Spécialité : Physique

Transcription

Thèse présentée par Charfeddine Mechri pour obtenir le grade de
Docteur de lúniversité du Maine
Spécialité : Physique
Thèse préparée au laboratoire de Physique de lÉtat Condensé UMR 6087 CNRS
« Techniques d'optique et d'acoustique ultra-rapides pour la
caractérisation des propriétés des matériaux nano/méso-poreux
et des opales synthétiques »
Thèse soutenue le 10 Février 2008, devant un jury composé de :
B. AUDOIN
Professeur
LMP, Bordeaux Rapporteur
B. BONELLO
Chargé de Recherche CNRS
INSP, Paris VI
Rapporteur
M. BAKLANOV
Docteur
IMEC, Leuven
Examinateur
L. BELLIARD
Maître de conférence
INSP, Paris VI
Examinateur
V.E. GUSEV
Professeur
LPEC, Le Mans Directeur
J.M. BRETEAU
Professeur
LPEC, Le Mans Co-Directeur
P. RUELLO
Maître de conférence H.D.R.
LPEC, Le Mans Co-Directeur
ii
Sommaire
Sommaire
Table des figures………………………………………………….…..…..…..…………….i
Résumé de thèse.………………………………………………….…..…..…..…………...xi
Introduction générale………………………………………………….…..…..…..……….1
I.
Acoustique picoseconde, génération et détection…………………………….5
A.
Rappel historique………………………………………………….…..…..……...5
B.
Description de la technique…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..………7
1)
Génération…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..….…..…..…....7
a)
Montage optique…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…………...7
b)
Interaction lumière matière ; génération des ondes acoustiques………………9
2)
Détection…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..….…..…..…..…….13
a)
Equation générale de la réflectivité transitoire…..…..…..…..…..…..…..……13
b)
Diffusion Brillouin dans les milieux transparents…………………………….20
(1) Théorie de la diffusion Brillouin…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..………20
(2) Diffusion Brillouin, vibrations…...…..…..…..…..…..…..…..…..…..…..……23
(3) Changement de phase………………………………………………………………23
(4) Applications de la diffusion Brillouin…....…..…..…..…..…..…..…..…..…….25
c)
3)
Diagnostics des couches minces par méthode écho…..…..…..…..…..…..…..25
Simulations numériques des signaux de réflectivité……………………………27
a)
Exemples de signaux de réflectivité…………………………………………..27
b)
Simulation des différentes composantes du signal de réflectivité……………28
II. Présentation des systèmes étudiés……………………………………………...33
A.
Historique des low-κ………………………………………………………….…33
1)
Intérêt général…………………………………………………………………..33
a)
Influence des low-κ sur l´évolution de la microélectronique…………………35
b)
Low-κ par réduction de la polarisabilité……………………………………...35
c)
Low-κ par introduction des pores…………………………………………….37
2)
B.
Structures méso et nano-poreuses………………………………………………38
a)
Préparation des échantillons Silice/P123……………………………………..38
b)
Description des nano-poreux industriels……………………………………...40
Alumine Poreuse……………………………………………………...…………42
iii
Sommaire
1)
Réceptacle 3D pour la fabrication de nano-colonnes…………………………...42
2)
Intérêt industriel ………………………………………………………………..42
3)
Alumine poreuse………………………………………………………………..43
a)
Montage électrochimique d’anodisation……………………………………...43
b)
Conditions électrochimiques………………………………………………….43
c)
Description de l´échantillon…………………………………………………..44
C.
Les opales synthétiques………………………………………………………….46
1)
Réseaux de Bragg……………………………………………………………….46
2)
Cristaux photoniques…………………………………………………………....47
3)
Sédimentation chimique et auto organisation…………………………………..48
4)
Structures photoniques ; opales synthétiques…………………………………..49
a)
Réseau cubique à faces centrées...……………………………………………49
b)
Opales avec remplissage de GaAs……………………………………………50
III. Etude des propriétés élastiques de matériaux méso et nano-poreux…..53
A.
Système de silice méso-poreuse…….…………………………………………...53
1)
Méthodologie de mesure………………………………………………………..53
2)
Extraction des paramètres mécaniques : module de Young E et module
longitudinal M…………………………………………………………………..54
3)
Réflectivité transitoire des systèmes méso-poreux……………………………..56
4)
Analyse des résultats……………………………………………………………57
a)
Silice/Polymère P123…………………………………………………………57
b)
Silice/Air……………………………………………………………………...59
5)
Homogénéité de la structure……………………………………………………62
6)
Réflectométrie optique, validation de l´épaisseur………………………………63
7)
Discussion………………………………………………………………………64
8)
Conclusion……………………………………………………………………...65
B.
Système de low-κ nano-poreux...……………………………………………….66
1)
Résultats expérimentaux sur les nano-poreux épais…………………………….66
2)
Validation des constantes optiques par réflectométrie optique…………………70
3)
Caractérisation en profondeur…………………………………………………..71
a)
Origine du changement de fréquence Brillouin………………………………72
(1)
Inhomogénéité de l´épaisseur de la couche……………………………….72
iv
Sommaire
(2)
Traitement UV de la silice poreuse……………………………………….73
b)
Résultats expérimentaux……………………………………………………...74
c)
Simulation numérique………………………………………………………...77
d)
Validation du modèle…………………………………………………………77
4)
Film nano-poreux mince (200nm) ……………………………………………..79
a)
Réflectométrie optique ……..………………………………………………...79
b)
Résultats expérimentaux ……………………………………………………..79
5)
C.
Conclusion........................……………………………………………………...81
Alumine poreuse…………………………………………………………………82
1)
Résultats Expérimentaux………………………………………………………..82
a)
Analyse de la diffusion Brillouin …………………………………………….82
b)
Impulsion écho, épaisseur de l´échantillon.…………………………………..86
c)
Oxydation du substrat………………………………………………………...86
d)
Vibration à 24 GHz…………………………………………………………...87
e)
Modes propres dún résonateur composite…………………………………...89
2)
Calcul de la porosité, extraction du module longitudinal………………………97
a)
b)
Calcul de la porosité………….……………………………………………….97
(1)
Par analyse Brillouin…….………………………………………………..97
(2)
Par traitement dímages….……………………………………………….98
Extraction du module longitudinal……………………………………..……100
3)
Détermination du coefficient d’absorption acoustique……………………..…101
4)
Conclusion………………………………………………………………….…103
IV.
Opales synthétiques………………………………………………………...106
A.
Résultats Expérimentaux……………………………………………………...107
1)
Caractérisation photonique ; choix des longueurs dóndes…………………...107
2)
Dynamique picoseconde ……………………………………………………...112
B.
Équation du mouvement………………………………………………………114
1)
Solutions numériques………………………………………………………….115
2)
Eléments finis, analyse modale….…………………………………………….116
C.
Discussion……………………………………………………………………….117
1)
Génération, détection………………………………………………………….117
2)
Étude des oscillations……………………………………………………….…120
v
Sommaire
3)
D.
V.
Ralentissement de la lumière………………………………………………….122
Conclusion et perspectives…..…………………………………………………126
Conclusion et perspectives………………………………………………..129
Annexes……………………………………………………………………………..…132
A. Propriétés des matériaux utilisés………………………………………………..…132
B. Outils de traitement du signal……………………………………………………..135
C. Calcul díncertitude……………………………………………………………..…143
D. Modèle Maxwell-Garnett……………………………………………………….…147
E. Polissage mécanique………………………………………………………………148
Références Bibliographiques…………………………………………………………..151
vi
Table des figures
Table des Figures
Chapitre 1
Figure 1.1: un faisceau pompe vient exciter la surface, une photodiode mesure le changement
díntensité du faisceau sonde qui est perturbé par les ondes acoustiques.
Figure 1.2: fréquences de quelques ondes acoustiques. Lóreille humaine par exemple, est
capable de détecter des ondes de pression dont la variation est entre 20 et 20 000 cycles par
seconde.
Figure 1.3: quelques caractéristiques du faisceau laser à sa sortie de la cavité. En traversant les
composantes optiques du montage.
Figure 1.4: schéma classique du montage optique Pompe Sonde.
Figure 1.5: absorption de l´énergie optique incidente par la couche optiquement absorbante.
Figure 1.6: profil de déformation selon láxe (Oz) à différents moments de sa propagation.
Figure 1.7: schéma des champs électromagnétiques en jeu dans láir et dans le milieu 1.
Figure 1.8: structure des échantillons étudiés. Nos échantillons sont pour la majorité constitué
dún substrat absorbant supportant un nano-film optiquement transparent.
Figure 1.9: diffusion dúne onde électromagnétique par une onde acoustique.
Figure 1.10: diagramme des vecteurs dóndes de línteraction lumière-paquet acoustique.
Lónde optique incidente ki est diffusée par lónde acoustique q.
Figure 1.11: effet des ondes de compression et de dilatation sur l´épaisseur du film.
Figure 1.12: variation de la réflectivité transitoire sur deux échantillons de a-SiO2/a-Ge
d´épaisseur 800 nm (a) et 1,6 µm (b).
Figure 1.13: échos dans le As2Te3.
Figure 1.14: exemple de signal de réflectivité transitoire observé sur un échantillon
multicouche.
i
Table des figures
Figure 1.15 : simulation des changements de phase dans un film d´épaisseur 400 nm.
Figure 1.16: oscillations Brillouin dans le milieu transparent 1 d´épaisseur 1,5 µm.
Figure 1.17: arrivée des échos à línterface film transparent /substrat. L´épaisseur du film
étant de 400 nm.
Figure 1.18: signal de la diffusion Brillouin modulé par des sauts de phase sur un film mince.
Chapitre 2
Figure 2.1: modélisation dúne interconnexion dún circuit électronique.
Figure 2.2: augmentation du temps de basculement avec la miniaturisation des circuits
électriques.
Figure 2.3: représentation dúne maille de silice (a) et dúne unité de SiCOH (b).
Figure 2.4: évolution de la constante diélectrique en fonction de la porosité prévu par le
modèle de Maxwell-Garnett.
Figure 2.5: coupe 2D de la structure de la silice méso-poreuse.
Figure 2.6: réflectivité X aux très petits angles de films déposés sur du Zinc.
Figure 2.7: structure des échantillons étudiés ; à gauche les échantillons S1, S2, S4 et S5 et à
droite les échantillons S6 et S7.
Figure 2.8: diagramme schématique de la formation des pores.
Figure 2.9: structure final du film dálumine poreux.
Figure 2.10: image SEM de lálumine poreuse fabriquée sous des conditions constantes de
tension et température.
Figure 2.11 : images SEM montrant des billes de silice de 250 nm de diamètre (a) et l´œil
dúne mouche (b), il est composé de billes de 6µm de diamètre.
Figure 2.12: réseau de Bragg 1D; empilement périodique de couches díndice optiques
différents.
ii
Table des figures
Figure 2.13: exemple de diagramme de bande interdite.
Figure 2.14: exemple de réseau cubique faces centrées.
Figure 2.15: plan (111) du réseau Cubique à faces centrées.
Chapitre 3
Figure 3.1: afin de déterminer les deux paramètres n et Vs de l´équation 3.1, nous avons défini
un plan déxpérience.
Figure 3.2: différence entre le module de Young et le module longitudinal.
Figure 3.3: diagramme de réflectivité obtenu à λsonde = 745 nm et θ = 33° sur l´échantillon Z2.
Figure 3.4: inversions dans le signal de réflectivité mesuré à λsonde = 780 nm et θ = 0° sur
l´échantillon Z1 composé de Silice et de polymère P123.
Figure 3.5: signal de la diffusion Brillouin modulé par des changements de phase périodique
sur l´échantillon Z2 composé de silice et de micelles vidées.
Figure 3.6: dépendance linéaire entre le carré de la fréquence de la diffusion Brillouin et du
carré de lángle díncidence externe (F² = F²(sin²(θ))).
Figure 3.7: dépendance linéaire entre la période de la diffusion Brillouin et la longueur dónde
de la détection (T = T(λ)).
Figure 3.8: dépendance de la période acoustique en fonction de la longueur dónde T = T(λ).
Figure 3.9: dépendance de la période acoustique en fonction de lángle díncidence (T =
T(sin²(θ))).
Figure 3.10: superposition des signaux de la réflectivité transitoire de l´échantillon Z2 de
silice méso-poreuse rempli (noir) et vidé (bleu).
Figure 3.11: signal Brillouin relevé sur un échantillon semi infini de GaAs.
Figure 3.12: signal de réflectivité transitoire et sa transformée temps – fréquence réalisée sur
l´échantillon de silice méso-poreuse Z1.
iii
Table des figures
Figure 3.13: réflectométrie en lumière blanche sur l´échantillon Z2.
Figure 3.14: réflectivité transitoire mesuré à 808 nm et 40°et son spectre.
Figure 3.15: dépendance de la période acoustique en fonction de la longueur dónde (T =
T(λ)).
Figure 3.16: dépendance de la période acoustique en fonction de lángle díncidence (F² =
F²(sin²(θ))).
Figure 3.17: signal de réflectivité et sa dérivée, on y observe la diffusion Brillouin et les trois
premiers changements de phase indiqués par des flèches.
Figure 3.18: vibration de la couche de TaN.
Figure 3.19: plan de mesure de la réflectivité optique en lumière blanche et en incidence
normale.
Figure 3.20: résultats de la réflectométrie optique sur l´échantillon S2. La courbe rouge est la
mesure expérimentale et la courbe bleue est le modèle théorique.
Figure 3.21: transformée temps fréquence du signal Brillouin.
Figure 3.22: hypothèse sur la variation de l´épaisseur de la couche.
Figure 3.23: superposition du signal Brillouin à un sinus pur. La période du signal diminue
avec la propagation.
Figure 3.24: correspondance entre le temps dácquisition et la profondeur.
Figure 3.25: vitesse du son en fonction du temps.
Figure 3.26: vitesse du son en fonction de la profondeur.
Figure 3.27: module de Young en fonction de la profondeur.
Figure 3.28 : résultats de la simulation numérique, pour une vitesse longitudinale constante (a)
et pour une vitesse croissante dont le profil sera discuté plus loin.
Figure 3.29 : profil de la vitesse acoustique dans l´échantillon en fonction du temps.
iv
Table des figures
Figure 3.31 : signal de réflectivité enregistré sur un film mince.
Figure 3.32 : dérivée du signal de réflectivité, on observe plusieurs inversions
Figure 3.33 : l´échantillon est constitué dún substrat dáluminium, une fine couche dóxyde
dáluminium de quelques dizaines de nanomètres d´épaisseur et dúne couche épaisse
dálumine nano-poreuse de plusieurs centaines de nanomètres.
Figure 3.34: signaux de réflectivité enregistrés à 735 nm sous une incidence de 73° (a) et 63°
(d) et 750 nm sous une incidence de 41° (b) et 73° (c).
Figure 3.35: courbe de réflectivité à 400 nm et 73°.
Figure 3.36 : courbe de réflectivité à 400 nm et 41°.
Figure 3.37 : ajustement théorique des mesures expérimentales. Le couple (n, Vs) = (1,51 ;
5090 m/s) fournit un bon ajustement des données expérimentales.
Figure 3.38: mesure de réflectivité sur lálumine anodisé à 800 nm. Les deux flèches pointent
l´écho et sa réflexion qui arrivent respectivement à 140 et 280 ps.
Figure 3.39 : dérivée de la réflectivité transitoire. Nous observons des oscillations de haute
fréquence dues à la vibration dúne fine couche dálumine.
Figure 3.40 : oscillation 24 GHz qui vit au delà de 1,2 ns. De plus nous voyons quíl y a des
sauts de phase dus au multiplexage de plusieurs fréquences plus visibles sur le spectre.
Figure 3.41: spectre du signal de réflectivité entre 200 ps et 1200 ps. Après léxtinction du
signal Brillouin, nous enregistrons des fréquences pures à 11 GHz, 24 GHz et 30 GHz sur le
spectre.
Figure 3.42 : vibration à 24 GHz en sonde bleu (courbe bleue) et sonde rouge (courbe rouge).
Nous constatons que la fréquence du signal Brillouin a doublé (partie du signal entre 0 et 250
ps). Par contre l´harmonique à 24 GHz ná pas changé de fréquence.
v
Table des figures
Figure 3.43: schéma de la structure multicouche. Les épaisseurs, densités et vitesses
acoustiques des différentes couches sont données ci-dessous.
Figure 3.44 : tracé du module de la fonction g(ω). Les solutions complexes trouvées
correspondent aux zones où la courbe est bleu foncé.
Figure 3.45 : diagramme de réflectivité á 735 nm et 41° (a) et 750 nm et 21° (b). Les spectres
montrent plusieurs harmoniques à 11 GHz, 24 GHz et 30 GHz qui correspondent aux modes
propres f2, f4 et f5.
Figure 3.46 : évolution du facteur de qualité des différents modes de résonances en fonction
de l´épaisseur de la couche 2 du résonateur composite.
Figure 3.47 : champs de déplacement associé aux vibrations de fréquences f1, f2, f3, f4, f5 et f6.
Figure 3.48 : amplitudes relatives des perturbations de líntensité optique par chaque mode de
vibration.
Figure 3.49: image SEM de la surface de lálumine poreuse. Un comptage des pixels de
límage et des couleurs associées, nous pouvons déterminer la proportion de noir i.e. la
proportion dáir.
Figure 3.50: courbe de la porosité en fonction de la discrimination choisie. Le taux de
discrimination choisi en fonction des attributs de couleur fournit une estimation de la porosité.
Figure 3.51 : schématisation de la surface. La cellule élémentaire en vue de coupe est
composée de 3 cercles de rayon R espacée de e.
Figure 3.52 : rapport du module de Young entre lálumine et lálumine poreux en fonction de
la porosité
Figure 3.53 : les 2 échos ont été isolés par apodisation Gausienne tel que leurs contenus
fréquentiels ne changent pas.
Figure 3.54 : le contenu fréquentiel des deux échos. En bleu, le spectre de límpulsion à láller
et en rouge, son spectre au retour.
vi
Table des figures
Figure 3.55 : la courbe dábsorption en fonction de la fréquence. La courbe bleue est
lápproche théorique en βω².
Chapitre 4
Figure 4.1 : diagramme de réflectivité en lumière blanche réalisé sur des opales sans
remplissage (trait continu) et sur des opales remplies de InP (pointillé).
Figure 4.2 : montage optique de la caractérisation photonique des opales.
Figure 4.3 : spectre de réflexion optique du cristal constitué de sphères de silice et de GaAs
prélevé à 30° díncidence.
Figure 4.4 : variation de la position des pics de Bragg en fonction de lángle díncidence.
Figure 4.5 : relation affine liant λ2 à sin2(θ).
Figure 4.6 : choix idéaux des longueurs dóndes de pompe et de sonde. La sonde est placée
sur la zone où nous observons une forte pente de la courbe de réflectivité (hachurée en rouge)
et la pompe dans une bande où la pénétration des ondes électromagnétiques de pompe est
autorisée (hachurée en bleu).
Figure 4.7 : oscillations observées sous une pompe et sonde à 760 nm. Le spectre montre une
composante fréquentielle à 8,62 GHz.
Figure 4.9: absence dóscillation des billes de silice sur le signal de réflectivité transitoire sous
une pompe et sonde à 800 nm et à 840 nm.
Figure 4.10 : une bille de silice est entourée par 6 billes de son plan (billes blanches), 3 billes
du plan inférieur (billes grises) et 3 billes du plan supérieur.
Figure 4.11: représentation de l´équation aux valeurs propres. La résolution numérique de
l´équation fournie les valeurs de x qui renseignent sur les fréquences propres.
Figure 4.12: premier mode vibratoire dúne bille ; cést le mode 1S0, appelé mode
respiratoire.
vii
Table des figures
Figure 4.13: le temps de réponse du système à léxcitation par une pompe de longueur dónde
à 770 nm est beaucoup plus court que à 800 nm.
Figure 4.14: le temps de réponse du système à léxcitation par une pompe de longueur dónde
dans la zone [730 nm, 770 nm] est de 2 ps. En dehors de cette zone, ce temps passe à une
quarantaine de picoseconde.
Figure 4.15 : mesure de la réponse électronique du substrat. Cette réponse électronique rapide
est très similaire à la réponse du système sous une excitation à 730, 760 et 770 nm.
Figure 4.16: évolution de lámplitude relative des oscillations acoustiques entre 730 et 770
nm. Lámplitude décroît en fonction de la longueur dónde.
Figure 4.17: spectre normalisé des oscillations. Nous observons deux composantes
fréquentielles, une première à 3 GHz est présente au démarrage des oscillations et une
seconde harmonique qui correspond à la vibration des billes autour de 8.7 GHz.
Figure 4.18 : oscillations observées à différentes longueurs dóndes et lápproche par une
fonction de type f(t) = A exp(-t/τ) cos(2πfvibt-φ).
Figure 4.19: phase de démarrage des oscillations en fonction de la longueur dónde.
Figure 4.20 : courbe de dispersion de la lumière dans un cristal cubique à face centrée. En
bord de zone la vitesse de groupe de la lumière est nulle.
Figure 4.21 : schéma montrant les différents sites octaédriques et tétraédriques entourant une
bille du réseau cristallin cubique à face centrées.
Figure 4.22 : positions des sites tétra (en bleu) et octaédrique (en rouge). Les premiers
forment un réseau cubique simple alors que les seconds forment un réseau cubique à faces
centrées.
Figure 4.23 : positions des sites tétra (en bleu) et octaédrique (en rouge). Le déphasage entre
les excitations provenant des différents sites peut être facilement calculé.
Figure 4. 24 : courbe de dispersion de la vitesse de la lumière en fonction de la longueur
dónde.
viii
Table des figures
Figure 4.25 : amplitude et phase des oscillations calculées en prenant comme modèle la
vitesse de groupe présenté en figure 4.24.
Annexes
Figure B.1: transformée de Fourier dúne Porte de largeur T = 100 ps.
Figure B.2: différence entre un signal porte et une gaussienne.
Figure B.3: signal apodisé par des fenêtres gaussienne et porte.
Figure B.4: transformée de Fourier du signal apodisé par des fenêtres gaussienne et porte.
Figure B.5: courbe de réflectivité présentant deux échos.
Figure B.6: rapport du contenu fréquentiel des 2 échos.
Figure B.7: évolution temporelle des signaux S1 et S2.
Figure B.8: spectre des signaux S1 et S2.
Figure B.9: transformée temps - fréquence des signaux S1(t) et S2(t), on distingue bien les trois
composantes fréquentielles arrivant à des instants différents.
Figure B.10: un sinus dont la phase est modulé par la fonction F1.
Figure B.11: un sinus dont la phase est modulé par la fonction F2.
Figure C.1: erreur sur la diffusion Brillouin induite par une erreur sur lángle díncidence.
Figure C.2: erreur sur la diffusion Brillouin induite par une erreur sur la porosité.
ix
x
Résumé de thèse
Résumé de thèse:
Les recherches que nous présentons dans ce mémoire de thèse portent sur la
détermination des propriétés élastiques de structures nano et méso-poreuses.
Des matériaux diélectriques à faible constante de permittivité (dits low-κ) sont étudiés
par ultrasons laser grâce à un montage pompe sonde. Nous présentons les propriétés
mécaniques et optiques de telles structures qui sont caractérisées par une distribution de
porosité à l´échelle méso et nanométriques présentant ou pas une périodicité spatiale. Les
résultats obtenus sont comparés aux valeurs trouvées grâce à dáutres techniques. Des
phénomènes dínhomogénéités de propriétés mécaniques ou dádhésion au substrat sont
discutés.
Nous avons par la suite étudié des structures dálumine avec des porosités cylindriques
verticales. Des phénomènes de résonances et des signaux interférométriques ont fourni
plusieurs paramètres élastiques de cette structure.
La dernière partie de cette thèse est consacrée aux opales synthétiques. Les ultrasons
laser sont utilisés pour caractériser ces cristaux photoniques et sonder d´éventuel modes
vibratoires des billes la constituant. Certaines corrélations entre les bandes interdites (PBG) et
les longueurs dóndes léxcitation/détection du système pompe sonde ont pu être dégagées et
une description qualitative du comportement photonique de la structure a pu être formulée.
Mot clefs :
Acoustique picoseconde, Mésoporeux, Nanoporeux, Matériaux low-κ, Diffusion Brillouin,
Gradient de module de Young, Alumine poreuse, Opales synthétiques, structure multicouche.
xi
Résumé de thèse
Abstract:
In this communication, we will present some results of laser ultrasonic experiments on
nano and meso porous thin films and photonic crystals.
In the beginning, materials with a low permittivity constant (low-κ) were studied with
the pump probe technique. In the following, we will start by presenting their mechanical and
optical properties extracted through analysis of our transient reflectivity results. These
structures are characterized by their distribution of porosities at the nano and submicro scale;
we were interested as well in investigating elastic properties of ordered and disordered
distribution of pores. Obtained results were compared to data collected by other optical
techniques. Some inhomogeneities in the mechanical properties were observed and the
problem of the thin film adhesion to the substrate was discussed.
Secondly, we studied a structure composed of a thin porous alumina layer of few
hundreds of nanometres. Some resonance phenomena and interferometric measurements gave
the possibility to investigate such a structure and determine its elastic properties and
dimensions.
The last part of this work was allocated to the study of synthetic opals. The pumpprobe technique was used to investigate this photonic crystal and to probe the eigenmodes of
the submicron spheres. During this study, we were able to draw some correlations between
the photonic band gap (PBG) tructure and the excitation/detection wavelength. A qualitative
description of the photonic behaviour of the opals was formulated under some hypothesis.
Keywords:
Laser ultrasonics, Meso porous, Nano-porous, low-κ, Brillouin diffraction, elastic modulus
gradient, Porous alumina, synthetic Opals, multilayer structure.
xii
xiii
Introduction Générale
__
L’emploi des techniques d’optoacoustique pour le diagnostic des propriétés élastiques
des matériaux et de manière plus générale pour le contrôle non destructif d’architectures
micrométriques et sub-micrométriques existe depuis les années 60 et a suivi de près le
développement des sources laser. Cette communauté de la physique a notamment connu un
essor particulier depuis la mise en évidence dans les années 80 de la photo-génération
d’impulsions acoustiques picosecondes ouvrant le domaine des très hautes fréquences (100
GHz - 1 THz) [1, 2, 3]. Ces techniques optiques reposent sur l’utilisation de sources laser
impulsionnelles pour la génération et la détection d’impulsions acoustiques ultra-brèves. La
configuration la plus répandue est celle appelée pompe-sonde. Celle-ci met en jeu deux
faisceaux lasers. Le premier faisceau laser « pompe » vient générer en surface ou à une
interface une onde acoustique à haut contenu fréquentiel. La propagation de cette impulsion
acoustique dans l’architecture étudiée peut ensuite être suivie dans le temps à l’échelle de la
picoseconde, grâce à l’emploi d’une seconde impulsion laser appelée « sonde ». Le premier
avantage de ces méthodes optiques est qu’elles sont sans contact, i.e., que la grandeur
physique est mesurée sans qu’une perturbation liée au système de détection ne se produise à
léndroit où se fait la mesure. Par exemple, il est possible de mesurer le déplacement d’une
surface en employant un transducteur piézoélectrique. Pour que cela fonctionne il faut apposer
ce transducteur sur la zone de mesure et donc créer un contact qui inévitablement perturbera
les conditions aux limites du système étudié. Une détection optique permet en revanche
d’éviter ce couplage mécanique et offre également d’autres améliorations. D’une part, la
bande passante du système de mesure optique se voit élargie et passe typiquement de la
centaine de MHz, voire le GHz, à laquelle nous sommes limités avec les transducteurs
piézoélectriques [4], à plusieurs centaines de GHz voire le THz dans les meilleurs cas. La
fréquence de la lumière avoisinant 1015 Hz, nous voyons que ce ne sont pas les photons qui
limitent donc la bande passante. Un autre avantage de ces méthodes sans contact est quélles
permettent de faire des mesures dans des conditions de pression ou de température où un
contact avec la structure nést pas possible [5]. D’autre part, ces méthodes d’acoustique ultra-1-
rapide sont particulièrement attractives car elles peuvent permettrent dans le cas où la lumière
pénètre suffisamment dans l’architecture à étudier, d’avoir accès à des informations sur les
propriétés élastiques en profondeur et de réaliser en quelque sorte une profilométrie élastique.
Dans ce cadre, il est envisageable de localiser des variations d’homogénéité ou des défauts.
Rappelons que la nature non destructive de ces méthodes d’investigation amoindrit
nécessairement le coût d’une étude et offre une intégration naturelle dans des chaînes de
contrôle industrielles comme l’illustre le transfert technologique réalisé par l’entreprise
Rudolph Technologies (Etats-Unis) [6].
Ces techniques d’acoustique ultra-rapide ont été abondamment utilisées pour caractériser les
propriétés élastiques de nombreux matériaux en couches minces allant des films métalliques
[7] aux couches d’oxydes transparents (SiO2) et se développent actuellement pour le
diagnostic de milieux organiques voire d’intérêt biologique [8]. Dans le cadre de l’explosion
des nanotechnologies, la volonté de construire ou d’organiser des objets à l’échelle du
nanomètre a donné lieu au développement d’architectures nanostructurées de plus en plus
intéressantes mais aussi plus complexes. Un certain nombre de ces architectures sont parfois
prévues pour être des matrices hôtes pouvant accueillir des nanoparticules à propriétés
spécifiques (magnétiques par exemple). Aussi, ces matrices présentent nécessairement une
grande porosité qui peut parfois fragiliser l’édifice hôte et en limiter l’emploi. La
caractérisation des propriétés élastiques de ces matériaux que l’on classera de manière
générique sous l’appellation de méso- et nano-poreux, peut se faire par nanoindentation. Là,
une pointe de rayon de courbure de quelques dizaines de nanomètres vient indenter la surface
du matériau étudié [9]. La profondeur et la forme de l’emprunte renseigne alors sur le module
d’Young du matériau. Nous voyons que cette technique, certes peu coûteuse, est une
technique destructive. De plus, et particulièrement pour le cas des couches minces, la
présence du substrat peut parfois biaiser la mesure. Les techniques d’acoustique ultra-rapide
ont donc toute leur place pour la caractérisation de ces architectures méso- et nano-poreuses.
Dans le cadre de ce travail de thèse, nous nous sommes donc employés à mesurer les
propriétés élastiques de différentes architectures nanostructurées poreuses allant de la silice
méso- et nano-poreuse, aux opales synthétiques en passant par l’alumine poreuse. Ces trois
systèmes sont d’intérêt technologique puisque le premier est notamment très répandu dans la
microélectronique (« Low-k systems »). Outre ces aspects applicatifs, ces systèmes présentent
également un intérêt fondamental puisque peu d’expériences ont été réalisées sur les systèmes
poreux nanostructurés. Certes plusieurs expériences ont déjà été réalisées sur des
multicouches et super-réseaux nanostructurés mais ces systèmes étaient denses [7, 10].
-2-
L’apparition d’une grande porosité, qui plus est organisée, constitue un sujet d’étude tout à
fait intéressant car il offre l’opportunité, par exemple de discuter de la propagation de
phonons acoustiques cohérents en milieu confiné (le long de parois par exemple) et à une
échelle nanométrique commensurable avec les longueurs d’ondes acoustiques.
Dans ce manuscrit, il sera donc rappelé dans un premier temps les fondamentaux des
méthodes optiques résolues en temps et plus spécifiquement ceux liés à l’acoustique ultrarapide. Nous rappellerons les mécanismes qui permettent de générer et détecter les ondes
acoustiques haute fréquence avec des impulsions laser femtosecondes. Nous présenterons
ensuite les trois familles de matériaux étudiés. Nous enchaînerons alors sur les résultats
obtenus en dédiant un chapitre pour chacun des matériaux nanostructurés étudiés. Nous
conclurons enfin en proposant quelques pistes d’étude.
-3-
4
Chapitre 1
_
Acoustique picoseconde,
génération et détection.
A. Rappel historique
Lávènement des lasers, au début des années 60 a marqué une nouvelle page dans l´histoire de
la physique moderne en révolutionnant des domaines de recherche tel que lóptique ou la
thermique. Les lasers impulsionnels, quant à eux, ont permis à lácoustique de franchir la
barrière fréquentielle du GHz et d´étendre ainsi ses possibilités de mesures à des phénomènes
dont la durée caractéristique se situe dans la gamme de la picoseconde avec lápparition des
lasers impulsionnels femtosecondes vers le début des années 80. Les lasers impulsionnels sont
à la base des techniques de métrologie appelées « ultrasons laser » ou acoustique ultra brève
analogue à la technique de sonar mais mettant en jeu une source laser. Ces techniques sont
basées historiquement sur léxcitation de la surface dún film absorbant à láide dúne
radiation laser. Une onde acoustique est alors créée par conversion de l´énergie
électromagnétique en énergie mécanique. Les champs de déformation qu'induisent ces ondes
acoustiques photo-générées perturbent les propriétés optiques du système étudié. Aussi,
l'emploi d'un second laser (faisceau sonde) permet alors de détecter les perturbations induites
par ces ondes acoustiques et fournit par conséquent des informations sur leur propagation,
leur atténuation et leur réflexion au niveau des interfaces par exemple.
5
Chapitre 1: Acoustique picoseconde, Génération et détection
Figure 1.1 : un faisceau pompe vient exciter la surface, une photodiode mesure le changement
díntensité du faisceau sonde qui est perturbé par les ondes acoustiques
La détection optique de ces perturbations peut se faire en géométrie de réflexion ou de
transmission. Sur le schéma de la figure 1.1 est représenté le faisceau pompe qui génère ces
ondes acoustiques et le faisceau sonde qui les détecte après différents allers-retours dans un
film déposé sur un substrat.
Cette technique relativement récente a été mise au point dans le département de
physique de l’université de Brown par C. Thomsen, J. Strait, Z. Vardeny , H. J. Maris et J.
Tauc [1, 11] mais aussi dans les laboratoires de General Motors [3] et AT&T [2] aux EtatsUnis. Les premières expériences ont mis en évidence des changements périodiques dans le
signal de réflectivité transitoire, changements dont lórigine fut attribuée à la propagation de
phonons acoustiques de très hautes fréquences quón ne pensait pas pouvoir atteindre à
l´époque. La figure 1.2 illustre les hautes fréquences mises en jeu lors dúne expérience en
acoustique ultra brève pompe sonde. Cette technique était tout de suite dún grand intérêt pour
étudier les films nanométriques et a permis de mettre au jour une nouvelle façon de
déterminer l´épaisseur de couches nanométriques, la vitesse de propagation des ondes
acoustiques ainsi que látténuation dans les matériaux.
Figure 1.2 : fréquences de quelques ondes acoustiques. Lóreille humaine par exemple, est capable de
détecter des ondes de pression dont la variation est entre 20 et 20 000 cycles par seconde.
6
B. Description de la technique
1) Génération
a) Montage optique
Afin de générer des impulsions acoustiques ultra brèves dans les matériaux étudiés,
nous opérons avec un laser impulsionel Ti :Saphir. Le faisceau laser à la sortie de la cavité a
les caractéristiques présentées ci-dessous (cf. figure 1.3).
Figure 1.3 : quelques caractéristiques du faisceau laser à sa sortie de la cavité. En traversant les
composants optiques du montage, ces propriétés changent ; límpulsion s´élargit temporellement et
son énergie baisse.
La cavité délivre des impulsions de largeur 120 fs. A sa sortie de la cavité, le faisceau
laser a une polarisation rectiligne horizontale (cf. figure 1.4). A l'aide d'un cube séparateur
polarisant précédé d'une lame demi-onde, le faisceau est divisé en deux. Le premier faisceau
(pompe), de polarisation horizontale, est dirigé vers l'échantillon via des miroirs pour être
ensuite focalisé sur celui-ci à l'aide d'une lentille ou d'un objectif de microscope. Le second
faisceau (sonde) de polarisation verticale est quant à lui envoyé vers les miroirs de la ligne à
retard qui le redirigent ensuite vers l'échantillon sur lequel il est également focalisé
éventuellement par la même lentille ou le même objectif de microscope que celui emprunté
par le faisceau pompe. Le contrôle du décalage entre les temps d’arrivée des impulsions
pompe et sonde se fait grâce à la ligne à retard qui permet d’ajuster la différence de chemin
optique entre les deux faisceaux. Sa translation à une vitesse constante permet dávoir un
retard temporel linéaire entre les deux impulsions et dóbtenir ainsi une base de temps de la
mesure; en effet un millimètre de décalage spatiale implique un retard de límpulsion sonde
de 33 fs. A noter que les faisceaux lasers sont élargis temporellement en raison de la traversée
des dispositifs optiques et ont une durée de l'ordre de 250 fs juste avant d'interagir avec le
matériau. L'étude résolue en temps des différentes dynamiques déclenchées par le faisceau
7
pompe se fait au travers de l'analyse de l'intensité lumineuse du faisceau sonde réfléchi sur le
matériau. Cette intensité lumineuse est convertie en courant dans la photo-diode. Les
perturbations optiques, induites par les ondes acoustiques notamment, étant très petites
(0.01%), il est nécessaire de recourir à la méthode de modulation du faisceau pompe
(fréquence de modulation f0). Celle-ci est assurée dans notre cas par un modulateur acoustooptique. Aussi, l'information sur la dynamique photo-induite dans notre solide n'est
exploitable qu'après que le signal recueilli au niveau de la photo-diode soit démodulé avec
une détection synchrone. Dans ce montage, le signal ne provient pas d'une seule impulsion
mais d'une succession de quelques millions d'impulsions. Le temps de montée de la photodiode étant long (tm ≈ 2 µs) par rapport à la période de répétition du peigne dímpulsions de
la sonde (trépétition ≈ 13 ns), le signal recueilli par celle-ci est en quelque sorte un signal
continu V auquel s'ajoute un signal modulé dans le temps ∆V(f0). Pour une position de la ligne
à retard donnée, c'est-à-dire pour un temps donné d'arrivée du faisceau sonde par rapport au
faisceau pompe, est associé une valeur précise de l'amplitude de cette modulation ∆V(f0) qui
est celle recueillie au niveau de la détection synchrone. Ce montage pompe-sonde est en
quelque sorte une mesure stroboscopique.
Figure 1.4 : schéma classique du montage optique Pompe Sonde. Ce montage est évolutif, láddition
dún cristal doubleur de fréquence sur le chemin de la sonde ou de la pompe permet de travailler dans
dáutres conditions.
Le parallélisme des faisceaux pompe et sonde, la précision de la ligne à retard et la
configuration de la détection synchrone sont autant de paramètres dont le réglage est critique
et a une grande influence sur les résultats des acquisitions. Depuis quelques années un
8
nouveau schéma optique de la technique pompe sonde a été réalisé par T. Dekorsy et al [12].
Le nouveau montage se base sur lútilisation de deux cavités femtosecondes avec un taux de
répétition des impulsions très élevé (les fréquences de répétition des cavités f1 et f2 sont de
lórdre du GHz) et légèrement différentes (f1- f2 # quelques KHz) dóù láppellation de
montage pompe sonde asynchrone. Ce décalage en fréquence implique lárrivée de
límpulsion sonde à des temps linéairement croissant par rapport à límpulsion pompe ce qui
permet de créer une base temporelle de lácquisition. Ceci permet donc de se passer de la
ligne à retard. Dún autre coté, le nombre de mesures est en moyenne de 1 millions de
mesures par seconde (fréquence de répétition dans le domaine du GHz) dóù il nést plus utile
de traiter le bruit en utilisant un AOM et une démodulation synchrone.
b) Interaction lumière matière, génération des
ondes acoustiques
La génération des ultrasons par interaction laser-matière dépend de plusieurs
paramètres physiques liés au milieu excité. Límpulsion pompe qui arrive à la surface dépose
son énergie sur une profondeur appelée profondeur de pénétration notée α-1 (cf. figure 1.5).
Dans les métaux, cette longueur se situe entre 10 et 30 nm à 750 nm par exemple [13].
Figure 1.5 : absorption de l´énergie optique incidente par la couche optiquement absorbante.
Pour assurer la transduction opto-acoustique, il faut que lúne des couches constituant
l´échantillon soit absorbante. La quantité d´énergie déposée par unité de volume est donnée
par la loi de Beer-Lambert:
W ( z, t ) =
α (1 − R)Q −αz
e H (t )
S
(Équation 1.1)
Où R est le coefficient de réflexion optique en intensité du film absorbant ( 0,7 < R < 1 pour
les métaux), Q est la quantité d´énergie par impulsion laser, S la surface de la tâche du
9
faisceau de pompe et H(t) est la fonction d´Heaviside, H(t) = 0 pour t < 0 et 1 pour t > 0 ;
cette fonction traduit le fait que le chauffage est instantané.
La modélisation de ces différents phénomènes nécessite de faire quelques hypothèses sur les
matériaux et les dimensions en jeu :
•
On suppose que la taille du spot des faisceaux pompe et sonde est largement
plus grande que la longueur de pénétration optique (φ >> α-1) et que les
dimensions caractéristiques du film (épaisseur, rugosité). Nous pouvons ainsi
faire l´hypothèse quón est en géométrie 1D et que nous sommes en présence
dúne onde acoustique plane qui se propage depuis la surface (cf. figure 1.5).
En pratique, la taille des spots est de quelques dizaines de micromètres,
l´épaisseur des films est de quelques centaines de nanomètres alors que la
longueur de pénétration optique nést que dúne dizaine de nanomètres.
•
Les diffusions thermique et électronique sont négligées.
Par la suite, la transduction opto-acoustique ou le processus de conversion de l´énergie
optique en onde acoustique, peut se décrire suivant les étapes suivantes :
•
Les photons de la pompe cèdent leur énergie aux électrons du matériau qui se
thermalisent et cèdent à leur tour leur énergie au réseau. Cette phase est très
brève, la relaxation thermique des électrons a une durée inférieure à la
picoseconde.
•
Le matériau absorbant se réchauffe localement et très brièvement sous léffet
de límpulsion Laser ∆T ( z , t ) = W ( z , t )
ρ .Cm
, Cm étant la chaleur massique du
matériau absorbant (J.kg-1 K-1) et ρ sa densité.
•
La
contrainte
thermo-élastique
résultant
de
σ ijth = − ∑ Cijkl β kl ∆T = − β ∆T ∑ Cijkl δ kl = − β ∆T ∑ Cijkk
kl
kl
l´échauffement
est :
(Équation 1.2)
k
où βkl, Cijkl et δkl sont respectivement les composantes du tenseur de dilatation
thermique, du tenseur d´élasticité et le symbole de Kronecker. Dans les
matériaux isotropes βkl peut s´écrire β δkl. La propagation des ondes planes
implique quón néglige les expansions latérales et quón ne considère ainsi
que la composante dans la direction de propagation (láxe Oz). Nous ne tenons
10
compte alors que de la composante σ 33th du tenseur de contrainte thermoélastique.
•
En introduisant le module de compressibilité B dans un milieu isotrope
exprimé en fonction des composantes du tenseur de contrainte thermique, nous
avons
σ th ( z , t ) = −3B∆T ( z , t ) = −
•
3αβ B(1 − R)Q −αz
e H (t )
Sρ C m
(Équation 1.3)
La contrainte induite dans le film est la somme des contraintes
thermoélastique σ th et élastique σ élas . La contrainte qui se propage dans le
film est alors:
σ ( z , t ) = σ th + σ élas = ρVs2 (
∂u
− η 0 e −αz H (t )) ,
∂z
(Équation 1.4)
où u est le déplacement acoustique, η0 est lámplitude de la déformation
acoustique η 0 = 3αβ B2(1 −2 R)Q et Vs est la vitesse longitudinale dans le milieu.
Sρ Vs Cm
•
Le principe fondamental de la dynamique fournit une relation entre la seconde
dérivée temporelle du déplacement u et la dérivée spatiale de la contrainte σ :
ρ
∂ 2u ( z , t ) ∂σ ( z , t )
=
∂t 2
∂z
(Équation 1.5)
en introduisant cette expression de σ(z,t) dans l´équation 1.4 on obtient
l´équation dónde pour le déplacement :
∂ 2u ( z , t ) 1 ∂ 2 u ( z , t )
− 2
= −αη 0 e −αz H (t )
∂z 2
Vs
∂t 2
(Équation 1.6)
On remarque que le terme à gauche de l´égalité 1.6 correspond à l´équation de
dÁlembert caractéristique dúne onde propagative et à droite le terme source,
en lóccurrence lié à l´énergie optique apportée.
•
Cette équation différentielle étant linéaire, la solution peut être écrite comme
somme de solutions monochromatiques (sinusoïdales) dans léspace de
Fourier. L´équation 1.6 devient alors:
∂ 2u ( z , ω ) ω 2
+ 2 u ( z , ω ) = −αη 0 e −αz H (ω )
∂z 2
Vs
11
(Équation 1.7)
• Le champ de déformation est relié au champ de déplacement par la relation
suivante : η ( z , q ) =
∂u
. L´équation de propagation pour le champ de
∂z
déformation s´écrit alors :
∂ 2η ( z , ω ) ω 2
+ 2 η ( z , ω ) = α 2η 0 e −αz H (ω )
2
∂z
Vs
(Équation 1.8)
• On introduit le vecteur dónde acoustique q =
ω
. On déduit finalement la
Vs
solution de déformation:
η ( z , ω ) = Aeiqz + Be−iqz +
α 2η 0 −αz
e H (ω )
α 2 + q2
(Équation 1.9)
où A et B sont deux constantes qui dépendent des conditions aux limites.
• Pour déterminer les constantes A et B, on utilise les conditions aux limites.
Dans un solide semi-infini, le terme contra-propagatif (Be-iqz) ne correspond
pas à une solution physique du problème. La valeur de la constante A est
déterminée en écrivant les conditions aux limites à la surface libre. La
contrainte est nulle à la surface donc σ(z=0,ω)=0. On obtient ainsi la constante
A = −η0
q2
H (ω ) , soit pour la solution de déformation :
α 2 + q2
 q2

