LES VECTEURS

LES
VECTEURS
COURS
LES BASES
LES PROPRIETES AVEC LEUR DEMONSTRATION
EXERCICE
Deuxième édition.
Michel Capelle
Ingénieur CNAM
Documentation gratuite
2
SOMMAIRE
Introduction
Définition
Notation
Opération sur les vecteurs
Somme vectorielle
Soustraction vectorielle
vecteur opposé
Produit d’un vecteur par un scalaire.
Produit de vecteurs.
Produit scalaire
Utilité de la définition du produit scalaire
Propriétés du produit scalaire
Commutativité
associativité
distributivité du produit scalaire sur la somme
Produit vectoriel
Utilité de la définition du produit vectoriel
Propriétés du produit vectoriel
Commutativité
associativité
distributivité du produit vectoriel sur la somme
Décomposition d’un vecteur en somme de vecteurs orthogonaux
Conclusion
Exercices d’application
Cette édition ne change pas beaucoup de la précédente, si ce n’est qu’elle est
plus complète car elle donne la démonstration de la distributivité du produit
scalaire sur la somme dans le cas où les vecteurs ne sont pas coplanaires.
3
INTRODUCTION
Pour définir simplement un vecteur, commençons par exprimer un besoin.
Une masse s’exprime en kilogrammes, si on ajoute 10 kg à 2 kg, la masse totale
sera de 12 kg, la masse est une grandeur scalaire.
Un piéton avance à 5 km/h sur un tapis roulant qui lui-même se déplace à 4 km/h.
Il y a deux possibilités, soit le piéton et le tapis progressent dans le même sens dans
ce cas le piéton parcours 9 km en une heure, soit le tapis recule pendant que le
piéton avance auquel cas le piéton n’avance plus qu’à une vitesse de 1 km/h.
5 km/h sur le tapis
Tapis roulant
Trottoir fixe
4 km/h
dans un sens ou dans l’autre
Figure 1
Ces deux exemples utilisent des scalaires, nombres réels pouvant être positifs ou
négatifs définissant ainsi deux directions au plus.
Si maintenant on imagine un tapis suffisamment large pour que le piéton puisse
marcher en zigzag alors il est clair que la vitesse du piéton par rapport au trottoir ne
sera pas égale à la somme ou à la différence des vitesse tapis par rapport au trottoir
et piéton par rapport au tapis.
Autre exemple où les nombres scalaires ne suffisent plus.
Considérons deux personnes qui poussent une automobile, chacun avec une force
de 500 N, la somme des efforts conjugués dépend du sens de la force. Une
personne peut pousser à l’arrière dans le même sens que le véhicule, et si la
deuxième personne pousse sur le côté au niveau de la portière, sa force ne pourra
pas être tout à fait dans le prolongement de la voiture.
F2=500 N
F1=500 N
Figure 2
Dans cette configuration les efforts conjugués donneraient entre 700 N et 900 N, la
somme de deux scalaires ne pourraient donner que l’addition ou la soustraction soit
0 ou 1000 N
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4
DEFINITION
Un vecteur est généralement défini par une classe d’équivalence, on considère en
effet, que seuls l’intensité et le sens, suffisent à le définir.
Par exemple le fait qu’une personne pousse une voiture de l’arrière où qu’il la tire de
l’avant peut être représenté par un même vecteur du moment que l’effort et le sens
soient le même.
D
A
B
C
Figure 3
Les vecteurs A et C sont identiques, on dit qu’ils sont équipollents.
A et B sont différents car s’ils ont même direction, B est « plus petit » que A, on dit
que l’intensité du vecteur B est inférieure à celle du vecteur A
A et D sont différents car s’ils ont même intensité, leur direction est différente.
D’ailleurs la direction peut être la même mais le sens peut être différent, et dans ce
cas les vecteurs sont opposés.
On entend par direction : Nord Sud, Haut Bas Droite gauche, etc. sans préciser si on
part du Nord pour aller au Sud ou si on fait l’inverse.
Et par sens on entend : vers le Nord, vers le bas etc. on confond souvent ces deux
termes.
Donc A et C forment une classe d’équivalence, dont chaque représentant est un
bipoint.
Un bipoint a en plus un point d’application.
Mais dans le langage courant on emploie le terme vecteur soit pour parler d’un
représentant, soit pour parler de la classe d’équivalence.
On dira que A et B sont deux vecteurs égaux, plutôt qu’il s’agit d’un seul et même
vecteur.
Un vecteur par opposition au scalaire qui est réel est un nombre complexe.
D’ailleurs en électricité, on emploie indifféremment la somme vectorielle
(diagrammes de Fresnel), ou la somme de complexes pour calculer des sommes de
tensions sinusoïdales.
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5
NOTATION
On note un vecteur par une lettre surmontée d’une flèche, on peut aussi utiliser deux
lettres, la première étant l’origine et la deuxième l’extrémité, et l’ensemble surligné
d’une flèche.
Dans la plupart des ouvrages scientifiques, un vecteur est représenté par une simple
lettre en caractère gras, c’est plus simple avec un traitement de texte que de placer
une flèche.
B

