiculaire à un
des plans de projections, l’intersection se lit immédiatement sur le plan de projection perpendiculaire à α; le dessin des autres projections suit en traçant les lignes de rappel. L’intersection d’une
pyramide de sommet S à base polygonale ABCD avec un plan α de bout est dessinée ci-dessous
en gras dans les 3 projections, la seconde projection donnant l’intersection dans ce cas.
S2
S3
α3′′′
α2′′
A2
B2
D2
C2
D3
C3
A3
B3
D1
C1
A1
S1
α1′
B1
Section droite d’un prisme.
Un prisme est formé de deux polygones identiques situés dans des plans parallèles, et dont les
sommets respectifs sont reliés par des segments de droites parallèles. La section droite d’un
tel prisme est l’intersection d’un plan perpendiculaire aux arêtes reliant les deux polygones. Elle
est immédiatement obtenue lorsque ces arêtes sont parallèles à un des plans de projections: le
plan donnant la section droite sera perpendiculaire à ce plan de projection. Par exemple, dans la
figure ci-dessous, les arêtes sont toutes frontales, et l’on prend un plan de bout, perpendiculaire
aux segments reliant les polygones, pour trouver la section cherchée (en gras ici).
Version du 1er mai 2012
36
Section d’Architecture
Géométrie I
F2
α2′′
A2
B2
G2
E2 D2 C2
EPFL
J2 I2 H2
J1
E1 D1
A1
I1
F1
C1
H1
G1 α ′
1
B1
Cas général.
Si un polyèdre est coupé par un plan quelconque α, nous pouvons effectuer un changement de
plan de projection afin de rendre α perpendiculaire à ce dernier. Ci-dessous, nous avons effectué
un changement du second plan de projection qui a rendu α perpendiculaire à un quatrième plan
de projection. (Les arêtes cachées ne sont représentées que dans les deux premières projections.)
S2
//
α2′′
x12
x14
D2 C2 E2 B2 F2 A2
B1
C1
A1
α1′
S1
D1
F1
E1
B4
A4
C4
F4
D4
E4
//
α4′′′′
S4
Il est bien sûr aussi possible d’effectuer une rotation pour changer de point de vue, mais, comme
nous l’avons vu, cette méthode demande le dessin d’une projection supplémentaire.
Version du 1er mai 2012
37
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
10.2 Section plane de cônes ou de cylindres droits.
Les cônes que nous allons considérer ici sont des cônes droits à base circulaire, aussi appelés
cônes de révolution. Les segments reliant le sommet à la base sont les génératrices du cône,
et le segment du sommet du cône au centre du disque formant la base est son axe. En effet, en
faisant subir à une génératrice une rotation de 360○ autour de l’axe, toute la surface du cône est
parcourue: l’axe est un axe de rotation, et chaque génératrice peut générer le cône.
Les cylindres considérés sont des cylindres droits à base circulaire ou cylindres de révolution. Un tel cylindre peut être vu comme un cône droit dont le sommet est “à l’infini” qui a été
tronqué par un plan parallèle à la base. Les segments reliant la base au sommet du cylindre sont
donc des génératrices, et le segment reliant les deux centres des disques sera l’axe du cylindre.
Un plan qui coupe de tels cônes ou cylindres en-dehors de la base et du sommet donnera lieu à
une ellipse dans l’espace.
Cas particulier.
Comme dans le cas des polyèdres, un plan perpendiculaire à un des plans de projection permet la
lecture immédiate de l’ellipse d’intersection, chaque génératrice nous donnant un ou deux points
d’intersection. Nous allons cependant concentrer notre attention sur les axes des projections de
l’ellipse d’intersection, axes qui seront respectivement parallèles et perpendiculaires à la trace du
plan dans la projection considérée:
S2
S3
α3′′′
A′2
α2′′
x
C2′ = D2′
B2′
C3′
B3′
D3′
A′3
A2
α1′
C2 = D 2
B2
C3
A3 = B 3
D3
C1
C1′
A1
S1
A′1
B1′
B1
D1′
D1
À moins que le plan d’intersection α ne soit parallèle à la base du solide, le centre de l’ellipse
ne se trouvera pas sur l’axe du cône ou du cylindre. Dans l’épure ci-dessus, cela est visible en
première projection, où le centre de l’ellipse—donné par le milieu du segment A′1 B1′ —et le centre
Version du 1er mai 2012
38
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
du cercle de base sont bien distincts. Notons aussi en troisième projection que le grand axe
de l’ellipse n’intersecte pas le contour apparent du cône: en effet, ce dernier représente deux
tangentes à l’ellipse projetée (les points C3 et D3 de l’épure, bien que proches, n’appartiennent
pas au contour apparent).
