IAE Poutres planes - mms2-ensmp

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IAE Poutres planes
Saber EL AREM
Centre des Matériaux
MINES ParisTech
Plan
Introduction
Géométrie et chargement
Hypothèse sur le matériaux
Principe de Saint-Venant
Actions mécaniques extérieures
Les charges
Les actions de liaison
Equilibre des actions mécaniques extérieures
Détermination du Degré d’hyperstaticité d’une structure
Torseur des efforts intérieurs
Principe des travaux virtuels
Poutres homogènes planes
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Saber EL AREM (Centre des Matériaux/UMR 7633 )
Poutres planes
3 Mai 2010
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Introduction
Introduction : la mécanique des structures
Le point de départ de toute modélisation en mécanique des solides est la
description géométrique du solide étudié.
Solide rigide. Sa configuration actuelle se déduit de la configuration initiale par la
simple donnée d’une translation et d’une rotation. Aucune information sur la
déformation des solides.
Milieu continu tridimensionnel classique. Le principe des puissances virtuelles
conduit à la représentation des efforts intérieurs via le champ de tenseur de
contrainte de Cauchy. L’équation du mouvement qui en résulte ne permet pas
alors de déterminer le mouvement : Nécessité d’informations concernant la nature
du matériau : c’est la loi de comportement.
La mécanique des structures vise à simplifier les équations de l’élasticité 3D.
1
Prise en compte des caractéristiques géométriques spécifiques des solides
2
Choix d’une cinématique de transformation appropriée
3
Caractérisation des déformations par des variables globales
Poutres planes
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Introduction
Introduction : la théorie des poutres
1
2
3
4
5
La théorie des poutres est une modélisation mécanique des
solides élancés qui se focalise sur les changements de géométrie
longitudinaux
Un modèle beaucoup plus économique que l’élasticité 3D
Le calcul de poutres fait partie du domaine de la résistance des
matériaux (RDM). Cette discipline, longtemps enseignée en tant
que telle, a permis pendant longtemps de calculer de façon
analytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d’art.
Dans la pratique, on rencontre fréquemment des assemblages de
solides élancés.
Dans la conception de ces structures, les seules informations
relatives au changement de géométrie de chacun des solides
élancés sont les changements de géométrie d’une fibre
longitudinale (raccourcissement, extension, flexion).
Poutres planes
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Introduction
La tour Eiffel
Poutres planes
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Introduction
La tour Eiffel
Poutres planes
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Introduction
Viaduc de Millau
Poutres planes
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Introduction
Burj Dubai
Poutres planes
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Introduction
Schéma d’un groupe turbo alternateur
Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Définition d’une poutre
n
s=0
S
b
t
On définit successivement :
Une ligne moyenne
C , de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O
(t , n, b) est le trièdre de Frénet orthonormé, où R est le rayon de courbure
t=
dOG
ds
n=R
dt
ds
b = t ∧n
Une section droite, S de la poutre, dans le plan (n, b), de contour Γ
Les sections droites sont lentement variables ou constantes en fonction de s
La plus grande dimension de S est petite devant R, et devant la longueur de la poutre
Poutres planes
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Conséquences des restrictions géométriques :
Les restrictions sur la géométrie
des poutres permettent d’assimiler un
tronçon de poutre courbe à un tronçon
de poutre droite de section constante.
Les résultats de la théorie des poutres
vont donc pouvoir se déduire de la
résolution d’un problème d’élasticité
tridimensionnelle sur un tronçon de
poutre droite de section constante.
Poutres planes
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Caractéristiques géométriques
Z
GM dS = 0
Le centre de gravité vérifie
S
On définit le moment quadratique par rapport à une droite ∆ de la section droite, en
introduisant H, projection de M ∈ S sur ∆
Z
I (S , ∆) =
||HM ||2 dS
S

Matrice des moments quadratiques I = 
Z
I22 =

I32 = −
ZS
S
x32 dS
x2 x3 dS
I23 = −
I33 =

Z
ZS
S
x2 x3 dS
x22 dS


Dans les directions centrales principales , on définit les moments quadratiques
centraux principaux


