Simulation du problème à trois corps : Jupiter – Io - Zone

Transcription

Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Simulation du problème à trois corps :
Jupiter – Io – Europe
Présentation du
problème
Comparaison des deux
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
E. BOUVIER et D. CHATEAU
École Normale Supérieure de Lyon
Problème de Kepler
Problème à trois corps Application au système
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
3 janvier 2011
Introduction
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Restriction de l’étude
Mécanique du point
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Étude en 2D
Objectif
Obtenir numériquement la trajectoire de deux satellites de
Jupiter en tenant compte de leur interaction mutuelle, et en
supposant l’ensemble des trois corps isolés
Vérification des trois lois de Kepler
Existence d’intégrales premières du mouvement
Sommaire
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
1
Introduction
2
Sommaire
3
Problème à trois corps - PFD
Présentation du problème
Comparaison des deux méthodes
Divergence à moyen terme
4
Régularisation de Lévi-Civita
Problème de Kepler
Problème à trois corps - Application au système
{Jupiter-Io-Europe}
5
Conclusion
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Hypothèses
Mécanique du point : corps considérés ponctuels donc rotation sur
eux-même négligée.
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Méthode de résolution
Utilisation des algorithmes d’Euler ou de Runge-Kutta pour
résoudre l’équation différentielle du mouvement qui découle de la
seconde loi de Newton :
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
~ai (~r ) = − ∑
j 6=i
Gmj~rij
rij3
(1)
Paramètres du programme : masses, positions et vitesses initiales,
nombre d’itérations NMAX , ainsi que le pas temporel dt.
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Adimensionnement des variables
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Choix des unités :
L0 = 6,711 · 108 m : distance initiale Jupiter-Europe.
M0 = 4,8 · 1022 kg : masse de Europe.
V0 = 1,374 · 104 m · s−1 : vitesse initiale de Europe.
D’où l’unité de temps : T0 = L0 /V0 = 4,88 · 104 s = 0,56531 j,
avec dt très inférieur à l’unité de temps.
Mécanique
Céleste
Visualisation des trajectoires
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Trajectoires RK4 DT=T0/50 TMAX=500 (10 tours)
Trajectoires RK4 DT=T0/50 TMAX=500 (10 tours)
Jupiter
Io
Europe
1
Jupiter
Io
Europe
1
Introduction
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Position y reduite
Problème à trois
corps - PFD
0.5
Position y reduite
0.5
Sommaire
0
-0.5
0
-0.5
-1
-1
-1
-0.5
0
Position x reduite
0.5
1
F IGURE 1: Trajectoires avec la
méthode d’Euler.
-1
-0.5
0
Position x reduite
0.5
1
F IGURE 2: Trajectoires avec la
méthode de Runke-Kutta.
Avantage de la méthode de Runge-Kutta : trajectoire plus stable.
D’où la possibilité de prendre un pas plus important et de gagner
en rapidité et en mémoire.
Mécanique
Céleste
Conservation de l’énergie
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Energies Euler DT=T0/50 TMAX=500 (10 tours)
Energies Euler DT=T0/50 TMAX=500 (10 tours)
1.06
1.002
Energie totale
Energie totale
1.001
1.04
Introduction
1
1.02
0.999
Présentation du
problème
1
Energie reduite
Problème à trois
corps - PFD
Energie reduite
Sommaire
0.98
0.96
0.998
0.997
0.996
0.995
0.94
0.994
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
0.92
0.993
0.9
0.992
0
50
100
150
200
250
300
Nb iterations
350
400
F IGURE 3: Énergies avec la
méthode d’Euler.
450
500
0
50
100
150
200
250
300
Nb iterations
350
400
450
500
F IGURE 4: Énergies avec la
méthode de Runke-Kutta.
Conservation de l’énergie non exactement vérifiée :
Méthode d’Euler : variations de l’énergie de 13%,
Méthode de Runge-Kutta 4 : variations de l’énergie de 0,4%.
Par la suite, utilisation de la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4.
Divergence à moyen terme
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Programme limité uniquement par la mémoire du disque dur, mais
divergence à l’infini des trajectoires en raison de la sensibilité aux