Cas général.
En général, pour dessiner l’intersection d’un plan α avec un cône, il suffit d’utiliser un nouveau plan de projection perpendiculaire à l’une des traces de α. Les projections de l’ellipse
d’intersection auront toujours un axe perpendiculaire et un axe parallèle à la trace correspondante de α.
Dans l’épure ci-dessous, la nouvelle ligne de terre x14 est perpendiculaire à α1′ , et les axes de
l’ellipse en première projection sont dessinés comme dans le cas particulier (par exemple, le point
A4 sur la base donne un point A1 , et l’intersection de S4 A4 avec α4′′′′ donne A′4 , que l’on reporte
perpendiculairement à x14 pour trouver A′1 ). La seconde projection est obtenue de manière
similaire: chaque point de l’intersection, disons A′1 , détermine un point de la base A1 via la
génératrice par A′1 , qui détermine une seconde projection A2 à sa verticale, puis A′2 se trouve à
la verticale de A′1 sur la génératrice par A2 . Cela nous donne les axes de l’ellipse en première
projection (et leur image en seconde):
S2
//
α2′′
A′2
x14
x12
A2
α1′
A1
//
A′1
S1
α4′′′′
A4
A′4
S4
Pour obtenir les axes en seconde projection, on utilise que les deux diamètres déjà dessinés sont
conjugués (sans justification ici), voir page 33.
Version du 1er mai 2012
39
Section d’Architecture
Géométrie I
11
EPFL
Développement de certains solides
Le développement d’un solide est la représentation en vraie grandeur de chacun des éléments
composant sa surface (pour autant que ceux-ci soient représentables par des figures planes). Par
exemple, le développement d’un polyèdre sera constitué des polygones formant ses faces, assemblés
de préférence le long de certaines leurs arêtes de sorte à faciliter la reconstitution du solide.
En général, le développement d’un polyèdre quelconque peut être obtenu en rabattant chacune
de ses faces sur un plan parallèle à un des plans de projection (voir la section 7). Dans de
nombreux cas particuliers, il est pourtant avantageux d’utiliser des techniques plus directes, liées
à la configuration du solide considéré.
11.1 Développement d’une pyramide.
Pour obtenir le développement d’une pyramide, il suffit de connaı̂tre la vraie grandeur de sa base,
ainsi que la longueur de chacune des arêtes reliant la base au sommet. Dans ce cas-là, la longueur
des arêtes peut être obtenue en utilisant une rotation autour d’un axe passant par le sommet de
la pyramide: on utilise la méthode de la rotation d’un segment vue à la page 20.
Dans la figure de gauche ci-dessous, les arêtes de la pyramide sont rendues horizontales suite
à une rotation autour de l’axe de bout a passant par S. La base contenue dans Oxy est déjà
en vraie grandeur, et les longueurs des arêtes au somment sont données suite à la rotation en
première projection (en pointillés ci-dessous).
D
S2 = a2
A2 B 2 D 2
C2
A
C
donne
B
A2
B2
D2
C2
D1
D1
A1
A1
C1
S
C1
C
S1
A
D
a1
B1
B1
La figure de droite montre un développement possible de la pyramide. Plutôt que de dessiner le
développement “en étoile” autour de la base, nous avons disposé les faces de sorte à ce que le
développement occupe une place raisonnable sur la feuille.
Version du 1er mai 2012
40
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
11.2 Développement d’un prisme.
Dans le cas d’un prisme, la base et le sommet sont deux polygones identiques, et les autres faces
sont des parallélogrammes. Une méthode efficace pour obtenir un développement d’un prisme est
d’utiliser la vraie grandeur d’une section droite du solide (voir 10.1): dans le développement, le
bord de la section droite peut être “déroulé” en un seul segment tracé sur les parallélogrammes
formant les faces du prisme; les arêtes reliant le sommet à la base du prisme seront reportés
perpendiculairement à ce segment.
