Simulations : Les œufs Kinder ou les figurines « Shrek

Simulations : Les œufs Kinder ou les figurines « Shrek » Bruno CAILHOL, Lycée Albert Calmette, Nice ([email protected]) •
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Cette activité s’inscrit dans la partie du programme de seconde intitulée « STATISTIQUES » ; elle exploite diverses possibilités offertes par la simulation, avec une calculatrice et avec un logiciel. Elle fait travailler les notions de médiane, moyenne, déciles, intervalle de confiance. Cette activité a demandé 1 h 45 de travail en classe entière : 1h pour l’explication de l’activité, la présentation des objectifs, la simulation et les calculs (questions 1 et 2) et 45 mn pour l’utilisation du programme informatique et son exploitation (questions 3 et 4). • Il s’agit d’une autre version de l’activité présentée dans l’article : http://www.statistix.fr/spip/spip.php?article15 Combien faut‐il acheter d’œufs Kinder pour obtenir la collection complète des dix figurines du film « Shrek » et combien cela coûte‐t‐il ? On admet que les figurines sont réparties au hasard dans les œufs (donc qu’aucune figurine n’est plus rare qu’une autre). Question 1. Dans cette question, les élèves ont choisi au hasard à l'aide de la calculatrice des nombres de 1 à 10. Ils ont rempli le tableau en cochant la colonne correspondant au nombre retourné par celle‐ci et ont répété l'opération tant qu'ils n'ont pas réussi à obtenir tous les entiers de 1 à 10. Ils ont noté alors dans la case essais le nombre de lancers qu'il a fallu faire avec le dé électronique (i.e. la calculatrice) pour obtenir tous les entiers de 1 à 10. Ils ont recommencé trois fois l’expérience. Question 2. On rassemble ensuite les résultats de chaque élève. On dispose des simulations obtenues par toute la classe, soit 81. Calculer la moyenne et de la médiane donne un premier ordre de grandeur de ce qu’on cherche à approcher. Il est important de faire calculer la médiane : il n’y a pas de symétrie apparente dans le phénomène observé, le nombre d’achat à faire n’est pas majoré, moyenne et médiane peuvent a priori être sensiblement différents et fournissent des informations de nature différente. •
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A l'aide de la calculatrice on calcule la moyenne et la médiane de la série des 81 simulations. On obtient 31 et 29. La calculatrice permet d'ordonner la série des données obtenue par la classe. Il est intéressant à ce niveau de déterminer le nombre d’expériences avec un nombre d’essais approximativement égal à la moyenne observée et déterminer la fréquence correspondante. Ici, 30 lancers suffisent dans 64% des cas à obtenir toutes les faces. On peut aussi construire le tableau des fréquences cumulées (à la main) et on détermine la fréquence cumulée correspondante à la fréquence cumulée 90%. 11 14 15 17 18 19 20 21 22 23 25 26 27 28 29 30 ni 3 1 2 ni cumulés 3 4 6 10 14 16 19 22 25 27 28 34 37 40 42 52 4 fi (%) 4 1 2 fi cumulées (%) 4 5 7 12 17 20 23 27 31 33 35 42 46 49 52 64 5 4 5 2 2 3 4 3 4 3 4 2 2 1 1 6 7 3 4 3 4 2 10 2 12 31 32 33 35 39 43 45 47 48 50 51 52 53 56 57
60 Total ni 5 5 1 ni cumulés 57 59 60 62 63 64 65 66 67 68 69 70 72 75 80
81 fi (%) 6 1 100 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 6 fi cumulées (%) 70 73 74 77 78 79 80 81 83 84 85 86 89 93 99 100 81 On observe aussi que pour dans 90% des 81 expériences, il a fallu lancer au maximum 56 fois le dé électronique pour avoir tous les nombres. On en déduit qu’avec 56 achats, la chance d’avoir toutes les figurines est de l’ordre de 90% (cette déduction n’est pas aisée à faire pour les élèves) ; le nombre de simulations est faible, un tel résultat ne donne qu’un premier ordre de grandeur. Question 3. Simulation informatique à l’aide du programme flash (à télécharger sur le site) Ce programme permet de faire un grand nombre de simulations et en présente un histogramme, la fonction de répartition, et quelques résumés : moyenne médiane, quartiles. On a choisi de faire une simulation commune pour toute la classe, les résultats étant affichés sur le tableau (voir photo ci‐