Z
2
0
I2 = x3 dS

S
Z
I =

0
I3 =
x22 dS
S
Poutres planes
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Caractéristiques géométriques de quelques sections
V0 = V = R
Ix = Iy =
πR 4
4
V0 = V =
Ix1 =
V0 = V = R
Ix = Iy =
π(R 4 −R 04 )
4
a4
3
, Ix =
12
V0 = V =
Ix =
a4 −a04
12
V0 = V =
a
2
a4
= Id
a
2
= Id
Poutres planes
Ix1 =
bh3
3
, Ix =
bh3
12
h
2
, Id =
b 3 h3
6(b2 +h2 )
V0 = V =
Ix =
h
2
bh3 −b0 h03
12
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Hypothèse sur le matériau constituant la poutre
Le matériau constituant la poutre étudiée est :
élastique linéaire : comportement réversible, loi de Hooke
homogène : au dessus d’une certaine échelle, les propriétés
mécaniques ne dépendent pas des coordonnées spatiales
isotrope : au dessus d’une certaine échelle, les propriétés
mécaniques sont les mêmes dans toutes les directions de
l’espace
Loi de Hooke (Robert Hooke)
σ = 2µε + λTrε I
σ=
ε=
E
1+ν
1+ν
E
(ε +
σ−
ν
Trε I )
1 − 2ν
ν
E
Trσ I
Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Etant donné un solide déformable, si
sur une partie (Σ) de sa frontière on
remplace une distribution d’efforts
appliquée par une seconde distribution agissant également sur (Σ), ces
deux distributions formant des torseurs
égaux, les sollicitations restent inchangées dans toute région du solide suffisamment éloignée de (Σ). En d’autres
termes, la perturbation n’est que locale
Poutres planes
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Illustration du principe de saint-venant
Mêmes contraintes
et déformations pour les
trois cas de charge
Torseurs résultants
identiques pour les
trois cas de charge
Poutres planes
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Elasticité tridimensionnelle :
σ..