conditions initiales.
Modélisation limitée essentiellement par l’hypothèse simplificatrice
d’un système isolé de points matériels en 2D et non par les
performances technologiques de la machine.
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Inutile de poursuivre la simulation sur des temps trop grands.
Problème de Kepler
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
A et B isolés, de masses M1 et M2 , repérés par ~r1 et ~r2 , dans le
référentiel barycentrique R de centre G.
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Mise en équation et régularisation
Réduction du problème : particule fictive P (~r ) dans R
M1 M2 d 2~r
M1 + M2
dt 2
= −GM1 M2
~r
ρ3
(2)
avec ρ = k~r k et G = 6,67428 · 10−11 m3 · kg−1 · s−2 .
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Adimensionnement des variables :
1/2
~r 0 =~r /R0 , ρ0 = ρ/R0 et t 0 = G(M1 + M2 )/R03
t
d 2x 0
dt 02
=−
x0
ρ03
et
d 2y 0
dt 02
=−
y0
ρ03
(3)
Problème de Kepler
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Coordonnées de Lévi-Civita :
Nouvelles coordonnées :
x 0 = u2 − v 2
et y 0 = 2uv ,
ρ0 = u 2 + v 2 , et τ = dt 0 /ρ0
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Expression de l’énergie :
2
E= 0
ρ
du
dτ
2
+
dv
2 !
−
dτ
1
ρ0
Équations du mouvement :
d 2u
d τ2
=
E
2
u
et
d 2v
d τ2
=
E
2
v
(4)
Problème de Kepler
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
Application au système {Jupiter-Galileo}
Paramètres et conditions initiales :
t0 = 0 s et tf , temps auxquels débute et finit la simulation ;
M1 = 1,8986 · 1027 kg, masse de Jupiter ;
M2 = 2380 kg, masse de Galileo ;
R0 = 71950 km, distance initiale entre Jupiter et la sonde ;
v0 , vitesse initiale de la particule fictive en norme ;
α = π/2, angle entre (Ox ) et v~0 à l’instant initial.
Résolution des équations (4) par la méthode de Runge-Kutta
d’ordre 4
Trajectoires obtenues dans R : vc =
p
2(M1 + M2 )G/ρ
v0 > vc , soit E > 0 : trajectoires hyperboliques ;
v0 = vc , soit E = 0 : trajectoires paraboliques ;
v0 < vc , soit E < 0 : trajectoires elliptiques et périodiques.
E = −1/2ρ : trajectoires circulaires
Problème de Kepler
Mécanique
Céleste
Trajectoires possibles de Galileo et Jupiter dans R :
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Trajectoires de la sonde Galileo et de Jupiter en referentiel barycentrique
7
Problème à trois
corps - PFD
2.5
Jupiter
Sonde
Jupiter
Sonde
6
2
Divergence à moyen
terme
d(Jupiter,Galileo)|t=0
méthodes
5
Présentation du
problème
4
3
2
1.5
1
0.5
1
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
0
0
-1
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
F IGURE 5: tf = 1,75 · 104 ms,
v0 = 2 · vc : trajectoires
hyperboliques de Jupiter et
Galileo.
1
-0.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
F IGURE 6: tf = 3,5 · 105 s,
v0 = vc : trajectoires
paraboliques de Jupiter et
Galileo.
0.8
1
Problème de Kepler
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
0.6
Introduction
Sommaire
0.4
Problème à trois
corps - PFD
0.2
Jupiter
Sonde
Jupiter
Sonde
1
Présentation du
problème
0.5
0
-0.2
0
-0.5
méthodes
-0.4
Divergence à moyen
terme
-1
-0.6
-0.4
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
F IGURE 7: tf = 3,5 · 105 s,
v0 = vc /2 : trajectoires
elliptiques de Jupiter et Galileo.
1
-1
-0.5
0
0.5
1
5
F IGURE 8:
√ tf = 3,5 · 10 s,
v0 = vc / 2 : trajectoires
circulaires de Jupiter et Galileo.
Problème à trois corps - Application au système {Jupiter-Io-Europe}
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
En négligeant l’influence mutuelle des deux satellites
Idée :
Trajectoires de Jupiter et Io dans R1 ,
Trajectoires de Jupiter et Europe dans R2 ,
Trajectoires de Io et Europe par composition galiléenne dans
R centré sur Jupiter.
Lois de Kepler :
Trajectoire elliptique de Pi dans Ri dont Gi est un foyer.
Conservation de la vitesse aréolaire de Pi dans Ri au cours
du mouvement.
q
2
3
Période de la trajectoire de Pi dans Ri : Ti = 4Gπ MM0 +MMi R0i
0
i
Intégrales premières du mouvement :
Invariance par translation temporelle : conservation de Ei ;
Invariance par translation spatiale : conservation de ~Pi ;
Invariance par rotation : conservation de ~σi .
