TP étude d`un oscillateur mécanique libre I) Evolution de l`oscillateur

TP étude d’un oscillateur mécanique libre
OBJECTIFS :
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Etudier l’évolution d’un oscillateur mécanique libre.
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Tracer le portrait de phase de l’oscillateur et identifier ses caractéristiques (fréquence propre ,
amortissement …).
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Tracer le diagramme de Bode en gain du filtre passe-bas constitué par cet oscillateur
mécanique.
Remarque : le filtrage linéaire consiste, dans l’espace de Fourier, à supprimer sélectivement
certaines fréquences. C’est ce principe général que l’on va illustrer en mécanique dans ce TP.
I) Evolution de l’oscillateur mécanique :
1.1) Présentation du dispositif :
1) On considère un dispositif constitué d’un pendule pesant formé d’une tige pouvant osciller autour
de son extrémité supérieure fixe, sur le principe du pendule simple vu en cours.
Le principe du dispositif repose sur la mesure du potentiel électrique (par rapport à la masse) de
l’extrémité du pendule oscillant à l’intérieur d’un condensateur plan constitué par une cuve
rhéographique remplie d’une solution conductrice de sulfate de cuivre. Ce potentiel est une fonction
affine de l’angle 𝜃 entre la tige du pendule et la verticale.
cuve rhéographique à vide avec les armatures du condensateur ( plaques de cuivre)
La mesure de la période du potentiel électrique (donc de 𝜃) s’effectue à l’aide de la carte SYSAM et
parallèlement au moyen d’un oscilloscope numérique. Le mode calcul du logiciel Latis pro
permettra de traiter les mesures et d’analyser par exemple l’évolution au cours du temps de
l’inclinaison 𝜃, de la vitesse angulaire, de visualiser le portrait de phase ….
1.2) Réalisation du montage :
•
Les deux plaques de cuivre de la cuve sont soumises à une d.d.p. continue de 11V : Relier les
bornes rouge et noire latérales au générateur de tension continue et vérifier au multimètre que
la tension appliquée est bien de 11 V.
•
Visualiser à l’oscilloscope la tension u entre le milieu de la cuve (notre point de référence de
potentiel et borne blanche sur la photo) et la pointe du pendule (reliée à la borne verte sur la
photo).
•
Vérifier qu’au repos, la tension lue à l’oscilloscope est nulle ; au besoin, déplacer très
légèrement la cuve pour qu’il en soit ainsi.
1.3) Observation et acquisition :
•
Ecarter à la main délicatement le pendule et observer le signal à l’oscilloscope ; relever le
temps nécessaire pour visualiser la décroissance des oscillations.
•
Faire ensuite, sans débrancher l’oscilloscope, l’acquisition de la tension u reliée à EA0 par
exemple, avec la carte SYSAM et le logiciel Latis pro : ajuster le temps total pour visualiser
correctement l’évolution de 𝜃 et déclencher (F10) après une oscillation du pendule.
Sélectionner pour le tracé de EA0, l’option Traits (en cliquant sur EA0 en haut à gauche) puis dans
le menu Traitements, calculs spécifiques, choisir lissage. Travailler, pour la suite, avec la courbe
« lissage de EA0 ».
II) Mesure des caractéristiques de l’oscillateur mécanique :
•
D’après la courbe obtenue, quelle est la nature du régime libre ? Que peut-on dire de
l’amortissement de ce pendule ?
Pour réduire le facteur de qualité du pendule, on place un disque de frottements : choisir le plus
grand disque et le fixer au milieu de la tige, perpendiculaire au mouvement. Faire l’acquisition du
régime libre de l’oscillateur comme précédemment et lisser la courbe obtenue.
On se propose de déterminer les caractéristiques du pendule ; pour cela :
•
•
Dans le menu Traitements, Modélisation, choisir le modèle approprié en fonction de la
nature du régime envisagé, effectuer le calcul du modèle.
Relever sur la modélisation, le coefficient de corrélation (garant d’une modélisation réussie),
la fréquence propre f0 et le coefficient d’amortissement m de l’oscillateur ; noter le lien entre
m et le facteur de qualité Q du système : donner la valeur de Q obtenue. Cette valeur est-elle
cohérente avec l’allure du signal obtenue ? Justifier qualitativement la réponse.
III) Tracé du portrait de phase de l’oscillateur :
Dans le menu Traitements, puis Calculs spécifiques sélectionner Dérivée et réaliser la dérivée de la
modélisation précédente ; visualiser le portrait de phase de l’oscillateur à partir de la modélisation de
« EAO lissage » et de sa dérivée : commenter la courbe obtenue.
IV) Diagramme de Bode de l’oscillateur mécanique :
L’équation différentielle régissant le mouvement du pendule pesant est de la forme :
d 2θ
dt 2
+
ωo dθ
Q dt
+ ωo2θ (t ) = f (t )
Lorsqu’on lâche initialement le pendule sans vitesse initiale depuis une inclinaison 𝜃0 , f(t) est
constituée par une fonction équivalente à un échelon (cf échelon de tension en électricité).
On peut montrer que f(t) se décompose en séries de Fourier. Or pour une excitation sinusoïdale de la
forme : F(t) = Fmcos𝜔𝑡 , la réponse du pendule est de la forme : θ(t) = θm cos(𝜔𝑡 + 𝜑) soit, en
notation complexe, Fm=Fm et θm = θm. 𝑒 !" .
A partir de l’équation différentielle précédente, on obtient l’expression du rapport :
θm
Fm
1
=
1+
1 ⎛ jω ⎞ ⎛ jω ⎞
⎜
⎟ + ⎜
⎟
Q ⎜⎝ ωo ⎟⎠ ⎜⎝ ωo ⎟⎠
2
Il s’agit donc d’un filtre passe-bas.
4.1) Principe :
Plutôt que de tracer le diagramme de Bode point par point, on utilise la réponse indicielle de
l’oscillateur mécanique : lorsqu’on décale le pendule de sa position verticale d’équilibre et qu’on le
lâche, le pendule répond à un échelon. La fonction de transfert est dans ce cas, la transformée de
Fourier de la dérivée de la réponse indicielle.
4.2) Réalisation :
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Réaliser avec le logiciel Latis pro, la transformée de Fourier de la dérivée de « modélisation
lissage EA0 » : menu Traitements, Calculs spécifiques, Analyse de Fourier.
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Dans le menu Traitements puis feuille de calculs, entrer :
log x= log((fréquence)/f0) avec f0 valeur de la fréquence propre relevée précédemment.
GdB= 20*log (S_Amplitude avec le numéro de la courbe correspondant à la transformée de
Fourier obtenue ci-dessus)
Exécuter le calcul par la commande F2.
•
Observer dans une nouvelle fenêtre GdB en fonction de log x : commenter la courbe
obtenue : nature du filtre, valeur de la fréquence de résonance …
•
Retrouve-t-on une des courbes ci-dessous ? Si oui laquelle, expliquer…
Q >>1 xres ≈ fo Q = Q<<1 Log x