σ11
= σ21
σ31
σ12
σ22
σ32

σ13
σ23 
σ33

σ12
σ13
Hypothèse de Saint-Venant :
σ..
σ11
= σ21
σ31
0
0

0 
0
Composantes du torseur des efforts intérieurs :
Z
N=
Z
σ11 dS
S
Z
C=
(x2 σ13 − x3 σ12 )dS
S
Z
T2 =
σ12 dS
ZS
M2 =
Poutres planes
σ13 dS
(1)
S
x3 σ11 dS
S
T3 =
M3 = −
Z
x2 σ11 dS
(2)
S
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
On se limite à l’étude de la statique.
Les efforts exercés sont donc constants ou lentement variables,
Les actions mécaniques sont représentées par des torseurs, avec
un vecteur résultant et un vecteur moment résultant en un
certain point.
On distingue deux catégories d’actions mécaniques extérieures :
Les charges : les efforts que la structure doit supporter.
Les actions de liaison : les réactions d’appuis qui maintiennent la
poutre en place.
F
RA
F
RB
B
A
A
B
Exemple : Système à étudier & Efforts extérieurs
Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Les charges
Les charges
Les charges concentrées : Il s’agit d’un torseur appliqué en un
point de la poutre.
Les charges réparties : Ce sont des densités linéiques de torseur
appliquées sur une portion de la ligne moyenne. Le plus souvent,
les densités linéiques de torseur se réduisent à des densités
linéiques de forces. Les densités linéiques de moment sont rares
dans la pratique.
Densite lineique de forces
Force concentree
Moment concentre
Densite lineique de moments
Poutres planes
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Les charges
Efforts extérieurs
x3
x2
t
P3
p3
p
2 P2
F
M2
M3
x1
C
Forces concentrées F selon x1 , P2 selon x2 , P3 selon x3
Forces linéiques t selon x1 , p2 selon x2 , p3 selon x3
Moment de flexion M2 autour de x2 , M3 autour de x3
Couple de torsion autour de x1 , C
Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Toute poutre (ou système de poutres) isolé et en équilibre a
nécessairement des liaisons avec son milieu extérieur. On distingue :
Les liaisons parfaites : Ce sont des liaisons telles que le travail
des forces de liaison dans les déplacements relatifs permis est nul.
Appui simple
Articulation ou rotule
Encastrement
Les liaisons élastiques : Lorsqu’il semble difficile de modéliser une
liaison par une liaison parfaite, parce que les mouvements supposés
bloqués ont en réalité une certaine souplesse, on modélise cette
rigidité imparfaite par un ressort.
Poutres planes
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Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Le Principe Fondamental de la Statique : la somme des actions mécaniques
extérieures (charges et actions de liaison) d’un système isolé et en équilibre est un
torseur nul.
Fi
les torseurs des charges extérieures concentrées aux points Ai ,
Mi
A
i
p(l )
les torseurs des charges extérieures linéiques réparties sur la ligne
µ(l ) G
moyenne,
Rk
les torseurs d’actions de liaison aux points Bk ,
Wk
B
k
Le principe fondamental de la statique se traduit par les deux équations vectorielles :
Z
∑
i
∑
i
OAi ∧ Fi +
∑
Mi +
i
∑
k
Fi +
∑
Rk +
p(l )dl = 0
k
OBk ∧ Rk +
Z
∑
Wk +
OG ∧ µ(l )dl +
Z
µ(l )dl = 0
k
Poutres planes
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Si on considère les charges comme connues, et les actions de
liaison non nulles comme inconnues, on distingue
Les problèmes isostatiques : Le système d’équations de la
statique est régulier pour les inconnues de liaison. On peut donc
déterminer les inconnues de liaison en fonction des charges, en
utilisant uniquement les équations de la statique.
Les problèmes hyperstatiques : Le système d’équations de la
statique est insuffisant pour déterminer les inconnues de liaison. Il
faudra des équations supplémentaires (déduites de la théorie des
poutres) pour déterminer complètement la solution.
les problèmes hypostatiques : Le système d’équations de la
statique n’a pas de solution. Cela signifie qu’il n’y a pas d’équilibre
possible sous l’action des charges avec de telles liaisons.
Poutres planes
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Exemples de calcul de réactions de liaison (PFS)
Poutres planes
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Exemples de calcul de réactions de liaison (PFS)
Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Le degré d’hyperstaticité d’une structure détermine le nombre de suppressions
nécessaires pour rendre la structure isostatique. En effet, l’introduction d’une liaison
intérieure (entre barres ou poutres) ou extérieure (entre le milieu extérieur et la
structure) s’accompagne de l’introduction d’un effort de liaison. Notons :
li = le nombre de degrés de liaison intérieure
le = le nombre de degrés de liaison extérieure
introduits pour constituer la structure à étudier à partir de n poutres (ou barres). Le
nombre d’équations d’équilibre est de dl = 3n (dans le plan) et dl = 6n dans
