L`ellipse

L’ellipse
1. Définitions et propriétés
Définition

Une ellipse est l’ensemble des points du plan dont la somme des distances à
deux points fixes F et F’ est une constante supérieure à FF’.

En désignant l’ellipse par (E) et par 2 a la constante donnée, on a :
M ∈ (E)  MF + MF’ = 2 a

Les points F et F’ sont appelés les foyers de (E).
Propriété 1

Toute ellipse de foyers distincts F et F’ admet deux axes de symétrie et
un point de symétrie.

Les deux axes sont la droite (FF’) et la médiatrice du segment [FF’].

Le centre de symétrie est le milieu de [FF’]

La droite (FF’) est l’axe focal de (E).

Le réel positif FF’ = 2 c est la distance focale.

La médiatrice du segment [FF’] est l’axe non focal de (E).

Le réel positif AA’ = 2 a est le grand axe de (E).

Le réel positif BB’ = 2 b est le petit axe de (E).

Les points A, A’, B et B’ sont les sommets de (E)
Propriété 2

Tout point d’une ellipse de foyers distincts et de grand axe 2 a (a > 0) est le
centre d’un cercle passant par l’un des foyers et tangent au cercle de centre
l’autre foyer et de rayon 2 a.

Le cercle de centre un foyer et de rayon 2a est appelé cercle directeur relatif
à ce foyer.

Le cercle de centre O, centre de l’ellipse, et de rayon a est appelé cercle
principal de l’ellipse. Celui de centre O et de rayon b (b<a et b2 = a2 – c2 ) est
appelé cercle secondaire de l’ellipse.
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Remarque
Le cercle principal est l’image

du cercle directeur
d’un foyer par l’homothétie de centre l’autre foyer et
de rapport
1
2
2. Équation réduite d’une ellipse
Théorème 1
Soit (E) une ellipse de centre O, de grand axe AA’ = 2 a, de petit axe

BB’ = 2 b et de distance focale FF’ = 2 c .
On rapporte le plan à un repère orthonormé O; i , j
tel que les vecteurs
i et 
OF soient colinéaires et de même sens et on considère un point de
coordonnées ( x ; y ) dans ce repère.
x2 y2
 =1 . C’est l’équation réduite de (E).
a2 b2
On a F (c ; 0 ) F’ ( –c ; 0) A ( a ; 0 ) A’ ( –a ; 0 ) B ( 0 ; b) B’ (0 ; –b)
On a alors :

M ∈ (E) 
Théorème 2

Le plan étant rapporté à un repère orthonormé O; i , j  , on considère
2
2
x y
l’ellipse (E) d’équation réduite 2  2 =1 .
a b
x x0 y y0
 2 =1
(E) admet en tout point M0 ( x0 ; y0 ) une tangente d’équation
a2
b
3. Propriétés des tangentes à une ellipse
Théorème 1

En tout point M d’une ellipse de foyers F et F’, la tangente porte la
bissectrice extérieure du secteur [MF,MF’].
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Remarque

La normale à (E) en M est la perpendiculaire à la
tangente à (E) en M. Cette normale porte la bissectrice
intérieure du secteur [MF,MF’].
Théorème 2

Dans une ellipse, le symétrique d’un foyer par rapport à une tangente
appartient au cercle directeur relatif à l’autre foyer.
Théorème 3

Le projeté orthogonal d’un foyer sur une tangente à une ellipse appartient au
cercle principal de cette ellipse.
4. Représentation paramétrique d’une ellipse
Théorème


Le plan étant rapporté à un repère orthonormé O; i , j  , on considère l’ellipse (E) d’équation réduite
x2 y2
 =1 .
a2 b2
x=a cos 
Une représentation paramétrique de (E) est
(ϕ ∈ ℝ).
y=b sin 
{
Pour retrouver plus d'explications visiter le site : http://maths.edunet.tn/espaceleve/elpsdef.htm
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