u
A
Figure 4
Ainsi on peut noter :
AB
u
AB ou u
Pour la notation, la flèche surmontant la (ou les) lettre(s) est toujours dirigée de
gauche à droite, quelle que soit le sens du vecteur.
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6
OPERATIONS SUR LES VECTEURS
Somme vectorielle.
Imaginons deux personnes tirant sur un fardeau dans deux directions différentes et
avec des forces différentes.
On peut représenter ces actions par des vecteurs, OA pour la force exercée par la
première personne et OB pour la force exercée par la deuxième personne.
A (personne 1)
B (personne 2)
O
Figure 5
Sans rentrer dans la notion d’accélération liée à toute force, la distance parcourue
par chaque personne si elle était seule est proportionnelle à la force.
Donc, ces mêmes vecteurs peuvent aussi représenter le déplacement qu’effectuerait
chaque personne si elle était seule à tirer.
X
A
B
Y
O
Figure 6
Ainsi OX et OY sont des vecteurs déplacement tandis que OA et OB sont des
vecteurs Force, par une échelle appropriée, les vecteurs forces et déplacement
apparaissent comme identiques sur le dessin.
Donc si la personne 1 amène la charge au point X quand elle tire seule et que la
personne 2 amène la charge au point X quand elle est la seule à tracter, alors il est
logique de penser que l’action simultanée des deux personnes va combiner ces deux
éléments.
X’
X
O
Y
Figure 7
7
L’action exercée par la deuxième personne est représentée par OY, celle exercée
par la première personne est représentée par OX, mais aussi par YX’ qui est un
vecteur équipollent à OX.
Si chaque personne tirait chacun son tour, la charge parcourrait d’abord OY, et
ensuite YX’, mais si l’action est simultanée, alors la charge suit le chemin OX’
Ainsi le vecteur OX’ est le vecteur somme des vecteurs OX et OY, on écrit :
OX’ = OY + OX
Donc pour réaliser la somme, c’est très simple, on amène l’origine du deuxième
vecteur sur l’extrémité du premier, la somme est définie par le vecteur dons l’origine
est confondue avec l’origine du premier et l’extrémité avec l’extrémité du deuxième.
Exemple :
u
v
u
v
v+ u
u+ v
v
u
Figure 8
On constate que u+v = v+u, l’addition des vecteurs est commutative, d’ailleurs
quand une force vient s’ajouter à une première force, il est bien difficile de discerner
quelle est celle qui a eu lieu le premier.
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8
Soustraction vectorielle.
On définit la soustraction de deux vecteurs par la somme d’un vecteur et d’un
vecteur opposé.
L’opposé d’un vecteur est un vecteur qui commencerait à l’extrémité pour finir au
début, je m’explique.
B
B
A
A
Figure 9
Ainsi le vecteur BA est l’opposé du vecteur AB.
Faisons la soustraction des deux qui ont servi d’exemple pour la somme.
v
u
v− u
−v
u− v
v
−u
u
Figure 10
La soustraction des vecteurs n’est pas commutatives, l’une est l’opposée de l’autre.
u – v = -(v – u)
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9
Produit d’un vecteur par un scalaire.
Que se passe t-il si on multiplie une force par deux, trois ou plus ?
La direction ne changera pas, seule l’intensité sera multipliée dans les mêmes
proportions.
Quant on multiplie un vecteur AB par un scalaire k, on ajoute k fois bout à bout le
même vecteur.
u
C
B
u
A
u
u
A
u
u
A
Figure 11
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u = AB
2u = AC
3u = AD
D
10
Produit de vecteurs.
A premier abord, on ne voit pas trop bien ce que pourrait donner la multiplication de
deux vecteurs, et pourtant on en définit deux, le produit scalaire et le produit
vectoriel.
Nous verrons à quoi peuvent servir de telles définitions.
Produit scalaire
On définit le produit scalaire de deux vecteurs u et v, par la relation :
u.v = u . v cos( u , v )
Notation :
u
Norme du vecteur u, ou encore intensité quand le vecteur désigne une force.
( )
cos u, v Cosinus de l’angle entre les deux vecteurs, lorsque l’on fait correspondre les
origines, noté α sur la figure ci-dessous.
u
v
u
α
v
Figure 12
Soit u un vecteur de 3 cm et v un vecteur de 5 cm, soit α = 30° l’angle entre les
deux.
Au lieu de centimètres cela pourrait être des Newton (unité de Force) ou tout autre
unité de mesure, pour ne pas s’encombrer d’unité on notera :
u = 3 et v = 5
11
Le produit scalaire vaut :
u.v = u . v cos( u , v ) = 3 x5 x cos 30 = 12,99
Pour l’angle, on aurait pu choisir un sens, par exemple de u à v pour le produit u.v et
de v à u pour le produit v.u, les deux angles auraient été opposés l’un de l’autre
mais deux angles opposés ont même cosinus « cos(30) = cos(-30) » , ce qui fait que
le résultat final n'aurait pas changé.
Le produit scalaire est commutatif, pour le réaliser, on ne s’occupe pas de savoir si
l’angle entre les deux est positif ou négatif.
Le produit scalaire peut lui, être négatif, considérons l’exemple ci-dessous.
u
w
β
w
u
Figure 13
Le cosinus de l’angle β est négatif car l’angle est compris entre 90° et 270°
A quoi sert d’avoir défini ceci ?
La réponse se trouve à la page suivante.
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12
Utilité de la définition du produit scalaire.
Pourquoi avoir défini un produit ? Pourquoi l’avoir appelé scalaire ?
Le produit de la norme des vecteurs, multiplié par l’angle entre les deux vecteurs se
rencontre assez fréquemment en physique, prenons le cas suivant.
S
Figure 14
Considérons une plaque métallique recevant les rayons du soleil en pleine face
(rayons perpendiculaires à la plaque).
Cette plaque va emmagasiner de l’énergie calorique ou électrique si c’est un
panneau solaire, et il est logique de penser que si l’on place une deuxième plaque
identique à côté, l’énergie totale recueillie sera le double.
L’énergie est donc proportionnelle à la surface.
On écrit W = k .S
K étant un coefficient qui dépend de l’ensoleillement (durée et intensité), de la nature
de la plaque de sa couleur de son état de surface, etc.
W étant l’énergie emmagasinée et S la surface.
Imaginons maintenant une plaque beaucoup plus grande mais inclinée de telle sorte
qu’elle coupe toujours le même faisceau.
S
α
Figure 15
La plaque emmagasine de l’énergie, mais cette énergie est transportée par le
faisceau, celui-ci n’a pas changé, la plaque intercepte toujours le même, donc
l’énergie reste la même.
13
On écrit W = k .S cos α pour une surface inclinée.
Cette écriture n’est pas très pratique, il faut faire un dessin représentant l’angle α, il
vaut mieux adopter une écriture plus générale qui une fois définie, n’a besoin
d’aucun dessin ou longue phrase, pourquoi ne pas utiliser le produit scalaire ?
C’est ce qu’on va faire, puisque l’énergie dépend de l’ensoleillement, on va
représenter un vecteur intensité I parallèle aux rayons du soleil.
Soit I, ce vecteur.
On définit un vecteur n unitaire, c'est-à-dire de norme = 1, perpendiculaire à la
plaque.
Dans ce cas l’énergie est égale au produit scalaire de l’intensité lumineuse par la
normale à la plaque, le tout multiplié par la surface et par un coefficient.
n
S
α
α
S⊥
Figure 16
Soit S⊥, la surface perpendiculaire aux rayons de soleil et S, celle qui est inclinée,
l’énergie reçue est égale à :
W = kI.S⊥ ou kI.S.cosα
Rien n’empêche d’écrire :
W = k .S .I .n
Pas besoin de dessin pour représenter l’angle, car il est défini dans le produit
scalaire.
14
L’énorme avantage, c’est la simplification, imaginons que la plaque subissent une
inclinaison vers l’arrière et qu’en même temps on la fasse pivoter sur un autre axe, il
faudrait tenir compte d’un angle supplémentaire, tandis qu’avec l’usage du produit
scalaire, il n’y a rien de changé dans l’écriture, n reste toujours le vecteur unitaire et
orthogonal à la plaque.
β
n
I
γ
α
S
Figure 17
La plaque a pivoté d’un angle α sur un axe horizontal et d’un angle β sur un axe
vertical, mais il n’y a pas lieu de s’en occuper, on continue à faire le produit scalaire
de I par n, l’angle entre ces deux vecteurs est γ.
Cette notion de rayons brassés est nommé flux en physique, mais là n’est pas le
sujet, sachons simplement que le flux fait régulièrement appel au produit scalaire,
scalaire parce que le résultat est bien scalaire, une énergie comme un flux n’est
jamais vectorielle.
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15
Propriétés du produit scalaire
Commutativité ?
Oui car :
( )
u.v = u . v cos u , v
( )
v.u = v . u cos v, u
Le produit des deux scalaires u et v est commutatif, et l’angle entre u et v ou v et u
est identique.
Associativité ?
Non
De toute façon le produit de trois vecteurs est un vecteur, ce n’est plus un produit
scalaire.
( )
(u.v ).w = k w
u. v.w = k1 u
2
Un des résultats est colinéaire à u, l’autre est colinéaire à w, il n’y a pas d’égalité
entre les deux.
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16
Distributivité du produit scalaire sur la somme ?
Soit trois vecteurs u, v w
Le produit scalaire vérifie la distributivité à gauche si l’égalité suivante est vérifiée.
(
)
u. v + w = u.v + u.w
Le produit scalaire vérifie la distributivité à droite si l’égalité suivante est vérifiée.
(v + w).u = v.u + w.u
Commençons par vérifier la première.
Par définition du produit scalaire on a :
(
)
(
u. v + w = u . v + w cos u , v + w
(
)
)
Pour vérifier l’égalité u. v + w = u.v + u.w il faut faire disparaître le terme v + w
u = norme du vecteur u
v + w = norme du vecteur somme ( v + w)
(u, v + w) = angle entre le vecteur u et le vecteur somme (v + w)
Nous allons utiliser des notations simplifiées afin d’éviter de les traîner dans tout le
développement.
Nous écrirons les vecteurs par une lettre surmontée d’une flèche, mais pour la
norme, on utilisera la même lettre sans la flèche.
Pour les angles, on utilisera une simple lettre grecque α, β, γ etc.
v
u
u
w
α
δ
γ
v
β
ε β
w
y= v+ w
w
Figure 18
17
(
)
(
u. v + w = u . v + w cos u , v + w
)
On peut écrire plus simplement :
(
)
u. v + w = u. y cos( α
)
On a remplacé la somme v + w par une lettre unique (y plutôt que x que l’on pourrait
confondre avec le signe multiplié).
On a le droit d’utiliser y à la place de v + w , on n’aurait pas pu écrire v + w à la
place, car la norme d’une somme vectorielle n’est pas égale à la somme des
normes des vecteurs.
v+ w ≠ v + w
Donc essayons d’éliminer y et α.
y² = v² + w² - 2v.wcos(180-β)
y² = v² + w² +2v.wcosβ
α = (γ + ε); ce point est discutable, car il n'est vrai que si les trois vecteurs sont coplanaires.
Faisons comme si c'était le cas, nous prendrons le cas général plus tard.
w² = v² + y² -2v.ycosε
cos ε =
v ² + y ² − w²
2v. y
cosα= cos(γ + ε)
= (cosγ.cosε -sinγ.sinε)
 v ² + y ² − w² 
v ² + y ² − w²

cos α = cos γ
− sin γ 1 − 
2v. y
2v. y


2
Et en remplaçant y par son expression :
y² = v² + w² +2v.wcosβ
 v ² + ( v ² + w² + 2v.w cos β ) − w² 
v ² + ( v ² + w² + 2v.w cos β ) − w²

cos α = cos γ
− sin γ 1 − 

2v. v ² + w² + 2v.w cos β
2
v
.
v
²
+
w
²
+
2
v
.
w
cos
β


2
18

2v ² + 2v.w cos β
2v ² + 2v.w cos β
cos α = cos γ
− sin γ 1 − 
2v. v ² + w² + 2v.w cos β
 2v. v ² + w² + 2v.w cos β
cos α = cos γ
cos α = cos γ
v + w cos β
v ² + w² cos ² β + 2v.w cos β
− sin γ 1 −
v ² + w² + 2v.w cos β
v ² + w² + 2v.w cos β
cos α = cos γ
v + w cos β
− sin γ
v ² + w² + 2v.w cos β
( v² +
cos α = cos γ
v + w cos β
− sin γ
v ² + w² + 2v.w cos β
w² + w² cos ² β
v ² + w² + 2v.w cos β
cos α = cos γ
v + w cos β
− w sin γ
v ² + w² + 2v.w cos β
(
)
u. v + w = u. y cos( α




2
2

v + w cos β
− sin γ 1 − 
v ² + w² + 2v.w cos β

v + w cos β
v ² + w² + 2v.w cos β




w² + 2v.w cos β ) − ( v ² + w² cos ² β + 2v.w cos β
v ² + w² + 2v.w cos β
)
sin β
v ² + w² + 2v.w cos β
)
y² = v² + w² + 2v.wcosβ

u. y cos α = u v ² + w² + 2v.w cos β  cos γ

(
)
(
)
(
)
u. v + w = u.( cos γ ( v + w cos β ) − w sin γ sin β
v + w cos β
− w sin γ
v ² + w² + 2v.w cos β
sin β
v ² + w² + 2v.w cos β