α2
iqz
+
η ( z , ω ) = η0  2
e
e −αz  H (ω )
2
2
2
α +q
α +q

(Équation 1.10)
• Léxpression temporelle de la déformation est obtenue en appliquant la
transformée de Fourier inverse à l´équation 1.10 :
η ( z, t ) =
(
)
η0
−α z −Vt
(2 − e −αVt )e −αz − sgn( z − Vs t )e
H (t )
2
(Équation 1.11)
La figure 1.6 montre une simulation de la solution de la déformation η(z,t) [11] à différents
instants dans un substrat caractérisé par la vitesse acoustique Vs. Cette solution découle du
profile de température en T ∝ e − z / ξ (cf. équations 1.1 et 1.2) où ζ = 1 / α est la longueur
dábsorption optique.
12
Figure 1.6 : profil de déformation selon láxe (Oz) à différents moments de sa propagation.
2) Détection
a) Equation générale de la réflectivité transitoire
Jusquá présent nous nous sommes intéressés au processus de génération des ondes
acoustiques par le faisceau pompe. A présent, nous discutons la détection de ces ondes
acoustiques au moyen du faisceau sonde. Pour cela, nous définissons la géométrie et les
données de notre problème comme suit (cf. figure 1.7)
•
Nous considérons un solide semi-infini. Il jouera le rôle de transducteur
optoacoustique.
•
Ei et Er sont respectivement les champs électromagnétiques (la sonde) incident
et réfléchi, E+ et E- sont les champs transmis et réfléchi par le substrat.
•
rij et tij sont respectivement les coefficients de réflexion et transmission optique
aux interfaces milieu (i)/milieu (j)
Figure 1.7: schéma des champs électromagnétiques en jeu dans láir et dans le milieu 1.
13
Nous commençons par introduire le coefficient de réflectivité complexe r =
Er ( z = 0)
Ei ( z = 0)
Léxpression du champ réfléchi dans le milieu 0 et celle du champ transmis dans le milieu 1
sont :
•
Er(0) = r01Ei (0) + t10E-(0)
(Équation 1.12)
•
E+(0) = t01Ei (0) + r10E-(0)
(Équation 1.13)
A noter les relations
•
r01 = - r10
•
t01 t10 = 1+ r10 r01=1-r012
En reportant ces deux relations dans l´équation 1.12, nous obtenons le coefficient de
réflectivité : r = r01 + t10
E− (0)
Ei (0)
et l´équation 1.13 devient : t01 =
(Équation 1.14)
E+ (0)
E (0)
− r10 −
; nous avons besoin dúne relation
Ei (0)
Ei (0)
supplémentaire pour déterminer le quotient
E− (0)
pour cela, nous nous intéresserons à
Ei (0)
l´équation de propagation des lóndes électromagnétiques dans le film caractérisé par sa
permittivité relative εf = ε 1 + ∆ε1 ( z , t )
∂2 E
+ k 02 {ε 1 + ∆ε1 ( z , t )}E = 0
∂z 2
(Équation 1.15)
où E ≡ E(ω) est lámplitude du champ électromagnétique à la pulsation ω. En notation
complexe nous utilisons E(t) =E(ω)e-iωt. k0= ω/c0 est le vecteur dónde dans le vide, c0 étant
la vitesse de la lumière dans le vide. ∆ε 1 =
∂ε1
η est la perturbation de la permittivité relative
∂η
due au champ de déformation η, la quantité
∂ε 1
est le coefficient photo-élastique du milieu 1.
∂η
L´équation 1.15 peut s´écrire :
∂2 E
∆ε ( z , t )
+ k12 E = − k12 1
E
2
∂z
ε1
(Équation 1.16)
k1 est le vecteur dónde dans le film. Nous remarquons que le terme
∆ε 1 ( z , t )
varie lentement
ε1
à l´échelle temporelle de la période des ondes optiques. La résolution de l´équation 1.16
nécessite lútilisation de la méthode des approximations successives ; la solution finale sera la
somme convergente des solutions approximées E = E(1) + E(2) + E(3)+ …
14
Nous commençons par chercher la solution non perturbée E1 du champ électromagnétique en
posant ∆ε1 = 0 , la solution est une onde propagative classique :
E (1) = E+(1) (0)eik1 z + E−(1) (0)e −ik1 z
(Équation 1.17)
Comme nous avons choisi la notation complexe E(t) = E(ω)e-iωt, le deuxième terme ná pas
de sens physique. En effet dans le cas dún solide semi-infini, il ne peut y avoir dónde venant
(1)
(1)
de línfini. Lámplitude du premier terme est E+ (0) = t01Ei (0) . La solution E(1) obtenue est
injectée dans le terme source de l´équation 1.16 pour estimer la solution approximative E(2).
L´équation 1.16 devient :
∆ε ( z , t )
∂ 2 E (2)
t01 Ei (0)eik1z , en regroupant les termes constants dans le
+ k12 E ( 2 ) = − k12 1
2
ε1
∂z
deuxième membre de l´égalité, nous obtenons:
t
∂ 2 E2
+ k12 E2 = − k12 01 ∆ε1 ( z , t ) Ei (0)eik1z ≡ A∆ε 1eik1z
2
∂z
ε1
Avec la constante A = − k12
(Équation 1.18)
t01
Ei (0)
ε1
La solution de cette équation différentielle est une combinaison dúne solution sans second
( 2)
ik z
− ik z
membre E = C1e 1 + C2e 1 et dúne solution particulière tenant compte du terme source
de línhomogénéité ∆ε1 , dóù une solution de type E
( 2 )'
= C ( z )e − ik1 z . Líntroduction de cette
solution dans l´équation 1.18 donne :
∂ 2C
∂C
− 2ik1
− k12C ( z ) + k12C ( z ) = A∆ε1e 2ik1z
2
∂z
∂z
(Équation 1.19)
En intégrant l´équation 1.19, on arrive à :
∞
∂C
− 2ik1C = A∫ ∆ε1 ( z ' , t )e2ik1 z 'dz'
∂z
z
(Équation 1.20)
Dóù alors une solution du type : C ( z ) = B( z )e2ik1 z
Pour déterminer la fonction B(z), on réinjecte la solution C(z) dans l´équation 1.20:
∞
∂B
∂B
+ 2ik1 B − 2ik1 B =
= Ae −2 ik1z ∫ ∆ε1 ( z ' , t )e 2 ik1z ' dz '
∂z
∂z
z
15
∞
On extrait alors la fonction B( z ) = A∫ (e
− 2 ik1z '
z
∞
∫ ∆ε ( z ' ' ) e
2 ik1z ''
dz ' ')dz '
(Équation 1.21)
z'
Quand z’ varie de z vers + ∞ , z’’ varie de z’ à + ∞ . De même, quand z’’ varie de z vers + ∞ , z’
varie de z à z’’. De manière générale, si on considère une fonction de deux
variables Ψ ( z ' , z ' ' ) , nous pouvons écrire :
∞ ∞
∞ z ''
z
z
∫ (∫ Ψ( z ' , z ' ' )dz' ' )dz ' = ∫ ( ∫ Ψ ( z ' , z ' ' )dz' )dz ' '
z'
z
Ceci implique sur la solution exprimée par l´équation 1.21 :
∞
B ( z ) = A∫ ∆ε 1 ( z ' ' , t )e
z ''
2 ik1z ''
z
( ∫ e −2ik1z ' dz ' )dz ' ' .
z
Or ∫ e −2 ik1z ' dz ' =
e −2ik1z '' − e −2ik1z
− 2ik1
Et donc B( z ) =
AEi (0)
∆ε 1 ( z ' ' )(1 − e 2 ik ( z '' − z ) )dz ' '
− 2ik1 ∫z
z ''
z
∞
Revenons à la solution particulière E(2)´ qui s´écrira :
E ( 2)' =
∞
∞

A 
ik1z
(
ε
(
z
'
,
t
)
dz
'
)
e
(
∆
−
∆ε 1 ( z ' , t )e 2ik1z ' dz ' )e −ik1z 
∫ 1
∫
− 2ik1  z
z

Dóù la solution finale E2
∞
∞

 ik1z 

A
A
E2 = C1 −
∆
ε
(
z
'
,
t
)
dz
'
e
+
C
+
∆ε 1 ( z ' , t )e 2 ik1z 'dz ' e −ik1z

 2
1
∫
∫
2ik1 z
2ik1 z




Toujours dans le cas dún solide semi-infini, il ne peut y avoir une onde acoustique arrivant de
− ∞ et se propageant vers la surface libre. La constante C2 est alors nulle. Ainsi, lónde
électromagnétique qui se propage de la surface vers léspace semi-infini est :
∞

A 
∆ε1 ( z ' , t )e 2ik1z ' dz ' e −ik1z
E ( z) =
∫

2ik1  z

( 2)
−
(Équation 1.22)
Ceci nous permet de retrouver finalement lónde réfléchie dans le film :
E− ( z = 0) = E−(1) ( z = 0) + E−( 2 ) ( z = 0) =
∞