l’espace). On a ainsi dl équations d’équilibre pour li + le efforts de liaisons inconnus.
Le degré d’hyperstaticité (DH) est donné par :
DH = le + li − dl
En absence de mécanismes (structure hypostatique), on a :
DH = m > 0 structure m fois hyperstatique
DH = 0 structure isostatique
La structure est hypostatique si
DH < 0
Poutres planes
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Exemples de calcul du Degré d’hyperstaticité
dl = 3
le = (2) + (1)
li = 0
DH = 0
dl = 3
le = (3)
li = 0
DH = 0
dl = 3
le = (3) + (1)
li = 0
DH = 1
dl = 3
le = (3) + (3)
li = 0
DH = 3
Poutres planes
dl = 3
le = (2) + (2)
li = 0
DH = 1
dl = 3 + 3 + 3 + 3
le = (3) + (3) + (3)
li = (6) + (2)
DH = 5
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Considérons une poutre E que nous séparons artificiellement en E1 et E2, de telle
sorte que E = E1 ∪ E2. La séparation artificielle introduite est une coupure au point G
par une section droite (S). On suppose que cette poutre est en équilibre sous l’action
des actions de l’extérieur.
En isolant la poutre E et en appliquant le PFS, nous avons donc
{T(Ext→E ) } = {T(Ext→E1) } + {T(Ext→E2) = {O}
Poutres planes
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Isolons E1 et faisons le bilan des efforts auxquels ce tronçon est soumis :
{T(Ext→E1) }
Il est aussi soumis aux actions de E2.
Définition : le torseur d’actions mécaniques de E2 sur E1 est appelé torseur des
efforts intérieurs ou torseur de cohésion. On ignore a priori la nature de ces
actions mécaniques. Ainsi, nous écrivons :
{T(int) } = {T(E2→E1) }
Le torseur est naturellement exprimé au centre de gravité G de la section par :
{T(int) } =
R (E2 → E1)
MG (E2 → E1)
Si maintenant on regarde le tronçon E2. Il est soumis à :
{T(Ext→E2) } ainsi qu’à {T(E1→E2) }
Poutres planes
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{T(int) } = {T(E2→E1) }
Le principe d’action réciproque permet d’écrire :
{T(Ext→E2) } − {T(int) } = {O}
Ce qui donne un autre moyen de calculer le torseur de cohésion :
{T(int) } = {T(Ext→E2) } = −{T(Ext→E1) }
Finalement, on écrit : {T(int) } =
R (Ext → E2)
MG (Ext → E2)
Poutres planes
G
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Torseur des efforts intérieurs :Conclusions
Le torseur de cohésion est modifiè lorsque l’on déplace la coupure le long de la poutre.
On peut être amené à distinguer plusieurs coupures en particulier lorsqu’on rencontre
une discontinuité d’ordre géométrique (changement de direction de la ligne
moyenne), cas d’une poutre en équerre par exemple,
une discontinuité liée à des efforts concentrés ou à une liaison.
On notera que dans tout ce qui précède, il n’a jamais été fait mention que la poutre
devait être droite et chargée dans son plan de symétrie. Les définitions données ici
sont valables pour tout type de poutre.
Torseur des efforts intérieurs se réduit à
Résultante N selon x1 , T2 selon x2 , T3 selon x3
N est l’effort normal , T2 et T3 les composantes de l’effort tranchant
Moment de flexion M2 autour de x2 , M3 autour de x3
Couple de torsion autour de x1 , M1
Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
On va maintenant résoudre le problème
en partant d’une hypothèse cinématique
et en appliquant le principe des travaux virtuels
Pour plus de concision, on se résume à la résolution dans un plan
Poutres planes
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Pour permettre de préciser les relations entre les déformations et
contraintes locales et les quantités résultantes au niveau d’une
section, il est nécessaire d’adopter des hypothèses sur la
cinématique des sections lors d’une transformation de la poutre.
On focalise l’attention sur les changements de géométrie
longitudinaux. Ainsi on s’interesse pas aux éventuelles variations
de géométrie des sections droites. L’objet d’étude (solide élancé)
est considéré comme une ligne moyenne déformable à chaque
point de laquelle est attachée une section droite rigide.
Poutres planes
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Poutre droite à section symétrique chargée dans son plan
y
p 0110
1010
10
P
t
0000
1111
F
00000000
11111111
x
z
M
La ligne neutre est l’axe x1
La poutre se déforme dans le plan x1 − x3 , qui est plan principal d’inertie
R
L’axe x1 est le lieu des centres d’inertie des sections : S x3 dS = 0
Poutres planes
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Efforts extérieurs et déplacements imposés
ud
F
f
d
Déplacement imposé u d sur la
surface ∂Ωu
Force répartie imposée F d sur la
surface ∂ΩF
d
Force volumique imposée f d à
l’intérieur de Ω
Ω
Champ u 0 CCA (cinématiquement
admissible) :
u0 = ud
σ∼∗ .n = F d
sur ∂Ωu
0
T 0
ε∼0 = 0.5 grad u + grad u
∼
Champ σ∼∗ CSA (statiquement
admissible) :
div σ∼∗ + f = 0
d
∼
Poutres planes
sur ∂ΩF
dans Ω