)
u. v + w = uv cos γ + uw cos γ cos β − u.w sin γ sin β
u. v + w = uv cos γ + u.w cos( γ + β
)
On peut reprendre la notation de base.
(
)
( )
( )
u. v + w = u . v cos u , v + u . w cos u , w
Ce qui fait :
(
)
u. v + w = u.v + u.w
La distributivité à gauche est démontrée, il reste à démontrer la distributivité à droite.
19
(v + w).u =
(
v + w . u cos v + w, u
)
En notation simplifiée.
(v + w).u =
y.u cos( α
)
(
)
(
)
En effet, les angles u, v + w et v + w, u sont considérés comme identiques, car on
n’a pas défini de signe dans le produit scalaire, en raison du cosinus qui reste le
même quand on change le signe d’un angle cos(α)=cos(-α)
Comme yu =uy on obtient :
(v + w).u = uy cos(α )
On a la même relation que pour la distributivité à gauche, ce qui donne le même
résultat soit :
(v + w)u. =
( )
( )
u . v cos u , v + u . w cos u , w
La commutativité des produits u.v et u.w permet d’écrire :
(v + w)u. =
( )
( )
v . u cos u , v + w . u cos u , w
Ce qui fait :
(v + w).u = v.u + w.u
Le produit scalaire vérifie donc la propriété d’être distributif sur l’addition des vecteurs
aussi bien à droite qu’à gauche.
Notons bien que la démonstration n'a été faite que pour le cas particulier où les
vecteurs sont coplanaires.
Les pages suivantes présentent une démonstration pour le cas général.
20
Distributivité du produit scalaire sur la somme dans le cas général.
Dans le cas général, les vecteurs ne sont pas coplanaires.
Partons de la figure ci-dessous
U
O
δ α
γ
H
ε
β
V
β
M
W
Figure 19
Dans le cas général les angles γ et ε ne sont pas coplanaires, par contre ε et β sont
coplanaires.
Effectuons
(
u. v + w
)
Et comparons avec :
u.v + u.w
On pose :
y = v+ w
u. y = u. y cos α
u. y = u. v ² + w² + 2v.w cos β cos α
Y
21
Il reste à définir α.
On définit O l’origine des vecteurs.
Limites de α : pour ε =0, α = γ et pour ε = β, α = δ.
OM = OHcosε
OM = OUcosα
Ce qui fait :
cos α =
OM OU cos γ cos ε
=
OU
OU
cosα = cosγcosε
La valeur de cosε n’est pas difficile à trouver :
w² = v² + y² -2v.ycosε
y² = v² + w² +2v.wcosβ
w² = v ² + ( v ² + w² + 2v.w cos β ) − 2v v ² + w² + 2v.w cos β cos ε
cos ε =
cos ε =
cos ε =
v ² + ( v ² + w² + 2v.w cos β ) − w²
2v v ² + w² + 2v.w cos β
2v ² + 2v.w cos β
2v v ² + w² + 2v.w cos β
v + w cos β
v ² + w² + 2v.w cos β
cos α = cos γ
v + w cos β
v ² + w² + 2v.w cos β
On reprend
u. y = u. v ² + w² + 2v.w cos β cos α
u. y = u. v ² + w² + 2v.w cos β cos γ
v + w cos β
v ² + w² + 2v.w cos β
22
u. y = u. cos γ ( v + w cos β
)
u. y = u.v cos γ + u.w cos γ cos β
De même que :
cosα = cosγcosε
On a :
Cosδ = cosγcosβ
Ce qui fait :
u. y = u.v cos γ + u.w cos δ
Soit :
(
)
u. y = u. v + w = u.v + u.w
La distributivité à gauche est démontrée.
Distributivité à droite.
Il faut faire :
(u+v).w
Le produit scalaire est commutatif, d’où :
(u + v).w = w.(u + v)
La distributivité à gauche permet d’écrire :
(
)
w. u + v = w.u + w.v
Toujours en appliquant la commutativité :
w.u + w.v = u.w + v.w
La distributivité à droite est démontrée.
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23
Produit vectoriel
On le définit par :
w = u xv = u . v sin ( u, v ) e
e, vecteur unitaire perpendiculaire à u et à v tel que u, v e soit direct, voir plus loin ce
que cela signifie.
La présence du sinus implique un signe pour l’angle car le sinus, contrairement au
cosinus dépend du signe de l’angle, cos(α)=cos(-α), mais sin(α)=-sin(-α).
Le sens est défini de la façon suivante, si on tourne dans le sens trigonométrique,
alors l’angle est positif, mais si on tourne dans le sens contraire (sens horaire) alors
l’angle est négatif.
Le point de départ pour l’angle est le premier vecteur, pour (u,v) c’est donc u, on part
de u pour aller à v.
v
(u,v)>0 sens trigo
u
(u,v)<0 sens horaire
Figure 20
Dans l’exemple de la figure (u,v) = +30° quand on part dans le sens trigo mais on a
(u,v) = -330° quand on part dans le sens horaire, dans les deux cas le sinus est le
même par conséquent, peu importe le sens de rotation du moment que l’on affecte le
signe qui convient (+ sens trigo, - sens horaire).
Définition d’un système direct de trois vecteurs.
Ce système se retrouve dans un repère orthonormé.
Un repère orthonormé est un repère constitué de trois vecteurs unitaires
orthogonaux deux à deux et formant un système i j k direct, certains auteurs
remplacent i j k par e1 e2 e3, cette dernière notation est générale, tandis que i j k
s'adresse à un repère cartésien.
Il est relativement facile de représenter un tel système, mais nous ne sommes pas à
l’abri d’illusion optique qui pourraient faire prendre des vessies pour des lanternes.
24
Problème d’une représentation 3D illusion d’optique :
Observez la boîte ci-dessous, détournez le regard et observez de nouveau, faites
ceci plusieurs fois
A’
A
C’
B’
C
B
D’
Figure 21
D
Tantôt la face ABCD apparaît devant la face A’B’C’D’, tantôt c’est le contraire, ce qui
signifie qu’une représentation en perspective, si elle s’applique très bien pour
dessiner des maisons ou des paysages, est totalement insuffisante pour représenter
des figures.
On adopte la représentation suivante :
Vous placez une feuille de papier sur votre bureau, ou l’écran de votre ordinateur
face à vous.
Sur la feuille, ou sur l’écran, vous tracez le vecteur i, origine à gauche et extrémité à
droite.
Sur la feuille, vous tracez le vecteur j, origine sur celle du vecteur i et extrémité
s’éloignant de vous, si c’est sur l’écran, extrémité s’en allant vers le haut.
Enfin vous imaginez le vecteur k avec son origine confondue avec l’origine des deux
autres vecteurs i et j, et son extrémité pointant vers vous.
On représentera le vecteur k par un point entouré d’un cercle, symbole du côté
pointu de la flèche car elle pointe vers vous.
25
Un vecteur qui pointerait dans la direction opposée serait représenté par un cercle
enfermant une croix, symbolisant l’empennage de la flèche.
j
k
-k
j
i
i
k
Figure 22
Une fois que l’orientation a été définie, on retourne à la représentation en perspective
en précisant l’ordre des trois vecteurs pour un système direct.
On peut retrouver le système direct avec les trois doigts de la main droite, le pouce
pointant vers i, l’index pointant sur j et le majeur sur k.
k
majeur
j
index
i
pouce
Main droite
Figure 23
Cette règle n’est pas sujette à erreur car vous ne risquerez pas de retourner les
doigts à l’envers, si vous placez les trois doigts perpendiculaires deux à deux et que
vous placiez le pouce sur le vecteur i, les deux autres seront automatiquement bien
placés, cette règle de la main droite est utilisée en électromécanique.
26
Revenons-en au produit vectoriel.
w = u xv = u . v sin ( u, v ) e
Tel que le système u, v, e soit direct, et u, v placés dans le plan Oij, e orthogonal à u
et à v, mais les deux vecteurs u v ne sont pas obligatoirement orthogonaux l’un
l’autre, et pour un observateur placé entre les deux vecteurs, u est à sa droite,
comme i, et v à sa gauche, comme j.
k
w
j
e
α
i
O
v
u
Figure 24
w est dans le même sens que e si le sinus est positif, sinon il se retrouve en sens
inverse.
Nous voyons sur la figure que l’angle est orienté, traitons ce point sur la
représentation ci-dessous :
v
w
α=(u,v)
u
Figure 25
Par définition, l’angle (u,v) est orienté de u vers v, si cette orientation est celle du
sens trigonométrique (sens inverse des aiguilles d’une montre) alors l’angle est
positif, sinon il est négatif.
Dans le cas de la figure 25, l’angle est positif.
27
Considérons maintenant le produit vectoriel w=v^u représenté par la figure cidessous :
z
v
z
y
v
O
β=(v,u)
u
β
u
x
e
Figure 26
Rien n’empêche d’orienter u suivant l’axe des x, et de faire coïncider les plans O x y
et O u v
Si on désigne par e, le vecteur unitaire du produit vectoriel v^u, alors e est dirigé
dans le sens des z décroissants.
Par définition du produit vectoriel v^u, pour l’angle, on part de v et on aboutit à u,
pour cela on tourne dans le sens des aiguilles d’une montre, (inverse au sens trigo),
de ce fait, l’angle est négatif, le sinus aussi et par conséquent le vecteur résultat du
produit vectoriel (w), est négatif.
Comme on le verra par la suite, le résultat d’un produit vectoriel ne peut être négatif
que si on définit un système d’axes et un observateur.
Un vecteur peut être positif pour un observateur et négatif pour un autre, mais dans
les deux cas, il sera invariable.
Prenons un cas simple.
Prenez le train dans une gare, le train est à quai, vous ne savez pas dans quel sens
il va, mais vous savez où il va.
Il est difficile dans ce cas de savoir où se placer pour être dans le sens de la marche,
et si on vous demande de graduer un axe Ox dans le wagon, il n’est pas certain que
O sera en queue et x dirigé vers la tête.
Imaginez que vous (observateur A), vous vous trompiez, mais qu’un deuxième
observateur (B) place bien son repère.
Vous allez passer sous un petit tunnel dont on définit le module par sa longueur et
son sens de l’entrée vers la sortie.
28
Arrivé dans le tunnel, le train s’arrête.
Si la longueur du tunnel correspond à 5 de vos graduations, le vecteur qu’il
représente vaudra par conséquent -5eA mais s’il coïncide avec 6 graduations de
l’observateur B, il vaudra +6eB.
Pour vous le vecteur « tunnel » est négatif car le bout du tunnel est dirigé dans le
sens des graduations décroissantes de votre règle, ce qui n’est pas le cas pour
l’observateur B.
Donc le vecteur tunnel peut être positif pour les uns négatifs pour d’autres
personnes.
Il va s’en dire que, si au lieu d’un train on avait pris un hélicoptère passant au dessus
du tunnel, le sens de la règle par rapport au tunnel pourrait être tout autre que
parallèle, et que la notion de signe disparaît, car un vecteur n’est pas une grandeur
algébrique.
On peut affecter un signe à un vecteur que si on le compare à un autre vecteur
colinéaire.
La fin de ce cours va fournir des explications sur la décomposition d’un vecteur en
composantes. On pourra définir un signe pour chacune des composantes, par
rapport à leurs axes respectifs.
Pour l’angle, on part de x et on aboutit à y, pour cela on tourne dans le sens des
aiguilles d’une montre, (inverse au sens trigo), donc l’angle est négatif, le sinus aussi
et par conséquent le vecteur résultat du produit vectoriel (z), est négatif.
Pour faire apparaître que le vecteur z est négatif, on l’oriente de telle sorte que le
