sujet - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

Université de Picardie Jules Verne
Faculté des Sciences
L2 Maths S3 Théorie des Graphes
Examen du mercredi 11 janvier 2012.
Les seuls documents autorisés sont les résumés de cours distribués en cours. Les calculatrices
5
5
et les téléphones portables sont interdits.
Exercice 1
Utiliser l'algorithme de Dijkstra pour calculer la distance entre les sommets a et m.
4
e
b
5
2
h
4
6
3
3
k
3
4
5
a
c
5
2
3
i
f
4
4
5
6
2
3
m
3
l
4
4
d
5
j
g
Donner un chemin de longueur minimale qui va de a à m.
Exercice 2
1. Voici le graphe W4 :
1
2
0
4
3
Donner le polynôme chromatique de W4 . On pourra se ramener à des graphes complets et
utiliser le fait que PKn (X) = X(X − 1)(X − 2)..(X − n + 1).
1
2. Quel est le polynôme chromatique du graphe suivant ? On pourra se ramener à un graphe
avec moins d'arêtes en appliquant la méthode vue en cours à l'arête {b, c}.
e
a
b
c
d
1. Soit G un graphe simple planaire avec s composantes connexes. On note n
son nombre de sommets, k son nombre d'arêtes et f son nombre de faces.
Exercice 3
(a) On note G1 ,...,Gs les composantes connexes de G et, pour tout i ∈ {1, ..., s}, on note
fi le nombre de faces du graphe planaire Gi . Exprimer f en fonction des fi .
(b) En utilisant la formule d'Euler pour les graphes planaires connexes, donner une formule qui relie n, k , f et s.
(c) On dénit le degré d'une face de G comme dans le cas connexe. Montrer que si G a
au moins deux arêtes, ses faces sont toutes de degré ≥ 3.
(d) En déduire que si G a au moins deux arêtes, on a :
k ≤ 3n − 3(s + 1)
2. On considère maintenant un graphe H simple planaire et connexe à 11 sommets. Montrer
que le complémentaire de H n'est pas planaire.
Exercice 4 Pour une famille S = {I1 , ..., In } d'intervalles fermés de R, le graphe d'intervalles
G(S) associé à S est le graphe qui a pour sommets V (S) = {1, ..., n} et pour lequel il existe une
arête entre deux sommets i et j si et seulement si l'intersection Ii ∩ Ij des intervalles Ii et Ij
n'est pas vide.
Un graphe G est appelé graphe d'intervalles si il existe une famille S d'intervalles tel que
G = G(S).
1. Donner une représentation du graphe d'intervalles G(S) associé à la famille :
{[0, 5]; [1, 2]; [3, 7]; [4, 7]; [5, 8]; [9, 10]}
2. Montrer que le graphe complet K4 est un graphe d'intervalles.
3. Soit G un graphe d'intervalles et soit S = {I1 , ..., In } une famille d'intervalles telle que
G = G(S), quitte a renuméroter les intervalles (et donc les sommets de G), on peut supposer
que Ii = [ai , bi ] avec a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an .
On applique l'algorithme glouton de coloriage des sommets à G avec cette numérotation
des sommets.
Soit i0 un sommet de G, on note k la couleur attribuée à i0 . Montrer qu'il existe un
sous-graphe complet de G à k sommets qui contient i0 .
En déduire que l'indice chromatique χ(G) de G est égal au nombre de sommets du plus
grand sous-graphe complet de G.
4. Considérons un ensemble de 8 expériences devant être eectuées dans l'heure qui suit à
un moment très précis. Supposons que l'on demande à des chercheurs d'eectuer ces
expériences, mais qu'aucun chercheur ne puisse eectuer deux tâches à la fois. On veut
savoir le nombre minimal de chercheurs nécessaires. A chaque expérience i ∈ {1, ..., 8},
correspond un intervalle Ii = [ai ; bi ], où ai est le début de l'expérience i et bi la n de cette
expérience.
i
1
2
3
4
5
6
7
8
Ii [0, 6] [2, 12] [4, 8] [4, 20] [10, 16] [14, 26] [18, 28] [22, 32]
Quel est le nombre minimum de chercheurs nécessaires ?
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5. Une corde d'un cycle élémentaire est une arête qui relie deux sommets non consécutifs du
cycle.
Par exemple, dans le graphe ci-dessous (a, c) est une corde du 4-cycle (a, b, c, e, a) et (c,
e) une corde du 4-cycle (a, c, d, e, a) ; toutes deux sont aussi des cordes du 5-cycle (a, b,
c, d, e, a).
b
c
a
e
d
Montrer que dans un graphe d'intervalles tout cycle de longueur ≥ 4 possède une corde.
6. Le Duc de Densmore est retrouvé carbonisé après l'explosion de son vieux château de l'île
privée de White. L'enquête indique que l'explosion est due à une bombe placée dans le
château.
Dans la période qui précéda l'explosion, le Duc avait invité ses 7 ex-femmes. Toutes jurent
que c'est la seule fois qu'elles s'y sont rendues.
Les femmes ne se souviennent pas des dates de leur séjour au château, mais se rappellent
s'être croisées. Ainsi :
Ann dit avoir rencontré Betty, Charlotte, Félicia et Georgia ;
Betty dit avoir rencontré Ann, Charlotte, Edith, Félicia, et Helen ;
Charlotte dit avoir rencontré Ann, Betty et Edith ;
Edith dit avoir rencontré Betty, Charlotte et Félicia ; Félicia dit avoir rencontré Ann,
Betty, Edith et Helen ;
Georgia dit avoir rencontré Ann et Helen ;
Helen dit avoir rencontré Betty, Félicia et Georgia.
(a) Représenter le graphe des rencontres (où les sommets sont les ex-femmes et où les
arêtes correspondent aux rencontres).
(b) Ce graphe est-il un graphe d'intervalles ? En déduire que quelqu'un est venu plusieurs
fois au château. Qui-est-ce ?
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