Par exemple, dans l’épure ci-dessous, la section droite du cylindre est obtenue grâce à un plan
de bout α intersectant le solide entre son sommet et sa base. Cette section droite a été rabattue
autour de la première trace du plan, et sa vraie grandeur est donnée en première projection.
α2′′
F2 G2 J2
I2
H2
R2
S2
T2
Q2
P2
R2 S 2 T 2 Q2 P 2
A2 B2 E2
J1
T1
I1
S1
P1
F1
D2
C2
T1
E1
S1
D1
A1
P1
H1
C1
R1
R1
Q1
G1
Q1
B1
α1′
Pour obtenir le développement du cylindre ci-dessous, on a tracé un segment horizontal de
longueur égale au périmètre de la section droite. Les points P , Q, R, S, et T sont ensuite placés
selon leur distance au point P , et le dernier point P à l’extrémité du segment. Les longueurs
P A et P F (lues en seconde projection de l’épure) sont ensuite placées perpendiculairement au
segment horizontal, de part et d’autre de P pour former l’arête AF . On procède de même pour
les autres arêtes et on reproduit la base (par exemple en la partageant en trois triangles ABC,
ACD et ADE) et le sommet du prisme le long d’arêtes convenablement choisies.
Version du 1er mai 2012
41
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
D
E
C
D
A
E
B
A
A
P
T
S
Q
R
P
H
I
I
J
G
F
F
J
F
12
Solides Platoniciens en projection de Monge
Il est évident que pour tout n ≥ 3, il existe une infinité de polygones réguliers (c’est-à-dire de
polygones dont tous les côtés ont la même longueur et tous les angles la même mesure) à n côtés:
...
La situation est très différent en 3 dimensions. En effet, l’analogue tridimensionnel du polygone
régulier est un solide platonicien (ou solide de Platon), c’est-à-dire un polyèdre convexe
défini comme suit:
● toutes les faces sont des polygones réguliers avec même nombre de côtés;
● les faces ne se rencontrent que le long de leurs propres côtés;
● le même nombre de faces se rencontrent à chacun des sommets.
Version du 1er mai 2012
42
Géométrie I
Section d’Architecture
EPFL
Euclide montre que ces conditions impliquent qu’il n’existe que 5 solides platoniciens! En effet,
si l’on dessine le développement d’un tel solide autour de l’un de ses sommets (après avoir coupé
le long d’une arête correspondante), on obtient une figure comme suit:
α
α
α
(la partie en gris clair permet aux faces de se replier autour du sommet en 3 dimensions). Comme
il existe au moins 3 faces attachées à chaque sommet, l’angle α doit être strictement inférieur à
360
○
3 = 120 . Les seuls polygones réguliers avec de tels angles entre deux de leurs côtés sont:
le triangle équilatéral (α = 60○ ), le carré (α = 90○ ), et le pentagone (α = 108○ )
(en effet, pour l’hexagone, on a déjà α = 120○ , un angle qui ne permettrait pas de replier les faces
autour du sommet). L’angle α détermine aussi le nombre total de faces qui peuvent se rencontrer
en un sommet:
● Si les faces sont triangulaires, on peut placer 3, 4, ou 5 angles de 60○ autour d’un sommet de
sorte qu’il reste encore de la place pour les replier en 3 dimensions. Chacun de ces cas donne
lieu à un solide platonicien: avec 3 triangles équilatéraux, on obtient le tétraèdre (un solide à
4 faces), avec 4 l’octaèdre (avec 8 faces), et avec 5 l’icosaèdre (avec 20 faces).
● Si les faces sont carrées, on ne peut placer que 3 angles de 90○ si l’on veut un solide en 3
dimensions. On obtient ainsi le cube (un solide à 6 faces).
● Si les faces sont pentagonales, on peut placer 3 angles de 108○ autour d’un sommet, ce qui nous
donne le dodécaèdre (un solide à 12 faces).