système y (vecteur de droite),x (vecteur de gauche),z (résultat) n’est plus direct.
29
Vecteurs hors repère.
Nous avons arbitrairement placé un repère Oijk, en imaginant le plan Oij comme le
plancher des vaches et le vecteur k comme un vecteur partant du sol et allant
verticalement vers le ciel, mais que dire de deux vecteurs seuls sans repère absolu ?
On a deux vecteurs u et v, lequel est à droite ? est-ce le vecteur u ou bien le vecteur
v?
Imaginons un plafond en verre, avec un observateur dessus et un autre au dessous
se promenant au plafond, chacun voulant faire le produit vectoriel u^v.
Observateur A
eA
u
α
v
eB
w
Observateur B
Figure 27
Qu’il s’agisse de l’observateur A ou de l’observateur B, pour faire le produit u^v on
représente l’angle en partant de u et en allant à v, cette règle est sans dérogation.
L’observateur A voit le vecteur v à sa droite, pour lui le système v u eA est direct
donc w, résultat du produit vectoriel u^v est dans la direction opposée à eA
L’observateur B voit le vecteur u à sa droite, pour lui le système u v eB est direct
donc w, résultat du produit vectoriel u^v est dans la même direction que eB qui est
aussi la direction opposée à eA.
Donc que ce soit l’observateur A ou l’observateur B qui fasse le produit vectoriel, le
résultat est le même, car ils voient tous deux le vecteur w dans une direction
opposée à eA, ceci rappelle le problème des observateurs dans un train qui veulent
construire un repère pour repérer un vecteur défini par un tunnel.
Par contre, en ayant défini que le système u,v,e était direct implique que la direction
de e dépend de l’observateur, et c’est pour l’observateur B avec u,v,eB que le
système est direct.
30
Résumé de la définition :
A retenir.
On appelle produit vectoriel de u par v l’opération définie par :
( )
w = uΛ v = u . v sin u , v .e
Tel que u,v,e forme un système direct, main droite pouce en direction de u, index en
direction de v et majeur en direction de e.
Tel que e soit unitaire.
Tel que l’angle (u,v) est défini de u à v, comme positif si on tourne dans le sens trigo
et négatif dans le cas contraire.
Ceci implique que w est dans le même sens que e si le sinus est positif, et dans le
sens opposé s’il est négatif.
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31
Utilité de la définition du produit vectoriel
Sans chercher à vouloir définir une forme vectorielle au résultat, montrons un cas où
l’on voit apparaître la fonction sinus.
Cas du couple.
Donnez moi un levier, et je soulèverai le monde, qui ne connais pas l’effet du levier ?
Le produit d’une force par une longueur est appelé moment en physique, l’action de
deux forces, une de chaque côté forme un couple.
Tige de longueur l
Force F
Axe O
Figure 28
Le moment d’une force F s’exerçant perpendiculairement à un levier est donné par :
M=Fxl
L est la longueur du levier quand le moment s’exprime par rapport à un point O placé
à l’autre extrémité.
Généralement, le point O est un axe de rotation, mais ce n’est pas une obligation, on
peut même définir le moment par rapport à un point qui n’appartient même pas au
levier, mais on ne rentrera pas dans le détail.
Ce que l’on veut montrer c’est que si le point O est un axe de rotation, et que la barre
est lourde, on aura intérêt à la soulever par son extrémité, explications :
d
F1
F1
M
E
O
F2
Figure 29
Soit F2 le poids de la poutre, et F1 la force qu’il faut exercer à chaque extrémité pour
compenser le poids.
Si M est le milieu (centre de gravité), il est évident que F2 = 2F1
32
On peut retrouver ce résultat par les moments, à l’équilibre (pas de rotation), la
somme algébrique est nulle.
Moment en M = moment en E, en valeur absolue.
OMxF2 = OExF1, d/2 F2 = d F1  F2 = 2F1
Le moment peut se définir comme l’efficacité à soulever quelque chose, imaginons
que la force s’exerce dans le même sens que la tige, dans ce cas il est impossible de
la maintenir, le moment est nul.
Si la force fait un angle α par rapport à la tige alors le moment est proportionnel au
sinus de cet angle.
F⊥
F
α
O
Figure 30
A
M=OAxFsinα
Est-il nécessaire que le résultat soit vectoriel ?
Oui car plusieurs forces peuvent s’exercer au point A et ces forces ne sont pas
obligatoirement coplanaires, dans ce cas le moment qui se traduit comme une
efficacité à faire un mouvement d’effort, ne peut pas être purement algébrique.
Mais sommes nous obligés de définir le résultat comme un vecteur perpendiculaire
aux vecteurs OA et F ?
Non tant que les forces s’exercent toutes au point A, on peut définir le moment
comme un vecteur colinéaire aux forces, mais si on imagine plusieurs barres partant
de O dans des directions différentes, on se doute que le résultat des forces va
dépendre de la direction des leviers même s’ils font tous la même longueur.
Soient deux leviers de longueur identique d, au bout desquels s’exercent une même
force F.
F
A’
d
F⊥
α
O
d
F
α
A
Figure 31
33
La figure 31 montre que si le vecteur couple était colinéaire à la force résultante, le
couple vaudrait 2OA.Fsinα
Or on sait que c’est faut, la force utile exercée sur la barre horizontale est F⊥, et celle
exercée sur la barre inclinée est nulle, par conséquent le couple vaut OA.Fsinα, il n’y
a pas de facteur 2.
Le couple ne peut pas être colinéaire à la barre, sinon à quelle barre ? pourquoi la
barre horizontale plutôt que la barre inclinée et inversement.
Par contre, la définition du produit vectoriel convient, et le moment est défini comme.
M = dΛ F
La direction du couple ne privilégie aucun vecteur OA OA’ ou F.
Autre exemple encore plus frappant.
Cas de l’électromagnétisme.
Une expérience consiste à déplacer un fil électrique dans un champ magnétique
pour récolter un courant.
Lampe
J ; I
F
B
Figure 32
Le fait de déplacer le fil en coupant les lignes d’induction peut engendrer un courant,
il suffit de fermer le circuit, par exemple avec une lampe.
Si le courant a lieu, alors le déplacement du fil demande un certain effort F, si on
supprime l’induction magnétique en retirant l’aimant, alors l’effort et le courant
disparaissent, les trois grandeurs sont liées entre elles par un système de trois
vecteurs B F et J.
34
Le courant I n’est pas une grandeur vectorielle mais la densité de courant J en est
une, on ne rentrera pas dans les détails, cela relève d’un cours de physique, on
énonce simplement que :
E = qB^v
Le vecteur v est le vecteur vitesse, il est colinéaire à F.
La tension U est reliée au courant par la relation U=RI, ou R est la résistance du
récepteur, en l’occurrence la lampe.
Tout comme le courant, la tension n’est pas une grandeur vectorielle, c’est le champ
E qui en est une.
Le but de ces quelques lignes n’est pas de vous expliquer les lois de
l’électromagnétisme, il faudrait plusieurs chapitres d’un livre, mais de vous montrer
une des applications du produit vectoriel.
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35
Propriétés du produit vectoriel.
Commutativité ?
Le produit vectoriel n’est pas commutatif, mais la différence ne se joue que sur le
signe.
uΛ v = − vΛ u
Associativité ?
Est-ce que :
(uΛ v)Λ w = uΛ (vΛ w)
Contrairement au produit scalaire où le fait d’introduire un troisième vecteur n’aboutit
plus à un scalaire, le produit vectoriel de trois vecteurs donne bien un vecteur,
maintenant reste à savoir si on conserve l’égalité.
Il est toujours préférable de commencer par des cas simples, car s’il s’avère que la
propriété n’est pas vérifiée pour ces cas, c’est inutile de chercher un cas général.
z
uΛ v
(uΛ v)Λ w
w
v
O
u
vΛ w
x
( )
uΛ vΛ w
Figure 33
y
36
Dans cet exemple, un simple dessin montre que les deux résultats sont différents en
ce qui concerne l’orientation des vecteurs, il n’est même pas utile de vérifier si les
modules sont identiques, on en conclut immédiatement que le produit vectoriel n’est
pas associatif.
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37
DISTRIBUTIVITE DU PRODUIT VECTORIEL SUR LA SOMME
Démontrer les relations ci-dessous :
(
)
uΛ v + w = uΛ v + uΛ w
distributivité à gauche
(v + w)Λ u = vΛ u + wΛ u
distributivité à droite
Commençons par la première.
cd
λ1
λ2
z
b
Q
a
η
w
β
τ
v
γ
O
ε
δc
χ
α
δ
u
R
x
Figure 34
s
P
y
38
On s’appuie sur la figure ci-dessus, dont la démonstration consiste à vérifier que les
vecteurs c et d sont confondus.
Volontairement, on a représenté deux vecteurs c et d légèrement décalés, c’est pour
mieux les identifier, et de toute façon il n’est pas utile de les superposer tant que
l’égalité n’est pas démontrée.
Le vecteur c étant le résultat du produit uΛ v + uΛ w et le vecteur d le résultat du
produit uΛ v + w
(
)
La démonstration doit traiter un cas le plus général possible, on prend trois vecteurs
de module différents et non coplanaires.
Le repère orthonormé est arbitraire, il sert à la clarté de la démonstration, on l’a
positionné le plus simplement possible, avec les vecteurs v et w dans le plan (O y z)
et en appuyant le vecteur v sur l’axe y.
Le système des trois vecteurs est parfaitement défini par u, v, w , α, β, et γ
Notation.
On utilisera couramment des notations simplifiées, qui sont le caractère gras pour un
vecteur et un caractère simple pour sa norme.
u=u
u =u
Angle entre les vecteurs a et b
«η»
(a, b)
que l’on note par une simple lettre au choix
Avec a = u^v et b = u^w
La démonstration doit vérifier trois points :
1- Les vecteurs c et d doivent avoir la même norme.
2- Les vecteurs c et d ont même décalage angulaire par rapport à un troisième
vecteur, par exemple a, ce qui implique λ1 = λ2
3- Enfin les plans (O a c) et (O a d) sont confondus.
On pourrait à la place calculer l’angle entre c ou d par rapport à deux autres
vecteurs, mais l’opération est longue, on ne cherche pas à donner le résultat complet
du produit vectoriel, on se contente de démontrer une égalité.
39
1- Comparaison des normes.
uΛ v + uΛ w
( )) + ( b sin (a, b))
(
uΛ v + uΛ w ² = a + b ² = a + b cos a, b
2
2
Que l’on notera plus simplement :
(a+bcosη)²+(bsinη)²
Avec η angle entre a et b ou ce qui revient au même entre les plans (O, u, v) et (O,
u, w) voir figure ci-dessous.
a
b
η
β
Et :
v
η
O
α
w
γ
u
a = u.vsinα
b = u.wsinγ
Figure 35
On commence par calculer l’angle entre les plans (O, u, v) et (O, u, w)
Voir page suivante.
40
Angle entre les plans.
O
γ
α
β
R