A 
∆ε 1 ( z ' , t )e 2 ik1z ' dz ' 
∫

2ik1  0

(Équation 1.23)
A partir des équations 1.14 et 1.23, on peut exprimer la réflectivité sous la forme suivante :
16
∞
− k 2t 1
∆ε 1 ( z , t )e 2 ik1z dz , en utilisant la relation t01 t10 = 1+ r10 r01=1-r012, on
r (t ) = r01 + t10 1 01
∫
ε 1 2ik1 0
∞
k (1 − r012 )
obtient : r (t ) = r01 + i 1
∆ε1 ( z , t )e 2 ik1z dz
2ε1 ∫0
La partie dépendante du temps est ∆r (t ) = i
(Équation 1.24)
∞
k1 (1 − r012 )
∆ε1 ( z , t )e 2 ik1z dz
2ε1 ∫0
La variation relative de la réflectivité peut s´écrire alors:
∞
(1 − r012 ) k1∆ε1 ( z , t ) 2 ik1z
∆r (t )
e dz
=i
2r01 ∫0
r01
ε1
(Équation 1.24)
2
k 
k 
∆ε 1
∆k
Sachant que ε 1 =  1  ⇒ ∆ε1 = 2 12 ∆k1 et donc
=2 1
ε1
k1
 k0 
 k0 
En remplaçant la permittivité par le vecteur dónde dans la structure dans la relation 1.24, on
obtient :
∞
∞
(1 − r012 )
(1 − r012 ) ∂k1
∆r (t )
2ik1z
k
e
dz
i
η ( z , t )e 2ik1z dz
=i
∆
=
1
∫
∫
r01
r01 0
r01 ∂η 0
(Équation 1.25)
Dans le cas dún système semi-infini, lorsque la surface de l´échantillon se déplace
sous léffet dúne onde acoustique, la phase du champ électromagnétique réfléchi est
modifiée. La prise en compte de cet effet conduit à ajouter un terme de phase (un terme
imaginaire pur) dans léxpression 1.25 [14]. Nous obtenons donc au final :
∞
∆r (t )
(1 − r012 ) ∂k1
η ( z , t )e 2ik1z dz
= 2ik0 u (0) + i
r01
2r01 ∂η ∫0
(Équation 1.26)
Au cours de cet exposé, nous allons étudier des structures constituées dún film
transparent d´épaisseur « d » déposé sur un substrat qui jouera le rôle du transducteur
optoacoustique (cf. figure 1.8). La formule de réflectivité retrouvée dans la relation 1.26 doit
être modifiée et tenir compte des champs électromagnétiques dans le film transparent. Une
expression de la variation relative de réflectivité a été établie en 1996 [15].
17
Figure 1.8 : structure des échantillons étudiés. Nos échantillons sont pour la majorité constitués dún
substrat absorbant supportant un nano-film optiquement transparent.
Cette expression séxprime en fonction des :
•
ki vecteurs dóndes dans les milieux i
•
rij les coefficients de réflexion optique aux interfaces milieu (i)/milieu (j)
•
d : l´épaisseur du film transparent (milieu 1)
•
u(0) : le déplacement de la surface
•
∂ki
: le coefficient photo-élastique du milieu i
∂η
La variation de la réflectivité transitoire est donnée par :
∆r (t )
r12 (1 − r012 )
∂k
1 ∂k1
≅ 2ik 0u ( 0) + 2i
{( k1 + 1 ) ∫ ηdz +
−ik1d
ik1d
−ik1d
ik1d
r0
( r01e
+ r12 e )( e
+ r01r12 e )
∂η 0
2 ∂η
d
d
∫ η[r
12
0
e
2 ik1 ( d − z )
∞
1
1 ∂k 2 1
+ e − 2ik1 ( d − z ) ]dz +
( − r12 ) ∫ ηe 2ik2 ( z −d ) dz}
r12
2 ∂η r12
d
(Équation 1.27)
L'origine physique des différents termes qui apparaissent dans la relation 1.27 va être
explicitée dans les deux prochains paragraphes et leurs contributions seront illustrées grâce à
des simulations numériques. Nous allons voir notamment que ces termes mettant en jeu le
couplage photo-élastique entre le champ acoustique et le champ électromagnétique,
permettent de mettre en évidence soit la détection d'oscillations Brillouin lorsque le milieu
sondé est transparent, soit la détection d'échos acoustiques si le système est au moins
constitué d'un substrat opaque recouvert d'un film transparent ou une couche mince
absorbante sur un substrat transparent ou opaque.
L´équation 1.27 exprime le changement de la réflectivité optique transitoire. Comme
discuté précédemment dans le principe de fonctionnement du montage pompe sonde, notre
18
mesure porte sur le courant de la photo-diode. Ce courant nést autre que la conversion de
líntensité des ondes électromagnétiques en courant. Líntensité des ondes électromagnétiques
réfléchies est liée au coefficient R = r r*, où r* est le conjugué de r. Il faut alors trouver une
relation entre
∆r
∆R
et
qui est la grandeur physique mesurée. Pour cela, on écrit le
r
R
coefficient de réflexion en amplitude du champ électromagnétique sans perturbation r = r0 eiφ
et le coefficient de réflexion du champ perturbé r1= r0(1+ρ) eiφ(1+dφ/φ). ρ et dφ sont
respectivement les variations relatives du module et de la phase de la réflectivité. A noter que
ρ << 1 et dφ/φ << 1
La variation relative de la réflectivité transitoire s´écrit alors :
iϕ (1+ dϕ )
ϕ
∆r r1 − r r0 (1 + ρ )e
=
=
r
r
r0 eiϕ
− r0 e iϕ
= (1 + ρ )eidϕ − 1
(Équation 1.28)
En négligeant la variation relative de la phase (dφ petit), le terme exponentiel peut être
développé au premier ordre comme suit : eidφ ≈ 1+i dφ. L´équation 1.28 devient alors :
∆r
≈ (1 + ρ )(1 + idϕ ) − 1 = ρ + idϕ (1 + ρ )
r
Nous pouvons écrire au premier ordre que :
∆r
≈ ρ + idϕ (1 + ρ ) = ρ + idϕ
r
(Équation 1.29)
Le même raisonnement peut être adopté pour exprimer
∆R
. On définit tout dábord le
R
coefficient de réflexion en intensité du champ électromagnétique en absence de perturbation :
R = r r*= r0²
Le coefficient de réflexion en intensité du champ électromagnétique perturbé a alors la forme
suivante:
R1 = r1 r1*= r0²(1+ρ)²
∆R R1 − R r02 (1 + ρ ) 2 − r02
=
=
= (1 + ρ ) 2 − 1 = 2 ρ + ρ 2
2
R
R
r0
Ceci nous permet d´écrire au premier ordre :
∆R
= 2 ρ + ρ 2 ≈ 2ρ
R
(Équation 1.30)
Des équations 1.29 et 1.30, nous déduisons que :
19
∆R
 ∆r 
≈ 2 Ré 
R
 r 
(Équation 1.31)
b) Diffusion Brillouin dans les milieux
transparents
(1) Théorie de la diffusion Brillouin
Au début des années 20, le physicien Léon Brillouin sést intéressé de façon théorique
à la diffusion de la lumière par des phonons acoustiques propagatifs. Ce nést que 4 ans plus
tard en 1926 que Leonid Mandelstam a pu observer ce phénomène.
Pendant ces années où la mécanique quantique est en plein développement, les
formulations quantiques de ce phénomène de diffusion inélastique suggéraient que les
photons interagissent avec les quantum vibrationnels ou phonons. Cette interaction implique
soit une baisse de l´énergie du photon (augmentation de la longueur dónde de la lumière
diffuse), et la création dún phonon (appelé processus Stokes) soit une augmentation de
l´énergie du photon (diminution de la longueur dónde de la lumière diffuse), et la disparition
dún phonon (processus anti-Stokes). La diffusion Brillouin est identique à la diffusion
Raman, la seule différence est que la diffusion Raman porte sur la diffusion de la lumière par
les phonons optiques ce qui fait que le décalage entre la longueur dónde du faisceau incident
et celle du faisceau diffusé est plus important que dans le cas de la diffusion Brillouin.
Typiquement la diffusion Raman permet de détecter des vibrations de lórdre du THz alors
que la diffusion Brillouin permet de détecter des phonons dont la fréquence est dans la gamme
du GHz.
En acoustique picoseconde, quand une onde acoustique se propage, elle perturbe
localement le matériau et il sén suit une modulation spatiale de líndice optique. La lumière
est alors diffusée par límpulsion acoustique. De plus, la lumière se trouve réfléchie par la
surface du film absorbant et línterface film transparent/ substrat. Sén suit alors une
interférence entre les rayons optiques réfléchis et diffusés comme indiqué sur la figure 1.9.
20
Figure 1.9 : diffusion dúne onde électromagnétique par une onde acoustique.
Les données du problème sont définies sur la figure 1.10. La conservation de la quantité de
mouvement s´écrit :
(Équation 1.32)
avec ki’ et ks’ sont les vecteurs dóndes optiques incident et réfléchi dans le milieu transparent
notés i pour incident et s pour diffusé en anglais « scattered ».
est le vecteur dónde
acoustique. En projection sur la direction x3 et dans lápproximation quasi élastique (la
longueur dónde diffusée ~ La longueur dónde incidente ⇔
ki ≅ k s ) la relation 1.32
s´écrit en fonction de lángle díncidence dans le film θ’ par rapport à la normale:
q = 2ki cos(θ ' )
(Équation 1.33)
Figure 1.10 : diagramme des vecteurs dóndes de línteraction lumière - paquet acoustique. Lónde
optique incidente ki est diffusée par lónde acoustique q.
21
Nous remplaçons ensuite les vecteurs dónde optique ki =
q=
ωop
nωop 2π
n et acoustique
=
=
C film Cvide
λ
ωac
2π
=
où ωop et ωac sont respectivement les pulsations des ondes optiques et
Vac TBVac
acoustiques, λ est la longueur dónde optique incidente, n est líndice optique du film
transparent, TB est la période des phonons acoustiques qui diffuse la lumière et Vs la vitesse
des ondes acoustiques dans le film. L´équation 1.33 devient alors :
2π
2π
1 2Vs n cos(θ ' )
=2
n cos(θ ' ) ⇒
=
TBVs
TB
λ
λ
(Équation 1.34)
Lángle díncidence dans le film est relié à lángle díncidence externe par la relation de
Snell-Descartes : sin(θ ) = n sin(θ ' ) ainsi, nous obtenons pour des angles θ ∈ [0°,90°] :
cos(θ ' ) = 1 −
sin 2 (θ )
et n cos(θ ' ) = n 2 − sin 2 (θ )
n2
En introduisant cette relation dans l´équation 1.33, la relation de Brillouin s´écrit finalement :
TB =
λ
(Équation 1.35)
2Vs n − sin 2 (θ )
2
Cette période TB est directement impliquée dans le terme e 2ik1z de l´équation 1.26 donnant
léxpression de la réflectivité transitoire. Nous voyons en effet que láccord de phase entre le
faisceau réfléchi a la surface libre et le faisceau diffusé est obtenu quand 2k1z ≡ 2π, cést-à-dire
quand 2
2π
nVsT = 2π pour un faisceau díncidence normale à la surface. Nous obtenons
λ
alors comme condition sur la période des interférences : TB =
λ
.
2nVs
Même si historiquement, le terme « diffusion Brillouin » a été attribué à la diffusion de
la lumière par des ondes acoustiques propagatives, cette dénomination est maintenant utilisée
pour décrire toute diffusion de la lumière par des perturbations élastiques (vibrations) dans la
gamme des fréquences inférieures au THz. Dans le cas de la diffusion de la lumière par les
modes propres acoustiques (vibrations, ondes stationnaires…) par exemple, on parle aussi de
diffusion de type Brillouin.
22
(2) Diffusion Brillouin, vibrations
Des modes acoustiques confinés dans les opales ont été observés grâce à la
spectroscopie Brillouin [16, 17]. En effet, dû fait de leurs tailles (typiquement entre 200 et
350 nm), les nano-sphères ont des fréquences de vibrations dans le domaine du GHz, ce qui
conduit à penser que la diffusion Brillouin, dont le domaine fréquentiel est aussi le GHz, est
un outil parfait pour étudier de telles vibrations. Le spectre de la lumière diffuse, relevé grâce
à un interféromètre Fabry Perrot fournit les sept premiers modes de vibrations nSLdes nanosphères de silice.
Dáutres part, des études ont été menées sur la corrélation entre la diffusion Brillouin
et la vibration de nano-films [18]. Ces études ont porté sur línfluence de la fréquence de
résonance dún film mince sur lámplitude de la diffusion Brillouin. Les résultats ont montré
qui si on optimise l´épaisseur du film en plaçant sa fréquence de résonance au voisinage de la
fréquence Brillouin, lámplitude de la composante Brillouin augmente dún facteur 5.
(3) Changement de phase
La réflectivité transitoire classique (cf. équation 1.27) est en mesure de détecter la
propagation dúne déformation acoustique mais ne permet pas de détecter directement le
déplacement dúne surface. Pour cela, des techniques interféromètriques sont nécessaires [14].
Cependant, dans un système composé dún substrat opaque sur lequel est déposé un film
transparent, la propagation de límpulsion acoustique dans le film induit un changement de
son épaisseur. En effet, si nous sommes en présence dúne onde de compression qui se
propage du substrat vers la surface libre dún film transparent (cf. figure 1.11), cette onde de
compression comprime le film et son épaisseur au repos d0 se trouve réduite dúne quantité δd
constante tout au long de la propagation de límpulsion. Une fois arrivée à la surface libre, la
réflexion de lónde acoustique est totale (Rac = -1) et lónde de compression devient alors une
onde expansive. Ceci a pour conséquence dáugmenter l´épaisseur du film de δd. Le rapport
dímpédance acoustique entre le film transparent et le substrat implique un coefficient de
réflexion − 1 ≤ Rac ≤ 1 et lónde acoustique est alors réfléchie et redevient une onde de
compression si − 1 ≤ Rac ≤ 0 ou garde sa nature expansive si 0 ≤ Rac ≤ 1 .
23
Figure 1.11 : effet des ondes de compression et de dilatation sur l´épaisseur du film, la déformation
acoustique est générée à línterface et se propage dans le film transparent modulant son épaisseur
selon sa nature.
En acoustique picoseconde, la sensibilité aux variations d´épaisseur de la couche
d
transparente est traduite par le terme
∫η ( z, t )dz
de l´équation 1.27. Ceci se traduit sur le
0
diagramme de réflectivité transitoire par un saut de +δr pour une onde de dilatation (qui
augmente l´épaisseur du film) et dún saut de -δr pour une onde de compression (qui diminue
l´épaisseur du film). Cette variation d'épaisseur δr reste constante si l'impulsion acoustique est
spatialement plus réduite que l'épaisseur. A noter que lámplitude de la perturbation optique
induite par ces sauts dépend de plusieurs paramètres dont le coefficient photo-élastique du
film et lámplitude du champs de déformation qui dépend des propriétés élastiques du
substrat. Ce phénomène sáppelle « changement de phase » ou « saut de phase ».
.
Figure 1.12: variation de la réflectivité transitoire sur deux échantillons de a-SiO2/a-Ge d´épaisseur
800 nm (a) et 1,6 µm (b) [19]. On observe une modulation de la diffusion Brillouin par des
changements de phase périodiques.
24
Sur un film mince, ces changements de phase viennent toujours moduler les
oscillations de la diffusion Brillouin. La figure 1.12 montre des changements de phase
observés sur deux échantillons de a-SiO2/a-Ge d´épaisseur 800 nm (a) et 1,6 µm (b) [19].
Dans les deux cas, le signal du haut représente les résultats expérimentaux, et le signal du bas
représente la simulation du signal Brillouin tenant compte des changements de phase qui
arrivent à Vs/d, 2Vs/d et 3Vs/d, Vs et d étant respectivement la vitesse acoustique et l´épaisseur
de l´échantillon.
(4) Applications de la diffusion Brillouin
La diffusion Brillouin est généralement employée pour déterminer la vitesse
acoustique et líndice optique de couches minces. De plus, elle sést révélée très utile pour
estimer avec plus de précision les coefficients dábsorption acoustique de différents matériaux
[20, 21].
Certaines recherches menées dans le domaine médical ont abouti au développement
dúne technique de mesure basée sur la diffusion Brillouin. Il ságit de mesurer l´élasticité des
tissus de l´œil humain. Cette microscopie Brillouin appliquée en ophtalmologie, a donné des
résultats prometteurs démontrant par exemple que la rigidité de la lentille humaine augmente
avec l´âge. Cette technique est en constant progrès et vise la guérison de certaines maladies
telles que la presbytie ou la cataracte [22].
En acoustique picoseconde, la diffusion Brillouin a aussi servi dóutil inédit pour
explorer les milieux biologiques comme les cellules dóignons [8]. En effet, lánalyse des
résultats préliminaires a montré une augmentation de la sensibilité de la détection par
adaptation dímpédance en fonctionnalisant les substrats utilisés à láide de peptides, en
comparaison à des substrats métalliques non fonctionnalisés. Cette voie dánalyse devrait
permettre dáméliorer la compréhension de ládhésion des cellules biologiques aux supports
d´étude. Certaines propriétés élastiques telles que la vitesse longitudinale et látténuation
acoustique ont pu être évaluées, ainsi que líndice optique de ces cellules.
c) Diagnostics des couches minces par méthode
impulsion écho.
25
La technique pompe sonde offre la possibilité déstimer l´épaisseur des couches minces
comme une technique de sonar classique. Prenons le cas dúne couche transparente déposée
sur un substrat opaque, une impulsion est créée à línterface Substrat/Film cette impulsion se
propage et se réfléchit sur le premier obstacle quélle croise qui est la surface libre du film. Le
temps de son arrivée fournit le temps dáller-retour de límpulsion. Une connaissance de la
vitesse acoustique dans le film fournit alors une estimation de son épaisseur. La figure 1.13
montre les résultats trouvés par C. Thomsen, J. Strait, Z. Vardeny , H. J. Maris et J. Tauc [11].
Dans ces expériences, ils se sont intéressés à un film mince absorbant de As2Te3 déposé sur
un support dálumine. Des ondes acoustiques sont générées dans le As2Te3 et se propagent
dans cette couche mince pour être réfléchies à línterface As2Te3/Al2O3, puis sont détectés à
leurs arrivées à la surface libre du film à 220 et 440 ps. Connaissant la vitesse acoustique dans
le As2Te3, il devient simple de déduire l´épaisseur de cette couche. De façon générale, les
échos arrivent à intervalles réguliers définis par le rapport
2ne
, où e est l'épaisseur de la
Vs
couche mince considérée, Vs la vitesse acoustique dans cette couche et n le nombre d'allersretours de l'impulsion acoustique dans cette couche mince.
Figure 1.13 : échos dans le As2Te3.
Nous pouvons noter que lorsque l'épaisseur du film opaque considéré est suffisamment mince,
il se produit une superposition des impulsions acoustiques incidentes et réfléchies si bien que
des interférences se produisent entre ces paquets d'ondes acoustiques qui au final laissent
émerger les modes fondamentaux de résonance de la couche mince. Ces modes de résonance
ont pu être observés dans des structures plus complexes telles quúne structure composée de
nano-fils de cuivre de 360 nm dans une matrice de silice [23]. La réflectivité transitoire a
26
permis dóbserver la vibration des nano-fils de cuivre en fournissant avec précision les
fréquences de leurs 6 premiers modes vibratoires et leurs temps de vie associés.
3) Simulation des signaux de réflectivité
a. Exemples de signaux de réflectivité
La figure 1.14 est un exemple de signal de réflectivité transitoire mesuré sur l´échantillon
décrit sur la figure ci-dessous.
Figure 1.14: exemple de signal de réflectivité transitoire observé sur un échantillon multicouche.
Nous y observons la diffusion Brillouin de la lumière dans les différentes couches (substrat et film
mince). Nous observons aussi des changements de phase dus à la réflexion de l’impulsion acoustique
à l’interface et donc au changement de l´épaisseur de la couche transparente
Pour identifier les différentes composantes qui apparaissent sur le signal de réflectivité,
reprenons léxpression de cette dernière donnée par l´équation 1.26. Elle peut être
décomposée en plusieurs termes :
27
Les constantes A et B ont été déterminées dans l´équation 1.27.
On peut identifier les différentes contributions au signal de réflectivité transitoire. Ces
différentes contributions seront simulées et leurs origines discutées dans le paragraphe
suivant.
b) Simulation des différentes composantes du
signal de réflectivité
Nous simulons ici les différentes composantes du signal de réflectivité observées dans une
structure de type film transparent/substrat. Comme démontré précédemment (équation 1.31),
la mesure de la réflectivité transitoire en intensité porte sur la partie réelle de cette expression.
Les données fournies lors de la simulation sont les suivantes :
•
Vitesse acoustique dans le substrat : 6000 m/s
•
Vitesse acoustique dans le film : 2500 m/s
•
Incidence normale et longueur dónde de sonde de 700 nm
•
Indice optique de la couche mince 1,41
•
Indice optique du substrat 2,3
•
Coefficient photo-élastique dans le film 1,4
• Première Composante est :
r12 (1 − r012 )
∂k
( k1 + 1 ) ∫ηdz )
ik1 d
− ik1 d
ik1 d
+ r12e )(e
+ r01r12e )
∂η 0
d
Ré( 2i
( r01e − ik1d
Ce terme représente le changement de l´épaisseur dû au faite quúne onde de compression
qui se propage compresse localement le milieu et fait donc diminuer son épaisseur. Une fois
réfléchie avec un coefficient de réflexion Rac < 0 elle se transforme en onde de dilatation et
dilate donc localement le milieu conduisant à une augmentation de son épaisseur. Ceci est
illustré par la figure 1.15 ci-dessous.
28
Figure 1.15 : simulation des changements de phase dans un film d´épaisseur 400 nm.
•
La seconde composante est :
d
Ré( i
( r01e − ik1 d
1
r12 (1 − r012 )
∂k1
η[r12e 2ik1 ( d − z ) + e − 2ik1 ( d − z ) ]dz )
ik1 d
− ik1 d
ik1 d
∫
r12
+ r12e )(e
+ r01r12 e ) ∂η 0
Ce terme représente le couplage photo-élastique dans le milieu transparent. Línterférence
entre les rayons diffusés par lónde acoustique (première exponentielle) et les rayons réfléchis
par les interfaces (seconde exponentielle) donne lieu à une variation périodique de la
réflectivité dont la période est la période Brillouin. Lámplitude de ces oscillations est
directement reliée non seulement aux coefficients de réflexion aux interface rij , i = 0,1 et 2,
mais aussi au coefficient photo-élastique dans le milieu 1. La figure 1.16 montre les
oscillations caractéristiques de la diffusion Brillouin.
Figure 1.16 : oscillations Brillouin dans le milieu transparent 1 d´épaisseur 1,5 µm
29
•
La troisième composante est :
∞
Ré( i
( r01e −ik1d
r12 (1 − r012 )
∂k 2 1
( − r12 ) ∫ηe 2ik2 ( z− d ) dz} )
ik1d
ik1d
−ik1d
+ r12 e )(e
+ r01r12 e ) ∂η r12
d
Ce terme représente le couplage photo-élastique dans le substrat (milieu 2). Il
correspond à lárrivée de límpulsion à línterface Milieu 1/ Milieu 2. La transmission de
lónde dans le milieu 2 induit une perturbation de la réflectivité exprimée par le terme
intégrale. Cést ce que nous observons sur la figure 1.17.
Cependant, si on impose un fort coefficient photo-élastique au milieu 2 (
∂k 2
grand) et
∂η
une longueur de pénétration optique importante, nous observerons de même les phonons
acoustiques à lórigine de la diffusion Brillouin dans ce milieu.
Figure 1.17 : arrivée des échos à línterface film transparent /substrat. L´épaisseur du film étant de
400 nm
Lámplitude relative des différents termes discutés précédemment dépend des coefficients
photo-élastiques des matériaux en jeu, des rapports dímpédances entre eux et de la longueur
de pénétration optique. A titre déxemple, le couplage des termes exprimant le changement
d´épaisseur du milieu transparent et le couplage photo-élastique dans ce milieu (diffusion de
type Brillouin de la lumière) donne une courbe de réflectivité comme celle présentée par la
figure 1.18
30
Figure 1.18 : signal de la diffusion Brillouin modulé par des sauts de phase sur un film d´épaisseur
400 nm
31
32
Chapitre 2 : Présentation des systèmes étudiés
Chapitre 2
_
Présentation des systèmes étudiés
A.
Historique des low-κ
1)
Intérêt général
Avec la miniaturisation des circuits intégrés pour la microélectronique telle que celle
rencontrée dans les processeurs, les mémoires ou les circuits programmables FPGA (fieldprogrammable gate array), l´énergie consommée par ces composants, la dissipation
thermique et le temps de basculement se sont trouvés affectés. Comme nous allons le voir, un
assemblage typique de deux connexions séparées par un isolateur en silice par exemple crée
une jonction métal/oxyde/métal qui présente un effet capacitif (cf. figure 2.1).
Figure 2.1 : modélisation dúne interconnexion dún circuit électronique. Un assemblage de ces
interconnexions résulte en une capacité et résistance parasites.
A cause de cette capacité parasite, dúne part, la vitesse maximale pour un
fonctionnement correcte du composant se trouve limitée par le temps de basculement défini
par la constante τ ~ RC, où C et R sont respectivement la capacité et la résistance de
línterconnexion parasite (cf. figure 2.2). Ce temps de basculement correspond au temps de
décharge du condensateur et si ce temps est grand, l'interconnexion transmettra du courant
quasi en permanence. Or le principe des circuits logiques est le traitement dúne séquence de
signaux et non pas dún signal continu. Dáutre part, la puissance moyenne consommée par
línterconnexion est proportionnelle à sa capacité de charge : P ~ f V²C, où f est la fréquence
33
de fonctionnement et V la tension nominale dálimentation du circuit. Avec l´évolution de la
fréquence des horloges des microprocesseurs, une augmentation de la puissance dissipée dans
ce type de circuit est alors constatée.
Figure 2.2 : augmentation du temps de basculement avec la miniaturisation des circuits électriques
[24]. Le remplacement de láluminium par le cuivre, mais surtout l´évolution des low-k a permis de
limiter cette augmentation.
La miniaturisation en question implique naturellement une diminution des espaces
« d » inter électrodes des condensateurs et ceci a pour effet dáugmenter cette capacité comme
on peut le constater dans son expression : C =
Sε 0
ε r , où S est la surface de la connexion, d est
d
la distance entre les connexions, ε0 est la permittivité absolue dans le vide et εr la permittivité
relative du matériau dísolation, appelé aussi κ (chi en grec). La diminution de « d » et donc
láugmentation de la capacité C accentue les effets indésirables dórigine thermique et
diminue la rapidité de la réponse. Afin de limiter ces deux effets et permettre à la
nanotechnologie de repousser ses limites, la solution proposée a été de réduire la capacité
parasite C. « S » et « d » étant des paramètres fixés par la technologie, la microélectronique
sést orientée vers une diminution de la constante diélectrique εr et différents types de
matériaux à faibles coefficients de permittivité relative ont été proposés (dóù le nom low-κ).
La constante diélectrique εr seuil dún matériau pour recevoir la dénomination low-κ est εr =
4. Pour la silice, le matériau le plus utilisé classiquement, εr vaut 4.2. La réduction de ce
coefficient peut être effectuée en introduisant certains changements dans la silice, soit par
ajout de radicaux de carbone soit par réduction de la densité en introduisant des pores (la
permittivité relative de láir est εr = 1). Cette baisse de la constante diélectrique a résolu
certains problèmes mais en a posé dáutres, notamment la dégradation de certains paramètres
élastiques tels que le module de Young.
34
a) Influence des Low-κ sur l´évolution de la
microélectronique
LÍTRS, ou Plan de Route International des Technologies des Semiconducteurs
(International Technology Roadmap for Semiconductors) est une association internationale
qui traite toutes les années des avancées technologiques et des prévisions pour les années à
venir en matière díngénierie matérielle informatique. Lors du dernier congrès de Juillet 2008
[24], plusieurs limites physiques de la technologie, toujours plus difficile à repousser ont été
abordées parmi lesquelles les isolateurs « low-κ ». Le tableau ci-dessus illustre les différents
résultats obtenus lors des 5 dernières années et les prévisions pour la prochaine décennie.
Année
2003
2005
2007
2010
2013
2016
Technologie (nm)
107
80
65
50
35
25
3.0~3.6
2.6~3.1
2.3~2.7
2.1
1.9
1.8
Low-κ (εr)
Tableau 1 : évolution de la permittivité relative sur les cinq dernières années et les prévisions
dámélioration pour la prochaine décennie [24]
Dáutre part, les premiers essais visant à tester líntégration des matériaux low-κ dans
des composants destinés à la grande consommation se sont révélés concluants. Le
constructeur ATI [25] a fait évoluer un modèle de carte graphique le Radeon 9600 Pro en
Radeon 9600 XT en ne changeant que le matériau dísolation. La silice, dont la constante
diélectrique vaut εr = 4.2, a été remplacée par un matériau « low-k » de constante diélectrique
εr = 3.6. Bien que la réduction de la constante diélectrique ne soit que de 14%, le résultat a été
que la fréquence de fonctionnement est passée de 325 MHz à 400 MHz soit une augmentation
de 23% alors que l´énergie consommée par le composant ná augmenté que de 4 %, la
puissance consommée par láncien modèle est PSiO2 = 8,69 W et la consommation du nouveau
modèle est Plow-κ = 9,07 W.
Ces tests montrent líntérêt de réduire la constante diélectrique. Cette réduction du εr
sést faite sur plusieurs étapes mais surtout a pris deux directions différentes que nous
présentons ici.
b) Low-κ par réduction de la polarisabilité
La première étape dans la réduction de la constante diélectrique était líncorporation
de différents radicaux. Le but de cette opération était de réduire la polarisabilité des liaisons
chimique présentes (substitution de la liaison Si-O par Si-C-OH par exemple) dans le
35
matériau diélectrique. Parmi les radicaux les plus utilisés, on trouve le fluor et le carbone. Le
tableau suivant montre línfluence dúne carbonisation sur le diélectrique de base SiO2.
Tableau 2 : influence des radicaux de carbone sur la constante diélectrique.
La substitution dún atome dóxygène de la silice par un radical CH3 a pour effet de baisser εr
[26]. Cette baisse est due non seulement à líntroduction dúne faible liaison polaire entre le
Silicium et le Carbone mais aussi à la création dún plus grand volume libre (cf. figure 2.3).
Figure 2.3 : représentation dúne maille de silice (a) et dúne unité de SiCOH (b)
Historiquement, les premiers matériaux à faible constante diélectrique ont été obtenus
en dopant la silice par du Carbone et du Fluor. Depuis, le dopage de la silice étant mieux
compris et maîtrisé, des dopages avec dáutres radicaux comme le groupe méthyle (CH3) ont
pu être réalisés. De façon générale le dopage de la silice conduit aux constants diélectriques
suivantes :
•
SiO2 dopée F : k = 3,3 ~ 3,9
•
SiO2 dopée C : k = 2,8 ~ 3,5
•
SiO2 dopée H : k = 2,5 ~ 3
Bien quáyant notablement réduit la constante diélectrique, ces traitements se sont révélés
insuffisants et la limite basse a été rapidement atteinte. En effet, selon ces différentes
méthodes, on ne pouvait pas aller plus bas que εr = 2,5 [27], dóù lápparition dúne nouvelle
36
convention : les matériaux dits « Ultra Low-κ » pour lesquels εr < 2,1. La permittivité relative
de láir étant de 1, líntroduction de porosité dans les isolateurs semble être la meilleure
solution pour réduire εr et ouvrir la porte au développement des Ultra Low- κ.
c) Low- κ par introduction des pores
Líntroduction de porosité tire la permittivité relative vers le bas. La figure 2.4 montre
l´évolution des constantes diélectriques de deux matériaux ; la silice et la Silisesquionaxe. La
Silisesquionaxe est un low-k dont la différence avec la silice est le groupe CH3 présent dans
la maille élémentaire qui remplace látome dóxygène. Les deux courbes exprimant
l´évolution de la constante diélectrique en fonction de la porosité découlent du modèle de
Maxwell-Garnell (cf. annexe D). Léxpression de la constante diélectrique εlow-k est alors
donnée ici en fonction de la porosité et de la constante diélectrique de la silice :
ε low−k − ε SiO 2
ε − ε SiO 2
= ϕ pores Air
ε Air + 2ε SiO 2
ε low−k + 2ε SiO 2
Ce qui donne la constante diélectrique du milieu équivalent:
ε low−k = ε SiO 2
(ε Air + 2ε SiO 2 ) + 2ϕ pores (ε Air − ε SiO 2 )
(ε Air + 2ε SiO 2 ) − ϕ pores (ε Air − ε SiO 2 )
