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Première S-méthode
Chapitre : Produit scalaire
vecteur normal à une droite-droites perpendiculaires
Table des matières
1 Déterminer si deux droites sont perpendiculaires
1.1 Rappel du chapitre 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Déterminer si deux droites sont perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1
1
2 Rappels de cours
2
3 Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à une droite
3
4 Déterminer une équation cartésienne d’une perpendiculaire
4.1 Méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exemple : perpendiculaire à une droite définie par une équation . . . . . . . . . . . .
4.3 Exemple : perpendiculaire à une droite définie par deux points . . . . . . . . . . . . .
→ −
−
→
Le plan est muni d’un repère orthonormé (O; i ; j ).
3
3
4
6
1
Déterminer si deux droites sont perpendiculaires
1.1
Rappel du chapitre 5
Rappels :
Toute droite du plan admet une équation cartésienne de la forme ax + by + c = 0 (a, b et c réels
avec (a; b) 6= (0; 0) )
→
et le vecteur −
u (−b; a) est un vecteur directeur de cette droite.
1.2
Déterminer si deux droites sont perpendiculaires
Méthode :
On donne les droites (d) et (d0 ) d’équations respectives ax + by + c = 0 et a0 x + b0 y + c0 = 0
→
• Déterminer un vecteur directeur de chacune des droites, par exemple −
u (−b; a) est un vecteur
→
directeur de (d) et −
v (−b0 ; a0 ) est un vecteur directeur de (d0 )
−
→
• Vérifier que →
u .−
v =0
−
−
• Conclusion : Les vecteurs →
u et →
v sont orthogonaux donc (d) ⊥ (d0 )
r Exemple 1 : perpendicularité de deux droites définies par leurs équations cartésiennes
Dans un repère orthonormé, on donne (d) d’équation 2x−3y+1 = 0, (d1 ) d’équation 6x+4y−3 =
0 et (d2 ) d’équation 4x + 3y − 6 = 0.
Les droites (d) et (d1 ) sont-elles perpendiculaires ?
Les droites (d) et (d2 ) sont-elles perpendiculaires ?
Chapitre : Produit scalaire
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Chapitre : Produit scalaire
* Solution:
−
(d) a pour équation 2x − 3y + 1 = 0 donc →
u (3; 2) est un vecteur directeur de (d)
→
(d1 ) a pour équation 6x + 4y − 3 = 0 donc −
v (−4; 6) est un vecteur directeur de (d1 )
→
(d ) a pour équation 4x + 5y − 6 = 0 donc −
w (−3; 4) est un vecteur directeur de (d )
2
2
−
→
→
→
→
→
→
u .−
v = x−
u x−
v + y−
u y−
v = 3 × (−4) + 2 × 6 = 0
→
→
donc −
u et −
v sont orthogonaux
donc (d) ⊥ (d1 )
−
→
→
→
→
→
→
u .−
w = x−
u x−
w + y−
u y−
w = 3 × (−3) + 2 × 4 = −1
→
→
donc −
u et −
w ne sont pas orthogonaux
donc (d) et (d2 ) ne sont pas perpendiculaires
2
Rappels de cours
−
−
→
Si →
u (x; y) (non nul) alors →
v (−y; x) est orthogonal au vecteur −
u
→
Si (d) a pour équation ax + by + c = 0, le vecteur −
n (a; b) est un vecteur normal à la droite (d)
→
−
Si u est un vecteur directeur de (d) alors M (x; y) appartient à la droite perpendiculaire à (d)
−−→ →
passant par A si est seulement si AM .−
u =0
Chapitre : Produit scalaire
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Chapitre : Produit scalaire
Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal à une droite
→
n (a; b) est un vecteur normal à la droite (d)
Si (d) a pour équation ax + by + c = 0, le vecteur −
→
→
Remarque : Tout vecteur −
v colinéaire à −
n est aussi un vecteur normal à la droite (d)
r Exemple 2 : vecteur normal
Déterminer un vecteur directeur puis un vecteur normal à la droite (d) d’équation cartésienne
2x − 5y + 2 = 0
* Solution:
−
On a ici a = 2 et b = −5 donc le vecteur →
u (5; 2) est un vecteur directeur de (d). (vecteur de
coordonnées (−b; a))
→
et le vecteur −
n (2; −5) est un vecteur normal à la droite (d)
Remarque
→
→
−
Le vecteur −
v = −2−
n est aussi un vecteur normal à (d) et on a alors →
v (−4; 10).