U
S
η


W
V
Figure 36
On recherche l’angle entre les plans R et S, connaissant l’angle entre trois vecteurs
non coplanaires, chaque plan contenant deux des trois vecteurs.
Autrement dit, il faut déterminer η en fonction de α β et γ.
On va tout exprimer en fonction de OU
VW² = UV² + UW² - 2 UV.UWcosη
VW² = OV² + OW² - 2 OV.OWcosβ
UW/OU = tgγ
UV/OU = tgα
cosη =
UV ² + UW ² − VW ²
2UV .UW
41
cosη =
UV ² + UW ² − ( OV ² + OW ² − 2OV .OW cos β
2UV .UW
)
 OU ²

OU ²
OU ²
OU ²tg ²α + OU ²tg ²γ − 
+
− 2
cos β 
cos α cos γ
 cos ²α cos ²γ

cosη =
2OU ²tgα tgγ
 1

1
1
tg ²α + tg ²γ − 
+
− 2
cos β 
cos α cos γ
 cos ²α cos ²γ

cosη =
2tgα tgγ


1
tg ²α + tg ²γ −  1 + tg ²α + 1 + tg ²γ − 2
cos β 
cos α cos γ


cosη =
2tgα tgγ


1
−  1 + 1 − 2
cos β 
cos α cos γ

cosη = 
2tgα .tgγ


1
−  1 −
cos β 
cos α cos γ

cosη = 
tgα .tgγ
cosη =
− ( cos α cos γ − cos β
tgα .tgγ cos α cos γ
cosη =
cos β − cos α cos γ
sin α sin γ
)
Puisqu’on a gardé les mêmes repères sur la figure qui a servi à calculer l’angle entre
les plans, la relation ne change pas.
cosη =
cos β − cos α cos γ
sin α sin γ
42
On développe :
(a+bcosη)²+(bsinη)² = a² + b²cos²η + 2abcosη + b²sin²η
= a² + b² + 2abcosη
=u²v²sin²α + u²w²sin²γ +2uvsinα.uwsinγcosη
= u ² v ² sin ²α + u ² w² sin ²γ + 2uvuw( cos β − cos α cos γ
= u ²( v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
)
))
Soit en notation conventionnelle :
(
uΛ v + uΛ w ² = u ² v ² sin ²α + w ² sin ²γ + 2 v . w ( cos β − cos α cos γ
Il reste à faire la deuxième relation :
(
)
uΛ v + w ² = uΛ s ² = u ². s ² sin ² χ
Que l’on note plus simplement :
u²s²sin²χ
sin ² χ = 1 − cos ² χ
La relation du triangle quelconque OUS donne :
US² = OU²+OS²-2OU.UScosχ
Soit :
cos χ =
u ² + s ² − US ²
2us
Ce qui fait :
 u ² + s ² − US ² 
sin ² χ = 1 − 

2us


sin ² χ =
2
4u ² s ² − ( u ² + s ² − US ² ) ²
4u ² s ²
u ² s ² sin ² χ =
4u ² s ² − ( u ² + s ² − US ² ) ²
4
))
43
s² = (v+wcosβ)²+(wsinβ)²
s² = v² + w²cos²β +2vwcosβ + w²sin²β
s² = v² + w² +2vwcosβ
US² = (xS-xU)²+(yS-yU)²+(zS-zU)²
= (0-ucosεcosδ)²+(v+wcosβ-ucosεsinδ)²+(wsinβ-usinε)²
US²= (ucosεcosδ)²+(v+wcosβ-ucosεsinδ)²+(wsinβ-usinε)²
US² = u²cos²εcos²δ + v² + w²cos²β +u²cos²εsin²δ + 2vwcosβ -2vucosεsinδ -2wucosβ
cosεsinδ
+ w²sin²β + u²sin²ε-2wusinβsinε
US² = u²cos²ε + v² + w²cos²β + 2vwcosβ -2vucosεsinδ -2wucosβcosεsinδ
+ w²sin²β + u²sin²ε-2wusinβsinε
US² = u² + v² + w² + 2vwcosβ -2vucosεsinδ -2wucosβcosεsinδ -2wusinβsinε
Il reste à établir une relation pour remplacer les angles ε et δ par α β γ.
UV² = v² + u² -2uvcosα
cos α =
u ² + v ² − UV ²
2uv
UV² = (xV-xU)²+(yV-yU)²+(zV-zU)²
= (0-ucosεcosδ)²+(v-ucosεsinδ)²+(0-usinε)²
UV²= (ucosεcosδ)²+(v-ucosεsinδ)²+(usinε)²
UV²= (u²cos²εcos²δ)+(v²+u²cos²εsin²δ−2uvcosεsinδ)+(u²sin²ε)
UV²= u²cos²ε+ v² − 2uvcosεsinδ+ u²sin²ε
UV²= u²+ v² − 2uvcosεsinδ
cos α =
u ² + v ² − ( u ² + v ² − 2uv cos ε sin δ
2uv
cos α = cos ε sin δ
)
44
UW² = u² + w² -2uwcosγ
cos γ =
u ² + w² − UW ²
2uw
UW² = (xU-xW)²+(yU-yW)²+(zU-zW)²
= (ucosεcosδ−0)²+(ucosεsinδ−wcosβ)²+(usinε-wsinβ)²
UW²= (ucosεcosδ)²+(ucosεsinδ-wcosβ)²+(usinε-wsinβ)²
= (u²cos²εcos²δ)+(u²cos²εsin²δ+w²cos²β−2uwcosεsinδcosβ)+(u²sin²ε+w²sin²β-2uwsinε
sinβ)
= u²cos²ε+w²cos²β−2uwcosεsinδcosβ+u²sin²ε+w²sin²β-2uwsinεsinβ
= u²cos²ε + w² - 2uwcosεsinδcosβ+ u²sin²ε- 2uwsinεsinβ
= u²+ w² − 2uwcosεsinδcosβ- 2uwsinεsinβ
cos γ =
u ² + w² − ( u ² + w² − 2uw cos ε sin δ cos β − 2uw sin ε sin β
2uw
cos γ =
2uw cos ε sin δ cos β + 2uw sin ε sin β
2uw
cos γ = sin ε sin β + cos ε sin δ cos β
Avec :
cos α = cos ε sin δ
cos γ = sin ε sin β + cos α cos β
sin ε =
cos γ − cos α cos β
sin β
Et :
sin δ =
cos α
=
cos ε
cos α
 cos γ − cos α cos β 