Une représentation tridimensionnelle de ces solides peut être trouvée par exemple à l’adresse
http://fr.wikipedia.org/wiki/Solide_de_Platon
Notons qu’il existe d’autres solides tridimensionnels possédant un grand nombre de symétries,
comme les solides archimédiens (avec leurs duaux, les solides catalans) ou encore les solides de
Johnson.
Solides duaux.
Le dual d’un solide platonicien est obtenu de la manière suivante:
● ses sommets sont les centres des faces du polyèdre d’origine;
● deux sommets sont reliés par une arête si les faces dont ils proviennent sont adjacentes;
● les arêtes du nouveau solide en forment une face si leurs extrémités appartiennent à des faces
du solide d’origine qui se rencontrent en un sommet.
Par raison de symétrie, le dual d’un solide platonicien est encore un solide platonicien. En
énumérant le nombre de sommets, d’arêtes et de faces, on obtient le tableau suivant:
Version du 1er mai 2012
43
Section d’Architecture
Géométrie I
solide
tétraèdre
cube
octaèdre
dodécaèdre
icosaèdre
sommets
4
8
6
20
12
arêtes
6
12
12
30
30
faces
4
6
8
12
20
EPFL
dual
tétraèdre
octaèdre
cube
icosaèdre
dodécaèdre
On note que l’opération qui consiste à prendre le dual d’un solide échange le nombre de faces
et de sommets, mais garde le nombre d’arêtes constant. On observe aussi en passant qu’on a la
formule:
sommets − arêtes + faces = 2 .
Projections du dodécaèdre.
La représentation du tétraèdre en projection de Monge est facile à obtenir: posé sur Oxy, sa
première projection est immédiate; pour la seconde, on peut déterminer la hauteur par calcul ou
en utilisant une technique similaire à celle décrite plus loin pour le dodécaèdre.
Le cube est aussi immédiat à représenter; l’octaèdre peut être dessiné en utilisant le fait qu’il est
le dual du cube (on prend le centre des faces du cube comme sommets, etc.).
L’icosaèdre pourra être représenté—par exemple—en prenant graphiquement le dual du dodécaèdre.
Il reste donc à effectuer une épure d’un dodécaèdre. Pour cela, posons le dodécaèdre sur le plan
Oxy, de telle sorte qu’une arête de son pentagone de base soit perpendiculaire à la ligne de terre
(voir l’ébauche d’épure ci-dessous)—notons cette arête AB. L’autre face pentagonale attachée
à AB peut être vu comme un relèvement du pentagone de base autour de la charnière AB. Le
sommet C, adjacent à B sur le pentagone de base, va être relevé parallèlement à la ligne de terre;
̂ On obtient
pour des raisons de symétrie, C va finir sa course sur la bissectrice à l’angle ABC.
′
ainsi C1 , la première projection d’un point du dodécaèdre situé au-dessus du plan de base:
A1
O1
D1′
D1
B1
C1′
C1
T1
Ce point C1′ peut ensuite être utilisé pour relever D1 sur la même face. En effet, la droite C1 D1 va
être envoyée sur C1′ D1′ dans le relèvement autour de A1 B1 : on peut exploiter un point auxiliaire
T1 sur A1 B1 pour dessiner T1 C1′ = C1′ D1′ . En utilisant les distances de C1′ et D1′ au centre O1 du
Version du 1er mai 2012
44
Section d’Architecture
Géométrie I
EPFL
pentagone de base, ainsi que les droites entre O1 et les sommets du pentagone, on peut dessiner
les autres sommets de la première “couche” du dodécaèdre (voir l’épure ci-dessous); on remarque
que C1′ et D1′ sont en fait sur un même cercle centré en O1 . Pour la seconde projection, on utilise
les traits de rappel et le fait que la distance de D′ au milieu M du segment AB, ainsi que l’arête
issue de D hors de la base, sont représentés en vraie grandeur en seconde projection:
A1
D1′
M1
O1
D1
B1
C1′
C1
Pour la seconde “couche” du dodécaèdre en première projection, on peut faire subir une rotation
de 180○ du pentagone de base; en seconde projection, on peut reproduire la première couche “à
l’envers”:
Version du 1er mai 2012
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