4
Déterminer une équation cartésienne d’une perpendiculaire
4.1
Méthode
On veut déterminer une équation de la droite (d0 ) perpendiculaire à (d) et passant par A(xA ; yA ).
Méthode 1 : en utilisant un vecteur normal
−
→
→
• Déterminer les coordonnées d’un vecteur normal →
n (x−
n ; y−
n ) à la droite (d)
−
• →
n est un vecteur directeur de la droite (d0 )
→
Deux possibilités pour utiliser le vecteur −
n :
0
→
→
Une équation de (d0 ) est de la forme a0 x + b0 y + c0 = 0 avec b0 = −x−
n et a = y−
n puis on
détermine c0 en utilisant les coordonnées xA et yA du point A.
−−→ →
Soit on utilise le point M (x; y) ∈ (d0 ) avec les vecteurs AM et −
n colinéaires
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Chapitre : Produit scalaire
−
−
Rappel : →
u (x; y) et →
v (x0 ; y 0 ) (non nuls) colinéaires si et seulement si x0 y − yx0 = 0
Méthode 2 : en utilisant le produit scalaire
−
• Déterminer les coordonnées d’un vecteur →
u directeur de la droite (d)
• Soit M (x; y) un point de (d0 ).
−−→
−−→ →
AM (x − xA ; y − yA ) et AM et −
u sont orthogonaux.
−−→ −
AM .→
u =0
→
→
(x − xA )x−
u + (y − yA )y−
u = 0
Développer et réduire pour obtenir une équation de (d0 )
4.2
Exemple : perpendiculaire à une droite définie par une équation
r Exemple 3 : Droite définie par une équation
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d0 ) passant par A(2; −3) et perpendiculaire
à (d) d’équation 2x − 5y + 2 = 0
Avec la méthode 1 :
* Solution:
−
(d) a pour équation 2x − 5y + 2 = 0 donc →
n (2; −5) est vecteur normal à la droite (d). (vecteur
de coordonnées (a; b) avec a = 2 et b = −5)
et est un vecteur directeur de (d0 )
donc (d0 ) a une équation de la forme −5x − 2y + c0 = 0
A(2; −3) ∈ (d0 ) ⇐⇒ −5xA − 2yA + c0 = 0
⇐⇒ −5 × 2 − 2 × (−3) + c0 = 0
⇐⇒ −4 + c0 = 0
⇐⇒ c0 = 4
−5x − 2y + 4 = 0 est une équation de (d0 )
Remarque
−−→ −
On peut aussi écrire que si M (x; y) appartient à (d0 ), AM et →
n sont colinéaires.
(
−→ = xM − xA = x − 2
x−
AM
−→ = yM − yA = y − (−3) = y + 3
y−
AM
−−→
donc AM (x − 2; y + 3)
−−→ −
AM et →
n colinéaires
−→ y−
→ − y−−→ x−
→ = 0
⇐⇒ x−
AM n
AM n
⇐⇒ (x − 2) × (−5) − (y + 3) × 2 = 0
⇐⇒ −5x + 10 − 2y − 6 = 0
⇐⇒ −5x − 2y + 4 = 0
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Chapitre : Produit scalaire
Méthode 2 : Utiliser le produit scalaire
* Solution:
→
(d) a pour équation 2x − 5y + 2 = 0 donc −
u (5; 2) est un vecteur directeur de (d)
−−→ −
→
M
( (x; y) appartient à (d) ⇐⇒ AM et u sont orthogonaux.