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Evaluation du travail développé par σ∼∗ dans u 0
Pour σ∼∗ CSA et u 0 CCA non reliés par la loi de comportement
Z
σ∗ij ε0ij d Ω =
Ω
Z
1 ∗ 0
σij ui ,j + uj0,i d Ω
Ω2
Z
σ∗ij ui0,j d Ω
Z =
σ∗ij ui0 ,j − σ∗ij ,j ui0 d Ω
=
Ω
ZΩ
σ∗ij nj ui0 dS −
=
Z
∂Ω
Z
Ω
σ∗ij ε0ij d Ω =
Z
Ω
Fi ui0 dS +
∂Ω
Z
Ω
σ∗ij ,j ui0 d Ω
fid ui0 d Ω
Théorème des travaux virtuels :
∀ui0 , variation autour d’un état d’équilibre (ui0 = 0 sur ∂Ωu )
Z
Z
Z
fid ui0 d Ω
σ∗ij ε0ij d Ω = −δWint = δWext =
Fid ui0 dS +
Ω
∂ΩF
Poutres planes
Ω
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Cinématique
Cinématique de la poutre de Timoshenko
En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformations
dues à l’effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normales
à la ligne moyenne. Cette hypothèse est mise en défaut lorsque la poutre est peu
élancée.
Dans le cadre du modèle de poutres de Timoshenko :
Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation.
Les distorsions dues à l’effort tranchant sont prises en comptes.
Ces distorsions sont représentées par une rotation supplémentaires de la
section droite.
L’effort tranchant provoque un gauchissement de la section, mais cet effet
n’est pas pris en compte ici puisque les sections sont supposées
indéformables.
Ainsi, pour obtenir une distorsion moyenne non nulle, la section ne reste
pas perpendiculaire à la ligne moyenne au cours de la transformation.
Poutres planes
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Cinématique
X3
Ligne moyenne apres deformation
v’=−dv/dx1
θ
v’=−dv/dx1
P
Ligne moyenne avant deformation
M
v
P0
x1
M0
u
Poutres planes
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Cinématique
L’idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, de
la structure, au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont
d’autant plus satisfaisantes que l’élancement est important (et fausses dans le cas
contraire).
Pour traiter le cas d’une poutre plane, on conserve dans la description géométrique
deux translations et un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment,
conjugués (au sens du travail virtuel).
Sollicitation
«force»
«déplacement»
axe de la poutre
N
U
perp à l’axe
T
V
moment de flexion
M
θ
Pour le cas d’une poutre mince, on néglige le cisaillement
(modèle Navier–Bernoulli).
Poutres planes
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Cinématique
ε011 = U,01 + θ0,1 x3
u1 = U 0 (x1 ) + θ0 x3
u3 = V 0 (x1 )
2ε013 = V,01 + θ0
Plan de la ligne neutre
Poutres planes
Section
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Cinématique
Travaux virtuels des efforts internes
Z
(ε011 σ11 + 2ε013 σ13 )d Ω
Z Z
Z
Z
=−
U,01 σ11 dS + θ0,1 x3 σ11 dS + (V,01 + θ0 ) σ13 dS dx1
δWint = −
Ω
L
S
S
S
On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U, V , θ :
Z
Z
Z
N=
σ11 dS
T=
σ13 dS
M=
x3 σ11 dS
S
S
S
ce qui donne :
δWint = −
Z
L
NU,01 + M θ0,1 + T (V,01 + θ0 ) dx1
Poutres planes
3 Mai 2010
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Cinématique
Traitement du travail des efforts intérieurs
A partir de :
δWint = −
Z
L
NU,01 + M θ0,1 + T (V,01 + θ0 ) dx1
On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple :
Z
Z
L Z
NU,01 dx1 =
(NU 0 ),1 − N,1 U 0 dx1 = NU 0 0 − N,1 U 0 dx1
L
L
L
d’où :
δWint = −
Z
−N,1 U 0 − M,1 θ0 − T,1 V 0 + T θ0 ) dx1
L
+N (0)U 0 (0) − N (L)U 0 (L) + T (0)V 0 (0) − T (L)V 0 (L)
+M (0)θ0 (0) − M (L)θ0 (L)
Poutres planes
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Cinématique
Travail des efforts extérieurs
On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x1 = 0 et
x1 = L), et on intègre entre 0 et L les efforts répartis. Les données sont :
les forces normales F0 et FL , tangentielles P0 et PL ,
les moments M0 et ML ,
les efforts répartis, représentés par des densités linéiques normales p et
tangentielle t :
δWext = F0 U 0 (0) + FL U 0 (L) + P0 V 0 (0) + PL V 0 (L) + M0 θ0 (0) + ML θ0 (L)
Z
+
pV 0 + tU 0 ) dx1
L
Poutres planes
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Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Equilibre
Caractérisation de l’équilibre
δWint = −
Z
L
−N,1 U 0 − M,1 θ0 − T,1 V 0 + T θ0 ) dx1
+N (0)U 0 (0) − N (L)U 0 (L) + T (0)V 0 (0) − T (L)V 0 (L)
+M (0)θ0 (0) − M (L)θ0 (L)
δWext = F0 U 0 (0) + FL U 0 (L) + P0 V 0 (0) + PL V 0 (L) + M0 θ0 (0) + ML θ0 (L)
Z
+
pV 0 + tU 0 ) dx1
L
Comme l’égalité δWint + δWext = 0 est valable quel que soit le triplet (U 0 , V 0 , θ0 ), on trouve, en
identifiant terme à terme les expressions de δWint et δWext :
N (0) = −F0
N (L) = FL
M (0) = −M0
N,1 + t = 0
T (0) = −P0
T (L) = PL
M (L) = ML
T,1 + p = 0
Poutres planes
M,1 − T = 0
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Equilibre
Ecriture de l’équilibre
On rappelle les efforts intérieurs :
Z
Z
N=
σ11 dS
T=
σ13 dS
S
S