Nous pouvons clairement constater que la constante diélectrique atteint des valeurs
intéressantes quand la porosité augmente.
Figure 2.4 : évolution de la constante diélectrique en fonction de la porosité prévue par le modèle de
Maxwell-Garnett.
37
Cependant un problème se pose ; lámélioration de la constante diélectrique se fait au
dépend de la solidité mécanique du matériau, sa stabilité dans le temps et son comportement
thermique qui se trouvent affectés [28]. La réponse technologique à ces problèmes est la large
gamme de porosité proposée. En effet, líndustrie de la microélectronique étudie différentes
structures avec des pores sphériques, cylindriques communicants ou non communicants. Elle
síntéresse aussi à des structures avec des pores organisés ou non organisés. Les propriétés
optiques mais surtout mécaniques de ces Low-κ dépendent fortement de leur organisation et
de leur géométrie.
2)
Structures nano et méso-poreuses
a) Préparation des échantillons silice/P123 et
silice/Air
Pour former la matrice de silice structurée, le procédé sol-gel est utilisé [29]. Cette
méthode est une voie chimique très répandue pour mettre en forme divers types de solides à
partir de solutions. La technique sol-gel permet en effet de préparer des verres poreux, des
fibres, des poudres, des films minces, des nanocristallites ou des monolithes (matériaux
massifs de quelques mm3 à quelques dizaines de cm3).
Dans le cas précis des films méso-structurés, un processus dáuto-assemblage induit
par l’évaporation des solvants intervient pour créer lórdre. La première étape de fabrication
consiste à placer tous les précurseurs dans une solution très diluée par un solvant volatil
(l’éthanol). Ensuite un substrat est plongé puis retiré du bain afin dý déposer une couche
dúne épaisseur donnée. Les tensioactifs s’agrègent alors et s’organisent, tandis que les
précurseurs de silice polycondensent. L’auto-assemblage des tensioactifs, la polycondensation
de la silice et donc la structuration des films sont donc induits par l’évaporation des solvants.
Les solutions à évaporer sont préparées en deux étapes.
- les précurseurs de silice ou éthoxy silanes sont préalablement préhydrolysés dans une
solution d’eau, d’acide chlorhydrique et d’éthanol, appelée souvent solution « stock ». Cette
solution, ayant un pH proche du point isoélectrique de la silice (pH = 2), permet d’hydrolyser
les alkoxydes dans un premier temps, en ralentissant les mécanismes de condensation. C’est la
catalyse acide. La solution Stock est généralement vieillie 1 heure sous agitation.
- Une fois hydrolysée, la solution stock est ajoutée à la solution micellaire, constituée
des tensioactifs dissous dans de l’éthanol et éventuellement dans de l’eau acide. Pour
38
structurer les films avec le pluronic P123, la solution stock est constituée de 8,815 g de
tetraéthoxysilane (TEOS), 5 g d’éthanol, et 6,285 g d’eau acide à 0,055 mol.L−1. Après être
vieillie une heure à température ambiante sous agitation, 3,63 g de cette solution sont ajoutés
au P123 dissout dans 25 g d’éthanol. La solution finale correspond aux fractions molaires
suivantes:
TEOS :1 ; P123 :nP123 ; OH :73,5 ; H20 :8,2 ; HCl :8.1.10−3 [30].
Une fois la solution réalisée et vieillie, le dépôt des films minces méso structurés est réalisé
par tirage à vitesse constante (ou dip-coating) sur des substrats métalliques. La vitesse de
tirage déterminera l´épaisseur du dépôt. Plusieurs échantillons ont été fabriqués, avec nos
partenaires du groupe nano-structuration et fonctionnalisation du laboratoire LPEC de
lúniversité du Maine. Deux films (Z1 et Z2) sur un substrat de zinc mécaniquement poli ont
été obtenus. Les films déposés ont des épaisseurs de 600 et 1200 nm respectivement.
La structure de ces échantillons est décrite par la figure suivante (cf. figure 2.5). Les
micelles de polymères (cf. figure 2.5 a) sont organisées en formation hexagonale sur des plans
parallèles à la surface. Après lavage à l´éthanol, le polymère est remplacé par de láir et la
structure hôte de silice hydraté se solidifie (cf. figure 2.5 b).
(a) Silice hydratée/Polymére P123
(b) Silice/Air
Figure 2.5 : coupe 2D de la structure de la silice méso-poreuse.
Dans les deux cas, le film peut être considéré comme composé de deux couches, une
première couche c2 d´épaisseur t2 et de densité ρ2 et une seconde couche de silice c1,
d´épaisseur t1 et de densité ρ1. Sur la figure 2.5, nous ne montrons que trois périodes de
lémpilement, en réalité le nombre démpilements est beaucoup plus grand. Une
détermination par réflectivité des rayons X (cf. figure 2.6) de la période spatiale Λ = t1 + t2
permet de déterminer le nombre de couches c1 et c2 dès lors que lón connait l´épaisseur de
l´échantillon.
39
Lánalyse de l´échantillon par réflectométrie de rayons X ìncidence rasante à la longueur
dónde 0,154 nm fait apparaître des pics de Bragg caractéristiques de sa structure multicouche
périodique dans la direction perpendiculaire au substrat, líntensité de ces pics indique
néanmoins le caractère assez désordonné de ces empilements. Une périodicité de 48 nm (±10
%) est obtenue dans le cas des films méso-poreux déposés sur un substrat de zinc.
Figure 2.6 : réflectivité X aux très petits angles de film de méso-poreux déposé sur du Zinc.
b) Description des nano-poreux industriels
Les nano-poreux industriel sont fabriqués dans un réacteur à déposition chimique de
vapeur (CVD). Des réactions chimiques dádsorption se passent à la surface du substrat et en
résulte le dépôt dún film. Le film se dépose à raison de 1 nm/sec. Ces réactions chimiques
sont stimulées soit par voie plasma (PECVD) soit par hautes température (HTCVD). La
deuxième étape consiste à exposer le film aux rayons Ultra Violet (UV) de longueur d’onde λ
< 200 nm [31]. Au cours de cette étape, la lithographie UV élimine les polymères dans des
zones localisées du dépôt. Afin d’accélérer cette étape, on opère à de très hautes températures
dépassant les 400 °C. Cet apport en énergie thermique a aussi pour conséquence de
reconstruire les liaisons Si-O-Si ce qui se traduit par une plus grande rigidité du matériau.
Différentes structures, compositions et transducteurs ont été proposés par nos partenaires du
centre Interuniversitaire de Micro Électronique IMEC en Belgique. Les 7 échantillons reçus
peuvent être classés comme suit :
40
•
S1 et S2 : films nano-poreux de même épaisseur mais de composition chimique
différente, tous deux déposés sur un substrat de TaN dúne trentaine de
nanomètre d´épaisseur.
•
S4 et S5 : films nano-poreux de même composition chimique mais leurs temps
de préparation sous UV diffèrent, tous deux sont déposés sur un substrat de
TaN de même composition chimique que les échantillons S1 et S2.
•
S6 et S7 : films identiques de point de vue chimique aux films S1 et S2
respectivement mais déposés sur un substrat de silicium.
•
Tous les échantillons ont une porosité de 23%.
De façon générale, on peut modéliser nos échantillons par une structure multicouche
comme indiquée à la figure 2.7. Seule la couche supérieure varie dún échantillon à un autre,
par sa composition chimique, son épaisseur ou par le temps de sa préparation.
Figure 2.7 : structure des échantillons étudiés ; à gauche les échantillons S1, S2, S4 et S5 déposés sur
un transducteur métallique de TaN et à droite les échantillons S6 et S7 déposés sur du silicium.
Les échantillons pouvant être décrits par deux critères (épaisseur et structure poreuse),
notre choix sést porté sur l´étude de deux échantillons différents. Nous avons alors mené
notre étude sur les échantillons S2 et S4.
41
B. Alumine Poreuse
Lálumine poreux est une structure constituée dálumine massif où par un procédé
chimique qui sera décrit par la suite on crée des pores cylindriques verticaux par rapport à la
surface et de quelques centaines de nanomètres de hauteur.
1)
Réceptacle 3D pour la fabrication de nanocolonnes
La fabrication de nano-structures poreuses est en développement depuis les années 70.
Ce développement est encouragé par les besoins industriels en miniaturisation des composants
ferroélectriques tels que les mémoires et les capteurs. Ces différents travaux de recherche sont
motivés par la volonté de contrôler la taille et lórientation cristallographique dans le but de
maîtriser lúniformité et l´homogénéité des composants fabriqués. Une voie prometteuse pour
relever ce défi est l´étude des réceptacles dálumine avec des pores verticaux alignés. Dáutres
matrices poreuses ont été utilisées dans ce but telles que différentes céramiques ou polymères
ou même semi-conducteurs [32, 33] mais dans la plupart des cas, les composants fabriqués
návaient pas de direction cristallographique définie. Des recherches récentes ont montrées
quíl était possible dóbtenir une croissance de nano-structures avec des orientations
cristallographiques bien déterminées par remplissage de lálumine poreux sous des conditions
thermodynamiques spécifiques [34].
2)
Intérêt industriel biomédical
L’alumine anodisée présente des biocompatibilités sans égal grâce à la grande pureté
de son oxyde. En plus, grâce aux progrès réalisés dans le domaine des implants métalliques
utilisés pour les soudures osseuses chirurgicales, les réceptacles d’alumine avec remplissage
de titane est devenu parmi les structures les plus prometteuses en recherche biomédicale [35].
Les utilisations de l’alumine poreuse s’étendent aussi à la médecine dentaire qui étudie la
possibilité de modifier la surface dentaire par anodisation de dépôts d’aluminium pour
conférer une coloration et des propriétés mécaniques spécifiques et éviter un éventuel rejet de
la greffe [36].
42
3)
Alumine poreuse
a) Montage électrochimique d’anodisation
Les réceptacles dálumine poreuse étant en constant développement, leurs processus
de fabrication sont multiples. Certaines techniques récentes se basent sur le dépôt de nanotubes de carbone dans láluminium et puis en adsorbant la solution obtenue à un substrat en
fibres de carbone suivi enfin dúne calcination dans un four à très haute température (jusqu´à
1600°C). Lálumine poreux sujet d´études dans cette thèse est obtenu par anodisation dans
lácide sulfurique [37].
(a)
(b)
(c)
Figure 2.8 : diagramme schématique de la formation des pores dans de láluminium massif
La figure 2.8 illustre le processus de fabrication de lálumine anodisée. Dans la
première étape on observe la formation dúne couche dóxyde láluminium. A l´étape suivante
cette couche soumise à un champ électromagnétique, mène á la création de murs dálumine et
de pores. Par la suite, la formation des murs atteint un régime stable où leur épaisseur ne
change pas et où leur forme súniformise. L´épaisseur de ces murs dépend non seulement de
la température mais aussi de la concentration de lácide dans le bain électrolytique et de la
tension appliquée au bain.
b) Conditions électrochimiques
Une couche mince dálumine nano-poreuse de quelques centaines de nanomètres est
formée à la surface dúne feuille dáluminium pure dont l´épaisseur est de quelques
millimètres. Avant lánodisation, la feuille dáluminium subit un polissage électrochimique
pour avoir une rugosité de quelques nanomètres. Ce polissage séffectue dans un bain
composé dún acide perchlorique et d´éthanol (3 :7 du volume) sous température constante
25°. Lánodisation se passe dans un bain aqueux phosphorique (4%). La tension appliquée au
bain dánodisation fixe la taille des murs dálumine. Le tableau suivant (tableau 3) est un
43
récapitulatif des différents acides utilisés dans ces processus et le taux dánodisation
correspondant [38]:
Acide
Concentration
Taux dánodisation (nm/V)
Acide sulfurique
15%
1
Acide oxalique
2%
1,18
Acide phosphorique
4%
1,19
Acide chromique
3%
1,25
Tableau 3 : taux dánodisation fonction du type et de la concentration de lácide
Le temps dánodisation ne jouant aucun rôle dans la géométrie et les dimensions de la
structure (après un certain temps transitoire de quelque minutes où l´épaisseur augmente pour
atteindre rapidement sa valeur nominale dans les conditions de léxpérience), fixer la tension
dánodisation et la concentration de lácide permet dóbtenir une structure bien contrôlée. Les
échantillons que nous avons étudiés au cours de cette thèse sont fabriqués dans un bain
dácide phosphorique à 4% sous une tension de 20V. Les fluctuations de température, de
voltage et les impuretés présentes dans la solution sont la raison de la grande dispersion
constatée sur la taille des pores et des murs (20%) comme nous allons le voir dans l´étude
microscopique détaillée ci-après.
c) Description de l´échantillon
L´échantillon peut être décrit par le modèle 3D présenté dans la figure 2.7 ci-dessous.
Les spécifications communiquées par nos partenaires du groupe Nano-diélectriques de
lúniversité de Technion en Israël sont les suivantes:
-
la hauteur des colonnes dans lálumine est de 350 nm
-
l´épaisseur des murs nést pas spécifiée. Néanmoins, il est indiqué que cette valeur
se situerait entre 20 nm et 30 nm.
- il est aussi indiqué que la dispersion de la taille des murs et des pores est très grande
± 20 % comme le confirme límage SEM de la figure 10 (b).
44
Figure 2.9 : structure final du film dálumine poreux
Au contact de láir, le film dáluminium anodisé sóxyde et on arrive donc à un état
final stable dálumine anodisé [39]. Lóxydation a lieu à línterface oxyde poreux/métal, ce
qui explique la couche dálumine qui sera mise en évidence par la suite dans nos expériences
entre le film poreux et le substrat métallique. L´homogénéité de l´échantillon en profondeur
nést pas garantie comme líndique la figure 2.10 (a) où on voit une image de microscopie
électronique à balayage (SEM) qui montre une vue de coupe de l´échantillon dálumine
poreux [39].
(a) Vue en coupe
(b) Vue de dessus
Figure 2.10 : images SEM de lálumine poreuse fabriquée sous des conditions constantes de tension
et température.
Néanmoins, même síl existe des enchevêtrements, la couche dálumine poreuse
présente clairement des pores bien orientés verticalement. Dáutre part, les résultats des
expériences présentées dans ce manuscrit seront reproductibles, en effet, la taille du spot laser
utilisé lors des expériences est de 30 µm ce qui veut dire que les effets observés sont des
effets moyens sur prés de 105 murs et colonnes.
45
C. Les opales synthétiques
Les opales sont un empilement de sphères, historiquement de silice, dont le diamètre
est typiquement entre 200 et 400 nm. Ces dimensions étant proches de la longueur dónde de
la lumière visible, les opales interagissent avec les photons dúne façon particulière. La figure
2.11.a montre des opales constituées de billes de silice de 250 nm de diamètre. Ce cristal, dit
photonique rappelle des structures qui existent dans la nature telles que les yeux dúne
mouche (cf. figure 2.11.b).
(a)
(b)
Figure 2.11 : Images SEM montrant des billes de silice de 250 nm de diamètre (a) et de l´œil dúne
mouche (b), il est composé de billes de 6µm de diamètre.
Avant dáborder la caractérisation de ce type de cristal il est nécessaire de rappeler les
lois dínteractions des réseaux périodiques ou réseaux de Bragg avec la lumière et les
principales propriétés des empilements cubiques à faces centrées.
1)
Réseaux de Bragg
Un réseau de Bragg est un miroir de grande qualité utilisé dans des guides dóndes
comme dans les fibres optiques ou dans des cavités optiques. Il ságit de réseaux où
sálternent des couches de deux matériaux d'indices de réfraction différents (cf. figure 2.12),
ce qui implique une modulation périodique de l'indice de réfraction effectif dans le guide.
46
Figure 2.12 : réseau de Bragg 1D; empilement périodique de couches díndice optiques différents
Pour décrire la propagation de la lumière dans un réseau de Bragg simple (1D),
considérons une onde plane de vecteur dónde k à incidence normale. Aux interfaces entre les
deux couches, il se produit une réflexion partielle des ondes électromagnétiques. Le
déphasage entre deux ondes réfléchies successivement est de 2ka, où « a » est la longueur
optique du réseau (a = n1d1+n2d2). Tant que 2ka est différente de 2π, les ondes réfléchies
nínterférent pas constructivement et leur propagation est alors autorisée. Pour les ondes dont
la longueur d'onde est égale à quatre fois l'épaisseur optique (2ka = π), les rayons subissent
des interférences destructives empêchant leur propagation. Les couches agissent alors comme
un miroir de grande qualité. Les opales sont un cas plus complexe de réseau de Bragg 3D où
les billes de silice et láir (ou le matériau de remplissage) présentent une modulation de
líndice optique de périodes spatiales différentes selon différentes directions de léspace.
2)
Cristaux photoniques
La notion de cristal photonique a été proposée pour la première fois à la fin des années
80 [40, 41] et la première de ces structures a été présentée en 1991 [42]. Les cristaux
photoniques sont des structures dont l’indice diélectrique varie périodiquement selon une ou
plusieurs directions de l’espace. Ce milieu périodique produit sur la propagation d’une onde
électromagnétique un effet analogue à celui du potentiel périodique sur les électrons dans les
cristaux. Des bandes d´énergie interdites pour le champ électromagnétique apparaissent,
interdisant la propagation de la lumière dans certaines directions et pour certaines énergies
dóù láppellation de cristal photonique. Ces propriétés rendent les cristaux photoniques
intéressants pour de nombreuses applications dans l’optique intégrée et lóptoélectronique.
Lún des premiers domaines dápplication des cristaux photoniques est le contrôle de
l´émission spontanée d’un émetteur placé dans un cristal photonique. Le principe est
dínterdire les émissions spontanées dúne fréquence dún émetteur en la plaçant dans la
47
bande interdite photonique. Par contre l´émission de l´émetteur peut être exaltée, si sa
fréquence coïncide avec des bandes permises. On peut manipuler les bandes énergétiques des
opales en introduisant des impuretés ou des remplissage ce qui aura pour effet de changer le
potentiel des bandes caractéristiques et dáutoriser donc des nouvelles raies dans la bande
interdite et de moduler sa largeur.
Figure 2.13 : exemple de diagramme de bande interdite.
La figure 2.13 ci-dessus montre le diagramme de réflexion en lumière blanche
dópales synthétiques que nous avons étudiées. On y distingue une bande interdite dans la
direction normale au plan (111). La propagation des photons dans cette direction
cristallographique est interdite. A droite, on a les courbes de dispersions correspondantes dans
la première zone de Brillouin. En bord de zone de Brillouin, le vecteur dónde k1 se rapproche
de π/r (r étant la taille du réseau) et les ondes réfléchies par les surfaces sphériques
successives sont en phase. L’onde incidente de vecteur k1 donne naissance à une onde
réfléchie de vecteur d’onde −k1. La périodicité du milieu diélectrique couple ces deux ondes
de même énergie ω0 engendrant deux états propres d´énergies distinctes ω1 et ω2. Ceci ouvre
une bande interdite en fréquence pour une propagation dans la direction normale à
l’empilement.
3)
Sédimentation chimique et auto organisation
Si les opales naturelles, souvent irrégulières, sont difficilement contrôlables, les opales
artificielles ont donné lieu, grâce à leur régularité et organisation, à une grande variété de
matériaux utilisables dans le domaine des cristaux photoniques : les sphères de silice
sédimentées sur des substrats eux-mêmes adéquatement organisés pour accueillir des réseaux
48
cfc. La sédimentation chimique a connu beaucoup de progrès au cours des dernières années,
les conditions chimiques de température et de pression ont été étudiées afin d’éviter la
formation de défauts et d’optimiser le processus de l’auto-assemblage.
4)
Structures photoniques; opales synthétiques
a) Réseau cubique à faces centrées
Parmi les différentes approches qui visent à créer des cristaux phononiques, les opales
synthétiques sont probablement les plus répandues. Ceci est dû à la facilité et au faible coût du
procédé de fabrication qui se base sur la tendance naturelle des sphères à sáuto-organiser en
réseau cubique faces à centrées (c.f.c.). Considérons un plan A où on place une sphère
entourée par six autres sphères. Dans les trois interstices formés par ces sphères, on place
encore trois sphères ; ce qui va former un nouveau plan B. Enfin dans le creux formé par les
sphères du plan B, on en place une dernière ; cést le dernier plan de lémpilement : le plan C.
La figure 2.14 montre un compactage tridimensionnel dópale synthétique en réseau cfc, les
sphères sont assemblées selon un arrangement compacte ABC. On y voit des empilements
carrés et hexagonaux suivant les plans (100) et (111).
(a) Boules de canon disposées en réseau cfc
(b) Empilement ABC dún cfc
Figure 2.14 : exemples de réseau cubique à faces centrées
Les intersections de ces deux séries de plans font apparaître deux types dínterstices ;
interstices octaédriques dits de type O et qui se forment entre 4 sphères et des interstices de
types tétraédriques dits de type T et qui se forment entre six sphères. Les distances entre les
sommets de ces octaèdres et tétraèdres sont respectivement de Do= 0.41D et Dt = 0.23D, où D
est le diamètre des sphères (supposées mono-disperses).
49
Les opales synthétiques cristallisées en cfc présentent naturellement à leurs surfaces un
plan parallèle au plan cristallographique (111). Ainsi, cést la normale à la direction (111) qui
définira le plan de référence lors des caractérisations optique.
Figure 2.15 : plan (111) du réseau Cubique à faces centrées
Dans lárrangement cubique à faces centrées, le paramètre de la maille ‘a’ (cf. figure
2.15) se déduit par : a 2 = 4 R , avec R : rayon des opales. Une autre propriété importante
dans le calcul de la porosité est la compacité :
16 3
πR
Vsphéres 4Vsphére
π
3
c=
=
=
=
≈ 0.74
3
4R 3 3 2
Vtotal
a
( )
2
b) Opales avec remplissage de GaAs
Le cristal photonique est composé de sphères de SiO2 amorphes dont le diamètre est
mono-disperse (dispersion ΔD/D < 5%), la croissance naturelle de ces sphères sous léffet de
la gravitation se fait en réseau cfc. Cette sédimentation se passe en suspension dans léau et
peut durer plusieurs mois. Le produit obtenu est ensuite séché pour arriver à une matrice de
sphères de SiO2 avec des interstices dáir. Par la suite, límprégnation du volume libre dans
les opales par le matériau “ hôte ” est rendue possible par ládsorption du semi-conducteur
aux atomes dóxygène à la surface des sphères dans les sites interstitiels. Le remplissage avec
du GaAs se fait par CVD sous haute température (~ 350°C). Líntérêt du remplissage est
dávoir un bon contraste entre les constantes diélectriques les sphères de SiO 2 et le matériau
de remplissage, contraste synonyme de possibilité de contrôle de la largeur de la bande
interdite et un changement dans les propriétés optiques du milieu effectif.
50
Les cristaux sujets d´études dans cette thèse sont composés des sphères mono-disperses de
silice dont le rayon est de 250 nm avec un remplissage de GaAs.
51
Chapitre 3: Etudes des propriétés élastiques de matériaux méso et nano poreux
52
Chapitre 3
_
Etudes des propriétés élastiques
de matériaux méso et nano-poreux
A. Système de silice méso-poreuse
1. Méthodologie de mesure
Pour caractériser les différents systèmes poreux étudiés, nous avons exploité le
phénomène de la diffusion Brillouin dont la période est décrite par l´équation suivante :
T=
λ
(Equation 3.1)
2Vs n − sin 2 (θ )
2
eff
Avec Vs vitesse acoustique, neff líndice de réfraction effectif du milieu où a eu lieu la
diffusion de la lumière par les phonons acoustiques (le film transparent) et θ lángle
díncidence externe du faisceau sonde (cf. figure 1.10). Afin déxtraire le maximum
dínformation sur
les films transparents étudiés, deux séries de mesures sont
systématiquement réalisées. Dans la première série, nous fixons la longueur dónde du
faisceau sonde et nous mesurons le changement de la période de la diffusion Brillouin en
fonction de lángle díncidence externe T = T(θ). Au cours de nos expériences, la zone
balayée s´étend de líncidence normale à 73°. Dans la deuxième série, nous fixons lángle
díncidence et nous balayons une large zone de longueur dónde du faisceau laser du faisceau
sonde. La zone balayée s´étend de 700 à 900 nm ce qui correspond aux limites dáccordabilité
de notre cavité femtoseconde. A travers ces deux séries déxpériences, nous pouvons extraire
par des méthodes statistiques de régression linéaire la vitesse acoustique de lónde
longitudinal Vs et líndice optique effectif neff du milieu poreux. Dans notre étude, nous
53
considérons que líndice effectif constant sur la gamme [700 nm, 900 nm] vu que líndice
optique des différents matériaux oxydes en jeu (SiO2, SiO-C-OH et Al2 O3) ne varie que de 1,5
% dans cet intervalle comme le montrent les données présentées en annexe A. Pour pouvoir
réaliser une régression linéaire à deux variables, léxpression donnée par l´équation 3.1 doit
être linéarisée en séparant les variables déntrée λ et θ des variables de sortie Vs et neff. Une
expression modifiée de l´équation 3.1 est transformée en une forme linéaire telle que F2
séxprime en fonction des 2 nouvelles variables déntrée X1 et X2 qui ne dépendent que de λ et
θ:
2
1
2 sin (θ )
F = 4V n 2 − 4Vs
⇒ Y = AX 1 + BX 2
λ
λ2
2
2
s
2
(Equation 3.2)
Où X1 = 1/λ² et X2 = sin²(θ)/λ² sont les changements de variables nécessaires à la linéarisation
de léxpression de l´équation 3.1. Il devient ainsi simple déxtraire les deux coefficients A et B
menant à neff et Vs. Un plan déxpérience est établi pour obtenir les coefficients A et B avec le
minimum dérreur. Líncertitude des mesures implique quón soit parfois amené à densifier
notre plan déxpérience pour arriver à des résultats avec une marge dérreur raisonnable.
Un exemple de plan déxpérience est donné en figure 3.1. Pour les premiers
échantillons Silice/Polymère P123, le plan déxpérience a porté sur les 28 points de mesures
suivants :
Figure 3.1 : afin de déterminer les deux paramètres neff et Vs de l´équation 3.1, nous avons défini un
plan déxpérience que nous avons densifié pour obtenir un minimum dérreur sur la détermination de
neff et Vs. Les expériences menées ont porté sur les sept longueurs dóndes (ligne bleu) et les quatre
angles (ligne rouge) indiqués ici.
2. Extraction des paramètres mécaniques:
module de Young E et module longitudinal M
54
La régression linéaire menée sur la période des oscillations Brillouin fournit la vitesse
acoustique (cf. équation 3.1). En combinant la vitesse acoustique et la densité du milieu, on
obtient le module élastique dún milieu libre de se déplacer latéralement [43]. Le module
élastique auquel nous avons accès grâce à notre technique de mesure nést pas le module de
Young car le volume qui subit la déformation mécanique nést pas libre de se déplacer
latéralement comme líllustre la figure 3.2.
Figure 3.2 : différence entre le module de Young et le module longitudinal ; le module de Young est
déterminé sur une structure dont la surface latérale est libre de se déplacer. Dans le cas présenté à
gauche la surface du cylindre est libre alors que sur le schéma de droite, le volume soumis à lónde
acoustique nést pas libre et les conditions aux limites sont donc différentes.
Le module élastique effectif M obtenu à travers la relation M = ρ Vs² peut être relié au
module de Young par le coefficient de Poisson selon la relation:
M =E
1 −ν
.
(1 − 2ν )(1 + ν )2
(Équation 3.3)
Ce module effectif M est appelé module longitudinal ou module de lónde-P.
Les films low-κ ont généralement un coefficient de Poisson ν ≅ 0,25 [44, 45]. La
relation de l´équation 3.3 vaut numériquement M = 0,96 E. On peut en déduire que la mesure
de la vitesse à travers la diffusion Brillouin fournit une surestimation du module de Young de
4%. Par soucis de cohérence physique, dans la suite nous parlerons du module longitudinal M,
cependant sa valeur étant proche du module de Young pour nos structures, elle sera comparée
à celle du module de Young mesurée par dáutres techniques.
55
3. Réflectivité transitoire dans les systèmes
méso-poreux
Les expériences dácoustique picoseconde menées sur les échantillons méso-poreux
précédemment décrits (cf. paragraphe 2.A.2.a) ont été analysées selon la méthode décrite en
3.A.1. La figure 3.3 montre un signal de réflectivité classique mesuré sur l´échantillon Z2
dont le dépôt est composé de silice et de micelle de polymère P123.
.
Figure 3.3 : diagramme de réflectivité obtenu à λsonde = 745 nm et θ =33° sur l´échantillon Z2. Nous
distingons des oscillations dues à la diffusion Brillouin. Nous observons aussi un changement de
phase du signal autour de 460 ps.
Les signaux de réflectivité mesurés présentent les différentes composantes suivantes :
•
Un signal basse fréquence ; cést la diffusion Brillouin dans les méso-poreux.
Ce signal contient línformation utile pour extraire la vitesse acoustique et
líndice optique du milieu.
•
Des changements de phase dus à la réflexion de límpulsion acoustique sur la
surface libre et línterface Film/Substrat. Une mesure précise de ce temps
fournit l´épaisseur du film.
Les figures 3.4 et 3.5 montrent dáutres signaux de réflectivité classique mesurés sur
les échantillons Z1 et Z2 où le dépôt est composé de silice et de micelle de polymère P123.
56
Figure 3.4 : inversions dans le signal de réflectivité mesuré à λsonde = 780 nm et θ =0° sur
l´échantillon Z1 composé de Silice et de polymère P123.
Figure 3.5 : signal de la diffusion Brillouin modulé par des changements de phase périodiques sur
l´échantillon Z2 composé de silice et de micelles vidées.
4. Analyse des résultats
a. Film méso-poreux Silice/Polymère
Les signaux de réflectivité contiennent plusieurs informations utiles. La première
information extraite des signaux de réflectivité est le signal interférométrique dû à la diffusion
Brillouin. Les figures 3.4 et 3.5 montrent quelques résultats obtenus. La première série
57
déxpériences où nous avons fait varier lángle díncidence à longueur dónde laser fixe
montre un bon accord entre les valeurs expérimentales et les résultats de la régression linéaire
avec les valeurs de neff et Vs extraites par la méthode statistique décrite précédemment. La
courbe de la figure 3.6 présente les mesures de la période Brillouin (les points rouges) et le
résultat de la régression linéaire (courbe bleu). Cette série de mesure correspond à la ligne
rouge du tableau du plan déxpérience (cf. figure 3.1).
FB2= f(sin2(θ))
Figure 3.6 : dépendance linéaire entre le carré de la fréquence de la diffusion Brillouin et du carré de