1 − 
sin β


2
)
45
On reprend :
u ² s ² sin ² χ =
4u ² s ² − ( u ² + s ² − US ² ) ²
4
s² = v² + w² +2vwcosβ
On a vu que :
US² = u² + v² + w² + 2vwcosβ -2vucosεsinδ -2wucosβcosεsinδ −2wusinβsinε
Ce qui fait :
4u ² s ² − ( u ² + s ² − ( u ² + v ² + w² + 2vw cos β − 2uv cos ε sin δ − 2wu cos β cos ε sin δ − 2wu sin β sin ε ) ) ²
4
4u ² s ² − ( s ² − ( v ² + w² + 2vw cos β − 2uv cos ε sin δ − 2wu cos β cos ε sin δ − 2wu sin β sin ε ) ) ²
u ² s ² sin ² χ =
4
4u ² s ² − ( v ² + w² + 2vw cos β − ( v ² + w² + 2vw cos β − 2uv cos ε sin δ − 2 wu cos β cos ε sin δ − 2 wu sin β sin ε ) ) ²
=
4
(
(
4u ² s ² − − − 2uv cos ε sin δ − 2wu cos β cos ε sin δ − 2wu sin β sin ε ) ) ²
=
4
u ² s ² sin ² χ =
=
4u ² s ² − ( 2uv cos ε sin δ + 2wu cos β cos ε sin δ + 2 wu sin β sin ε ) ²
4
= u ² s ² − ( uv cos ε sin δ + wu cos β cos ε sin δ + wu sin β sin ε ) ²
= u ²( v ² + w² + 2vw cos β ) − ( uv cos ε sin δ + wu cos β cos ε sin δ + wu sin β sin ε ) ²
= u ²( ( v ² + w² + 2vw cos β ) − ( v cos ε sin δ + w cos β cos ε sin δ + w sin β sin ε ) ² )
u ² s ² sin ² χ = u ²( ( v ² + w² + 2vw cos β ) − ( ( v + w cos β ) cos ε sin δ + w sin β sin ε ) ² )
On a montré que :
sin ε =
cos γ − cos α cos β
sin β
Et :
sin δ =
Soit :
cos α
 cos γ − cos α cos β 
1 − 

sin β


2
46
cos ε =
 cos γ − cos α cos β 
1 − 

sin β


2
Avec, comme on l’a vu :
cosεsinδ = cos α
Et :
u ² s ² sin ² χ = u ²( ( v ² + w² + 2vw cos β ) − ( ( v + w cos β ) cos ε sin δ + w sin β sin ε ) ² )
2


cos γ − cos α cos β  

u ² s ² sin ² χ = u ² ( v ² + w² + 2vw cos β ) −  ( v + w cos β ) cos α + w sin β


sin
β

 