−→ = xM − xA = x − 2
x−
AM
−→ = yM − yA = y − (−3) = y + 3
y−
AM
−−→
donc AM (x − 2; y + 3)
−−→ −
AM et →
u orthogonaux
−→ x−
→ + y−−→ y−
→ = 0
⇐⇒ x−
AM u
AM u
⇐⇒ (x − 2) × 5 + (y + 3) × 2 = 0
⇐⇒ 5x − 10 + 2y + 6 = 0
⇐⇒ 5x + 2y − 4 = 0
5x + 2y − 4 = 0 est une équation de (d0 )
Remarque
Les deux équations obtenues avec les méthodes 1 et 2 sont équivalentes.
Il suffit de multiplier les deux membres de la première par −1 pour obtenir la seconde
5x + 2y − 4 = 0 ⇐⇒ −5x − 2y + 4 = 0
Contrôle du résultat avec GEOGEBRA :
• Tracer (d) en saisissant son équation dans la barre de saisie (en bas de la fenêtre)
• Placer le point A
• En utilisant la commande ”tracer une perpendiculaire”, pointer sur A puis sur (d) et la
perpendiculaire à (d) passant par A s’affiche avec une équation dans la fenêtre algèbre
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4.3
Chapitre : Produit scalaire
Exemple : perpendiculaire à une droite définie par deux points
r Exemple 4 : Droite définie par deux points
On donne A(2 : 3) et B(−3; 1).
Déterminer une équation cartésienne de la droite (d0 ) passant par C(1; 4) et perpendiculaire à
(AB) .
−→
→
Cet exemple est identique au précédent, le rôle du vecteur −
u étant joué ici par le vecteur AB qui
est un vecteur directeur de la droite (AB).
Avec la méthode 1 :
* Solution:
(
→ = xB − xA = −3 − 2 = −5
x−
AB
→ = yB − yA = 1 − 3 = −2
y−
AB
−→
donc AB(−5; −2)
→
donc −
n (2; −5) est vecteur normal à la droite (d).
donc (d0 ) a une équation de la forme −5x − 2y + c0 = 0
C(1; 4) ∈ (d0 ) ⇐⇒ −5xA − 2yA + c0 = 0
⇐⇒ −5 × 1 − 2 × 4 + c0 = 0
⇐⇒ −13 + c0 = 0
⇐⇒ c0 = 13
−5x − 2y + 13 = 0 est une équation de (d0 )
Remarque
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Chapitre : Produit scalaire
−−→ −
On peut aussi écrire que si M (x; y) appartient à (d0 ), AM et →
n sont colinéaires.
(voir remarque de l’exemple précédent (méthode 1)
Avec la méthode 2 : utilisation du produit scalaire
* Solution:
(
→ = xB − xA = −3 − 2 = −5
x−
AB
→ = yB − yA = 1 − 3 = −2
y−
AB
−→
donc AB(−5; −2) est un vecteur directeur de (d)
−−→ −→
0
Si
( M (x; y) appartient à (d ), CM et AB sont orthogonaux.
−→ = xM − xC = x − 1
x−
CM
−→ = yM − yC = y − 4
y−
CM
−−→
donc CM (x − 1; y − 4)
−−→ −→
CM et AB sont orthogonaux
−→ x−→ + y−−→ y−→ = 0
⇐⇒ x−
CM AB
CM AB
⇐⇒ (x − 1) × (−5) + (y − 4) × (−2) = 0
⇐⇒ −5x + 5 − 2y + 8 = 0
⇐⇒ −5x − 2y + 13 = 0
−5x − 2y + 13 = 0 est une équation de (d0 )
Contrôle du résultat avec GEOGEBRA :
• Placer les points A et B puis tracer la droite passant par A et B (commande ”droite passant
par deux points”)
• Placer le point C
• En utilisant la commande ”tracer une perpendiculaire”, pointer sur C puis sur (AB) et la
perpendiculaire à (AB) passant par C s’affiche avec une équation dans la fenêtre algèbre
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