On obtient : N,1 + t = 0
Z
M=
T,1 + p = 0
x3 σ11 dS
S
M,1 − T = 0
p
Signification physique
pour une «tranche»
t
T
N
M
la
poutre
dN = −tdx1
N+dN
T+dT
de
dT = −pdx1
dM = Tdx1
M+dM
Poutres planes
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60 / 93
Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Loi de comportement
Lois de comportement : force axiale
On a E ε11 = σ11 − ν(σ22 + σ33 )
On néglige σ22 et σ33
Z
N=
Z
σ11 dS =
S
Z
E ε11 dS =
S
Z
N=
Z
EU,1 dS +
S
Eu1,1 dS
S
E (θx3 ),1 dS
S
Le deuxième terme du développement est nul.
N = U,1 ES
Poutres planes
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Loi de comportement
Lois de comportement : moment
Z
Z
M=
x3 σ11 dS =
S
Z
x3 E ε11 dS = E
S
Z
x3 U,1 dS + E
S
x3 (θx3 ),1 dS
S
Le premier terme du développement est nul.
Z
M = E θ,1
S
Z
avec I =
S
x32 dS = E θ,1 I
x32 dS, moment quadratique par rapport à x2 , si bien que :
R
M = S x3 σ11 dS = EI θ,1
Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =
Poutres planes
2bh3
3
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Loi de comportement
Lois de comportement : cisaillement
Z
T=
Z
σ13 =
S
Z
Z
2µε13 dS =
S
µ(u1,3 + u3,1 )dS =
S
µ (θ + V,1 ) dS
S
si bien que :
T = µS (θ + V,1 )
Poutres planes
3 Mai 2010
64 / 93
Loi de comportement
Récapitulatif pour les poutres de Timoshenko
Les lois de comportement globales de la structure s’écrivent
N = ESU,1
T = µS (θ + V,1 )
M = EI θ,1
On rappelle les équations d’équilibre :
N,1 + t = 0
T,1 + p = 0
M,1 − T = 0
et les conditions aux limites
N (0) = −F0
N (L) = FL
T (0) = −P0
M (0) = −M0
M (L) = ML
T (L) = PL
Il vient : T , 1 = µS (θ,1 + V,11 ) = −p
M,1 = T = EI θ,11 = µS (θ + V,1 )
on obtient EI θ,111 = −p
permettant de calculer θ.
Ensuite la flèche est déduite par : T , 1 = µS (θ,1 + V,11 ) = −p
Poutres planes
3 Mai 2010
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Loi de comportement
Déformée
flexion
cisaillement
Degré de chaque variable
en fonction de x1
Poutres planes
p
0
T
0
1
M
0
1
2
θ
1
2
3
V
2
3
4
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Loi de comportement
Méthode de résolution
Le déplacement horizontal s’obtient en intégrant la relation :
U,1 = N /ES
La rotation relative entre les sections s’obtient en intégrant la relation :
θ,1 = M /EI
La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation elle
même, et l’autre de l’effort tranchant T :
V,1 = −θ + T /µS
Poutres planes
3 Mai 2010
67 / 93
Loi de comportement
Remarques
Expression des contraintes locales
La connaissance de U, V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de
contrainte locaux. (' E ε11 = Eu1,1 ) est la somme de deux termes, dus à l’élongation et
à la flexion :
σ11 ∼
= N /S + Mx3 /I
Si le cisaillement est négligeable (Navier Bernoulli)
θ = −V,1
M = −EIV,11
Poutres planes
3 Mai 2010
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Loi de comportement
Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli
x3
θ= v’=−dv/dx
Ligne moyenne apres deformation
v’=−dv/dx
P
Ligne moyenne avant deformation
M
v
P0
x1
M0
u
Poutres planes
3 Mai 2010
69 / 93
Loi de comportement
Cinématique de la poutre de Navier Bernoulli
Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane,
mais pas perpendiculaire à l’axe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du
moment dominant), il est raisonnable de rajouter cette dernière hypothèse. On
retrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans ce cas, il
faut assurer ε13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l’hypothèse
cinématique : 2ε13 = V,1 + θ = 0
En théorie classique des poutres (Modèle de Navier-Bernoulli), les déformations
dues à l’effort tranchant sont négligées : les sections restent planes et normales
à la ligne moyenne.
Les sections droites sont indéformables au cours de la transformation.
Elles subissent une translation et une rotation d’ensemble (par section).
Les points matériels situés dans le plan normal à la ligne moyenne se
retrouvent dans un plan normal après transformation.
Les distorsions dues à l’effort tranchant sont négligées : V,1 + θ = 0
Poutres planes
3 Mai 2010
70 / 93
Loi de comportement
Récapitulatif pour les poutres de Navier Bernoulli
On rappelle les équations d’équilibre :
N,1 + t = 0
T,1 + p = 0
M,1 − T = 0
et les conditions aux limites
N (0) = −F0
N (L) = FL
T (0) = −P0
M (0) = −M0
M (L) = ML
T (L) = PL
Les lois de comportement globales de la structure s’écrivent
N = ESU,1
M = EI θ,1 = EIV,11
T = M,1 = EIV,111
Il vient : T , 1 = EIV,1111 = −p
La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport aux
efforts appliqués ; elle est d’ordre 2 pour un moment constant :
V,1111 =
−p
EI
La rotation de la section est déduite par :
θ = −V,1
Poutres planes
3 Mai 2010
71 / 93
Loi de comportement
Poutre encastrée soumise à son propre poids