u ² s ² sin ² χ = u ²( ( v ² + w² + 2vw cos β ) − ( ( v + w cos β ) cos α + w( cos γ − cos α cos β ) ) ² )
u ² s ² sin ² χ = u ²( ( v ² + w² + 2vw cos β ) − ( v cos α + w cos β cos α + w cos γ − w cos α cos β ) ² )
u ² s ² sin ² χ = u ²( ( v ² + w² + 2vw cos β ) − ( v cos α + w cos γ ) ² )
u ² s ² sin ² χ = u ²( v ² + w² + 2vw cos β − ( v ² cos ²α + w² cos ²γ + 2vw cos α cos γ
u ² s ² sin ² χ = u ²( v ² + w² + 2vw cos β − v ² cos ²α − w² cos ²γ − 2vw cos α cos γ
u ² s ² sin ² χ = u ²( v ²(1 − cos ²α ) + w²(1 − cos ²γ ) + 2vw( cos β − cos α cos γ
u ² s ² sin ² χ = u ²( v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
))
)
))
))
Soit en notation conventionnelle :
(
)
(
uΛ v + w ² = u ² v ² sin ²α + w ² sin ²γ + 2 v . w ( cos β − cos α cos γ
))
Or :
(
uΛ v + uΛ w ² = u ² v ² sin ²α + w ² sin ²γ + 2 v . w ( cos β − cos α cos γ
Les modules des produits vectoriels sont donc égaux.
))
47
2- Comparaison des angles.
Angle λ1.
Il s’agit de l’angle entre le résultat du produit c = uΛ v + uΛ w et a, soit l’angle entre le
résultat de la somme (a + b) et a
On notera que a b et vecteur résultat de la somme (a + b) sont coplanaires (voir
définition de la somme vectorielle).
D’où :
c² = a² + b² + 2ab.cosη
b² = a² + c² -2ac.cosλ1
cos λ 1 =
a² + c² − b²
2ac
cos λ 1 =
a ² + ( a ² + b ² + 2ab. cosη ) − b ²
2ac
cos λ 1 =
2a ² + 2ab. cosη
2ac
cos λ 1 =
a + b. cosη
c
(ce résultat pouvait être donné directement).
avec :
a = uvsinα
c² = a² + b² + 2ab.cosη
b = uwsinγ
cos λ 1 =
cos λ 1 =
uv sin α + uw sin γ . cosη
u ²v ² sin ²α + u ² w² sin ²γ + 2uv sin α uw sin γ
v sin α + w sin γ . cosη
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw sin α sin γ
48
D’après :
cosη =
cos β − cos α cos γ
sin α sin γ
cos β − cos α cos γ
sin α sin γ
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw sin α sin γ
v sin α + w sin γ .
cos λ 1 =
cos λ 1 =
cos λ 1 =
cos β − cos α cos γ
sin α
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw sin α sin γ
v sin α + w
v sin ²α + w( cos β − cos α cos γ
sin α
)
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw sin α sin γ
49
Angle λ2.
(
)
Il s’agit de l’angle entre le résultat du produit uΛ v + w et a, soit l’angle entre le
résultat de la somme d et a
(
)
Le vecteur d est le résultat du produit uΛ v + w , ce vecteur est orthogonal à u et à s,
par conséquent l’angle entre ce vecteur et a est égal à l’angle entre les plans (O u v)
et (O u s).
On a vu que l’angle entre les plans (O u v) et (O u w) était défini par :
cosη =
cos β − cos α cos γ
sin α sin γ
Par permutation, on obtient l’angle entre les plans (O u v) et (O u s) par :
cos λ 2 =
cosτ − cos α cos χ
sin α sin χ
On a vu que :
u ² s ² sin ² χ = u ²( v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
))
Soit :
sin ² χ =
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
s²
)
s² = (v + wcosβ)² + w²sin²β
D’où :
sin ² χ =
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cos ² χ = 1 −
cos ² χ =
)
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
(v +
)
w cos β ) ² + w² sin ² β − ( v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
))
50
cos ² χ =
v ² + w² cos ² β + 2vw cos β + w² sin ² β − v ² sin ²α − w² sin ²γ − 2vw( cos β − cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cos ² χ =
v ² + w² cos ² β + 2vw cos β + w² sin ² β − v ² sin ²α − w² sin ²γ − 2vw cos β + 2vw cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cos ² χ =
v ² + w² + 2vw cos β − v ² sin ²α − w² sin ²γ − 2vw cos β + 2vw cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cos ² χ =
v ²(1 − sin ²α ) + w²(1 − sin ²γ ) + 2vw cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cos ² χ =
v ² cos ²α + w² cos ²γ + 2vw cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cos ² χ =
( v cos α
+ w cos γ ) ²
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
Il reste cosτ
VS² = w² = v² + s² -2vscosτ
cosτ =
v ² + s ² − w²
2vs
s² = (v + wcosβ)² + w²sin²β
cosτ =
( ( v + w cos β ) ² + w² sin ² β ) −
2v ( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
v² +
w²
cosτ =
v ² + ( v ² + w² cos ² β + 2vw cos β + w² sin ² β ) − w²
2v ( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cosτ =
2v ² + w² cos ² β + 2vw cos β + w² sin ² β − w²
2v ( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
)
51
cosτ =
2v ² + 2vw cos β
2v ( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cosτ =
v + w cos β
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β (ceci peut être trouvé directement).
On reprend :
cos λ 2 =
cosτ − cos α cos χ
sin α sin χ
En rappelant que :
cosτ =
cos ² χ =
v + w cos β
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
( v cos α
+ w cos γ ) ²
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
Et :
sin ² χ =
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
)
On obtient :
cos λ 2 =
( v cosα + w cos γ ) ²
v + w cos β
− cos α
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ )
sin α
( v + w cos β ) ² + w² sin ² β
cos λ 2 =
v + w cos β − cos α ( v cos α + w cos γ ) ²
sin α v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
)
cos λ 2 =
v + w cos β − cos α ( v cos α + w cos γ )
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
)
sin α
52
cos λ 2 =
cos λ 2 =
cos λ 2 =
sin α
v + w cos β − v cos ²α − cos α w cos γ
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
)
sin α
v(1 − cos ²α ) + w cos β − w cos α cos γ
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
)
sin α
v sin ²α + w( cos β − cos α cos γ )
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw( cos β − cos α cos γ
)
On a vu que :
cos λ 1 =
v sin ²α + w( cos β − cos α cos γ
sin α
)
v ² sin ²α + w² sin ²γ + 2vw sin α sin γ
d’où λ1 = λ2 les angles sont identiques.
53
3- Il reste à démontrer que les plans (O a c) et (O a d) sont confondus.
c est le vecteur représentant uΛ v + uΛ w
On avait posé :
a = uΛ v
b = uΛ w
On obtient :
a + b = uΛ v + uΛ w
(O a b) forme le plan Q
Par définition du produit vectoriel a = uΛ v , a⊥u et a⊥v
Par définition du produit vectoriel b = uΛ w , b⊥u et b⊥w
Le fait que deux vecteurs a et b soient tous deux orthogonaux à un troisième vecteur
fait que ces deux vecteurs sont inclus dans un plan orthogonal au troisième vecteur.
Q⊥u a∈Q b∈Q
La somme a + b est donc aussi incluse dans Q.
u
O
a
b
c
Q
Figure 37
(
)
Par définition du produit vectoriel d = uΛ v + w , d est orthogonal à u et à v+w
On a vu que tout vecteur orthogonal à u était inclus dans Q, donc d∈Q
Puisque c et d appartiennent à Q, et d’après ce les égalités en module et en angle
qui viennent d’être vues, (O a c) et (O a d) sont donc égaux (voir figure 34).
La démonstration de la distributivité à gauche du produit vectoriel sur la somme est
terminée.
54
Distributivité à droite
Démontrer :
(v + w)Λ u = vΛ u + wΛ u
On sait que le produit vectoriel n’est pas commutatif, mais que les résultats sont
opposés d’où :
(v + w)Λ u = − uΛ (v + w)
La propriété de distributivité à gauche implique :
(
)
(
)
− uΛ v + w = − uΛ v − uΛ w
− uΛ v + w = vΛ u + wΛ u
On a donc :
(v + w)Λ u = vΛ u + wΛ u
La démonstration concernant la propriété de distributivité du produit vectoriel sur la
somme, que ce soit à droite ou à gauche est maintenant terminée.
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55
DECOMPOSITION D’UN VECTEUR EN SOMME DE VECTEURS
ORTHOGONAUX
Principe
On a étudié la somme vectorielle, la décomposition est l’opération inverse.
w
v
u
Figure 38
Le vecteur w est la somme des vecteurs u et v.
Inversement le vecteur w se décompose en vecteurs u et v, mais s’il existe un et un
seul résultat pour la somme, la décomposition vectorielle a une infinité de solutions.
b
a
c
w
u
v
y
x
Figure 39
Ainsi on peur retrouver w, par la somme u + v ou x + y, ou encore en faisant
intervenir trois vecteurs a + b + c
56
Décomposition en trois vecteurs orthogonaux : principe.
On choisit un repère orthonormé, et on fait coïncider l’origine du vecteur avec
l’origine du repère.
On oriente le repère dans une direction arbitraire et on décompose le vecteur.
z
u
yU
zU
k
O
y
j
i
xU
x
Figure 40
Les axes x, y et z sont gradués en unité qui caractérise la grandeur (seconde pour
du temps, mètre ou cm pour des longueurs etc.).
Mettons qu’ils soient gradués en cm
Chaque vecteur est défini par son intensité et sa direction.
L’intensité est le produit de la norme par l’unité.
i, j et k ont pour norme 1 (la norme est dépourvue d’unité), et pour intensité 1 cm,
leur direction est respectivement Ox Oy et Oz
Le vecteur u a trois composantes xU yU et zU définies par la figure 40.
On peut déjà noter :
xU = xU .i
Que l’on note xU = xU.i
57
Et pour les autres composantes :
yU = yU j
zU = zU k
Ce qui permet d’écrire :
u = xU .i + yU . j + zU .k
Intérêt de cette décomposition.
L’exemple précédent ne comporte aucun intérêt il suffit de placer le vecteur sur un
des trois axes pour se simplifier l’existence.
Mais là où ça représente un intérêt c’est quand on a affaire à plusieurs vecteurs.
On ne peut pas placer tous les vecteurs comme on veut, on peut orienter un axe sur
un vecteur ou un plan sur deux vecteurs mais c’est tout.
Une fois le système d’axes positionné le plus simplement par rapport aux vecteurs,
on calcule les composantes de chaque vecteur, et nous sommes prêts pour réaliser
des opérations qui jusqu’à maintenant étaient lourdes à gérer.
En effet, puisque le produit scalaire et le produit vectoriel sont distributifs sur la
somme vectorielle, il y a un intérêt énorme à décomposer les vecteurs qui
interviendront dans ces produits.
Pourquoi ?
Le produit scalaire des composantes d’un vecteur est nul car les composantes sont
perpendiculaires, sauf pour une composante par elle-même.
Le produit vectoriel de deux composantes est orienté suivant la même direction que
la troisième ou dans une direction opposée.
Le système i j k étant direct, nous avons :
iΛ j = k
jΛ k = i
kΛ i = j
58
Et
jΛ i = − k
kΛ j = − i
iΛ k = − j
i
k
^
j
Figure 41
La figure 41 montre que si les vecteurs sont consécutifs (et seulement dans ce cas),
dans le produit, alors le résultat est positif.
Exemple illustrant la décomposition de vecteurs.
Effectuons le produit scalaire des vecteur u et v tels que :
u = 2 j + 3k
v = i + 4 j + 5k
Nous obtenons :
(
)(
u.v = 2 j + 3k i + 4 j + 5k
)
u.v = 2 j.i + 2 j.4 j + 2 j.5k + 3k .i + 3k .4 j + 3k .5k
u.v = 8 j. j + 15k .k
u.v = 23
D’autres exemples seront traités en exercice.
59
Somme vectorielle, connaissant les composantes de chaque vecteur.
Soit AB et CD deux vecteurs définis par la représentation ci-dessous.
y
D
7
6
C
B
4
j
1
i
A
0
x
1
3
4
8
Figure 42
Résultat de la somme vectorielle AB+CD
Conformément à la définition dune somme vectorielle, on fait seulement glisser le
vecteur CD de façon à amener le point C sur B et en veillant à ne pas faire pivoter ce
vecteur.
Ainsi CD devient C’D’, un vecteur étant défini comme une classe d’équivalence on
peut dire que CD=C’D’, donc faire la somme AB+CD c’est pareil qu’effectuer
AB+CD.
y
D’
5
4
B
C’
j
1
i
A
0
1
x
3
7
Figure 43
On rappelle qu’un vecteur est défini comme une classe d’équivalence dont chaque
représentant a même module et même direction que son voisin.
60
La somme est immédiate :
AB + CD = AB + C’D’ (par définition)
AB + CD = AD’ = 7i + 5j
Si on utilise la decomposition vectorielle :
AB + C’D’ = [(xB – xA )i + (yB - yA)j] + [(xD’ – xC’ )i + (yD’ – yC’)j]
AB + C’D’ = [(3 – 0 )i + (4 - 0)j] + [(7 – 3 )i + (5 – 4)j]
AB + C’D’ = [3i + 4j] + [4i + j]
AB + CD = AD’ = 7i + 5j
On about it au meme résultat.
Remarque :
Puisque CD a glissé sans changer d’orientation on a :
(xD’ – xC’ ) = (xD – xC ) et (yD’ – yC’) = (yD – yC)
Ce qui fait :
AB + C’D’ = [(xB – xA )i + (yB - yA)j] + [(xD – xC )i + (yD – yC)j]
AB + C’D’ = [(3 – 0 )i + (4 - 0)j] + [(8– 4 )i + (7 – 6)j]
AB + C’D’ = [3i + 4j] + [4i + j]
AB + CD = AD’ = 7i + 5j
On retrouve la même chose sans avoir besoin de simplifier le dessin.
De façon générale, on peut ainsi calculer la somme de n vecteurs éparpillés dans
l’espace (O x y z).
Soit A1B1 le premier vecteur, A2B2 le deuxième et ainsi de suite tel que le vecteur
numéro i est défini par son origine en Ai de coordonnées (xAi, yAi, zAi) et son
extrémité en Bi (xBi, yBi, zBi)
Soit s le vecteur somme :
s=
n
∑
i= 1
s=
n
∑ ( x Bi −
i= 1
n
AiBi = ∑ ( x Bi − x Ai ) i + ( y Bi − y Ai ) j + ( z Bi − z Ai ) k
i= 1
x Ai ) i +
n
∑ ( y Bi −
i= 1
y Ai ) j +
n
∑ (z
i= 1
Bi
− z Ai ) k
61
Résultat de la différence vectorielle AB-CD
Par définition dune soustraction vectorielle, on ajoute au premier vecteur, l’opposé du
deuxième.
La formule qui donne la différence ne change que par le signe.
Ainsi, la somme se généralise par :
s=
n
∑
i= 1
± ( x Bi − x Ai ) i +
n
∑
i= 1
± ( y Bi − y Ai ) j +
n
∑ ± (z
i= 1
Bi
− z Ai ) k
Le signe ± signifie que l’on met + si le vecteur numéro i est ajouté et – s’il est
retranché.
Exemple : Effectuer l’opération s = AB – CD + EF
Sachant que les coordonnés des points sont données dans le tableau ci-dessous :
Vecteur AB
Vecteur CD
Vecteur EF
xA yA zA xB yB zB xC yC zC xD yD zD xE yE zE xF yF zF
1
2
-3 0
5
4
2
-3 7
-6 2
-3 2
1
3
8 3 2
s=
n
∑
i= 1
± ( x Bi − x Ai ) i +
n
∑
i= 1
± ( y Bi − y Ai ) j +
n
∑ ± (z
i= 1
Bi
− z Ai ) k
Dans cet exemple n = 3 car il y a trois vecteurs.
s=
3
∑
i= 1
± ( x Bi − x Ai ) i +
Et AB = A1B1
3
∑ ± (x
i= 1
∑
i= 1
± ( y Bi − y Ai ) j +
CD = A2B2
n
∑ ± (z
i= 1
Bi
− z Ai ) k
EF = A3B3
Bi
− x Ai ) i = ( xB1 − x A1 ) i − ( xB 2 − x A2 ) i + ( xB 3 − x A3 ) i
Bi
− x Ai ) i = ( xB − x A ) i − ( xD − xC ) i + ( xF − xE ) i
3
∑ ± (x
i= 1
3
∑ ± (x
i= 1
Bi
− x Ai ) i = ( 0 − 1) i − ( − 6 − 2) i + ( 8 − 2 ) i
Bi
− x Ai ) i = − i + 8i + 6i
Bi
− x Ai ) i = 13i
3
∑ ± (x
i= 1
3
∑ ± (x
i= 1
n
62
On procède de la même façon pour les autres composantes :
En rappelant :
s=
3
∑ ± (x
i= 1
3
∑ ± (y
i= 1
i= 1
i= 1
3
∑ ± (y
i= 1
i= 1
i= 1
Bi
− y Ai ) j +
n
∑ ± (z
i= 1
Bi
− z Ai ) k
Bi
− y Ai ) j = ( yB − y A ) j − ( y D − yC ) j + ( y F − y E ) j
Bi
− y Ai ) j = ( 5 − 2) j − ( 2 − ( − 3) ) j + ( 3 − 1) j
Bi
− y Ai ) j = 3 j − 5 j + 2 j
Bi
− y Ai ) j = 0 j
3
∑ ± (y
n
∑ ± (y
− y Ai ) j = ( yB1 − y A1 ) j − ( y B 2 − y A2 ) j + ( y B 3 − y A3 ) j
3
∑ ± (y
− x Ai ) i +
Bi
3
∑ ± (y
Bi
Enfin composante z
s=
3
∑ ± (x
i= 1
n
∑ ± (z
i= 1
i= 1
i= 1
i= 1
i= 1
− y Ai ) j +
n
∑ ± (z
i= 1
Bi
− z Ai ) k
− z Ai ) k = ( z B − z A ) k − ( z D − zC ) k + ( z F − z E ) k
Bi
− z Ai ) k = ( 4 − ( − 3) ) k − ( − 3 − 7 ) k + ( 2 − 3) k
Bi
− z Ai ) k = 7 k + 10k − k
Bi
− z Ai ) k = 16k
3
∑ ± (z
i= 1
Bi
Bi
3
∑ ± (z
n
∑ ± (y
− z Ai ) k = ( z B1 − z A1 ) k − ( z B 2 − z A2 ) k + ( z B 3 − z A3 ) k
3
∑ ± (z
− x Ai ) i +
Bi
n
∑ ± (z
Bi
Ce qui fait :
s = 13i + 16k
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63
CONCLUSION
Une fois arrivé à la fin de ce cours, vous devriez connaître l’essentiel sur le calcul
vectoriel, tout au moins sur les opérations de base.
Ce document a traité :
Les définitions
La somme vectorielle
Le produit scalaire
Le produit vectoriel
La décomposition d’un vecteur en ses composantes dans un repère orthonormé.
Il resterait à voir la dérivée et l’intégrale, mais cela alourdirait cet exposé, un prochain
document nommé « analyse vectorielle » traitera ces points en introduisant les
notions de gradient, divergence et rotationnel.
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64
EXERCICES
EXERCICE 1 (définitions)
D’après la définition qui est donnée pour l’énergie, indiquez si les grandeurs sont
vectorielles ou scalaires, il s’agit en fait de remplir le tableau.
Energie = produit scalaire de la Force par le déplacement
Ceci peut être illustré par la figure ci-dessous qui représente un tracteur agricole
tirant un wagon de chemin de fer.
Déplacement
Force
Energie
Force
Déplacement
EXERCICE 2
Soit AB et CD deux vecteurs définis par la représentation ci-dessous.
y
D
6
45°
B
2
C
j
i
A0
3
xD
x
Donner le résultat de la somme vectorielle AB+CD
Donner le résultat de la différence vectorielle AB-CD
Donner le résultat du produit scalaire AB.CD
Donner le résultat du produit vectoriel AB^CD
Pour ces deux dernières questions, on essayera deux méthodes, celle qui est liée à
la définition directe et celle qui fait apparaître les vecteurs comme une somme de
leurs composantes.
65
SOLUTION
Exercice 1
Le dessin montre que la force et le déplacement ont une direction, il ne peut donc
s’agir de scalaire, ces grandeurs sont vectorielles.
Par contre l’énergie étant définie comme un produit scalaire, ne peut être que
scalaire.
Energie
scalaire
Force
vecteur
Déplacement
vecteur
66
Exercice 2
Somme = [(xD-xC)+(xB-xA)]i+[(yD-yC)+ (yB-yA)]j
y
D
6
45°
B
2
C
j
i
A0
x
xD
3
On ne connaît pas xD, mais on peut le calculer, en effet :
tg(45) =(yD-yC)/(xD-xC)
Ce qui fait :
xD _ xC =
yD − yC
tg ( 45)
 y − yC