dessus). La simulation a porté sur 1864 simulations (les élèves ont décidé qu’à ce moment là les données fluctuaient moins). Les résultats obtenus sont indiqués sur la copie d’élève (voir après) On s’intéresse de nouveau au pourcentage d’expériences pour lesquelles 30 œufs (où 30 est de l’ordre de grandeur du nombre moyen d’œufs nécessaire pour avoir toutes les figurines) ont suffit à obtenir toute la collection. En additionnant les effectifs fournis par la simulation, on observe 1162 cas favorables à un tel évènement. La fréquence associée est 62 %. Pour obtenir une estimation avec une précision de la fréquence théorique (ou probabilité) d’avoir toutes les figurines en achetant 30 œufs, on peut utiliser un intervalle de confiance à 95% : 1
√
;
1
√
où est la fréquence relative à l’échantillon (ici 0,62) et le nombre d’expériences (ici 1864). On obtient 61,9; 66,5 . Question 4. Sur la série constituée de plus de 1000 simulations, le nombre moyen d’œufs achetés pour obtenir la collection complète est 29,15. Une boîte de 3 œufs Kinder vendue dans le marché ne contient qu’un seul œuf à figurine « Shrek ». Le prix d’une telle boîte étant de 2,40 €, on déduit le coût moyen (environ 70€) pour obtenir la collection. Comme nous avions calculé un intervalle de confiance pour la probabilité d’avoir toutes les figurines avec 30 figures, nous ne nous sommes plus occupés de ce paramètre. Une copie d’élève Bilan de l’activité •
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En dehors de la question 2/c) qui a nécessité des explications supplémentaires (chercher l’antécédent d’une fréquence cumulée croissante), les questions ont été comprises et l’activité appréciée par les élèves. Ils ont constaté que même en ouvrant 30 œufs (qui est de l’ordre du nombre moyen d’œufs qu’il faut ouvrir pour avoir la collection complète), il n’est pas du tout sûr de l’avoir. Grâce à l’intervalle de confiance, on déduit qu’une telle situation n’a qu’entre 60% et 65% de chances de se produire. Le coût de l’opération (environ 70 €) qui consiste à acheter 30 boîtes de 3 œufs (et pas 10 boîtes de 3 œufs – l’information étant tout petit sur l’emballage, miracle du marketing !) leur paraît prohibitif et surtout bien loin de ce qu’ils souhaiteraient dépenser pour l’avoir. A la fin de l’activité, 12 boites de 3 œufs ont été achetées et on a obtenu 6 figurines distinctes. On voit bien ici l’intérêt de différents points du vue : chercher la probabilité qu’on ait toutes les images avec un nombre donné d’images, chercher combien d’images il faut pour avoir une probabilité donnée de les avoir toutes, et description des tendances centrales du phénomène. On trouvera dans l’annexe ci‐dessous les résultats des calculs théoriques fournissant les paramètres dont on a parlé ci‐dessus. Annexe : Calculs théoriques Espérance Elle représente la moyenne théorique du nombre moyen d’achat à faire pour avoir les 10 figurines. Soit la variable aléatoire qui, lorsqu’on achète les œufs les uns après les autres, donne le nombre d’achats nécessaires à avoir toute la collection de figurines. Ecrivons : où désigne le nombre d’achats qui a permis de passer de à figurines, … . Lorsqu’on a obtenu figurines distinctes, la probabilité d’augmenter le compteur d’une unité au bout de achats supplémentaires est : La variable suit une loi appelée « loi géométrique de paramètre ». Son espérance est . D’où le calcul exact de l’espérance de : On trouve ainsi , . On démontre par ailleurs que si l’on achète 30 paquets, la probabilité d’avoir toutes les figurines est 0,629 ; notons que cette valeur est dans l’intervalle de confiance au niveau 0,95 (à savoir , ; , ) calculé ci‐dessus. Médiane Le tableau ci‐dessous donne, pour quelques valeurs de le résultat du calcul des probabilités d’avoir toutes les figurines pour achats. La médiane théorique est donc 27, le neuvième décile théorique est 44. n 26 27 43 44 50 51 65 66 pn 0,479 0,52 0,895 0,906 0,949 0,954 0,989 0,991 Merci à Claudine Schwartz pour la relecture du document et les compléments mathématiques.