epreuve de mathematiques - Lycée Jacques Monod, CLAMART

Lycée Monod Clamart
Année scolaire 2014-2015
BACCALAUREAT BLANC TECHNOLOGIQUE
Série Sciences et technologies du management et de la gestion
EPREUVE DE MATHEMATIQUES
Durée 3 heures –
Coefficient 3
La feuille annexe (page 4 ) est à rendre avec la copie.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements seront prises en compte dans l’appréciation des copies.
L’usage des calculatrices est autorisé.
Avant de composer, le candidat s’assurera que le sujet comporte 4 pages numérotées de 1 à 4.
Exercice 1 (4 points)
Rappel de notations en probabilité.
On note p(E) la probabilité d'un événement E. L’événement contraire de E est noté E .
pF(E) désigne la probabilité conditionnelle de l’événement E sachant que l’événement F est réalisé.
Dans une entreprise, les salariés ont entre 18 et 60 ans.
 30% d’entre eux ont entre 18 et 34 ans.
 Parmi les salariés âgés de 18 à 34 ans, 48% fument.
 Parmi les plus de 34 ans, 23% sont fumeurs.
L’infirmière de l’entreprise a créé pour chaque salarié une fiche sur laquelle figure son âge et s’il est fumeur ou non.
On choisit au hasard une fiche dans ce fichier.
On définit les évènements suivants :
A « La fiche est celle d’un salarié âgé de 18 à 34 ans ».
F « La fiche est celle d’un fumeur ».
1) Donner la probabilité de l’évènement A.
2) Compléter l’arbre pondéré fourni annexe 1 illustrant toutes les données de cet énoncé.
3) Calculer la probabilité de l’évènement :
« La fiche choisie est celle d’un salarié fumeur et âgé de 18 à 34 ans ».
4) Montrer que la probabilité de l’évènement F est égale à 0,305.
5) Sachant que la fiche choisie est celle d’un fumeur, calculer la probabilité que ce soit celle d’un salarié de plus de 34
ans.
En donner une valeur approchée arrondie à 103 près.
Exercice 2 (6 points)
les parties sont indépendantes
Une entreprise fabrique et commercialise un produit. Sa capacité de production, sur un mois, lui permet de réaliser
entre 0 et 12,5 tonnes de ce produit. On désigne par x le nombre de tonnes de produit fabriqué par l'entreprise en un
mois.
Le coût de production, exprimé en milliers d'euros, est donné par : f ( x)  x3  15x 2  75x .
Cette entreprise vend l'intégralité de ce qu'elle produit au prix de 36,75 milliers d'euros la tonne.
La recette, pour x tonnes produites, est notée R( x) , exprimée en milliers d'euros.
On donne la représentation graphique en annexe 2 Cf de la fonction
f sur l'intervalle [0 ; 12,5].
Partie A :
1) Calculer la recette, en milliers d'euros, pour une production de 3 tonnes puis de 10 tonnes.
2) Donner l'expression de R( x) en fonction de x et représenter la fonction R dans le repère donné en annexe 2.
3) Dans cette question, les tracés nécessaires aux déterminations graphiques devront figurer sur le schéma (voir
annexe 2) et les réponses figureront sur la copie.
a) Déterminer graphiquement l'intervalle auquel doit appartenir x pour que l'entreprise réalise un bénéfice. Justifier.
b) Déterminer graphiquement un intervalle possible dans lequel se situe la valeur de x permettant d'obtenir un
bénéfice maximum.
1
Partie B :
Dans cette partie, on se propose de déterminer plus précisément cette valeur de x permettant d'obtenir un bénéfice
maximum (cf. question 3. b) précédente).
On désigne par B( x) le bénéfice réalisé pour x appartenant à l'intervalle [5 ; 10].
On a : B( x)   x3  15x 2  38, 25x .
1) a) Résoudre dans R (à l’aide de calculs) l'équation –3x² + 30x – 38,25 = 0.
b) On admet que les racines du trinôme –3x² + 30x – 38,25 sont 1,5 et 8,5.
En déduire le tableau de signe de l'expression –3x² + 30x – 38,25.
c) Calculer B '( x) où B ' désigne la dérivée de la fonction B .
Donner le tableau de signe de B '( x) pour x appartenant à l'intervalle [5 ; 10].
d) En déduire le tableau de variation de la fonction B sur l'intervalle [5 ; 10].
2) Quelle est la valeur de x qui assure un bénéfice maximum ?
Quelle est alors la valeur de ce maximum en milliers d'euros ?
Exercice 3 (5 points)
Un responsable de ventes de magasin analyse l'évolution de son chiffre d'affaires sur les dix derniers mois.