+ ( xB − x A )  i +
Somme =  D
 tg ( 45)

[ ( yD −
yC ) + ( yB − y A ) ] j = AD
 6− 2

AD = 
+ ( 3 − 0 )  i + [ ( 6 − 2) + ( 2 − 0 ) ] j
1


AD = 7i + 6j
Différence = AB – CD = AB + opposé (CD) = AB + DC = AD’
y
D
6
2
C
j
i
A
0
D’
45°
B
3
xD
x
67
AD’ = [(xB-xA)+ (xC-xD)]i+[(yB-yA)+ (yC-yD)]j
xD _ xC =
y D − yC 6 − 2
=
= 4  xD = 4+xC=4+3=7
tg ( 45)
1
AD’ = [(3-0)+(3-7)]i+[(2-0)+(2-6)]j
AD’ = -i – 2j
Produit scalaire.
On va le faire en utilisant la méthode directe et ensuite à l’aide de la décomposition
de chaque vecteur en la somme de ses composantes.
Méthode directe tirée de la définition.
y
D
6
D’’
yD’
β
2
j
i
45°
B
C
α 45°
A 0 C’’
3
xD’
7
x
Par définition, le produit scalaire est égal au produit des normes par le cosinus de
l’angle entre les deux, cet angle est déterminé lorsqu’on a fait coïncidé les origines,
emmenant le point C en A
Faire le produit AB.CD, cela revient à faire le produit AB.C’’D’’, car CD et C’’D’’ sont
équipollents, quand on parle de classe d’équivalence c’est le même vecteur.
AB.CD = AB . CD cos β
AB² = (xB-xA)²+(yB-yA)² = 3²+2²=13
C’’D’’²=CD² = (xD-xC)²+(yD-yC)² = 4²+4²= 32
Enfin β = 45-α
Tgα = 2/3  α = 33,69°
β = 11,31°
AB.CD =
13 32 cos(11,31) =20
68
Deuxième méthode, par les composantes.
AB.CD =
[( x
B
][
− x A ) i + ( y B − y A ) j . ( xD − xC ) i + ( yD − yC ) j
]
Le produit scalaire de deux vecteurs orthogonaux est égal à 0, et le produit scalaire
d’un vecteur par lui-même est égal à 1 d’où :
AB.CD = ( xB − x A )( xD − xC ) + ( yB − y A )( y D − yC )
AB.CD = ( 3 − 0)( 7 − 3) + ( 2 − 0)( 6 − 2) = 20
Evidemment les deux méthodes donnent le même résultat.
Produit vectoriel :
Là aussi on va utiliser la méthode directe et la décomposition vectorielle.
Méthode directe liée à la définition.
AB.CD = AB.C ' ' D' ' = AB . CD sin β e
Avec e vecteur unitaire orthogonal à AB et à CD (par définition du produit vectoriel),
e est dirigé vers les z croissant, car AB et CD appartiennent tous deux au plan (O x
y) donc e = k
z
AB^CD
k
2
OAC’’
ABΛ CD =
y
4
D’’
B
3 4
13 32 sin (11,31) k = 4k
x
69
Deuxième méthode, par les composantes.
ABΛ CD =
[( x
B
][
− x A ) i + ( y B − y A ) j Λ ( xD − xC ) i + ( y D − yC ) j
]
ABΛ CD = ( xB − x A )( yD − yC ) k − ( y B − y A )( xD − xC ) k
ABΛ CD = ( 3 − 0 )( 6 − 2) k − ( 2 − 0)( 7 − 3) k = 4k
Là aussi, on retrouve le même résultat.
A vous de juger quelle est la méthode la plus rapide.
Ces exercices terminent cet exposé, le gradient la divergence et le rotationnel feront
l’objet d’un autre document « l’analyse vectorielle ».
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