lángle díncidence externe. Les points rouges sont le résultat expérimental et la courbe bleue est
l’ajustement de cette série de données par les valeurs obtenues grâce à la régression linéaire.
La figure 3.7 montre une mesure complémentaire qui illustre la dépendance linéaire de
la période Brillouin en fonction de la longueur dónde (ligne bleu du plan déxpérience).
TB= f(λ)
Figure 3.7 : dépendance linéaire entre la période de la diffusion Brillouin et la longueur dónde de la
détection. Les points rouges sont le résultat expérimental et la courbe bleue est l’ajustement de cette
série de données par les valeurs obtenues grâce à la régression linéaire.
Sur les films ayant cette structure, la régression linéaire a donné une vitesse acoustique
de Vs = 2380 m/s (± 11%) et un indice de réfraction effectif du milieu de n = 1,61 (± 16%).
La seconde information extraite des diagrammes de réflectivité transitoire est le
changement de phase qui, connaissant la vitesse acoustique, renseigne sur l´épaisseur de la
58
couche mince. Dans la figure 3.3, la première inversion arrive au temps τinv = 242 ps (± 5ps).
Ce temps correspond à lárrivée à la surface libre de límpulsion acoustique générée à
línterface Zn/ SiO2- méso-poreux. Si on considère que ξ est l´épaisseur du film et que Vs est
la vitesse de propagation de lónde de compression dans le milieu, on en déduit la relation
suivante sur l´épaisseur:
ξ = τinv Vs.
La 2ième inversion arrive à 2 τinv = 2ξ/Vs qui correspond au temps dáller-retour entre
línterface et la surface libre. La localisation des inversions est faite grâce à des outils
dánalyse de données tels que la détection de la discontinuité de la dérivée.
A partir des temps dínversions relevés sur la figure 3.3, on peut estimer la vitesse de
propagation dans l´échantillon connaissant la vitesse acoustique dans le milieu déterminée
grâce à la diffusion Brillouin. Nous en déduisons ξ1 = 570 nm pour un temps dínversion de
τinv = 242 ps (± 5ps) sur l´échantillon Z1. Sur l´échantillon Z2, les inversions arrivent toute les
480 ps ce qui donne une épaisseur de dépôt de 1140 nm.
Connaissant la porosité de cette structure qui est de 53 % [30], la densité du polymère
et celle de la silice qui sont respectivement de ρP123 = 1,58 g/cm³ et ρSiO2 = 2,2 g/cm³, on peut
alors estimer la densité de la structure ρméso = 1,87 g/cm³ et déduire donc le module
longitudinal : M = 10,6 GPa.
Peu de techniques permettent de déterminer le module d’Young de matériaux en
couches minces. On recense essentiellement les méthodes de nano-indentation [46] et des
méthodes basées sur des ondes acoustiques de surface générées par un laser (SAW) [47]. Les
mesures par nano-indentation sont parmi les plus répandues en laboratoire, mais elles
présentent le défaut de surestimer systématiquement les modules d’Young des films minces à
cause de la présence du substrat. En 2000, Mogilnikov et Baklanov ont proposé lútilisation
de léllipsométrie pour estimer les changements d´épaisseur de telles structures pendant les
cycles dádsorption/désorption, les déformations subies au cours de cette phase étant
attribuées à la pression capillaire, ells sont exploitées pour la détermination du module de
Young [48] et ont permis déstimer sa valeur [30] à E = 0,43 ± 0,1 GPa, ce qui est en
désaccord avec le résultats de lácoustique picoseconde.
b. Film méso-poreux Silice/Air
Comme décrit précédemment, l´échantillon a été rincé et le polymère enlevé. Un autre
plan déxpérience a été établi afin déxtraire la vitesse acoustique et líndice optique. Les
59
figures 3.8 et 3.9 montrent les résultats expérimentaux confrontés aux valeurs de neff et Vs
issus de la régression linéaire.
TB= f(λ)
Figure 3.8 : dépendance de la période acoustique en fonction de la longueur dónde. Les points
rouges sont le résultat expérimental et la courbe bleue est l’ajustement de cette série de données par
les valeurs obtenues grâce à la régression linéaire.
La tentative dápproche de la courbe expérimentale avec une régression linéaire a
donné une vitesse acoustique de Vs = 2580 m/s et un indice de réfraction effectif de neff = 1,25
(8%). Le modèle de Maxwell Garnett permet déstimer líndice effectif dún milieu
connaissant la proportion et líndice optique de chaque constituant. Pour être dans le cadre de
la théorie de Maxwell-Garnett, il faut que les porosités aient des dimensions largement plus
petites que la longueur dónde de la lumière. Ceci est bien vérifié dans notre cas vu que les
pores font moins de 10 nm [30]. Pour ce type de matériaux la relation de Maxwell Garnett
prévoit la relation suivante entre les indices optiques et les proportions de volume :
2
2
neff
= ϕ + (1 − ϕ )nSiO
2 . A partir de cette relation, nous pouvons déduire la valeur de la
porosité : ϕ =
2
2
nSiO
− neff
2
2
nSiO
−1
2
= 51% , ce qui confirme la valeur de 53% de la porosité utilisée
précédemment.
FB2= f(sin2(θ))
60
Figure 3.9 : dépendance de la période acoustique en fonction de lángle díncidence. Les points
rouges sont le résultat expérimental et la courbe bleue est l’ajustement de cette série de données par
les valeurs obtenues grâce à la régression linéaire.
Figure 3.10 : superposition des signaux de la réflectivité transitoire de l´échantillon Z2 de silice
méso-poreuse rempli (noir) et vidé (bleue). La différence de vitesse nést malheureusement pas très
visible car le changement de vitesse de la structure remplie à la structure dont les pores sont vidés
nést que de 8%. De plus une légère inhomogénéité de l´épaisseur de la couche peut rendre les temps
dínversions très proches.
Sur la figure 3.10, on peut comparer lárrivée du front acoustique à la surface dans le
cas dúne structure de silice hydratée avec des micelles remplies de polymères (la courbe du
haut) et celle de la silice méso-poreuse. Le front dónde arrive à la surface libre plus
rapidement dans le cas des échantillons vidés, la vitesse de propagation de límpulsion
acoustique dans la structure est donc plus élevée. En effet, sur les courbes de réflectivité
relevées sur l´échantillon Z2, le temps dínversion passe de 480 ps à 467 ps. La vitesse passe
alors de 2380 m/s à 2460 m/s. Cette augmentation de la vitesse est conforme à la valeur
extraite par analyse de la diffusion Brillouin (Vs = 2580 m/s).
La porosité n´étant pas affectée par le traitement de lavage que subit l´échantillon
comme le confirme le modèle de Maxwell-Garnett, elle vaut toujours 55 %. La densité la
silice est de ρSiO2 = 2,2 g/cm³, on peut alors estimer la densité de la structure ρméso = 1 g/cm³ et
déduire donc le module de Young Eméso = 6,6 GPa. La mesure du module de Young utilisant
la technique de la pression capillaire donne encore un résultat différent de lánalyse par
diffusion Brillouin soit E = 0,47 GPa [30].
61
5. Homogénéité de la structure
Comme les échantillons sont à láir libre, un équilibre thermodynamique s´établie avec
la pression, la température et surtout avec l´humidité de látmosphère environnante. Cet
équilibre se traduit par un remplissage des pores avoisinant la surface par de la vapeur déau.
Ceci a pour conséquence une chute du module de Young qui est proportionnelle au
logarithme du taux d´humidité de láir [30]. Pour tester l´homogénéité de cette structure selon
la direction normale à la surface et chercher léxistence dún éventuel remplissage ou
déformation des pores et donc un gradient dans le module de Young, on réalise une
transformée temps fréquence (cf. annexe B) sur le signal Brillouin qui traduit par sa fréquence
la vitesse acoustique et les propriétés mécaniques locales du matériau. Comme base de
comparaison, nous avons réalisé ce test sur un échantillon de matériau homogène : du GaAs
pur. (cf. figure 3.11), le résultat est que la fréquence du signal interférométrique dû à la
diffusion Brillouin est purement monochromatique.
Figure 3.11 : signal Brillouin relevé sur un échantillon semi infini de GaAs. La courbe rouge
représente un sinus pur de période TB , la période de la diffusion Brillouin alors que la courbe bleue
est la mesure en réflectivité transitoire de la diffusion Brillouin dans le GaAs .
Reprenons nos mesures effectuées sur les échantillons méso-poreux, le signal de
réflectivité transitoire était traité en supprimant la ligne de base dórigine thermique et en
compensant les inversions acoustiques par le coefficient de réflexion approprié. Le résultat de
ce traitement est présenté sur la courbe temporelle de la figure 3.12. Nous voyons aussi que la
fréquence du signal Brillouin est constante, ce qui signifie que la vitesse acoustique est
62
constante et que la structure est parfaitement homogène dans la limite de notre résolution
spatiale qui est de lórdre dúne centaine de nanomètre.
Figure 3.12 : signal de réflectivité transitoire et sa transformée temps – fréquence réalisée sur
l´échantillon de silice méso-poreuse Z1. La courbe rouge représente un sinus pur amorti qui montre la
période constante de la diffusion Brillouin.
6. Réflectométrie optique ; validation de
l´épaisseur
Les épaisseurs annoncées et celles retrouvées par traitement des différentes
composantes du signal de réflectivité sont très différentes.
Pour tenter déxpliquer cette différence, nous allons nous intéresser au procédé de
fabrication. Lors de l´étape de dépôt des méso-poreux, plusieurs paramètres entrent en jeu
dans la détermination de son épaisseur. L´énergie de surface de la solution de tensioactif, la
rugosité du substrat et son énergie de surface. Les valeurs d´épaisseurs annoncées ont été
calculées pour un dépôt sur du silicium, or les molécules náyant pas la même affinité pour le
zinc, il sén suit une adhésion et une organisation différentes à la surface du support d´étude
[49]. Ces raisons mènent alors à considérer que l´épaisseur réellement déposée est totalement
différente de celle annoncée. Ce fait est confirmé par la réflectométrie optique présentée en
figure 3.13. Lájustement des données expérimentales issues de cette expérience par un
modèle théorique qui tient compte de líndice effectif du milieu (donc de la porosité) et de
l´épaisseur du film de méso-poreux fournit une épaisseur de 890 nm et un indice optique de
63
1.25 comme líllustre la courbe rouge de la figure 3.13. Ces valeurs sont proches de líndice
effectif et de l´épaisseur trouvés grâce à lánalyse de la diffusion Brillouin et des changements
de phase qui sont de 1,25 et 1140 nm respectivement. La différence de 22% entre l´épaisseur
trouvée par réflectométrie optique et par ultrason laser est dû au fait que lors de cet ajustement
théorique, nous návons pas tenu compte de léxistence dúne couche dóxyde qui se serait
formée pendant le dépôt. Dáutres part, la taille du faisceau de lumière blanche utilisé au
cours de cette expérience est de quelque millimètres, or sur cette surface, l´homogénéité de
l´épaisseur nést pas garantie. Nous retenons néanmoins que la réflectométrie optique indique
un dépôt épais de méso-poreux.
Figure 3.13 : réflectométrie en lumière blanche sur l´échantillon Z2, la courbe bleue est le résultat
expérimental et la courbe rouge est lájustement théorique.
7. Discussion
Plusieurs paramètres peuvent avoir une influence sur le module de Young à savoir la
rugosité de la surface du zinc poli. Le polissage mécanique permet dávoir une rugosité
moyenne de 5 nm. Cette valeur de la rugosité est dégradée par le traitement en bain acide que
le substrat subit pendant le dépôt. Or la période de la structure nést que dúne vingtaine de
nanomètre, lórganisation des méso-poreux nést plus garantie. Une analyse qualitative de la
2ième inversion (réflexion sur línterface Zn/SiO2-Hydratée) indique qu´à línterface,
ládhésion du film au substrat ne donne pas les résultats escomptés, ceci peut être dû à
lóxydation du substrat dans le bain dácide lors du dépôt du film mince. Plusieurs études ont
64
montré que le module de Young dépend certes de la porosité de la structure, mais dépend
aussi de la périodicité et de lórganisation des pores. Une structure avec une distribution
tripériodique de pores aurait un module de Young beaucoup plus faible quúne structure avec
la même porosité mais avec une distribution aléatoire des porosités [50]. Ceci peut fournir une
explication sur la différence entre les valeurs du module de Young des méso-poreux déposés
sur un substrat de Zinc et la valeur du module de Young mesurée sur un substrat de silicium.
Une autre explication peut être avancée. La méthode de la pression capillaire fournit une
mesure du module de Young en basse fréquence alors que lánalyse de la diffusion Brillouin
de la lumière par les phonons acoustique donne une estimation de ce module élastique à la
fréquence des phonons acoustiques responsables de la diffusion Brillouin. Dans une telle
structure poreuse, le module de Young dépend de la fréquence. Notre mesure peut être alors
une estimation en haute fréquence (autour de 10 GHz) de ce module élastique. La limite haute
et basse fréquence reste cependant à établir. Pour cela, une étude plus exhaustive des
propriétés visco-élastique doit être menée.
8. Conclusion
Nous avons, au cours de cette partie, déterminé certaines propriétés élastiques dún matériau
méso-poreux. Nos résultats étaient comparés à des résultats obtenus sur des échantillons
similaires mais fins (une centaine de nanomètre) et bien organisés. Ce manque dórganisation
est visible sur la courbe 2.6 qui montre le diagramme de réflectivité sous rayons X qui
présente des pics de Bragg moins nets que pour une structure ordonnée. Il est apparu que la
perte de cette organisation à cause de la grande épaisseur du dépôt influe sur le module
élastique de la structure. En effet, à porosité égale (autour de 55%), le module élastique passe
de 0,4 GPa à 8 GPa. Dáutres part, ces deux estimations du module élastique (par analyse de
la diffusion Brillouin et par pression capillaire) présentent une différence fondamentale ; la
diffusion Brillouin fournit une estimation de ce module en haute fréquence alors que la
pression capillaire en donne une mesure statique (en très basse fréquence). Cette dépendance
fréquentielle du module élastique peut être à lórigine de cette différence et reste alors à être
investiguée.
65
B. Système de low-κ nano-poreux
Les échantillons sujets d´étude dans cette partie ont étés décrits précédemment (cf.
paragraphe 2.A.2.b). Ces échantillons peuvent êtres classés en 4 catégories. Les échantillons
avec un dépôt de film mince (200 nm et 400 nm) et ceux avec un dépôt épais (800 nm), mais
aussi selon le transducteur optoacoustique (le substrat) utilisé (TaN ou Si). La qualité de
transduction étant meilleure sur un substrat métallique que sur un semi-conducteur indirect tel
que le silicium, nous avons commencé par étudier les échantillons épais de 800 nm déposés
sur du TaN.
1. Résultats expérimentaux sur les nano-poreux
épais
Pour caractériser cette structure diélectrique nano-poreuse, nous avons exploité la
diffusion Brillouin et le phénomène de changement de phase. Comme décrit précédemment
(cf. paragraphe 3.A), on a établi un plan déxpérience où on a balayé la zone [720 nm, 880
nm] sur la première variable λ et líntervalle [0, 73°] sur la deuxième θ. Les résultats sur les
courbes de réflectivités transitoires montrent des oscillations interférentielles dues à la
diffusion Brillouin modulées par des sauts de la ligne de base dus aux changements de phase.
La figure 3.14 est un exemple de signal de réflectivité transitoire et de son spectre. Les
différentes composantes présentes sur le signal présenté en figure 3.14 sont:
•
Un signal basse fréquence ; cést la diffusion Brillouin dans les nano-poreux.
Cést línformation utile pour extraire la vitesse acoustique et líndice optique
du milieu transparent.
•
Un signal haute fréquence ; cést la diffusion Brillouin dans le support de
Silicium. La longueur de pénétration optique de la sonde à 800 nm dans la
couche de TaN est de 24 nm et l´épaisseur de la couche est de 30 nm ; la sonde
pénètre dans le silicium et on détecte donc la diffusion Brillouin dans le
Silicium.
•
Un changement de phase dû à la réflexion de límpulsion acoustique sur la
surface libre et à línterface low-κ/TaN. Une mesure précise de ce temps
fournit l´épaisseur du film.
66
Figure 3.14 : réflectivité transitoire mesuré à 808 nm et 40°et son spectre
Les différentes séries de mesures T = T(λ) et F2 = F2(sin2(θ)) ont été analysées. Les
résultats par régressions linéaires portant sur λ, θ et la mesure expérimentale de la fréquence
de la diffusion Brillouin Fexp sont reportés dans les figures 3.15 et 3.16.
Période de la diffusion Brillouin (ps)
TB= f(λ)
Longueur d’onde de sonde (nm)
Figue 3.15 : dépendance de la période acoustique en fonction de la longueur dónde. Les points bleus
sont le résultat expérimental et la courbe rouge est l’ajustement de cette série de données par les
valeurs obtenues grâce à la régression linéaire.
67
Carré de
(GHz2)
la
fréquence
Fb
FB2= f(sin2(θ))
Sin2(θ)
Figure 3.16 : dépendance de la période acoustique en fonction de lángle díncidence. Les points
bleus sont le résultat expérimental et la courbe rouge est l’ajustement de cette série de données par les
valeurs obtenues grâce à la régression linéaire.
.
La régression linéaire donne une vitesse acoustique Vs = 2490 m/s (± 23 %) et un
indice optique neff = 1,31 (± 8 %). Cette valeur de la vitesse sera discutée pour déterminer si
elle correspond à la vitesse effective de propagation.
Dáutre part, grâce aux inversions on peut remonter à l´épaisseur de la couche en
connaissant la vitesse de propagation du son. La mesure précise de ces temps dínversion
nécessite lóbservation du signal de réflectivité sur une longue durée 2 ns où on pourra
observer au moins 3 changements de phase. Sur la figure 3.17, on en distingue clairement les
3 premièrs. L´écho arrive à la surface libre où il subit une réflexion à línstant τ1 = 330 ± 5 ps,
puis il est réfléchi à nouveau à línterface film poreux/Substrat aux temps τ2 = 665 ± 5 ps et τ3
= 980 ± 5 ps. Le temps dínversion moyen est alors de τinv = 330 ± 8 ps. La vitesse de
propagation effective dans le milieu étant connue grace à lánalyse de la diffusion Brillouin,
on estime l´épaisseur ξS2 = Vp τinv = 820 nm ± 25%.
68
Réflectivité Transitoire (u.a.)
-6
x 10
2
1
0
-1
0
500
1000
1500
Réflectivité Transitoire (u.a.)
Temps(ps)
-9
x 10
5
0
-5
-10
0
500
1000
1500
Temps(ps)
Figure 3.17 : signal de réflectivité et sa dérivée, on y observe la diffusion Brillouin et les trois
premiers changements de phase indiqués par des flèches
Dáutres composantes sont observées sur le signal de réflectivité. En effet, le premier
signal détecté est la vibration de la couche de TaN. La détection est sensible à la vibration de
la fine couche de ce métal qui joue le rôle dún transducteur déposé sur le silicium. La figure
3.18 montre le signal temporel détecté, sur les 15 premières picoseconde, on est en présence
dúne vibration dont le spectre est présenté plus bas. La première harmonique de la vibration
de la couche est f0 = 125 GHz.
La vitesse du son dans le TaN étant de CTaN = 5400 m/s ce qui donne une épaisseur de
la couche de TaN ; ξTaN = CTaN/2f0 = 23 nm.
Figure 3.18 : vibration de la fine couche de TaN. Au cours des 20 premières picosecondes du signal
de réflectivité, nous observons une vibration dont le spectre est présenté sur la figure du dessous. Sur
ce spectre, nous constatons un pic à 80 GHz qui correspond à la diffusion Brillouin dans le silicium et
un pic autour de 125 GHz.
69
2. Validation des constantes optiques par
réflectométrie optique
Une estimation de l’épaisseur de la couche de méso-poreux et de son indice optique
peut être obtenue par ajustement des spectres de réflectométrie expérimentale et théorique.
Cette technique de mesure optique utilise une lumière blanche en incidence normale et se base
sur léxploitation de l’interférence entre les différentes longueurs dóndes du faisceau réfléchi
par la surface de la couche et celui réfléchi par le substrat. Le coefficient de réflexion total a la
forme suivante :
r01 + r12e−2ikn1 Ep
R=
, Ep étant l´épaisseur du film, n1 et n2 sont respectivement líndice
1+ r01r12e−2ikn 1 Ep
optique du film et celui du substrat, r01 et r12 sont les coefficients de réflexion aux interfaces
air/film (milieu 0/ milieu 1) et film/substrat (milieu 1/ milieu 2) respectivement. Lánalyse de
léxpression de la réflectométrie indique que ce type de mesure ne fournit que le produit n1Ep.
Le principe de la mesure sur l´échantillon méso-poreux est illustré par la figure suivante (cf.
figure 3.19) :
Figure 3.19 : plan de mesure de la réflectivité optique en lumière blanche et en incidence normale
Líndice de réfraction optique et l´épaisseur peuvent être vérifiés grâce à lánalyse de
la réflectométrie optique. Le spectre typique obtenu pour une structure multicouche est
donnée figure 3.20. Sur cette figure, on reporte aussi le spectre simulé avec une épaisseur de
820 nm et un indice optique de 1,31 (la courbe bleue). Pour ce calcul, les courbes de
dispersion de líndice optique du silicium et du TaN sont données en annexe.
Le résultat de la mesure optique est approché par le modèle théorique décrit ci-dessus.
Il fournit le couple (n, Ep) = (1,38 ; 820 nm). Ces valeurs extraites sont conformes aux
résultats obtenus par lánalyse Brillouin et le changement de phase.
70
0.5
0.45
Réflectivité optique
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
400
500
600
700
800
Longueur dónde (nm)
900
1000
Figure 3.20: résultats de la réflectométrie optique sur l´échantillon S2. La courbe rouge est la mesure
expérimentale et la courbe bleue est le modèle théorique.
3. Caractérisation en profondeur
La grande incertitude relevée sur la vitesse acoustique soulève des questions. En effet,
les mesures effectuées sur dáutres échantillons tels que les films méso-poreux se sont
révélées plus précises. Une analyse du signal Brillouin à une longueur dónde et un angle
díncidence donnés a montré que lórigine de cette incertitude nést pas une erreur statistique
mais quélle est due plutôt au fait que la diffusion Brillouin ne contient pas une harmonique
interférentielle mais un paquet fréquentiel dúne grande largeur. La courbe 3.21 illustre cet
élargissement fréquentiel. Sur cette courbe, on a extrait le signal Brillouin de la ligne de base,
puis supprimé les inversions en compensant lámplitude du signal par le coefficient de
réflexion des interfaces en jeu : -1 pour línterface Air/nano-poreux et -0.5 pour línterface
Substrat/nano-poreux. Ce dernier coefficient de réflexion est calculé à partir de la vitesse
extraite à partir de lánalyse de la diffusion Brillouin.
.
71
Figure 3.21 : transformée temps fréquence du signal de la diffusion Brillouin.
Plusieurs hypothèses ont été avancées quant à lórigine de cette dispersion, parmi
lesquelles un gradient de température à partir de la surface.
a. Origine du changement de fréquence Brillouin
i.
Inhomogénéité de l´épaisseur de la couche
Une autre hypothèse a été avancée, si la surface du substrat nést pas parallèle à la
surface libre et quíl y a un petit angle β entre les deux plans (cf. figure 3.22), lónde
acoustique sera réfléchie avec un angle de 2 β.
Figure 3.22 : illustration de l’hypothèse sur la variation de l´épaisseur de la couche.
Le signal Brillouin à láller náura pas la même fréquence quáu retour. Mais même
dans ce cas, le signal Brillouin aura une même fréquence pendant la phase ou límpulsion
acoustique voyage de línterface Film/Substrat vers la surface libre. Ceci est contraire aux
observations faites où on voit que le Brillouin nést pas monochromatique lors de cette phase
comme le confirme la figure 3.23 où on voit la superposition dún sinus pure en rouge sur le
signal Brillouin en bleu.
72
Figure 3.23 : superposition du signal Brillouin à un sinus pur. La période du signal diminue avec la
propagation.
ii.
Traitement UV de la silice
La maîtrise de la taille des pores et de leur forme peut ouvrir la porte vers le
développement des matériaux Ultra low-k. La création des pores et la définition de leur taille
est sujet d´étude toujours dáctualité. En effet comme décrit dans la partie II.A.3, les porosités
résultent du nettoyage de la structure des chaînes de polymères introduites pendant le dépôt.
Or ce nettoyage se fait grâce à la technique « e-beam » qui risque déndommager le matériau.
Le nettoyage des low-k par Ultra-Violet sést alors imposé comme la meilleure solution pour
éliminer les polymères, dimensionner les pores et recréer des liaisons entre les atomes de ces
films minces. Mais un inconvénient majeur de cette technique apparaît, cést que líntensité de
la lumière ultraviolette à travers le film nést pas constante. Ceci peut avoir pour conséquence
que les pores ne sont pas de même taille ou quá une certaine profondeur le nettoyage ne sést
pas correctement fait. Ceci influe directement sur le module de Young et donc sur la vitesse
acoustique et par la suite sur la fréquence de la diffusion Brillouin qui peut changer
localement dúne profondeur à une autre. Ceci peut expliquer les variations observées de sa
fréquence.
Ce processus est encore en cours dínvestigation et un contrôle non destructif de cette
inhomogénéité est sujet de nombreuses recherches [51]. Ce thème a été abordé lors de la
dernière conférence IIIE (11th International Interconnect Technology Conference) à San
Fransisco en Juin 2008.
73
b. Résultats expérimentaux
Le montage pompe-sonde fournit un diagramme de réflectivité résolu en temps. Le
résultat de lácquisition est une courbe constituée dúne suite de points relevés à des instants ti
correspondant à lárrivé de l´écho à une certaine profondeur zi = Vac ti. On peut alors
considérer que le résultat dúne expérience en pompe-sonde est lánalyse locale de fine
couche empilées d´épaisseur équivalente à la largeur de límpulsion acoustique. Les
fréquences instantanées fi relevées sur le signal interférométrique Brillouin traduisent alors la
vitesse acoustique Vac(ti) à des profondeurs zi correspondants au passage de límpulsion à
línstant ti par le lieu zi. La figure 3.24 montre comment à partir de n couches successives en
profondeur, on obtient une acquisition de n point de mesures temporelles
Figure 3.24 : correspondance entre le temps dácquisition et la profondeur.
Un analyse qualitative de lánharmonicité du signal Brillouin a été effectuée en
utilisant la transformée temps fréquence appliquée au signal Brillouin. On y voit une variation
linéaire de la fréquence en fonction de la profondeur (Figure 3.21). La cohérence de cette
méthode peut être facilement vérifiée, la vitesse acoustique étant définie à une profondeur z1,
le profil des fréquences Brillouin doit être symétrique par rapport au temps dínversion et
donc lors de son passage par z1, l´écho doit générer la même fréquence quíl voyage de la
surface vers le substrat ou dans láutre sens. Ces observations sur la symétrie sont correctes
sur la figure 3.25, en effet la courbe des fréquences apparaît comme un signal triangulaire
périodique et de période 2τinv.
74
Figure 3.25 : vitesse du son en fonction du temps. Nous constatons notamment une symétrie par
rapport au temps dínversion.
Le but de cette analyse est déxtraire le profil de vitesse en fonction de la profondeur. Partant
de léxpression de la vitesse en fonction du temps, une approximation linéaire permet d´écrire
que: V (t ) = V0 +
δV
t.
tinv
(Equation 3.4)
où δV = Vf - Vi est la différence de vitesse entre la surface libre et la vitesse à línterface et tinv
est le temps dínversion i.e. le temps de vol de lónde acoustique de línterface à la surface
libre.
En intégrant cette expression, nous obtenons : z (t ) = V0 t +
δV 2
t + z 0 , la référence de láxe z
2tinv
est prise à línterface donc z(0) = Ep on déduit alors z0=Ep.
Nous essayons ensuite de déterminer le temps t qui correspond à lárrivée de lónde à la
profondeur z. Pour cela, il faut résoudre l´équation :
δV 2
t + V0 t − z = 0 . Nous réduisons alors
2tinv
− V0 + V02 +
que lónde atteint une profondeur z donnée à un instant t =
En remplaçant t dans l´équation 3.4, nous obtenons V ( z ) = V02 +
δV
2δV
z
tinv
tinv
2δV
2δV
z = V0 1 + 2 z
tinv
V0 tinv
Cette relation est obtenue en faisant lápproximation que líndice optique est uniforme tout au
long de la profondeur. Une représentation du profil de la vitesse acoustique est donnée en
figure 3.26. Le « 0 nm» correspond au moment de début des oscillations, comme límpulsion
acoustique est générée à línterface, láxe des z sera orienté du substrat vers la surface, donc le
800 nm correspond à la surface libre.
75
Figure 3.26 : vitesse du son en fonction de la profondeur. Le « 0 nm» correspond à línterface nanoporeux/substrat et le « 800 nm » correspond à la surface libre.
Si on attribue le changement de vitesse acoustique au module longitudinal M = ρVs2 et
que lón considère que la densité est constante, on obtient le profil de la figure 3.27 du module
longitudinal en fonction de la profondeur
Figure 3.27 : module de Young en fonction de la profondeur
La transformée temps fréquence ne décrit que qualitativement le changement du
module longitudinal en profondeur. En effet, cette méthode présente un inconvénient majeur;
le signal nést analysé que sur une fenêtre glissante de largeur 120 ps et on nóbtient donc
quúne moyenne de la vitesse acoustique sur une zone d´épaisseur 200 nm. Une amélioration
de la description du gradient du module élastique peut être obtenue en simulant le système de
détection.
76
c. Simulation numérique
De manière générale, la simulation numérique de la réflectivité peut donner plus
dínformation sur la structure comme líndice optique, l´épaisseur, les coefficients photoélastiques du substrat et du film, les impédances acoustiques… On rappelle ici l´équation de
la réflectivité transitoire, équation 1.27 :
∂k1 d
r12 (1 − r012 )
∆r (t )
1 ∂k1
≅ 2ik 0 u (0) + 2i
{(k1 +
) ∫ ηdz +
−ik1d
−ik1d
ik1d
ik1d
∂η 0
2 ∂η
r0
( r01e
+ r12 e )(e
+ r01r12 e )
d
2 ik ( d − z )
∫ η[r12 e 1 +
0
∞
1 −2ik1 ( d − z )
1 ∂k 2 1
e
]dz +
( − r12 ) ∫ ηe 2 ik 2 ( z −d ) dz}
r12
2 ∂η r12
d
Où les ki (i = 0, 1, 2) sont les vecteurs dóndes de la sonde dans les milieu 0 (air), 1 (film) et 2
(le substrat). Les coefficients rij sont les coefficients réflexion de la lumière aux interfaces
entre les milieux i j. u représente le champ de déplacement, η la déformation longitudinale et
d l´épaisseur du film au repos.
d. Validation du modèle
Pour simuler la réflectivité transitoire, on introduit les coefficients photo-élastiques du
film
∂k1
∂k
et du substrat 2 . On définit aussi le champ de déformation η comme suit :
∂η
∂η
z
2
v (d )
e
Avant de subir la première inversion i.e. 0 ≤ t ≤ tinv : η ( z , t ) = η 0 2
v ( z)
−(t +
∫ v ( x ) dx ) / τ
1
d
.
1
1