Poutre 0 < x1 < L, de hauteur 2h et de largeur b, encastrée en x1 = 0
x3
0
T,1 = −ρgS
T (L) = 0
M,1 = T
M (L) = 0
θ,1 =
M
EI
V,1 = −θ
Comme S = 2bh, I =
θ(0) = 0
V (0) = 0
2
3
L
T (x1 ) = −ρgS (x1 − L)
1
M (x1 ) = − ρgS (x1 − L)2
2
ρgS 3
θ(x1 ) = −
L + (x1 − L)3
6EI
ρgS x14
3 2 2
3
V (x1 ) =
− x1 L + x1 L
6EI
4
2
bh3
V (x1 ) =
x1
ρg
2Eh2
x14
4
Poutres planes
− x13 L +
3
2
x12 L2
3 Mai 2010
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Loi de comportement
Poutre encastrée soumise à son propre poids (2)
Expression de la flèche pour la poutre
V (x1 ) =
ρg
2Eh2
x14
4
3
− x13 L + x12 L2
2
Flèche pour x1 = L, pour x1 = L/2
V (L) =
3ρgL4
8Eh2
V (L/2) =
17ρgL4
128Eh2
Flèche proportionnelle à ρ/E, L4 , h2
17 8
(Flèche à L/2 / Flèche max) =
≈ 0, 354
128 3
Application avec L=1,90 m ; g=-9,81 m/s2 ; ρ=380 kg/m3 ; h=3,0 mm ;
E=8500 MPa ; Vmax =-24 cm
Poutres planes
3 Mai 2010
73 / 93
Loi de comportement
Forces ou moments concentrés
Poutre 0 < x1 < L
Lorsque la dérivée est définie :
x1
Z
T (x1 ) = T (0) +
0
T (x1 ) = T (0) −
Z
x1
dT
dξ
Z
x1
d ξ = T (L) +
dξ
L
p(ξ)d ξ = T (L) −
Z
0
dT
dξ
x1
p(ξ)d ξ
L
Une force concentrée conduit à une discontinuité, ainsi :
Z x1
p(ξ)d ξ − P (Xi ) avec : 0 < Xi < x1
T (x1 ) = T (0) −
∑
0
Exemple d’une poutre sur appuis simples, chargée en son milieu avec une force
ponctuelle P. Hormis P en x1 = L/2, les efforts extérieurs sont :
P0 = −P /2
Poutres planes
PL = −P /2
3 Mai 2010
74 / 93
Loi de comportement
Calcul de T pour une poutre sur deux appuis simples
(flexion 3 points)
P
x3
L
0
−P/2
−P/2
x1
Efforts tranchants aux extrémités :
T (0) = −P0 = P /2
T (L) = PL = −P /2
Passage en x1 = L/2 :
∆T = −P
Pour 0 < x1 < L/2 : T (x1 ) = P /2
Pour L/2 < x1 < L : T (x1 ) = −P /2
Poutres planes
3 Mai 2010
75 / 93
Loi de comportement
Poutre sur deux appuis simples (flexion 3 points)
P
x3
x1
si x1 < l
si x1 > l
: T = P /2 ;
: T = −P /2 ;
M = Px1 /2
M = P (l − x1 /2)
Pl/2
T,M
M
P/2
x1
T
−P/2
Poutres planes
3 Mai 2010
76 / 93
Loi de comportement
Flexion 3 points : calcul de la flèche max
L’angle θ est tel que θ,1 = Px1 /2EI, et, comme il est nul en x1 = l, on a :
θ=
P (x12 − l 2 )
4EI
La flèche, qui est nulle en x1 = 0, se calcule par :
V (x1 ) = −
x1
Z
Z
θdx1 +
0
0
x1
T
µS
dx1 =
P
4EI
(l 2 x1 −
x13
3
)+
P
2µS
x1
Le maximum est obtenu pour x1 = l :
V (l ) =
Pl 3
6EI
+
Poutres planes
Pl
2µS
3 Mai 2010
77 / 93
Loi de comportement
Flexion 3 points : valeur numérique de la flèche max
V (l ) =
Pl 3
6EI
+
Pl
2µS
Application numérique :
P = −160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm,
h = 2 mm (l est la demi-longueur, h est la demi-épaisseur)
EI =
2
3
µS =
100 × 75000 × 23 = 40000000 N.mm2
750002 × 1.3
×
100 × 2 = 5769231 N
v = (−10.41 − 0.0017) mm
Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.
Poutres planes
3 Mai 2010
78 / 93
Loi de comportement
Poutre sandwich en flexion 3 points
P
x3
e
2h
x1
e
2l
On considère un sandwich, avec au centre (−h < x3 < h) un matériau à faibles
propriétés mécaniques, de type mousse (caractéristiques élastiques Em et µm ), et, de
chaque côté (−h − e < x3 < −h et h < x3 < −h + e) une couche métallique
(caractéristiques élastiques Ea et µa ).
Poutres planes
3 Mai 2010
79 / 93
Plan
Introduction
Les charges
Cinématique
Equilibre
Loi de comportement
Poutres composites
Poutres composites
Poutre sandwich : force axiale
R
On a toujours : N = S σ11 dS ; il faut reconstruire une approximation de σ11
La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11 (x3 ) = E (x3 )ε11
σ11 = E (x3 ) (U1,1 + θ1,1 x3 )
Z
N = U,1
Z
E (x3 )dS + θ,1
S
E (x3 )x3 dS
S
Si E (x3 ) est une fonction paire en x3 , et indépendante de x2 ; la seconde intégrale est nulle
Z
N =< ES > U,1 avec < ES >=
E (x3 )dS
S
Poutres planes
3 Mai 2010
81 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich : moment
Z
M=
x3 σ11 dS
S
σ11 = E (x3 ) (U1,1 + θ1,1 x3 )
Z
M = U,1
Z
x3 E (x3 )dS + θ,1
S
S
E (x3 )x32 dS
E (x3 ) est une fonction paire en x3 , et indépendante de x2 ; la première intégrale est nulle
Z
M =< EI > θ,1
avec < EI >=
S
Poutres planes
E (x3 )x32 dS
3 Mai 2010
82 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich : cisaillement
La contrainte σ13 est continue à l’interface. Il y a une incohérence en surface, car la valeur
donnée par la théorie sur une facette de normale parallèle à x1 est non nulle, alors que la
surface x3 est libre... Dans les couches externes, la contrainte σ13 n’est pas égale à 2µε13 .
σ 13 = 0
x3
σ 31
x3
σ 13
σ 11
x1
Z
T=
σ13 dS ≈
S
Z
0
Z +h
b Z +h
−h
σ13 dx2 dx3 = (V,1 + θ)
−h
2bµ(x3 )dx3
h
T ≈< µS >+
−h (V,1 + θ)
Poutres planes
3 Mai 2010
83 / 93
Poutres composites
Forme générale des équations pour une poutre composite
Si la distribution des modules n’est pas paire en x3 , il y a un couplage entre
traction et flexion. On doit écrire :
Z
   Z
 