Il relève le montant des frais de publicité engagés sur la même période.
Il dresse le tableau suivant pour faire apparaitre un lien entre les montants du chiffre d'affaires et les frais de publicité
(tous les montants sont exprimés en centaines d'euros)
Frais de publicité xi
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Chiffre d'affaires yi
220
230
222
240
248
256
250
268
260
266
1) Représenter cette série double dans le repère orthogonal situé en annexe 3, en plaçant les 10 points dont les
coordonnées sont les couples (xi; yi).
On cherche un ajustement affine de ce nuage pour déterminer une estimation future du chiffre d'affaires.
2) 1ère méthode : ajustement par la droite de Mayer
a) On partage le nuage de points en deux groupes de 5 points (les cinq premiers points et les cinq derniers).
Pour chaque groupe, montrer que les points moyens respectifs G1 et G2 des groupes ont pour coordonnées
G1( 5; 232) et G2( 10; 260).
b) Placer les points G1 et G2 dans le repère précédent et tracer la droite (G1G2).
c) Cette droite (GlG2) (appelée droite de Mayer) a une équation de la forme y = mx + p.
Déterminer par le calcul le nombre m puis le nombre p.
d) À partir de cet ajustement affine, estimer à l’aide du graphique, le chiffre d'affaires qu'on peut espérer réaliser si on
engage 1 400€ de frais de publicité.
(Les tracés permettant la détermination devront figurer sur le graphique)
3) 2ème méthode : ajustement par la méthode des moindres carrés
a) A l'aide du mode statistique de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement affine de y en x, sous la
forme y = ax + b par la méthode des moindres carrés de la série étudiée par le responsable des ventes. (On arrondira
au dixième les coefficients obtenus)
b) À partir de cet ajustement affine, calculer le chiffre d'affaires qu'on peut espérer réaliser si on engage 1 400€ de
frais de publicité.
c) À partir de cet ajustement affine, calculer pour quels frais de publicité on peut espérer un chiffre d’affaires
de 27 840 € ?
2
Exercice 4 (5 points)
Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples).
Pour chaque question, plusieurs réponses sont proposées. Une seule des réponses proposées est correcte.
Il faut indiquer lisiblement sur la copie le numéro de la question puis la réponse proposée.
Toute réponse non justifiée ne sera pas évaluée.
1) Le prix d’un ordinateur baisse de 10 % la première année puis de 30 % la deuxième année.
Sur les deux années, la baisse totale a été de :
(a) 43 %
(b) 37 %
(c) 40 %
(d) 31 %
2) En 2008, l’indice de volume de consommation en produits TIC (Technologiques de l’Information et de la
Communication) en France était de 268,26 (indice base 100 en 2000). Source : Insee, comptes nationaux.
Quel a été le taux d’évolution de la consommation en produits TIC de 2000 à 2008 ?
(a) 68,26 %
(b) 268,26 %
(c) 368,26 %
(d) 168,26 %
3) Si un prix passe d’un indice 700 à un indice 770. L’augmentation est de :
(a) 70 %
(b) 10 %
(c) 15 %
(d) 17 %
4) Un produit coutait 250 euros au 1er Janvier 2012. Il a subi une inflation de +25 % en 2012 et +3,8% en 2013.
Le tableau ci-dessous donne les indices des prix pour la période 2012-2014.
On prend la référence 100 au 1er Janvier 2013.
Date
1er Janvier 2012
1er Janvier 2013
1er Janvier 2014
Indice
103,8
100
L’indice des prix au 1er Janvier 2012 est:
(a) 80
(b) 75
(c) 125
(d) 200
5) Voici l'évolution du montant horaire brut du SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance), en France,
du 1er juillet 2000 au 1er juillet 2006.
On a établi un extrait de feuille de calcul donnant un tableau d'indices (en prenant comme base 100 le 1er juillet 2000).
A
1
2
3
Smic horaire brut
Indice
B
1/07/00
6,41
100
C
1/07/01
6,67
D
1/07/02
6,83
E
1/07/03
7,19
La formule à placer dans la cellule C3 (à recopier sur la plage D3 :H3) est:
(a) = (C2 – B2)/B3
(d) = C2*$B$3/$B$2
(c) = (C2 – B2)/B2
(b) = $C$2*$B$3/$B$2
(e) = C2/B3*B2
3
F
1/07/04
7,61
G
1/07/05
8,03
H
1/07/06
8,27
Feuille annexe à rendre avec la copie
Numéro de candidat :……………….
Annexe 1 (Exercice 1)
........
........
F
A
........
F
........
F
........
F
........
A
Annexe 2 (Exercice 2)
Graphique
Annexe 3 (Exercice 3)
4