− ( t − t inv − ∫
dx ) / τ 

v ( x)
v ( d )  − (t + d∫ v ( x ) dx ) / τ
d
e
+e
≤ t ≤ 2tinv : η ( z , t ) = η 0 2

.
v ( z) 



z
z
2
Ensuite, pour tinv
Où V(z) est la vitesse à la profondeur z, τ la durée de límpulsion acoustique, tinv le temps
dínversion et d l´épaisseur de l´échantillon. Nous pouvons ainsi modéliser la réflectivité
transitoire en prenant compte dáutant dínversions que nécessaire.
La simulation sést révélée plus complexe à cause du grand nombre de paramètres et
dínconnues à introduire et de leur couplage tels que le temps dínversion et l´épaisseur de
l´échantillon.
77
0.06
0.04
0.04
0.02
0.02
Ref. Trans. (u.a.)
Ref. Trans. (u.a.)
0.06
0
-0.02
0
-0.02
-0.04
-0.04
-0.06
-0.06
-0.08
0
50
100
150
200
Temps (ps)
250
300
-0.08
0
350
50
100
(a)
150
200
Temps (ps)
250
300
350
(b)
Figure 3.28 : résultats de la simulation numérique, pour une vitesse longitudinale constante (a) et
pour une vitesse croissante dont le profil sera discuté plus loin. Les courbes expérimentales sont
données en bleu et les ajustements sont donnés en rouge.
La figure 3.28.a montre les résultats de la simulation avec une vitesse acoustique constante,
on voit que sur les premières 120 ps, le résultat expérimental (bleu) colle bien aux oscillations
théoriques (rouge). Ceci veut dire que sur les premières ~400 nm, la vitesse acoustique est
quasiment constante. Pour approcher au mieux la courbe expérimentale, nous avons cherché
un modèle où la vitesse longitudinale augmente au cours de la propagation. La figure 3.28.b
montre le résultat de lájustement des diagrammes de réflectivités avec une vitesse acoustique
dont léxpression est la suivante :
V (t ) = V0 + ∆Ve
 t −t0 