N
U,1
Ei dS
Ei x3 dS
0
  Z S
 

ZS
  
 

2
M  =  Ei x3 dS


Ei x3 dS
0  =  θ,1 
   S

S
Z
  
 

0
0
µ
dS
i
T
V +θ
,1
S
Unités



N
N
N.m = N.m
0
N
N.m
N.m2
0
Poutres planes

(3)


−
0
0  = m−1 
−
N
(4)
3 Mai 2010
84 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich en flexion 3 points :flèche max
Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurs
homogénéisées des produits EI et µS :
v=
Pl 3
6 < EI >
+
Pl
2 < µS >
L’aluminium (Ea , µa ), est situé entre les cotes ±h et ±(h + e). La mousse (Em , µm )
entre les cotes ±h. Il vient donc :
2
< EI >= b(Ea ((h + e)3 − h3 ) + Em h3 )
3
< µS >= 2bhµm
Poutres planes
3 Mai 2010
85 / 93
Poutres composites
Poutre sandwich en flexion 3 points
Application numérique :
L’ensemble (P = −160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, νm = 0.3,
b = 100 mm, e = 2 mm, h = 15 mm) conduit à :
< EI >=
2
3
× 100(75000 × (173 − 153 ) + 20 × 153 ) = 7694500000 N.mm2
< µS >= 2 × 100 × 15 ×
20
2 × 1.3
= 23077 N
V = (−0.054 − 0.867) mm
C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On note
l’importance qu’il y a à conserver un matériau qui possède des propriétés non
négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi, avec un module d’Young de 0,80 MPa
au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm, en ayant donc perdu
tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».
Poutres planes
3 Mai 2010
86 / 93
Poutres composites
Finite element computations
Material parameter
Aluminium alloy : Young’s modulus Ea, Poisson’s ratio νa = 0.3
Foam, calcul B : Young’s modulus E f , Poisson’s ratio ν f
Geometry
Foam thickness 2h, Alu thickness = e
Length
Width of the plate = 500 mm
100 mm
Loading
F
Force/unit width F = 1.5 N/mm
e
Aluminium
Foam
2h
e
Poutres planes
3 Mai 2010
87 / 93
Poutres composites
Mesh and boundary conditions
Aluminium alloy : E = 75 GPa, ν=0.3
Foam, calcul B : E = 0.907 MPa, ν=0.2
Foam, calcul C : E = 20. MPa, ν=0.2
Load = 0.80 N/mm, corresponding to 150 N on a 100 mm plate
A : Half length = 250 mm, Alu width = 4 mm
B and C : Half length = 250 mm, Alu width = 2 times 2 mm, Foam = 30 mm
Force
SYM
V1
V2
V3
Bottom
Poutres planes
3 Mai 2010
88 / 93
Poutres composites
Coarse and Fine meshes
Poutres planes
3 Mai 2010
89 / 93
Poutres composites
y
Deformed
shapes
z
x
A
y
z
x
z
x
Poutres planes
B
C
3 Mai 2010
90 / 93
Poutres composites
Vertical displacement
Vertical displacement U2 along the bottom line, aluminium sheet
2
coarse A
fine A
bending
shear
total
0
U2 (mm)
-2
-4
-6
-8
-10
-12
0
50
100
150
200
< - - - center - - Y - - right support - - - >
Poutres planes
250
300
3 Mai 2010
91 / 93
Poutres composites
Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 20 MPa core
0.1
fine B
bending
shear
total
0
-0.1
-0.2
U2 (mm)
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
-0.7
-0.8
-0.9
0
50
100
150
200
Poutres planes
250
300
3 Mai 2010
92 / 93
Poutres composites
Vertical displacement U2 along the bottom line, sandwich with 0.5 MPa core
5
fine B
bending
shear
total
0
-5
U2 (mm)
-10
-15
-20
-25
-30
-35
0
50
100
150
200
Poutres planes
250
300
3 Mai 2010
93 / 93

IAE Poutres planes - mms2-ensmp

Transcription

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