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Trajectoires de Io et Europe dans le référentiel R centré sur
Jupiter, en négligeant l’influence mutuelle des deux satellites :
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a deux corps
Présentation du
problème
Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a deux corps
0.6
Io
Europe
1
méthodes
0.2
d(Jupiter,Europe)|t=0
Régularisation
de Lévi-Civita
0.5
Divergence à moyen
terme
0
-0.5
-0.6
-1
-0.8
-1
Conclusion
0
-0.2
-0.4
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Io
Europe
0.4
-0.5
0
0.5
1
F IGURE 9: Vue d’ensemble.
0.8
0.85
0.9
0.95
1
F IGURE 10: Zoom.
1.05
1.1
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Énergie totale de chaque système supposé isolé, en négligeant
l’influence mutuelle des deux satellites :
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Energie totale du systeme {Jupiter-Io} isole dans le cadre du probleme a deux corps
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
energie totale
-1.3302e+31
-4.5345e+30
-1.3304e+31
-4.534e+30
-1.3306e+31
-4.5335e+30
energie totale (J)
energie totale (J)
Régularisation
de Lévi-Civita
-4.535e+30
energie totale
méthodes
Divergence à moyen
terme
Energie totale du systeme {Jupiter-Europe} isole dans le cadre du probleme a deux corps
-1.33e+31
Présentation du
problème
-1.3308e+31
-1.331e+31
-1.3312e+31
-1.3314e+31
-4.533e+30
-4.5325e+30
-4.532e+30
-4.5315e+30
-1.3316e+31
-4.531e+30
-1.3318e+31
-4.5305e+30
-1.332e+31
-4.53e+30
0
5000
10000
15000
20000
25000
iteration
30000
35000
40000
45000
50000
0
5000
10000
15000
20000
25000
iteration
30000
35000
40000
45000
50000
Conclusion
F IGURE 11: Énergie totale du
système isolé {Jupiter-Io}.
F IGURE 12: Énergie totale du
système isolé {Jupiter-Europe}.
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
En considérant l’influence mutuelle des deux satellites
Pour chaque système isolé, légère modification des
équations (4).
Trajectoires de Io et Europe dans R centré sur Jupiter, pour
différents temps de simulation, avec un pas d’intégration
inférieur au pourcent.
Instabilité des trajectoires de Io et Europe : périodes des
orbites non perturbées de Io et Europe autour de Jupiter non
multiples l’une de l’autre donc aucun instant où les deux
satellites de nouveau en même temps à leur position initiale.
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Orbites de Io et Europe avec Jupiter au centre dans le cadre du probleme a trois corps
0.6
Io
Europe
1
Présentation du
problème
Régularisation
de Lévi-Civita
0.2
0.5
Divergence à moyen
terme
méthodes
Io
Europe
0.4
0
-0.5
0
-0.2
-0.4
-0.6
Problème de Kepler
-1
{Jupiter-Io-Europe}
Conclusion
-0.8
-1
-0.5
0
0.5
1
F IGURE 13: Trajectoires pour
environ 10 périodes de Europe
(vue générale).
0.8
0.85
0.9
0.95
1
1.05
environ 10 périodes de Europe
(zoom).
1.1
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
0.5
Régularisation
de Lévi-Civita
Io
Europe
1
0.5
Divergence à moyen
terme
Io
Europe
1
0
-0.5
0
-0.5
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
-1
-1
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1
Conclusion
environ 100 périodes de Europe.
environ 200 périodes de Europe.
Conclusion
Mécanique
Céleste
E. BOUVIER et
D. CHATEAU
Introduction
Trajectoires de Io et Europe en première approximation
Efficacité de la méthode de Runge-Kutta d’ordre 4
Intérêt d’une régularisation avant traitement numérique
Sommaire
Problème à trois
corps - PFD
Présentation du
problème
méthodes
Divergence à moyen
terme
Régularisation
de Lévi-Civita
Problème de Kepler
{Jupiter-Io-Europe}
Limites de la modélisation
Durée de la simulation à cause de l’instabilité des trajectoires
Méthode de Lévi-Civita inefficace et multiplication points
singuliers avec PFD : méthode des perturbations
Inclure d’autres facteurs : autres satellites et planètes, Soleil,
rotation des corps sur eux mêmes, mouvements à 3D, . . .
Conclusion
Prolongement
Problème de trois corps de masses proches : comètes

Simulation du problème à trois corps : Jupiter – Io - Zone

Transcription

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