 τ 
, avec V0=2220 m/s, t0=30 ps, τ = 70 ps et ΔV=12 m/s
La figure 3.29 montre ce profile de vitesse en fonction du temps. Malheureusement, avec une
telle expression, il n´était pas possible de trouver une expression de la vitesse acoustique Vs(z)
en fonction de la profondeur de l´échantillon.
2.8
2.7
Vitesse acoustique (Km/s)
2.6
2.5
2.4
2.3
2.2
2.1
2
0
50
100
150
200
Temps (ps)
250
300
350
Figure 3.29 : profil de la vitesse acoustique dans l´échantillon en fonction du temps.
78
4. Film nano-poreux mince (200 nm)
Les films low-k utilisés en microélectronique ont une épaisseur qui ne dépasse pas les
200 nm dóù líntérêt d´étudier un film mince et surtout de voir si on est capable dóbserver
une dispersion du module de Young comme sur un échantillon épais.
a. Réflectométrie optique
Afin dávoir une estimation de l´épaisseur, nous avons soumis notre échantillon à une
analyse en réflectométrie optique (cf. figure 3.30). Le résultat de la mesure est approché par
un modèle théorique qui a fourni le couple (n, Ep) = (1,36 ; 223 nm).
b. Résultats de lácoustique picoseconde
La figure 3.31 montre un spectre de réflectivité enregistré avec une pompe et sonde à
750 nm, ce signal est composé dóscillations dórigine Brillouin et de plusieurs changements
de phase. Le temps dínversion étant inférieur à la période Brillouin, il sera plus simple de
travailler avec la dérivée du signal de réflectivité présentée figure 3.32.
79
Figure 3.31 : signal de réflectivité enregistré sur un film mince
Sur la dérivée présentée en figure 3.32, on observe des inversions qui arrivent aux
temps: 174ps, 345ps, 520 ps, 690 ps, 865 ps. Ces temps donnent un temps dínversion moyen
de τinv = 172 ps ± 4%. En considérant l´épaisseur trouvée par réflectométrie optique ξS4 = 223
nm, nous pouvons estimer la vitesse acoustique dans le film à Vs = 1300 m/s et donc un
module longitudinal M = 2,9 GPa.
Cette différence entre le module élastique de l´échantillon S2 et S4 est attendue vu que les
temps de préparation sous UV sont différents ; temps dont la porosité et les propriétés
mécaniques dépendent directement [52]. Malheureusement, les composants organiques des
différents échantillons sont très sensibles aux UV, des expériences pompe-sonde utilisant un
cristal doubleur de fréquence (BBO) afin de pomper en lumière rouge et sonder en lumière
bleue se sont révélées non concluantes. Même à très faible puissance du faisceau sonde (< 2
mW), nous avons constaté une dégradation de l´échantillon et la modification complète de sa
structure.
Figure 3.32 : dérivée du signal de réflectivité, on observe plusieurs inversions
80
5. Conclusion
Lors de cette étude menée sur des échantillons nano-poreux, nous avons été capables
dóbserver des inhomogénéités du module élastique dans des échantillons épais mais
également des variations des propriétés élastiques entre les échantillons "S2" et "S4" qui ont
des temps de préparation différents sous UV. Une étude complète de l´échantillon épais
"S1"qui a la même épaisseur que l´échantillon "S2" et le même temps de préparation (donc la
même structure) que l´échantillon "S4" pourrait donner une estimation plus précise du module
élastique et donc de línfluence du temps de traitement sous UV sur les propriétés élastique
des matériaux low-κ. Dans ce cas, une inhomogénéité du module élastique pourra aussi être
décrite comme pour l´échantillon "S2".
81
C. Alumine poreuse
Dans cette partie, nous allons présenter les résultats de lácoustique picoseconde
obtenus sur de lálumine nano-poreuse dont la structure, décrite en 2.B.3 est rappelée en
figure 3.33.
Figure 3.33 : l´échantillon est constitué dún substrat dáluminium, une fine couche dóxyde
dáluminium de quelques dizaines de nanomètres d´épaisseur et dúne couche épaisse dálumine
nano-poreuse de plusieurs centaines de nanomètres.
Différents travaux ont été menés sur lálumine macroporeuse [53, 54]. Ces études ont
été menées sur de lálumine ayant des porosités de différentes géométries et distributions dans
léspace. Les résultats issus de ces études vont nous servir de base de comparaison notamment
pour le module de Young de lálumine poreux.
Au cours de notre étude, nous allons estimer certaines propriétés de notre échantillon
telles que son épaisseur, son indice optique, sa porosité, la vitesse du son des ondes
longitudinales et lábsorption acoustique grâce à la diffusion Brillouin et la méthode
impulsion-écho. Dans un deuxième temps, nous allons étudier les différents modes de
vibration dún tel résonateur composite.
1. Résultats Expérimentaux
a. Analyse de la diffusion Brillouin
Nous avons enregistré le spectre de réflectivité transitoire dans différentes
configurations (longueur dónde de la sonde et angle díncidence variables). Les figures 3.34,
82
3.35 et 3.36 sont des exemples des signaux de réflectivité obtenus à différents vecteurs dónde
de sonde.
(a)
(b)
(c)
(d)
Figure 3.34: signaux de réflectivité enregistrés à 735 nm sous une incidence de 73° (a) et 63° (d) et
750 nm sous une incidence de 41° (b) et 73° (c). Nous enregistrons lárrivée dún écho à 140 ps. De
plus, des oscillations dórigine Brillouin sont présentes. La disparition de límpulsion acoustique
après deux allers-retours ne permettant pas de distinguer plus de deux périodes de la diffusion
Brillouin, nous avons multiplié les expériences afin de minimiser lérreur commise sur la lecture de
cette période.
Sur ces courbes de réflectivité transitoire, les composantes suivantes apparaissent:
•
une harmonique qui dépend de la longueur dónde de détection. Cést une harmonique
due à la diffusion de type Brillouin du faisceau sonde par límpulsion acoustique qui se
propage dans le film.
•
un écho qui arrive à 140 ps et qui sera exploité afin de déterminer l´épaisseur et
lábsorption acoustique dans le film.
•
un changement de phase qui a lieu à 75 ps et 150 ps.
83
Figure 3.35: courbe de réflectivité à 400 nm et 73°
Figure 3.36 : courbe de réflectivité à 400 nm et 41°
Plusieurs mesures ont été effectuées à différentes longueurs dóndes afin déxtraire líndice
optique et avoir une estimation de la vitesse acoustique. A cause de la forte contribution du
signal interférométrique, ces oscillations Brillouin nónt pu être observées à toutes les
longueurs dóndes de travail (cf. figure 3.38). Aucun plan déxpérience ná pu être établi et les
mesures ont donc porté sur les longueurs dónde où on a pu observer des oscillations à savoir
735 nm, 750 nm et 842 nm. Pour trancher sur la nature de cette oscillation supposée dórigine
Brillouin, une mesure en sonde bleue (400 nm) a été effectuée.
Sur les figures 3.35 et 3.36 qui montrent les résultats obtenus en sonde bleu, nous
observons que la période du signal interférentiel dû à la diffusion Brillouin se trouve doublée.
En effet, avant línversion nous constatons deux oscillations en 75 ps alors que sur le signal en
sonde rouge (735 nm) on observe les deux oscillations au bout de 145 ps (cf. figure 3.34).
84
Longueur dónde Angle
de sonde (nm)
díncidence (°)
800
73
735
34
735
42
735
63
735
73
750
21
750
41
750
73
400
41
400
73
400
21
Texp(ps) TThéo (ps)
73,8
70,4
50
53,1
47
55,2
57,3
61,8
65,5
64,7
56,8
51,7
64
56,0
70
66,0
26,4
29,9
31
35,2
24,4
27,6
Vecteur dónde
optique (106 m-1)
8,8
11,6
11,2
10,0
9,5
11,9
11,0
9,4
20,7
17,5
22,4
Tableau 3.1 : tableau récapitulatif des différentes mesures de la période de la diffusion Brillouin en
fonction du vecteur dónde incident.
Le traitement des résultats sur la diffusion de type Brillouin de la lumière a donné une
vitesse acoustique de 5090 m/s (± 7 %) et un indice effectif de 1,51 (± 4%). La figure 3.37
présente les résultats expérimentaux et les valeurs ajustées grâce au couple (n, Vs) extrait à
différents vecteurs dónde de sonde.
La valeur mesurée de la vitesse montre que le milieu poreux est désorganisé. En effet
si le milieu était constitué de colonnes dáir non communicantes et donc parallèles et
organisées, la vitesse acoustique serait égale à la vitesse de plaque dans lálumine soit 10520
m/s.
Figure 3.37 : ajustement des mesures expérimentales par les données issues de la régression linéaire.
Le couple (n, Vs) = (1,51 ; 5090 m/s) fournit un bon ajustement des données expérimentales.
85
b. Impulsion écho, épaisseur de l´échantillon
A 800 nm, en incidence normale, les expériences menées en acoustique picoseconde
montrent un écho et sa réflexion sur la surface libre (cf. figure 3.37). Ces échos arrivent toutes
les 140 ps (± 5ps). Límpulsion acoustique générée dans láluminium se propage vers la
surface où elle est réfléchie, on détecte son arrivée à línterface une première et puis une
deuxième fois. Les temps técho, 2técho où on détecte ces impulsions correspondent aux temps
dún et de deux allers-retours. Lánalyse de la diffusion Brillouin a renseigné sur la vitesse
acoustique, à partir du temps técho, une estimation de l´épaisseur peut alors être faite.
L´épaisseur de la couche dálumine anodisée est ξ poreux = V por t echo = 356 nm (± 10 %). Cette
valeur est proche de la hauteur annoncée des murs dálumine 350 nm. La structure de ces
échos sera utilisée par la suite pour remonter à lábsorption acoustique dans lálumine
poreuse.
Figure 3.38: mesure de réflectivité à 800 nm sur lálumine anodisée. Les deux flèches pointent l´écho
et sa réflexion qui arrivent respectivement à 140 et 280 ps.
c. Oxydation du substrat
Les expériences pompe sonde révèlent léxistence dúne couche dálumine entre le
substrat dáluminium et lálumine poreux. En effet, une vibration dont la période se situe
autour de 6 ps apparaît lorsquón síntéresse à l´échelle des temps courts (0-10 ps)
Soit Eo l´épaisseur de la couche dóxyde dálumine, la période des oscillations sera
alors de 2 Eo/CAl2O3 = 6 ps soit des oscillations à 165 GHz (± 13 %). Ceci donnerait une
estimation de l´épaisseur de la couche dóxyde de 32 nm (± 4 nm). Généralement la
profondeur dóxydation à láir libre est dúne vingtaine de nanomètres. La figure 3.39 montre
les oscillations en question relevées sur la dérivée de la réflectivité transitoire et leur spectre.
86
Figure 3.39 : dérivée de la réflectivité transitoire. Nous observons des oscillations de haute fréquence
dues à la vibration dúne fine couche dálumine
d. Vibration à 24 GHz
En plus des composantes décrites précédemment, une fréquence pure apparaît sur le
signal de réflectivité de la figure 3.40. Sa densité spectrale, donnée en figure 3.41 montre que
cette vibration a un très grand facteur de qualité. Dans le domaine temporel, ceci se traduit,
comme nous lóbservons par un temps de vie très long, supérieur à 1,2 ns. En plus de la raie à
24 GHz, nous notons sur le spectre la présence dáutres harmoniques dámplitudes moins
importantes à 11 et 30 GHz.
Figure 3.40 : oscillation 24 GHz qui vit au delà de 1,2 ns. De plus nous voyons quíl y a des sauts de
phase dus au multiplexage de plusieurs fréquences plus visibles sur le spectre.
87
-9
x 10
6
Amplitude
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
Frequence (GHz)
50
60
70
Figure 3.41: spectre du signal de réflectivité entre 200 ps et 1,2 ns. Après léxtinction du signal
Brillouin, nous enregistrons des fréquences pures à 11 GHz, 24 GHz et 30 GHz sur le spectre.
La première tentative déxplication de lórigine de cette harmonique à 24 GHz vise à éliminer
une contribution de type diffusion Brillouin. Sur les différentes mesures faites dans la gamme
735 nm…842 nm aucune dispersion de fréquence ná pu être constatée. Une expérience
réalisée avec des faisceaux de pompe rouge et sonde bleue montre que la fréquence de cette
vibration ne dépend pas de la longueur dónde du faisceau sonde comme le montre la figure
3.42. Sur cette figure, où nous avons considéré la dérivée temporelle du signal de réflectivité,
la courbe rouge est le résultat dúne acquisition menée avec un faisceau sonde rouge à 735 nm
et la courbe bleue le résultat dúne expérience menée pour une sonde bleue (400 nm). Ceci a
permis d´éliminer la diffusion Brillouin comme origine de cette fréquence.
Figure 3.42 : vibration à 24 GHz en sonde bleu (courbe bleue) et sonde rouge (courbe rouge). Nous
constatons que la fréquence du signal Brillouin a doublé (partie du signal entre 0 et 250 ps). Par
contre l´harmonique à 24 GHz ná pas changé de fréquence.
88
Plusieurs hypothèses ont été avancées quant à lórigine de cette harmonique. Nous avons émis
une hypothèse selon laquelle cette vibration correspondrait à des vibrations longitudinales des
murs dálumines. Les conditions aux limites imposées aux murs dans notre structure sont : les
murs sont fixes à línterface Alumine poreux/Alumine et libres à la surface libre. Sén suit
alors que la hauteur L des murs doit satisfaire la relation L = λac(2n+1)/4. Or aucun n entier
satisfaisant cette relation ná pu être trouvé. L´harmonique à 24 GHz ná pas pu être identifié
comme une vibration des colonnes dáir car un tel mode aura un fondamental à une fréquence
autour de 5 GHz. Dáutres origines vibratoires de cette harmonique ont été envisagées telles
qu’une onde qui se propage le long de la surface interne des tubes dálumine. De telles ondes
auront une fréquence de 28 GHz. En outre, les vibrations transverses des colonnes dálumine
ont une fréquence de 140 GHz.
Pour expliquer lórigine de cette vibration à 24 GHz, nous allons nous intéresser à la vibration
de lénsemble constitué de la couche dálumine poreuse + couche dálumine.
e. Modes propres dún résonateur composite
Nous allons à présent étudier la vibration dúne structure multicouche. Les modes de
vibrations couplés seront décrits de manière théorique pour être ensuite comparés à nos
résultats expérimentaux.
Figure 3.43: schéma de la structure multicouche. Les épaisseurs, densités et vitesses acoustiques des
différentes couches sont données ci-dessous.
Considérons la structure définie sur la figure 3.43. Nous allons définir les champs de
déplacement acoustique dans les milieux (1), (2) et (3) notés respectivement u1, u2 et u3:
89
u1 ( x, t ) = U1+ e i (ωt −k1x ) + U1− e i (ωt +k1x )
u2 ( x, t ) = U 2+ e i (ωt −k2 ( x−h1−h2 )) + U 2− e i (ωt +k2 ( x−h1−h2 ))
u3 ( x, t ) = U 3 e i (ωt −k3 ( x−h1−h2 )
Les ki et hi sont respectivement les vecteurs dóndes acoustiques et les épaisseurs des milieux
(i).
La condition aux limites à la surface libre s´écrit:
 ∂u1 

 =0
 ∂x  x =0
On obtient alors la relation U 1+ = U 1− ≡ U 1
(Équation 3.1)
La continuité des déplacements à línterface entre les milieux (1) et (2) s´écrit:
U1 (e − ik1h1 + e ik1h1 ) = U 2+ eik2h2 + U 2− e −ik2h2
Ou encore 2U 1 cos( k1 h1 ) = U 2+ e ik 2 h2 + U 2− e − ik2 h2
(Équation 3.2)
La continuité de la contrainte à línterface entre les milieux (1) et (2) s´écrit :
 ∂u 
 ∂u 
= ρ 2 c 22  2  :
ρ1c12  1 
 ∂x  x = h1
 ∂x  x = h1
ρ1c12U 1 ( −ik1 )(e − ik1h1 − e ik1h1 ) = ρ 2 c22 (−ik 2 )(U 2+ e ik 2 h2 − U 2− e − ik2 h2 )
Ou encore
− 2i
ρ1c1
U1 sin(k1h1 ) = U 2+ e ik2 h2 − U 2− e −ik 2 h2
ρ 2 c2
(Équation 3.3)
Pour simplifier l´écriture des équations, on peut introduire le rapport des impédances
acoustiques entre les milieux (i) et (j).
Ν ij =
ρi ci
ρ jc j
L´équation 3.3 s´écrit alors :
− 2iN12U1 sin(k1h1 ) = U 2+ e ik2 h2 − U 2− e −ik2 h2
(Équation 3.4)
La continuité des déplacements à línterface entre les milieux (2) et (3) s´écrit :
U 3 = U 2+ + U 2−
(Équation 3.5)
90
La continuité des contraintes à línterface entre les milieux (2) et (3) s´écrit :
 ∂u 
 ∂u 
ρ 3 c32  3 
= ρ 2 c 22  2 
 ∂x  x = h1 + h2
 ∂x  x = h1 + h2
ρ 3c32U 3 (−ik3 ) = ρ 2c22 (−ik 2 )(U 2+ − U 2− )
(Équation 3.6)
En remplaçant dans l´équation 3.6 U3 par sa valeur déduite de l´équation 3.5 nous arrivons a :
U 2+ + U 2− = N 23 (U 2+ − U 2− )
Dóù alors : U 2− =
N 23 − 1 +
U2
N 23 + 1
(Équation 3.7)
Nous remplaçons ensuite U 2− dans les équations 3.2 et 3.4 par son expression obtenue en 3.7,
nous obtenons alors :


N −1
2U 1 cos( k1 h1 ) = U 2+  e ik 2 h2 + 23 e − ik 2 h2 
N 23 + 1


(Équation 3.8)


N −1
− 2iN12U 1 sin(k1h1 ) = U 2+  e ik 2 h2 − 23 e − ik 2 h2 
N 23 + 1


(Équation 3.9)
Les conditions de résonances sont alors obtenues pour :
 ik 2 h2 N 23 − 1 − ik 2 h2 
 e

e
−
N
1
+
23

N12 tan(k1h1 ) = i 
 ik 2 h2 N 23 − 1 −ik 2h2 
 e

e
+
N
1
+
23


Nous obtenons enfin :
N12 tan( k1h1 ) =
1 + iN 23 tan( k2 h2 )
tan( k2 h2 ) − iN 23
(Équation 3.10)
L´équation qui définit les pulsations des modes de résonance couplés est la suivante :
 ωh 
1 + iN 23 tan 2 
 ωh 
 c2 
N12 tan 1  =
 c1  tan ωh2  − iN
23
 c 
 2 
(Équation 3.11)
La résolution de cette équation se fait par méthode numérique. Nous allons chercher les
racines complexes de l´équation :
91
 ωh   ωh 
 ωh   ωh 
 ωh   ωh 
g (ω ) = N12 sin 1  sin 2  − iN 23 N12 sin 1  cos 2  − cos 1  cos 2 
 c1   c2 
 c1   c2 
 c1   c2 
 ωh   ωh 
− iN 23 sin 2  cos 1  = 0
 c2   c1 
Les valeurs prises pour cette résolution numérique sont les suivantes :
•
densité milieu 1 (alumine poreuse) : ρ1 = 0,57*ρ2; (porosité 0.43)
•
densité milieu 2 (alumine pure):
ρ2 = 3,86 Kg/m³;
•
densité milieu 3 (aluminium pur):
ρ3 = 2,7 Kg/m³;
•
vitesse acoustique Milieu 1:
c1 = 5090 m/s;
•
c2 = 10520 m/s;
•
c3 = 6420 m/s;
•
épaisseur du Milieu 1:
h1 = 356 10-9 m;
•
épaisseur du Milieu 2:
h2 = 33 10-9 m;
Figure 3.44 : tracé du module de la fonction g(ω). Les solutions complexes trouvées correspondent
aux zones où la courbe est bleu foncé.
La résolution de l´équation |g(ω)|=0 sur Matlab donne les solutions complexes des fréquences
propres fi suivants:
f1 = f1’+i f1’’ = (3,237 + i 1,488) GHz
f2 = f2’+i f2’’ = (9,955 + i 1,096) GHz
f3 = f3’+i f3’’ = (16,984 + i 0,693) GHz
f4 = f4’+i f4’’ = (24,156 + i 0,390) GHz
f5 = f5’+i f5’’ = (31,382 + i 0,175) GHz
92
f6 = f6’+i f6’’ = (38,628 + i 0,021) GHz
Reprenons nos signaux de réflectivité transitoire. Sur la figure 3.45, nous présentons les
signaux enregistrés à 735 nm et 41° (a1) et 750 nm et 21° (b1). Une dérivation du signal par
rapport au temps et une isolation de la partie pour t > 200 ps permet de visualiser les
harmoniques hautes fréquences (a2) et (b2). Finalement nous présentons le spectre de ces
vibrations (a3) et (b3).
Diagramme de Réflectivité :
(a1)
(b1)
-4
-8
x 10
1.5
5
x 10
4
1
Réflectivité transitoire (u.a.)
Réflectivité transitoire (u.a.)
3
2
1
0
-1
-2
-3
0.5
0
-0.5
-1
-4
250
300
350
400
450 500 550
temps(ps)
600
Vibration haute fréquence
650
700
-1.5
0
750
200
300
400
500
600
Temps (ps)
700
800
(a2)
900
1000
(b2)
-4
-5
5
100
x 10
x 10
1
4.5
4
0.8
3
Amplitude
Amplitude
3.5
2.5
2
0.6
0.4
1.5
1
0.2
0.5
0
0
10
20
30
40
Frequence (GHz)
Densité spectrale des signaux
50
60
0
0
70
(a3)
10
20
30
40
50
Frequence (GHz)
60
70
80
(b3)
93
Figure 3.45 : diagramme de réflectivité á 735 nm et 41° (a) et 750 nm et 21° (b). Les spectres
montrent plusieurs harmoniques à 11 GHz, 24 GHz et 30 GHz qui correspondent aux modes propres
f2, f4 et f5
Les fréquences f2, f4 et f5 semblent correspondre aux fréquences relevées sur les spectres des
signaux de réflectivité présentés en figure 3.44 (11 GHz, 24 GHz et 30 GHz). En plus de la
concordance des fréquences de résonance de ces modes, leurs temps de vie observés sur les
courbes de réflectivité (temps de vie > 1,2 ns) est comparable à leur temps de vie dû au
couplage entre les couches à ces fréquences (le temps de vie du mode à 24 GHz est de 2,5 ns).
Fréquence du mode (GHz)
Temps de vie (GHz-1)
Facteur de qualité
F1
3,237
0,67
2,17
f2
9,855
0,91
9
f3
16,984
1,44
24,5
f4
24,156
2,56
61,9
f5
31,382
5,7
179
f6
38,628
47,6
1840
Tableau 3.2: fréquence des modes propres, temps de vie associé et facteur de qualité des oscillations.
Les modes propres ont des facteurs de qualité plus élevés en hautes fréquences.
La fine couche dálumine joue un rôle essentiel dans léntretient des vibrations hautes
fréquences, sa fine épaisseur favorise leurs existences au delà du signal Brillouin en leurs
assurant un temps de vie long. Autrement dit, le facteur de qualité des vibrations est plus
grand en haute fréquence comme líndique le tableau 3.2. Une simulation numérique visant à
déterminer les effets de la présence de cette couche a été menée et au cours de laquelle, nous
avons fait varier l´épaisseur de la couche entre 28 et 40 nm. Le but de cette simulation est de
voir léffet de cette variation de l´épaisseur sur les fréquences de résonance (partie réelle des
fi) dún coté et sur le facteur de qualité des vibrations dún autre coté. La figure 3.46 montre le
résultat de cette simulation. Nous constatons dúne part, que la partie réelle de la fréquence de
résonance ne change pas. En effet, lorsque l´épaisseur de la couche dálumine passe de 28 nm
à 40 nm, la 4ième fréquence de résonance par exemple passe de 24,13 à 24,22 GHz soit un
rapport
∆f
de moins de 0.4%. D áutres part, lorsque l´épaisseur de cette couche augmente,
f
le nombre de solutions de l´équation des valeurs propres (cf. équation 3.11) baisse. Dans notre
cas, en passant de 28 nm à 40 nm d´épaisseur de couche, les solutions à 38 GHz et 41 GHz
94
disparaissent (cf. figure 3.46). Dans le cas limite où l´épaisseur de cette couche est nulle, nous
obtenons une infinité de modes qui sont les modes de vibration classiques dúne couche, libre
dún coté et chargée par de láluminium de láutre coté. Le temps de vie des oscillations, dû
au rapport dímpédance acoustique entre les deux milieux est dans ce cas de 570 ps. Ceci nous
permet dáffirmer que cette couche joue le rôle dún réflecteur qui entretient les oscillations
de fréquences élevées qui ont alors un facteur de qualité plus élevé (leur temps de vie passe de
0,570 ns à 2,56 ns par exemple pour le 4ième mode).
.
Figure 3.46 : évolution du facteur de qualité des différents modes de résonances en fonction de
l´épaisseur de la couche 2 du résonateur composite
.
Nous allons maintenant tenter de comprendre pourquoi seules quelques fréquences (f2, f4 et f5)
apparaissent sur le signal de réflectivité. Pour cela, intéressons-nous à la détection optique de
ces modes dont le déplacement à línstant t est donné par la figure 3.47. Nous commençons
par rappeler la variation de réflectivité induite par une déformation η.
Ces termes décrivent lénsemble des phénomènes précédemment discutés et présents sur le
signal de réflectivité tels que les échos, la diffusion Brillouin et les inversions. Dans cette
partie nous nous limitons à la détection des vibrations dans l´échantillon. Pour cela, nous
95
nállons considérer que le terme décrivant le couplage photo-élastique dans lálumine
poreuse. Après avoir choisi arbitrairement un coefficient photo-élastique pour lálumine
poreuse, nous introduisons les champs de déformation associés aux champs de déplacement
présentés en figure 3.47.
Figure 3.47 : champs de déplacement associés aux vibrations de fréquences f1, f2, f3, f4, f5 et f6
96
Le résultat de ce calcul fournit lámplitude relative de la perturbation du faisceau sonde pour
chaque résonance acoustique. Pour un faisceau sonde dont la longueur dónde est de 750 nm
et dont lángle díncidence est de 21° (conditions expérimentales de la figure 3.45 b) le
résultat obtenu est illustré par la figure 3.48. La convolution du champ électromagnétique de
la sonde avec la vibration f1 et f3 induit une perturbation très faible sur le signal de réflectivité
et ne permet pas la détection de ces modes.
Figure 3.48 : amplitudes relatives des perturbations de líntensité optique par chaque mode de
vibration. Les amplitudes relatives associées aux modes f1, f2, f3, f4 et f5 sont respectivement 0,08 ; 1 ;
0,12 ; 0,57 et 0,76.
Le résultat de cette simulation montre que dans les conditions expérimentales de l’expérience
dont le résultat est présenté en figure 3.45 (vecteur d’onde de sonde à 9 106 m - 1), seules les
modes 2, 4 et 5 peuvent être détectés.
2. Calcul de la porosité ; extraction du module
longitudinal
a. Calcul de la porosité
i. Par analyse de la diffusion Brillouin
97
La réflectivité transitoire renseigne sur líndice optique effectif du milieu neff = 1,51.
Connaissant sa composition (alumine et air), nous pouvons déduire grâce à un modèle de
milieu effectif les proportions de chacun des constituants. Le modèle MaxwellGarnett, présenté en annexe peut être appliqué dans notre cas vu que la taille des porosités
(autour de 35 nm) est plus petite que la longueur dónde de la lumière (400 à 800 nm). Ce
modèle prévoit la relation suivante sur líndice effectif de notre milieu en fonction de la
proportion dáir φ et dálumine (1- φ) : neff2 = nAlumine2(1- φ)+ φ nair2 = (1,51)2.
Nous déduisons alors que la porosité φ est de 0,41 (± 8%).
Nous essayerons de vérifier cette valeur de la porosité en utilisant une méthode numérique de
traitement des images SEM.
ii. Par traitement dímages
Le traitement des images issues dánalyse SEM est un outil puissant qui permet de
réaliser des cartographies et reconstructions en 3D des zones imagées [55] ou même de
trouver la densité ou la porosité dún échantillon [56]. Nous allons utiliser ce procédé pour
tenter de valider la valeur de la porosité retrouvée en analysant le signal de la diffusion
Brillouin. Pour cela, on effectue une discrimination des contrastes de límage SEM (cf. figure
3.49) de l´échantillon. Le principe est de lire les attributs de couleurs de chaque pixel. La
couleur noire (dáttribut ‘0’) caractérisera les colonnes et le blanc (‘255’) caractérise les murs
dóxyde. En réalité ces murs dóxyde sur límage SEM ne sont pas blancs, il faut donc
discriminer à un taux de gris qui correspond à láttribut de la couleur des murs. Nous
choisirons un taux de discrimination (taux de gris) de ‘90’ (cf. figure 3.50). Ce choix est
imposé par la couleur de transition entre les murs dálumine de couleur grise et les colonnes
dáir de couleur noir. On remarquera que dans la zone de gris entre 80 et 100, le résultat sur la
porosité ne change que de 5%.
Il est à noter que lánalyse de límage SEM ne donne quúne information relative à la
surface, nous supposons donc que la structure de l’échantillon est homogène en profondeur ;
i.e. une coupe à une profondeur z ne doit pas différer de la surface vue par SEM.
98
Figure 3.49: image SEM de la surface de lálumine poreuse. A partir d’un comptage des pixels de
límage et des couleurs associées, nous pouvons déterminer la proportion de noir i.e. la proportion
dáir.
A partir de la courbe de 3.50, nous déduisons une porosité de 0,43 (± 7%) ce qui est en accord
avec les résultats de lánalyse de la diffusion Brillouin.
Figure 3.50: courbe de la porosité en fonction de la discrimination choisie. Le taux de discrimination
choisi en fonction des attributs de couleur fournit une estimation de la porosité.
Partant de la porosité, nous pouvons remonter aux dimensions moyennes des colonnes
dáir et des murs dálumine en supposant que notre échantillon est organisé. Selon la figure
3.51, nous définissons une surface élémentaire composée par des murs dálumine et trois
colonnes dáir.
Figure 3.51 : schématisation de la surface. La cellule élémentaire en vue de coupe est composée de 3
cercles de rayon R espacée de e.
99
La porosité est le rapport de la surface de láir sur la surface totale. φ = SAir/ Stot (nous
supposons que l´épaisseur des colonnes est uniforme tout au long de la profondeur)
On définit R comme étant le rayon des colonnes, d la distance entre 2 pores et e l´épaisseur
des murs (d = 2R+e), Sair est la surface de láir sur la vue de coupe et Stot la surface totale de la
maille élémentaire.
SAir =
3 2
π 2
R et Stot =
d
2
4
La porosité est le rapport des deux surfaces: φ = 3,62
Ceci donne un rapport
R2
∈ {0,4;0, 46}
d2
d
e
∈ {2,8;3} et donc ∈ {0,8;1}
R
R
Soit un rapport entre l´épaisseur des murs et le rayon des cylindres :
e
= 0,9 ± 11%
R
Une mesure moyenne sur límage SEM donne un diamètre 2R = 54 nm et une épaisseur de
murs e = 24 nm. Le rapport moyen entre l´épaisseur des murs et le rayon des cylindres est
alors
e
= 0,89
R
b. Extraction du module longitudinal M
La valeur de la porosité déduite nous permet de déterminer la densité ρ2 du milieu poreux :
ρ2 = (1- φ)ρAlumine + φ ρair ; connaissant la densité de l’alumine : ρ1 = 3,97 g/cm³ et la densité
de l’air ρair = 0,0012 g/cm³, la densité du milieu poreux peut être estimée alors à: ρ2 = 2,26
g/cm³ (± 8%) . Connaissant la vitesse acoustique et la densité, nous pouvons déduire le
module longitudinal de lálumine poreux qui est de Mméso= 56,6 GPa et donc estimer le
module de Young de lálumine poreux à Eméso = 59 GPa soit 13 % par rapport à lálumine pur
qui a un module de Young de EAlumine = 440 GPa.
Le module de Young des structures poreuses a suscité beaucoup díntérêt dans les années 60.
Pas moins dúne dizaine de modèles semi-empiriques se sont intéressés à l´évolution du
module de Young en fonction de la porosité [53, 54]. Lún des modèles empiriques les plus
utilisés est le modèle de Phani-Niyogi qui exprime le module de Young de la structure
poreuse E en fonction du module de Young de la structure massive E0 et deux coefficients
100
« a » et « n » qui dépendent du matériau. Ce modèle stipule que : E = E0 (1-aφ)n. Or, aucun de
ces modèles ne tient compte de la géométrie ni de la distribution des pores. Des modèles
empiriques plus récents [54] ont pris en compte différentes formes et organisations des pores
tels que des pores sphériques chevauchants (Ο, a) des pores sphériques (, b) et des pores
elliptiques (Δ, c) et ont établi le module de Young de lálumine poreuse en fonction de la
porosité et de la forme des pores (cf. figure 3.52):
Figure 3.52 : rapport du module de Young entre lálumine et lálumine poreux en fonction de la
porosité [54].
Ce résultat est en accord avec des résultats obtenus dans des études sur lálumine poreuse à
l´échelle macroscopique (cf. figure 3.50) qui donnent un rapport Eporeux /EAlumine de 13 % pour
une porosité de 43 %. Notre structure en colonnes dáir communicantes se situe, par son
module de Young, entre les pores sphériques chevauchants et les pores elliptiques.
3. Détermination du coefficient d’absorption
acoustique
Les mesures de réflectivité transitoire à 800 nm en incidence normale ont permis de fournir
une estimation de l´épaisseur de l´échantillon grâce à la méthode impulsion écho. A présent,
nous allons exploiter ces échos pour déterminer lábsorption acoustique dans lálumine
poreuse. Cette méthode basée sur la comparaison des spectres des échos a été introduite au
101
début des années 90 par Zhu et al [58]. Le principe est le suivant ; nous considérons les deux
échos précédemment observés, le premier écho a voyagé 712 nm (un aller-retour, donc deux
fois l´épaisseur de l´échantillon) alors que le second a voyagé 1424 nm (deux allers-retours,
donc quatre fois l´épaisseur de l´échantillon). Nous allons donc essayer de déterminer
lábsorption acoustique sur 712 nm en comparant le contenu fréquentiel de ces deux échos. La
figure 3.53 montre ces 2 échos dans le domaine temporel. La figure 3.54 présente leurs
spectres respectifs.
-6
3.5
x 10
3
Trans. Refelect. (u.a.)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-50
0
50
100
150
200
Temps (ps)
250
300
350
400
Figure 3.53 : les 2 échos ont été isolés par apodisation gausienne tel que leurs contenus fréquentiels
ne changent pas.
Une Transformée de Fourier Rapide (FFT) a été effectuée sur les deux échos (cf. Figure 3.54).
En bleu, on a la FFT du premier écho et en rouge la FFT du second. Il est à noter que le
deuxième écho, ayant en plus subit une réflexion à línterface Al2O3/Al2O3 poreux, son
amplitude a été corrigée de 1/R, où R est le coefficient de réflexion acoustique à cette
interface.
102
Figure 3.54 : les contenus fréquentiels des deux échos. En bleu, le spectre de límpulsion à láller et
en rouge, son spectre au retour. Il suffit de les comparer pour obtenir lábsorption sur 712 nm.
Une onde acoustique plane peut se propager dans un milieu poreux tant que sa longueur
dónde est largement plus grande que les inhomogénéités dans ce milieu. Quand la longueur
est petite (onde plane de haute fréquence), le front dónde acoustique perd sa cohérence et
lónde sátténue sous léffet de la diffusion [59, 60]. Dans notre étude, le contenu fréquentiel
des échos étant limité à une cinquantaine de GHz, la longueur dónde de notre onde
acoustique est dáu moins 100 nm. Dans ces conditions et à température ambiante,
látténuation acoustique se traduit par une partie imaginaire dans le vecteur dónde k. La
propagation du pulse est alors décrite par: k = ω/c –jα. Le facteur dátténuation acoustique α
suit une loi en ω². La figure suivante (cf. figure 3.55) montre la courbe dábsorption
expérimentale (rouge) approchée par une loi en βω², avec β = 11,3 10-3 /THz²/nm. Cette
valeur est du même ordre que lábsorption acoustique dans un matériau nano-poreux, le SiOC
dont le coefficient dábsorption acoustique est β = 10.10-3 THz-2 nm-1 et dans la silice β =
1,2.10-3 THz-2 nm-1 [20]
103
-3
1
x 10
0.9
0.8
Absorption
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
30
Frequence(GHz)
35
40
45
50
Figure 3.55 : la courbe dábsorption en fonction de la fréquence. La courbe bleue est lápproche en
βω².
4. Conclusion
Dans cette partie consacrée à l´étude de lálumine poreuse, nous avons pu extraire des
propriétés élastiques importantes pour des applications industrielles. De plus, nous avons mis
en évidence le comportement d'un oscillateur composite. Les dimensions et les propriétés
élastiques des différentes couches composant cet oscillateur ont été identifiés et confirment
les résultats précédemment obtenus. D'autres aspects non moins intéressants ont été laissés de
côté et méritent plus dápprofondissement, par exemple la sensibilité de la détection optique
aux différentes fréquences de résonance de la structure. Comme nous avons pu lóbserver, la
détection optique ne permettait pas de détecter les premier et troisième modes propres. Des
expériences menées avec un vecteur dónde de sonde différent (longueur dónde et angle
díncidence) pourrait permettre de visualiser ces modes.
Enfin, nous avons observé une loi d'absorption en βω². Cette loi dátténuation est cohérente
avec les lois physiques exprimant látténuation dans des matériaux considérés homogènes à
l´échelle de la longueur dónde acoustique (> 100 nm). Cependant, une étude sur un film plus
fin déposé sur un substrat permettant de fournir des impulsions acoustiques large bande (en
fréquence) pourrait renseigner plus en détails sur lábsorption acoustique dans les hautes
fréquences > 60 GHz.
104
105
Chapitre 4
_
Opales Synthétiques
Dans ce chapitre, nous allons exposer l´étude concernant léxcitation optique de modes
de vibrations dans les opales synthétiques. Une présentation de ces opales a été donnée en
chapitre 2. Léxcitation optique de particules isolées submicroniques voire nanométriques a
été abondamment décrite dans la littérature [61, 62, 63]. Ces particules, pour la plupart
métalliques ont permis de mettre en évidence quíl était possible déxciter les modes de
vibrations « respiratoires » grâce à des impulsions laser ultrabréves. Ces modes vibratoires
sont des modes symétriques correspondant au gonflement et contraction isotrope de la
particule sphérique.
Les opales que nous avons étudiées sont un arrangement tripériodique de billes de silice dont
les interstices sont remplis dún matériau semi conducteur, le GaAs. Contrairement à
léxcitation optique de particules métalliques isolées, les conditions de photogénération et de
photodétection des modes de vibration dans ces opales nécessitent de prendre en compte les
propriétés collectives de cette assemblée de particules, cést-à-dire de prendre en compte les
propriétés photoniques de ces opales. Pour cela, nous avons donc réalisé dans un premier
temps une étude complète de la réponse optique statique de ce cristal. Nous verrons
notamment que nous avons pu bien déterminer les bandes interdites. Dans un second temps,
nous avons réalisé des études de photogénération et photodétection des modes de vibration de
ces opales synthétiques à différentes longueurs dóndes déxcitation et de détection. En
particulier, nous avons essayé de trouver une corrélation entre lápparition de ces modes de
vibration acoustique et léfficacité de la génération et/ou de la détection.
Quelques études déxcitation optique de modes de vibrations dans les opales synthétiques ont
été rapportées récemment. Ces études ont portées sur des systèmes différents de ceux étudiés
106
Chapitre 4 : Opales synthétiques
ici. Les premiers travaux ont été menés sur des cristaux constitués de billes de silice
submicroniques (diamètre de 228 nm) recouvertes chacune dúne fine couche dór (38 nm)
[64]. Dans ce cas, les expériences pompe-sonde ont permis de mettre en évidence la vibration
basse fréquence de la structure multicouche « bille de silice + nano couche dór ». Des
travaux plus récents ont porté sur une structure composée de sphères de silices (diamètre de
360 nm) avec un film métallique (en aluminium) déposé dessus jouant le rôle de transducteur
opto-acoustique optimisé pour la génération dónde acoustique dans les opales, le faisceau
pompe a été ainsi focalisé sur cette couche. Pour détecter les variations de réflectivité induites
par le champ vibratoire des opales, le faisceau sonde a été focalisé sur un substrat de silice et
la mesure s’est faite en transmission [65]. La structure était alors composée dún support en
silice, un empilement de 10 billes en silice et dúne couche dór. Il était alors possible
dóbserver quelques modes de résonances de ces opales. Lors de ces études, les propriétés
phononiques de ces cristaux nónt pu être clairement dégagées. Seuls les modes localisés et
les modes de vibrations des billes de silice ont pu être mis en évidence. Dáutre part, des
études optiques sur des opales constituées de billes de silice ont pu mettre en évidence les
modes de vibration de ces particules exploitant la diffusion de type Brillouin de la lumière
[16, 17].
A. Résultats Expérimentaux
1) Caractérisation photonique ; choix des
longueurs dóndes
Pour assurer une conversion mécanique de l´énergie optique, on a fait le choix dópérer
avec des opales dont les interstices sont remplis de GaAs. Ce remplissage modifie les
propriétés photoniques du cristal ; en effet, comme le montre la figure 4.1 [66], infiltrer les
opales avec un matériau de remplissage a pour conséquence de modifier la largeur et la
position des bandes interdites. En effet la largeur des bandes interdites dépend du contraste
entre líndice optique du matériau hôte et celui du matériau de remplissage [66, 67]. Dáutres
part la position de la bande interdite dépend de líndice effectif du milieu [67, 68]. Pour
commencer, nous avons alors caractérisé optiquement le cristal photonique pour localiser ces
bandes.
107
Figure 4.1 : diagramme de réflectivité en lumière blanche réalisé sur des opales sans remplissage
(trait continu) et sur des opales remplies de InP (pointillé). La bande interdite se déplace dans les
longueurs dónde et change de largeur suite au remplissage [66].
Le principe de cette expérience optique est dénvoyer un faisceau de lumière blanche sur
l´échantillon et de déterminer, grâce à un spectromètre, le spectre de la lumière en réflexion
spéculaire comme indiqué sur la figure 4.2. L´équipement utilisé est un spectromètre Ocean
Optics USB2000 dont la gamme de détection s´étend de 200 nm à 1100 nm et dont la
sensibilité est de 0,3 nm.
Figure 4.2 : montage optique de la caractérisation photonique des opales. En pivotant le support
gradué, on balaye un intervalle dángle díncidence θ entre 0 et 90° par rapport à la normale, nous
relevons alors la longueur dónde interdite associée à cette incidence θ.
La lumière blanche contient toutes les longueurs dónde du domaine visible, les longueurs
dóndes interdites sont réfléchies par le cristal ce qui donne lieu à lápparition de pics de
Bragg sur le spectre de la lumière réfléchie. Le résultat de la mesure du spectre de réflexion
optique est présenté en figure 4.3. On y voit deux pics de Bragg autour de 500 nm et 900 nm.
108
Figure 4.3 : spectre de réflexion optique du cristal constitué de sphères de silice et de GaAs prélevé à
30° díncidence. Les deux pics observés sont dus à línterférence des réflexions sur des plans
réticulaire à déterminer.
Une étude de la position de ces pics peut renseigner sur la distance inter-réticulaire qui
rentre en jeu lors de la réflexion et donc dídentifier la nature de ces plans réticulaires.
Utilisant la formule de Bragg en incidence normale : λhkl = 2neff d hkl où λhkl est la longueur
dónde interdite, neff est líndice optique effectif du milieu et d hkl = 2 D / (h 2 + k 2 + l 2 ) est
la distance entre les deux plans réticulaires consécutifs définis par les indices de Miller {h, k,
l}, h, k et l∈ Ν et D le diamètre des sphères de silice situé autour de 250 nm, on peut calculer
les indices entiers de Miller h, k et l. Dáprès la figure 4.3 les longueurs dóndes interdites en
incidence normale se situent à λ1 = 922 nm et λ2 = 461 nm . Connaissant líndice effectif du
complexe Silice + GaAs en C.F.C., nous déduisons que les seuls couples (h, k, l) satisfaisant à
la relation de Bragg sont les couples (1, 1, 1) et (2, 2, 2). Les deux pics de Bragg sont alors
attribués à des réflexions sur les plans réticulaires (111) et (222), ces pics ont une largeur
respective de 150 nm et 100 nm. Une étude du changement de la position de ces pics de Bragg
en fonction de lángle díncidence peut donner plus dínformation notamment sur líndice
optique effectif et permet de déterminer de façon plus précise le rayon des billes. La formule
de Bragg pour une incidence quelconque s´écrit :
λc = 2d hkl n 2eff − sin 2 (θ )
(Équation 4.1)
L´équation 4.1 exprime une relation affine entre le carré de la longueur dónde interdite λ2c et
le carré du sinus de lángle díncidence sin²(θ).
λc = [8 D 2 n 2 eff /(h 2 + k 2 + l 2 )] − [8 D 2 /(h 2 + k 2 + l 2 )] sin 2 (θ )
2
109
(Équation 4.2)
En augmentant lángle díncidence par rapport à la normale à la surface du cristal, la longueur
dónde interdite se déplace vers les faibles longueurs dóndes. La figure 4.4 illustre ce
déplacement de bande interdite.
Figure 4.4 : variation de la position des pics de Bragg en fonction de lángle díncidence. La
longueur dónde interdite engendrée par le plan (111) passe de 930 nm à 860 nm et celle engendrée
par le plan (222) passe de 550 nm à 452 nm.
Une régression linéaire entre λ2 et sin2(θ) pour le premier pic de Bragg fournit une estimation
de líndice du milieu en proche infrarouge et une mesure plus précise du diamètre des billes
de silice (cf. figure 4.5).
Figure 4.5 : relation affine liant λ2 à sin2(θ). La pente et lábscisse à lórigine de la courbe fournissent
une estimation du diamètre des billes ainsi que líndice effectif du milieu (Silice GaAs) dans le
domaine proche infra rouge
Les mesures de la pente (-8D²/3) et de lábscisse à lórigine (8D²n²eff/3) donnent un diamètre
des billes de D = 252 nm (± 3%) et un indice effectif de 2,24 (± 3%).
Si on applique le modèle Maxwell-Garnett pour estimer líndice optique du milieu
équivalent connaissant la porosité dúne structure c.f.c. (φ = 0,26) on obtient :
2
2
neff = 0,26nGaAs
+ 0,74nSiO
2 ≈ 2,21 avec nSiO2 ≅ 1,45 et nGaAs ≅ 3,58 dans línfrarouge.
110
Pour ce calcul, nous supposons que líndice optique du GaAs ne varie pas dans la zone [850
nm, 920 nm]. Cette approximation est justifiée par le diagramme présentant líndice optique
du GaAs donné en annexe, en effet à 854 nm nGaAs = 3,55 et à 922 nm nGaAs = 3,62 ce qui
nous donne un indice optique de GaAs quasi constant sur cette zone nGaAs ≈ 3,58 ± 1% [69].
Cette étude optique est motivée par le choix des longueurs dóndes de léxcitation
(pompe) et de la détection (sonde). En effet, pour pouvoir générer une déformation mécanique
dans une telle structure, il faut optimiser les réglages expérimentaux afin que le faisceau
pompe puisse pénétrer et être absorbé par le cristal. Dóù líntérêt de choisir une longueur
dónde de pompe qui se trouve en dehors de la zone interdite. Dáutre part si on veut stimuler
le signal de sonde, on a tout intérêt à nous placer dans un domaine où la sensibilité de la
détection est maximale cést-à-dire dans une zone où la réflexion optique présente une forte
dépendance en fonction de la longueur dónde. Comme nous lávons précédemment vu, la
réflectivité R dépend de l´écart entre la fréquence de lónde optique ν et la fréquence optique
du gap photonique repéré par son énergie Eg : R=R(Eg-hν). La variation de la réflectivité
optique R peut séxprimer ainsi sous une perturbation acoustique η :
∂R ∂R(Eg − hν ) ∂R ∂E g
=
=
, où h la constante de Planck et ν la fréquence optique du
∂η
∂η
∂Eg ∂η
faisceau sonde.
∂R
∂R ∂Eg
1 c ∂Eg ∂R
=−
, c étant la vitesse de la lumière dans le milieu.
=− 2
∂η
∂ (hν ) ∂η
h λ ∂η ∂λ
La longueur dónde du faisceau sonde est alors choisie de façon a maximiser le rapport
∂R
,
∂λ
i.e. le lieu où nous avons une pente maximale de la courbe expérimentale R(λ).
Dáutres paramètres ont dû être pris en compte lors des réglages expérimentaux. En effet le
domaine dáccordabilité du laser s´étend sur la gamme [720 nm, 880 nm]. La figure 4.6
illustre alors ce qui serait un bon choix pour les réglages des longueurs dónde de la sonde et
de la pompe.
111
Figure 4.6 : choix idéaux des longueurs dóndes de pompe et de sonde. La sonde est placée sur la
zone où nous observons une forte pente de la courbe de réflectivité (hachurée en rouge) et la pompe
dans une bande où la pénétration des ondes électromagnétiques de pompe est autorisée (hachurée en
bleu).
Dans límpossibilité de régler indépendamment les deux longueurs dóndes de pompe et
de sonde, nous avons choisi déffectuer des mesures dans les 2 domaines i.e. dans la bande
interdite, à savoir [780 nm, 840 nm] et en dehors de cette bande [730 nm, 770 nm]. La limite
entre la bande interdite et la bande ou la propagation de la lumière est autorisée se situe autour
de 780 nm. L´étude en acoustique picoseconde sera en mesure de fournir des critères plus
précis pour trancher sur la position de cette longueur dónde limite.
2) Dynamique picoseconde
Les caractéristiques des faisceaux utilisés lors des expériences en acoustique
picoseconde sont les suivantes :
• Les faisceaux pompe et sonde sont focalisés en un spot 30 µm de diamètre.
• L´énergie de la pompe est de 0,03 mJ/cm² ce qui permettra d´éviter d´être en régime
dáblation et dópérer dans une zone où la réponse du système est linéaire.
Plusieurs expériences ont été menées avec une pompe et une sonde de même longueur dónde
dans le domaine proche infra-rouge; 730 nm, 760 nm, 770 nm, 780 nm, 800 nm, 820 nm et
840 nm. Il apparaît clairement des oscillations à 730 nm, 760 nm et 770 nm (cf. figure 4.7 et
4.8). Ces oscillations ont une période autour de 110 ps et un temps de vie de quelques
centaines de picoseconde. Une diffusion de la lumière de type Brillouin dans les billes de
112
silice peut être exclu (période de la diffusion Brillouin dans la silice autour de 40 ps en
incidence normale à 770 nm). En revanche, la période de ces oscillations est proche de la
période du premier mode sphérique 1S0 dúne bille. Une discussion sur cette fréquence sera
développée par la suite.
composante fréquentielle à 8,68 GHz
Dáutres part, nous návons pu détecter dóscillation à 780 nm, 800 nm 820 nm et 840 nm
comme líllustrent les figures 4.8 et 4.9. Nous notons néanmoins que cette gamme de
longueur dónde se trouve dans la bande interdite du cristal.
113
Figure 4.9: absence dóscillation des billes de silice sur le signal de réflectivité transitoire sous une
pompe et sonde à 800 nm et à 840 nm. Nous notons une différence fondamentale entre les réponses
électroniques du système dans cette zone de longueur dónde par rapport aux expériences menées
entre 730 nm et 770 nm.
Afin de déterminer lórigine de ces oscillations, nous allons étudier les modes de vibration
dúne bille sub-micrométrique.
B. Équation du mouvement
L´équation de Navier Stokes régissant le déplacement u dún solide homogène
élastique est donnée ici sous sa forme vectorielle en fonction de λ, μ les coefficients de Lamé
et de la densité ρ du solide (la silice):
(Équation 4.3)
Pour calculer les modes propres, il faut déterminer les solutions de l´équation de mouvement
de la sphère satisfaisant les conditions de continuité du déplacement et de la contrainte à
línterface silice/GaAs (r = D/2, D étant le rayon des billes).
•
12 points de contact silice-silice, 6 contacts avec des billes dans le plan (111), 3
contacts avec des billes dans le plan (111) supérieur et 3 contacts avec des billes dans
le plan (111) inférieur. (cf. figure 4.10)
114
Figure 4.10 : une bille de silice est entourée par 6 billes de son plan (billes blanches), 3 billes du plan
inférieur (billes grises) et 3 billes du plan supérieur.
La résolution analytique de l´équation 4.3 nést pas simple. Cependant, on peut
résoudre le problème pour une sphère libre. Les conditions aux limites vont déplacer les
fréquences propres. Les points de contact silice-silice peuvent être considérés comme des
contraintes extérieures brisant la symétrie du mode de vibration. Dans ce cas, la théorie des
groupes prévoit une levée de la dégénérescence des fréquences de résonance des modes de
vibrations symétriques [70].
1) Solutions numériques
La résolution de l´équation de dÁlembert pour une sphère libre donne l´équation des
valeurs propres pour un mode de vibration dórdre l ≥ 0 [71]:
f ( x ) = 2 j L +1 ( x )
x
(α x ) 2

( 1)( 2 )  j (α x ) − L + 1   +
 1 + L − L +  L +1
 j (α x )

αx
α x  
 L

 − 1 (L − 1)(2 L + 1) 1 
2 L ( L − 1)( L + 2 )  j L +1 (α x ) 
=0
j L ( x )
+
+
 1 −

2

(α x ) 2
αx 
(α x )
 j L (α x ) 
 2
(Équation 4.4)
où jL est la fonction de Bessel sphérique, α=VL/VT , VL, vitesse longitudinale (VL=5050 m/s) et
VT la vitesse transverse (VT = 2100 m/s).
La résolution de cette équation nécessite lútilisation dún outil de calcul scientifique
pour la détermination de la racine x de l´équation 4.4 qui déterminera la fréquence propre
selon la relation f = VLx/πD.
Une analyse numérique sous le logiciel de simulation Matlab permet dóbtenir les solutions de
l´équation des valeurs propres (cf. figure 4.11). La première solution x = 1,33 relevée
115
correspond au mode 1S0. La fréquence associée à ce mode est f1S0 ≅ 9,3 GHz et sa période est
T1S0 = 108 ps, si on considère que le diamètre des billes est celui trouvé dans la partie
précédente i.e. D = 252 nm.
Figure 4.11: représentation de l´équation aux valeurs propres. La résolution numérique de l´équation
fournie les valeurs de x qui renseignent sur les fréquences propres.
2) Eléments finis, analyse modale
Pour compléter l´étude analytique précédente, nous avons réalisé une simulation en
éléments finis. Le but de cette simulation est déstimer le diamètre dúne bille de silice pour
que son mode de vibration 1S0 corresponde à la fréquence 9,3 GHz (nous considérons
toujours le modèle de bille libre). Lácoustique picoseconde ná permis que la détection du
premier mode sphéroïdal 1S0 dont le déplacement est donnée figure 4.12. Cette figure illustre
le résultat de la simulation par éléments finis utilisant le logiciel Comsol Multyphysics. Cette
simulation confirme la valeur du rayon de la bille de silice (252 nm) grâce à la fréquence de
son premier mode de vibration.
Ces différentes simulations et modélisations en éléments finis ont montré que nous
parvenons bien à détecter le premier mode de vibration dúne bille de silice de 250 nm de
diamètre qui correspond au premier mode symétrique 1S0. Cependant, il n´était pas possible
dóbserver dóscillations sur la gamme 780 nm ~ 840 nm intervalle qui correspond au
domaine spectrale de la bande interdite engendrée par le plan réticulaire (111). Dans la suite,
nous allons tenter dánalyser les différentes données recueillies afin de comprendre le
processus de génération et de détection.
116
Figure 4.12: premier mode vibratoire dúne bille ; cést le mode 1S0 appelé mode respiratoire.
C. Discussion
1) Génération, détection
Nous commençons ici par reprendre les signaux de réflectivité précédemment exploités. Des
observations ont pu être faites notamment concernant la réponse électronique du système.
Lorsque le système est excité et sondé par un faisceau dont la longueur dónde se situe dans la
bande interdite, la réponse électronique est longue (cf. figure 4.9). En revanche, lorsque la
longueur dónde des faisceaux pompe et sonde est en dehors de la bande interdite, le temps de
réponse est court (cf. figures 4.7 et 4.8). Ceci marque une différence de comportement de la
structure en fonction de la longueur dónde déxcitation (cf. figure 4.13). La mesure des
différents temps de réponse en fonction de la longueur dónde est reportée sur la figure 4.14.
Sur cette figure nous voyons que la réponse électronique est très rapide (~ 2 ps) à 770 nm et
très lente (~45ps) à 800 nm de longueur dónde de pompe et sonde.
Figure 4.13: le temps de réponse du système à léxcitation par une pompe de longueur dónde à 770
nm est beaucoup plus court qu’à 800 nm.
117
Figure 4.14: le temps de réponse du système à léxcitation par une pompe de longueur dónde dans la
zone [730 nm, 770 nm] est de 2 ps. En dehors de cette zone, ce temps passe à une quarantaine de
picoseconde.
Nous constatons que le comportement global de la structure passe par une transition au
voisinage de 780 nm ce qui justifie le choix de cette longueur dónde comme limite entre la
bande interdite et la bande où la propagation de la lumière est autorisée. Pour essayer
déxpliquer ce changement de comportement, nous allons nous intéresser au substrat qui fait
office de support pour le cristal photonique.
Notre échantillon dópale présente une zone où le substrat est nu comme indiqué en figure
4.15. Afin d´établir une corrélation entre ces différentes réponses électroniques et le processus
de détection, nous avons mené des expériences pompe-sonde sur cette zone de l´échantillon.
Le résultat présenté ci-dessous montre que le substrat a une réponse électronique très courte
(autour de 2 ps). Ceci suggère que en dehors de la bande interdite (notamment à 730, 760 et
770 nm) l´échantillon est optiquement transparent et que dans la bande interdite, sa
propagation nést pas autorisée et le rayon pompe nátteint donc pas le substrat ce qui est
cohérent avec le principe dún cristal photonique. Nous pouvons alors affirmer que les
faisceaux pompe et sonde pénètrent jusquáu substrat quand leur longueur dónde est
inférieure à 780 nm. Dans ce cas, cést lábsorption d´énergie optique par les interstices de
GaAs et/ou le substrat qui déclenche les oscillations.
118
Figure 4.15 : mesure de la réponse électronique du substrat. Cette réponse électronique rapide est
très similaire à la réponse du système sous une excitation à 730, 760 et 770 nm.
A présent, nous allons comparer l´évolution de lámplitude et de la phase de ces oscillations
en fonction de la longueur dónde.
Figure 4.16: évolution de lámplitude relative des oscillations acoustiques entre 730 et 770 nm.
Lámplitude décroît en fonction de la longueur dónde. Par exemple, à 770 nm lámplitude du mode à
8,7 GHz nést que de 17% par rapport à leurs amplitude à 730 nm.
Les diagrammes de réflectivité à 730, 760 et 770 nm ont été traités et normalisés par rapport à
la puissance du faisceau de la pompe. La figure 4.16 montre que lámplitude de ces
oscillations diminue en sápprochant de la bande interdite jusquá extinction à 780 nm. Cette
évolution dámplitude des oscillations et les différences de comportement de la structure
observées sur les réponses électroniques sont reliées aux processus de génération et détection.
Pour tenter de comprendre quel processus rentre en jeu lors de la génération et détection, nous
allons étudier ces oscillations plus en détails notamment la phase de démarrage des
oscillations et lápparition dáutres temps caractéristiques.
119
2) Etude des oscillations
Nous commençons ici par présenter le spectre des vibrations sur les longueurs dóndes
où celles-ci ont pu être observées. La figure 4.17 montre la vibration à 8,6 GHz des sphères de
silice. Sur le spectre du signal de réflectivité, apparaît une composante basse fréquence. Cette
composante spectrale correspond dans le domaine temporel à une constante de temps
apparaissant au début du signal transitoire.
Figure 4.17: spectre normalisé des oscillations. Nous observons deux composantes fréquentielles, une
première à 3 GHz et présente au démarrage des oscillations et une seconde harmonique qui
correspond à la vibration des billes autour de 8,6 GHz.
Sur la figure 4.18, nous avons isolé les vibrations des billes de silice dans le signal de
réflectivité. Ces vibrations ont été ensuite approchées par une expression de la forme
suivante :
f(t) = A exp(-t/τ) cos(2πfvibt-φ)
A étant lámplitude des oscillations, τ est le temps dámortissement correspondant, φ est leurs
phases de démarrage et fvib est leurs fréquences.
120
Figure 4.18 : oscillations observées à différentes longueurs dóndes et lápproche par une fonction de
type f(t) = A exp(-t/τ) cos(2πfvibt-φ)
La figure 4.18 montre lájustement effectué afin déxtraire la phase des oscillations. Nous
notons que cet ajustement se fait sur la fin du signal i.e. là où un régime permanent sínstalle.
Les phases observées sur les signaux de réflectivité relevées à 730 nm, 760 nm et 770 nm sont
respectivement φ730 = 3,6, φ760 =4,98 et φ770=5,08 rd
.
Nous remarquons que la phase de démarrage des oscillations (cf. figure 4.19) augmente quand
la longueur des faisceaux pompe et sonde sápproche de la longueur dónde interdite.
Figure 4.19: phase de démarrage des oscillations en fonction de la longueur dónde.
121
3) Ralentissement de la lumière
Pour tenter déxpliquer ces changements de la phase de démarrage des oscillations, nous
allons nous intéresser à la courbe de dispersion de la lumière dans un cristal en cubique à
faces centrées tel celui présenté en figure 4.20.
Nous remarquons qu’en bord de zone Brillouin la vitesse de groupe de la lumière est très
faible et tend vers 0 quand on sápproche de la bande interdite. Le ralentissement de la vitesse
de la lumière autour de la bande interdite a récemment été sujet de plusieurs études [72, 73,
74]. Ces études ont pu mettre en évidence un ralentissement de la lumière dún facteur
pouvant atteindre 10-5. Ceci peut être exploité en formulant l´hypothèse que la lumière excite
des interstices voisins de GaAs avec des temps de retard δti qui dépendent de la distance entre
ces interstices et de la vitesse de groupe de la lumière à cette longueur dónde. Ces retards δti
sont de lórdre de 50 ps au voisinage de la bande interdite.
Figure 4.20 : courbe de dispersion de la lumière dans un cristal cubique à faces centrées. En bord de
zone la vitesse de groupe de la lumière est nulle.
Une bille de silice est alors soumise à des excitations déphasées. La figure 4.21 montre quúne
bille est soumise à des excitations provenant de deux types dínterstices ; des interstices
tétraédriques (bleu) et des interstices octaédriques (rose). Une bille de silice du plan (111) se
trouve entourée par 2 interstices tétraédriques ; un interstice résultants du contact entre la bille
et ces trois voisines du plan supérieur et un interstice du contact avec les billes plan inférieur
et 6 interstices octaédriques résultants de léspace (rempli de GaAs) formé par ses 6 voisines
du même plan.
122
Figure 4.21 : schéma montrant les différents sites octaédriques et tétraédriques entourant une bille du
réseau cristallin cubique à faces centrées
Afin de déterminer le décalage temporel dárrivée des impulsions, nous devons trouver les
coordonnés des différents interstices. Pour cela nous posons le problème géométrique défini
par la figure 4.22 où nous repérons les sites tétraédriques (en bleu) et les sites octaédriques (en
rouge). Nous remarquons que les sites tétraédriques forment un réseau cubique simple dont le
paramètre de maille est
2D
alors que les sites octaédriques forment un réseau cubique à
2
faces centrées dont le paramètre de maille est
2D .
Figure 4.22 : positions des sites tétra (en bleu) et octaédrique (en rouge). Les premiers forment un
réseau cubique simple alors que les seconds forment un réseau cubique à faces centrées
La distance entre les plans (111) du réseau cfc des sites octaédriques est :
d111,o =
paramétre _ de _ maille
=
3
2D
3
123
La distance entre les plans (111) du réseau cubique simple formé par les sites tétraédriques
est :
d111,t =
paramétre _ de _ maille D
=
3
6
Figure 4.23 : positions des sites tétra (en bleu) et octaédrique (en rouge). Le déphasage entre les
excitations provenant des différents sites peut être facilement calculé.
Si nous prenons comme référence la bille de la figure 4.23, cette bille sera soumise à une
première excitation de la forme U cos(ωt), cette excitation provient du site tétraédrique
supérieur (ligne bleu). De plus, elle sera soumise à une excitation dún second site
tétraédrique inférieur qui se trouve à une distance d111,t =
D
du premier site. Enfin, les billes
6
qui sont sur le même plan formeraient 6 sites octaédriques à une distance
d111, t
R
=
du
2
2 6
premier site tétraédrique. Dáprès les calculs présentés ci-dessus, nous pouvons déduire les
retards spatiaux de léxcitation en fonction du rayon R des billes. Nous déduisons alors :
A ces déphasages spatiaux correspondent des déphasages temporels à léxcitation :
δ ti =
Zi
avec Cg(λ) la vitesse de la lumière dans le cristal à la longueur dónde λ.
C g (λ )
Dans un système linéaire, la réponse harmonique de la structure à des excitations de la forme
Fi = U cos(ω(t-δti)) est la somme des réponses à chaque harmonique.
La solution de la vibration est alors :
s(t) = VT cos(ωt)+6 VO cos(ω(t-δt1))+ VT cos(ω(t-2δt1)) , VT et VO sont les volumes respectifs
des sites tétra et octaédriques. VT =
2 3
2 3
d et VO =
d [75]
12
3
où d=D est la longueur dúne arrête dún octaèdre et dún tétraèdre.
124
(Équation 4.5)
Nous déduisons alors le rapport des deux volumes
VO
=4
VT
En utilisant les identités trigonométriques, nous obtenons léxpression suivantes de la
vibration:
s(t)=VT (1+cos(ω2δt1)+6
VO
V
cos(ωδt1)) cos(ωt)- VT (1+sin(ω2δt1)+6 O sin(ωδt1)) sin(ωt)
VT
VT
= V0 [A cos(ωt)-B sin(ωt)].
A et B sont des constantes qui ne dépendent que des décalages temporels δti et donc de la
vitesse de la lumière dans le cristal photonique à la longueur dónde de pompe.
A = 2 cos(ωδ t1 )(cos(ωδ t1 ) + 12) et B = 2 sin(ωδ t1 )(cos(ωδ t1 ) + 12)
Nous déduisons la vibration :
s(t)=Vo A2 + B 2 cos(ωt + arctg ( B / A)) = V0 Am(λ ) cos(ωt + ϕ (λ )) .
Am(λ ) = 2V0 (cos(ωδ t1 ) + 12) est lámplitude relative de la vibration.
ϕ (λ ) = ωδ t1 est sa phase.
Une mesure dún tel profil de la vitesse de la lumière autour de la bande interdite nést pas
simple dans notre cas à cause de la symétrie du problème. Un modèle de dispersion de la
lumière dún cristal en CFC a été présenté en figure 4.20. Afin de vérifier la cohérence de nos
résultats, nous avons établit un diagramme de dispersion de la lumière dans les opales ne
tenant compte que de la bande interdite engendrée par le plan (111) (cf. figure 4.24).
Les résultats de cette simulation, présentés dans la figure 4.25 montrent une certaine
cohérence avec nos données expérimentales. En effet, nous observons dans ce calcul
théorique que la phase du signal augmente quand on sápproche de la longueur dónde
interdite et que lámplitude du signal décroît. Une densification des points de mesure sur cette
bande (700 nm, 770 nm) pourrait se révéler être une mesure indirecte de la vitesse de la
lumière dans le cristal photonique sur cette gamme de longueur dónde.
125
6
Vitesse de la lumière dans le cristal photonique (m/s)
7
x 10
6
5
4
3
2
1
0
700
710
720
730
740
750
Longueur dónde en nm
760
770
780
Figure 4. 24 : diagramme de dispersion de la vitesse de la lumière en fonction de la longueur dónde
Amplitude des oscillations (u.a.)
1.1
1.05
1
0.95
0.9
710
720
730
740
750
Longueur dónde en nm
760
770
Figure 4.25 : amplitude et phase des oscillations calculées en prenant comme modèle la vitesse de
groupe présenté en figure 4.24
D. Conclusion et perspectives
Grâce à la technique pompe-sonde, nous avons mis en évidence le premier mode de résonance
sphéroïdal 1S0 dúne bille de silice. L´étude photonique préalable a permis de distinguer les
bandes interdites où la propagation de la lumière est interdite et a renseigné sur les domaines
où une Génération/détection de la vibration est possible. Les autres modes de vibrations nónt
pas pu être détecté jusquá présent, mais des expériences avec un montage optique permettant
dópérer avec deux pompes dont lúne est retardée par rapport à láutre pourrait permettre
dóbserver éventuellement un second mode vibratoire en ajustant le décalage temporelle entre
les deux faisceaux de pompe afin quíl corresponde à la demi période temporelle (autour de
50 ps) de la fréquence du mode 1S0 afin de lánnuler.
126
Cette étude a été aussi très intéressante puisque la propagation des faisceaux laser dans le
cristal photonique est ralentie à lápproche de la bande interdite quand leurs longueurs dónde
se situent au voisinage de la bande interdite. En opérant dans cette zone de longueur dónde,
nous avons fait des constations quant à l´évolution de la phase et de lámplitude des
oscillations en fonction de la longueur dónde déxcitation. Ceci nous a mené à émettre des
hypothèses sur la vitesse de propagation de la lumière dans le cristal autour de cette zone et
ses conséquences sur le spectre des vibrations. Devant l’impossibilité d’utiliser une référence
de la courbe de dispersion de la lumière dans un cristal photonique, nous avons essayé de
valider nos hypothèses de manière qualitative. Nos premiers résultats montrent une cohérence
avec le calcul théorique effectué. Une densification des points de mesure pourrait apporter
une meilleure compréhension du comportement photonique de la structure.
127
128
Conclusion et Perspectives
Conclusions et perspectives
Lóbjectif de ce travail était de contribuer à une meilleure compréhension des
propriétés mécaniques des matériaux nano, méso et poreux. Dans ce but, nous avons utilisé
une méthode optique dúltrasons laser pour investiguer les milieux en question. Cette
technique optique résolue en temps permet donc de bien caractériser mécaniquement les
architectures submicrométriques et nanométriques. Lénsemble de nos résultats a pu fournir,
dúne part une estimation de la baisse des modules élastiques avec líntroduction de porosités
ou en les soumettant à des temps de cuisson différent sous UV et dáutres part, une
description qualitative de línhomogénéité en profondeur de certaines structures. Des
questions restent néanmoins en suspens telles que la description simplifiée de la diffusion de
la lumière par une onde propagative dans un milieu où existe un fort gradient de propriétés
mécaniques et éventuellement optiques. Une telle description réduirait le nombre dínconnues
du modèle théorique et permettrait une validation par simulation numérique de léstimation du
changement du module élastique effectif en fonction de la profondeur.
Dáutre part, au cours de notre étude des systèmes méso-poreux, nous avons pu constater une
différence notable entre le module de Young estimé grâce à la diffusion Brillouin et la valeur
mesurée par pression capillaire, lórigine éventuelle de cette différence peut être la dispersion
du module élastique en fonction de la fréquence. Afin de donner une description plus
complète de l´évolution du module de Young dans les structures méso-poreuse, il sera
indispensable de réaliser des expériences sur une gamme de vecteur dónde de sonde plus
large pour établir un modèle de l´évolution du module élastique de ces structures en fonction
de la fréquence et trancher sur lórigine de cette différence.
Parallèlement, nous avons déterminé avec précision les constantes optiques des matériaux
poreux. Ces constantes optiques se sont révélées être en bon accord avec les résultats prévus
par des théories des milieux effectifs notamment le modèle de Maxwell-Garnett.
La dimension des nano-couches étudiées a été trouvée par deux approches complémentaires à
savoir la méthode impulsion-écho et l´étude de vibrations couplés de couches minces où nous
129
Conclusion et perspectives
avons pu constater límportance de la présence dúne couche jouant le rôle d’un miroir
acoustique.
Dans la dernière partie de ce document, nous nous sommes intéressés à la photogénération et
à la photodétection dóndes acoustiques dans des structures photoniques. Nous avons montré
les principaux problèmes liés à la transduction opto-acoustiques dans les opales et nous avons
réalisé une étude optique complète dans le but de définir les conditions optimales pour
générer et observer la vibration individuelle dúne bille de silice submicrométrique. Il était
alors possible dóbserver des modes respiratoires dans ces billes. Ce travail doit être
néanmoins complété par une recherche de validation expérimentale en faisant varier
indépendamment les longueurs dóndes des faisceaux pompe et sonde. Dans ce but, il est
envisagé de mettre au point des expériences dácoustique picoseconde utilisant un nouvel
équipement ; un oscillateur paramétrique optique ou OPO. Cet équipement permettra dópérer
avec des faisceaux pompe et sonde décorrélés en longueur dónde et dópérer à dáutres
longueur dónde déxcitation et de détection. Ceci pourrait apporter éventuellement une
réponse plus claire aux questions relatives à la génération des ondes acoustiques dans un
cristal photonique.
130
131
Annexe A
ANNEXE A
_
Propriétés des matériaux utilisés
Propriétés optiques des matériaux utilisés :
Indice de réfraction et dábsorption du Silicium.
Indice de réfraction de la Silice
Indice de réfraction et dábsorption du TaN.
132
Annexe A
Indice de réfraction et dábsorption du GaAs.
Indice de réfraction de lálumine
Propriétés élastiques des matériaux utilisés :
Données relatives à lÁlumine
•
ρ = 3,97 g/cm³, Densité
•
cl = 10,52 km/s, Vitesse Longitudinale
•
cr = 4,86 km/s, Vitesse de Rayleigh
•
Z = 40,6 106 g/m²s, Impédance acoustique
Données relatives à lÁluminium
•
•
•
ct = 3,04 km/s, Vitesse Transverse
•
Données relatives au Zinc
•
133
Annexe A
•
•
•
Données relatives à la Silice
•
•
•
•
Données relatives au GaAs
•
•
•
•
Données relatives au TaN
•
•
•
Références bibliographiques :
H. Ehrenreich, H. R. Philipp, et B. Segall. “Optical properties of aluminium”, Phys. Rev. Vol.
132, No. 5, pp. 1918-1928 (1963)
D.E. Aspnes et A.A. Studna, “Dielectric functions and optical properties of Si, Ge, GaP,
GaAs, GaSb, InP, InAs and InSb from 1,5 to 6 eV”, Phys. Rev. B. Vol. 27, No. 2, pp. 9851009 (1983)
http://www.ioffe.rssi.ru/SVA/NSM/nk/index.html
http://www.signal-processing.com/tech/us_data_solid.htm
CRC Handbook of Chemistry and Physics, 88th Edition, Dr. David Lide
134
Annexe C : Calcul díncertitude
ANNEXE B
_
Outils de traitement du signal
Fenêtres dápodisation :
La plupart des expériences physiques sont conduites dans le but de déterminer une
grandeur physique ou observer un comportement spécifique. Ceci repose sur lóbservation et
lánalyse de différents signaux numériques issus des appareils de mesures. Mais pour donner
une explication correcte des signaux observés, il faut sássurer quíls correspondent bien aux
grandeurs mesurées et que le traitement quíls subiront náffectera pas les données de
léxpérience. Un exemple simple de manipulation de données sera illustré par les figures
suivantes. Si on considère un signal à observer, et quón considère que la partie utile de ce
signal se situe entre 3 s et 7 s, isoler cette partie revient à multiplier líntervalle entre 3 et 7 s
par 1 et le reste du signal par 0 ; cést une porte de largeur 4 s et centrée sur le temps t = 5 s.
Un traitement des données exigerait de passer dans léspace fréquentiel ; une FFT donnera
alors la transformée de Fourier du signal multiplié par la porte :
S u ( f ) = TF(Π T,t0 Signal (t )) = TF (Π T,t0 ) ∗ S ( f )
(Equation B.1)
T est la durée de lóbservation et t0 est le centre de la porte, TF désigne la transformée de
Fourier, Π signal porte et S(f) le spectre de Signal(t).
 ωT 
La transformée de Fourier d`úne porte est : TF (Π T ) = T sin c
 , sinc est la fonction
 2 
sinus cardinal ; sin c( x) =
sin( x )
;
x
Le graphique suivant montre la transformée de Fourier dúne porte de largueur 100 ps, Le
résultat de l´équation (cf. équation B.1) est alors une convolution entre un sinus cardinal et le
signal voulu. Dans un cas idéal où la durée dóbservation est infini, la transformée de Fourier
 ωT 
de la porte est TF (Π T ) = T sin c
 →δ (ω ) Fonction de Dirac. Dans ce cas le résultat
 2  T →∞
final est bien le spectre de la fonction étudié. Comme le signal utile peut parfois ne durer
quún temps limité (l´écho en lóccurrence), une apodisation est nécessaire.
135
-10
1
x 10
Densité spectrale de puissance (u.a.)
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-1000 -800
-600
-400
-200
0
200
Fréquence (GHz)
400
600
800
1000
Figure B.1 : transformée de Fourier dúne Porte de largeur T = 100 ps
Reprenons le cas dúne durée dóbservation finie. Le résultat de lópération de
l´équation B.1 dans léspace des fréquences est une convolution entre le signal mesuré et un
sinus cardinal de largeur proportionnel à la durée T de lóbservation (cf. figure B.2). Ce
traitement donne généralement des résultats satisfaisants, sauf que pour certains signaux où il
existe plusieurs composantes fréquentielles proches dámplitudes différentes tel que une
impulsion ou un écho, les lobes secondaires du sinus cardinal peuvent affecter la résolution
fréquentielle du résultat en faisant apparaître des pics par superposition des lobes secondaires.
En effet, pour éviter le chevauchement des pics de Fourier la solution est de privilégier une
autre façon pour concaténer le signal i.e. en extraire la partie utile, on peut le multiplier par
une fenêtre quón appelle fenêtre dápodisation. Il en existe plusieurs types tel que les fenêtres
de Hamming ou Hanning où on multiplie la série de données par un sinus ou un cosinus de
demi période égal à la période dóbservation et pondérée par des coefficients bien déterminés
ou encore une fenêtre de type Gausienne. Ces fenêtres ont des rapports de résolution en
amplitude/ résolution en fréquence différents et permettent donc de sádapter en fonction de la
nature de données à traiter. Par souci d´homogénéisation la concaténation des signaux a
toujours été faite au cours de ce travail avec une fenêtre Gausienne. La figure B.1 montre la
différence entre une apodisation Porte (tracé rouge) où il ságit simplement de considérer les
données sur líntervalle temporel qui nous intéresse et une apodisation gaussienne (tracé
bleu). Les deux fenêtres sont de même largeur. La figure B.1 montre aussi la transformée de
Fourier des deux fenêtres.
136
Figure B.2 : Différence entre un signal porte et une gaussienne.
La différence entre ces deux apodisations est surtout visible pour un signal poly
chromatique. La figure B.3 montre un tel signal composé de 2 sinus purs de fréquences
relativement espacées et apodisés par les deux types de fenêtres. Sur la figure B.4, on
distingue bien nos deux fréquences introduites, mais si ces fréquences étaient plus voisines,
nous náurions pas été capables de les séparer.
Figure B.3 : signal apodisé par des fenêtres Gaussienne et Porte
Figure B.4 : transformée de Fourier du signal apodisé par des fenêtres Gaussienne et Porte
137
Dans la troisième partie du chapitre 3, nous étions amené à comparer le contenu
fréquentiel de deux échos (cf. figure B.5) afin dén extraire lábsorption acoustique. Nous
avions alors fait le choix de les isoler par apodisation.
-6
3.5
x 10
3
Trans. Refelect. (u.a.)
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-50
0
50
100
150
200
Temps (ps)
250
300
350
400
Figure B.5 : courbe de réflectivité présentant deux échos
Si nous extrayons les deux contenus fréquentiels des échos et quón les traite, nous
obtenons les résultats présentés en figure B.6 : Sur la courbe bleu où on a une apodisation
porte, les lobes secondaires affectent la résolution fréquentielle en empêchant de distinguer
lámplitude de 2 fréquences infiniment proches. Lápproche en βω² nést alors pas possible. Il
est cependant possible dáugmenter la largeur de la porte pour diminuer la largeur des lobes
secondaires dans léspace des fréquence et permettre de mieux résoudre le calcul entre deux
fréquences voisines ω et ω+dω , mais ceci aura pour conséquence aussi dáugmenter
lámplitude des lobes secondaires. Un compromis est difficile à trouver pour le signal porte.
Par contre, une apodisation Gausienne (signal en rouge) permet de séparer les composantes
proches en gardant la même amplitude relative et dóbtenir ainsi un bon fit dúne courbe de la
forme βω².
Figure B.6 : rapport du contenu fréquentiel des 2 échos
138
Transformée Temps Fréquence :
La transformée de Fourier est un outil puissant qui permet déxprimer les phénomènes
physique sur léspace dual des fréquences. Sauf que, un signal où on est en présence
successivement dún sinus pur de fréquence f1, ensuite un autre sinus de fréquence f2 et puis
un troisième sinus de fréquence f3 aura le même spectre quún signal composé dún sinus de
fréquence f2 puis f1 puis f3. Sur la figure B.7, nous avons un signal S1 (en bleu) composé
chronologiquement de trois sinus purs de fréquences croissantes f1 < f2 < f3, et en rouge S2
composé chronologiquement de trois sinus purs de fréquences décroissantes f1 > f2 > f3. Ces
signaux sont manifestement différents mais leurs spectres présentés en figure B.8 sont
identiques
1
0.5
0
-0.5
-1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1
0.5
0
-0.5
-1
0
Figure B.7 : évolution temporelle des signaux S1 et S2
Amplitude (a.u.)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
10
20
30
40
50
60
Frequence (Hz)
70
80
90
100
10
20
30
40
50
60
Frequence (Hz)
70
80
90
100
Amplitude (a.u.)
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0
Figure B.8 : spectre des signaux S1 et S2
139
Pour palier à ce manque dínformation (lórdre temporel dárrivée des fréquence), il
faut disposer dúne dimension supplémentaire et donc créer une troisième dimension avec la
fréquence et lámplitude. Pour cela, on utilise la transformée temps – fréquence. Cette
transformation opère dans un espace tridimensionnel où on introduit la variable temps (temps,
fréquence, Amplitude). La figure B.9 montre la transformée temps fréquence dún tel signal.
On distingue clairement lárrivée des fréquences 5, 20 et 45 Hz dans lórdre croissant pour le
signal S1 et décroissant pour le signal S2. On peut alors différencier le signal S1 dún autre (S2)
Frequence (Hz)
même síl a le même spectre dans léspace de Fourier.
60
40
20
Frequence (Hz)
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (s)
0.7
0.8
0.9
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
Temps (s)
0.7
0.8
0.9
1
60
40
20
0
0
Figure B.9 : Transformée temps - fréquence des signaux S1(t) et S2(t), on distingue bien les trois
composantes fréquentielles arrivant à des instants différents
La transformée temps fréquence permet donc de retracer la fréquence instantanée
dúne grandeur variable. Les figure B.10 et B.11 montrent deux exemples où lárgument du
sinus est modulé par des fonctions F1 et F2 qui valent respectivement:
•
F1 (t ) = (500(t − 0,5) 4 ) ⇒ S1 (t ) = sin( F1 (t ))
•
F2 (t ) = (7 exp( −(t − 0,5)) ⇒ S 2 (t ) = sin( F2 (t ))
En fixant une fonction qui module lárgument du sinus, on obtient une représentation
graphique dans léspace temps - fréquence qui correspond au tracé de cette fonction.
140
Figure B.10 : un sinus dont la phase est modulé par la fonction F1
Réciproquement, à partir des courbes obtenues en temps - fréquence et par ajustement,
nous sommes en mesure déxtraire le profil de la fonction qui module lárgument du sinus.
Cést cette méthode qui a été utilisée pour extraire le profil de la vitesse acoustique à partir de
la variation de la fréquence dans la phase du signal Brillouin.
Figure B.11 : un sinus dont la phase est modulé par la fonction F2
Les méthodes temps - fréquence sont maintenant intégrées dans les boîtes à outils des
traiteurs de signaux tel que Matlab et elles sont utilisées dans un grand nombre de domaines
d'applications. La méthode numérique la plus simple pour obtenir une cette transformée est
dáppliquer une fenêtre glissante qui isole à chaque fois le signal autour dún temps t0 et
calcule les composantes fréquentielle présentes sur cet intervalle par transformée de Fourier
classique ; cést la transformée de Fourier à temps court S-FFT (Short Fast Fourier
Transform). Or cette méthode présente un problème majeur ; la taille de la fenêtre utilisée est
finie et de largeur 2δt, donc la transformée de Fourier donne la valeur moyenne de la
fréquence sur líntervalle où elle est réalisée [t0-δt, t0+δt], le résultat nést donc pas la
141
fréquence instantanée mais la moyenne autour de t0. Si on réduit la taille de líntervalle 2δt, la
résultat f(t0) tendra vers la fréquence instantané mais si la fréquence existante dans cet
intervalle est plus grande que 1/2δt le résultat obtenu sera erroné, en effet on ne peut pas
analyser un signal de fréquence F et donc de période T sur une durée plus courte que T/2
comme l´énonce le théorème de Shanon. Lánalyse du compromis à faire entre la précision de
la fréquence et du temps revient à appliquer le principe de Heisenberg en mécanique
quantique sous la même forme mathématique pour le traitement des signaux numériques ;
cést le théorème de Weyl Heisenberg :
x 2 (t ) ≤ 2 Tx 2 (t ) * x´(t )
où x(t) est la fenêtre glissante et Tx(t) sa transformée (Transformée de Fourier, ou de Laplace )
et x´(t) sa dérivée,
est la norme associée au produit scalaire .
Ce théorème découle du calcul de la dispersion temporelle et fréquentielle.
∆t ∝
∫ (t − < t > )
2
2
x(t ) dt qui exprime la dispersion temporelle Δt en fonction de largeur
temporelle t - <t> et de la fenêtre glissante utilisée x(t).
∆f ∝
∫( f − <
f >) 2 X ( f ) df qui exprime la dispersion fréquentielle Δf en fonction de
2
largeur fréquentielle f- <f> et de la fenêtre glissante utilisée X(f).
Il est établit que nous avons une égalité dans le théorème de Weyl Heisenberg si x(t)
est une fenêtre gaussienne. Ceci veut dire que le meilleur taux díncertitude entre temps et
fréquence Δt Δf est obtenu pour une fenêtre gaussienne, ce qui justifie son utilisation tout au
long de ce travail pour réaliser des transformée temps – fréquence sur les signaux à étudier.
La largeur de la fenêtre gaussienne a été toute fois adaptée à la nature des signaux mesurés et
aux contenus fréquentiels attendus.
Références bibliographiques
[1] Le traitement du signal sous Matlab : Pratique et applications, André Quinquis (Broché 20 octobre 2007)
[2] Méthodes et techniques de traitement du signal et applications aux mesures physiques
Jacques Max (Reliure inconnue - 1 janvier 1977)
142
ANNEXE C
_
Calcul díncertitude
Le calcul d'incertitude permet d'estimer la marge dérreur qui accompagne chaque
mesure de grandeur physique. La précision des appareils de mesure, la fluctuation des valeurs
physiques ou simplement les erreurs de lecture font que le résultat dúne expérience physique
ná pas de sens sans estimation complémentaire donnant une marge díncertitude. A líssu de
chaque expérience il faut donc évaluer ces incertitudes pour donner une réponse scientifique
complète au problème étudié en présentant une valeur et un intervalle de confiance sur sa
détermination.
Au cours de ce travail, on a été amené à estimer plusieurs grandeurs physiques (vitesse
acoustique et indice optique) à partir de la mesure dún certain nombres de grandeurs
indépendantes (angle díncidence, longueur dónde optique, période du Brillouin) et de la
connaissance dáutre paramètres (porosité, densité). La formule classique de la diffusion
Brillouin utilisée est la suivante :
T=
λ
(Equation C.1)
2Vs n − sin 2 (θ )
2
En développant léxpression de líndice optique, de la vitesse acoustique et de la densité en
introduisant la porosité, on obtient cette expression de la période de la diffusion Brillouin :
T=
λ
E
2
2
2
[nSiO
2 (1 − ϕ ) + ϕ ] − sin (θ )
ρ0 (1 − ϕ )
=
λ
2
SiO 2
E [n
2
ρ0
(1 − ϕ ) + ϕ ] − sin 2 (θ )
(1 − ϕ )
. (Equation C.2)
Dans cette expression, on est en présence que de paramètres indépendants. En effet
dans léxpression précédente (cf. équation C.1), Vs et n sont corrélés par la porosité φ, et donc
le calcul dérreur ne peut se faire correctement. Sur cette dernière expression (cf. équation
C.2), on peut mieux définir et prendre en compte les erreurs commises lors de la mesure, de la
lecture, ou de lájustement statistique des données. Dans cette expression, on distingue :
•
T : Période de la diffusion Brillouin
•
E : Module de Young de la structure poreuse.
•
ρ0 : Densité de la structure pleine.
•
φ : La porosité.
143
•
θ : Lángle díncidence externe.
•
λ : La longueur dónde de la sonde.
La lecture des valeurs constatées sur chacune des variables déntrées (λ, θ) induit des erreurs
quíl faut estimer. Le calcul différentiel des erreurs donne :
∆T ∆λ 1 ∆E ∆nSiO 2
∆ϕ
∆θ
=
+
+
f (ϕ ,θ ) +
g (ϕ ,θ ) +
h(ϕ , θ )
T
λ 2 E
nSiO 2
ϕ
θ
(Equation C.3)
Avec les fonctions f, g et h :
ϕ cos (θ )
θ sin(2θ )
1
; h(ϕ ,θ ) = 2
; g (ϕ ,θ ) = 2
2
2
2
nSiO2 (1 − ϕ ) + (ϕ − sin (θ ))(1 − ϕ )
nSiO2 (1 − ϕ ) + ϕ − sin 2 (θ )
ϕ − sin (θ )
1+ ( 2
)
nSiO 2 (1 − ϕ )
2
f (ϕ , θ ) =
Incertitude sur la lecture de lángle díncidence :
La détermination de lángle díncidence peut se faire selon différentes méthodes
géométriques. Un schéma géométrique des faisceaux incident, réfléchit et de la normale à la
surface de l´échantillon permettent cette détermination avec une très bonne précision. Mais les
erreurs commises lors du tracé des rayons optiques ou lors de la lecture des longueurs en jeux
ou des résultats, montrent que líncertitude sur lángle díncidence peut atteindre les 5°. La
figure C.1 montre líncertitude obtenue sur la période Brillouin dû uniquement à límprécision
de la mesure de lángle díncidence. Cette courbe est le résultat de la fonction h(θ, φ) obtenue
plus haut dans le calcul différentiel (cf. équation C.3). Si on suppose que lérreur sur lángle
ne dépasse jamais les ± 5°, ce qui est très raisonnable comme hypothèse, on peut déduire que
quelque soit lángle díncidence, lérreur commise sur la détermination de la période Brillouin
ne dépasse pas les 4 %.
144
Figure C.1: erreur sur la diffusion Brillouin induite par une erreur sur lángle díncidence
Incertitude sur la détermination de la porosité:
La porosité est un paramètre complexe. En effet, lánalyse de la diffusion Brillouin
renseigne sur la vitesse acoustique et líndice optique qui sont corrélés à cause du fait quíls
dépendent tous les deux de la porosité:
Vs =
E
2
et neff = nSiO
2 (1 − ϕ ) + ϕ
ρ 0 (1 − ϕ )
Si le module de Young et líndice optique sont retrouvés par dáutres méthodes
physiques avec leurs erreurs relatives, on peut estimer línfluence dúne dispersion de la
porosité autour dúne valeur moyenne sur la détermination de la période Brillouin. La figure
C.2 montre que pour une porosité proche de celle des échantillons de lÍMEC où φ = 23 %, et
une incertitude de ± 0,04 (donc ± 18 %) líncertitude relevée sur la période Brillouin nést que
de 1%. La précision de la mesure de ce paramètre nínflue donc que légèrement sur la
détermination de T.
Incertitude sur la période de la diffusion Brillouin:
A partir du calcul précédemment présenté sur líncertitude due à la porosité et à
lángle díncidence, nous pouvons conclure que líncertitude totale sur la période de la
diffusion Brillouin peut être majorée comme suit :
145
∆T
∆ϕ
∆θ
=
g (ϕ ,θ ) +
h(ϕ , θ ) = 5%
T max
ϕ max
θ max
Autrement dit, une connaissance approximative mais raisonnable de la porosité et de
lángle díncidence ne peut changer la période de la diffusion Brillouin de plus de 5%, alors
que nos observations du chapitre 3.2 où nous avons constaté plus de 23% de dispersion de la
période ne peut être attribuée aux incertitude de mesures ou de lecture mais à un phénomène
(la vitesse acoustique) dont la variation est importante et quíl ne faut par conséquent pas
considérer comme une constante.
Figure C.2: erreur sur la diffusion Brillouin induite par une erreur sur la porosité
146
Annexe D
ANNEXE D
_
Modèle de Maxwell Garnett.
Les approximations du milieu effectif sont des modèles théoriques qui décrivent le
comportement macroscopique dún milieu donné en fonction des propriétés et des proportions
des matériaux qui le constituent. Ces théories supposent toutes que dún point de vue
macroscopique, le milieu est homogène.
En électromagnétisme, il existe une variété de modèles dans le cadre de la théorie du
milieu effectif permettant de relier εeff aux constantes diélectriques des différents éléments
constituant le matériau (silice, matériau de remplissage). Précisons que ces modèles sont
généralement utilisés pour décrire des milieux hétérogènes dont la taille caractéristique des
inhomogénéités (en lóccurrence pour les opales, la taille des sphères et des interstices) est
inférieure à la longueur d’onde de la lumière. Un des modèles les plus couramment utilisés est
le modèle de Maxwell Garnet. L´énoncé du modèle est le suivant :
ε eff − ε h
ε −ε
ε −ε
= ϕ1 1 h + ϕ 2 2 h + ...; avec ϕ1 + ϕ 2 + ... + ϕ n = 1
ε eff + 2ε h
ε1 + 2ε h
ε 2 + 2ε h
Où εh, ε1, ε2… sont respectivement les constantes diélectriques complexes du milieu hôte et
des matériaux de remplissage de type 1, 2,... dont la proportion en volume est représentée par
φ1 , φ2 …
Au cours de cette thèse, le modèle de Maxwell Garnett a été utilisé pour estimer líndice
effectif de différentes structures telles que les opales synthétiques ou les matériaux mésoporeux.
Pour les opales, le milieu est composé dúne matrice de silice et dún matériau de
remplissage GaAs, le modèle de Maxwell-Garnett s´écrit :
ε eff − ε SiO 2
ε
−ε
ε GaAs + 2ε SiO 2 (2ϕ + 1)
= ϕGaAs GaAs SiO 2 ⇔ ε eff = ε SiO 2
ε eff + 2ε SiO 2
ε GaAs + 2ε SiO 2
ε GaAs + 2ε SiO 2 + ϕ (ε GaAs − ε SiO 2 )
Le modèle de Maxwell-Garnet prévoit pour la partie réelle de l’indice optique une relation
2
2
quadratique de la forme: neff = ϕGaAs nGaAs
+ (1 − ϕGaAs )nSiO
2
147
Annexe E
ANNEXE E
_
Polissage mécanique du Zinc.
Des substrats de Zinc ont été préparés afin dáccueillir des dépôts de matériaux mésoporeux. Dans cette annexe, nous allons décrire le protocole utilisé lors du polissage de ces
substrats de zinc. Ce polissage doit respecter certaines normes notamment la rugosité du
substrat qui ne doit pas dépasser la dizaine de nanomètres. En effet, le substrat, jouant le rôle
de transducteur opto-acoustique, il permet de générer des ondes acoustiques dúne centaine de
nanomètres de longueur dónde. Afin d´éviter toute diffraction acoustique, il est indispensable
que la taille des centres diffusants (les rugosités en surface) soit largement plus petite que la
longueur dónde du champs acoustique généré. Dún autre coté, au cours de cet exposé, nous
avons étudié le processus de génération de phonons acoustiques cohérents, mais pour cela, il
faut que la rugosité du film soit inférieure à la longueur de pénétration optique qui correspond
à la longueur de cohérence des phonons acoustiques.
Plusieurs techniques offrent la possibilité de réaliser un polissage avec la qualité de
surface souhaitée. Les substrats utilisés dans les expériences dácoustique picoseconde sont
généralement polis mécaniquement. Nous avons alors opté pour cette solution de polissage
mécanique automatisé. L´équipement disponible en laboratoire est une polisseuse RotoForce
4 de léntreprise Struers qui nous a proposé un protocole détaillé pour le polissage du Zinc. Le
polissage sést fait sur deux étapes. La première étape est une préparation de la surface avec
du papier abrasif dont les calibres sont mentionnés dans le tableau E.1. Lors de la seconde
étape de polissage proprement dit, nous avons utilisé un abrasif liquide composé de particules
de diamant dont la taille est donnée en tableau E.2. Ces différentes étapes de prépolissage et
de polissage ne présentent pas de difficulté particulière. Cependant, plusieurs précautions sont
à prendre. En effet, le résultat dépend fortement du rinçage de la surface à léau désionisée
puis à l´éthanol quand on utilise du papier abrasif (étape de prépolissage). Pendant l´étape du
polissage où nous utilisons du liquide abrasif, il est indispensable de nútiliser que de léau
distillée pour rincer l´échantillon car l´éthanol agglomère les nanoparticule ce qui peut être
dramatique surtout lors de la dernière étape où nous utilisons des nanoparticules de diamant
de 40 nm.
148
Annexe E
Prépolissage
Papier Abrasif
SiC 1200
Lubrifiant
eau
Vitesse de rotation (Tr/min)
150
Force exercée (N)
30
Durée (min)
Dressage
SiC 4000
Eau
150
30
1
Tableau E.1 : détail de l´étape de prépolissage.
Polissage
Drap
MD Mol
Abrasif Liquide (taille des graines)
3µm
Lubrifiant
Bleu
Vitesse de rotation (tr/min)
150
Force exercée
30
Durée (min)
3
MD Nap MD Chem
1µm
OPS 40nm
Bleu
Bleu
150
150
25
25
1
1
Tableau E.2 : détail du protocole suivi lors de l´étape de polissage.
149
150
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Spécialité : Physique

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