Journée N°3 - AEFE Proche

Résoudre des problèmes en
mathématiques aux cycles 2 et 3
3/3
Stage du 12 au 14 décembre 2012
Collège International (IC) Beyrouth
Philippe CORBET – CPAIEN
1
comprendre
l'énoncé
Solution personnelle
Communiquer
sa réponse
Apprendre la
résolution de
problèmes
Trouver une
procédure
Solution experte
Exécuter la
procédure
Développer la capacité des
élèves à utiliser la procédure
experte pour les résoudre les
problèmes arithmétiques
3
Mise en situation
1. S’approprier la classification des problèmes
additifs de G. Vergnaud
 Associez les problèmes de la fiche numérotée avec des
numéros avec les problèmes de la fiche numérotée
avec des lettres
 Justifiez votre réponse.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
J’ai 20 bonbons ; j’en mange 2 et puis encore 3. Combien m’en reste-t-il ?
Corinne a 37 images dans une boîte. Elle en colle 12 sur son album. Combien y en a-t-il dans la boîte maintenant ?
Marie a 39 ans ; elle a 23 ans de plus que son fils Thomas. Quel est l’âge de Thomas ?
Paul joue au jeu de l’oie. Son pion est sur la case bleue. Il avance de 14 cases et arrive sur une case rouge marquée 37. Quel
était le numéro de la case bleue ?
Isidore joue aux cartes Pokemon. Lors de la première partie il en gagne 7. Lors de la deuxième partie, il en perd 12. Au total en
a-t-il plus gagnés que perdus ou plus perdus que gagnés ? Et combien ?
La maîtresse a 42 cahiers dans l’armoire. Le directeur lui apporte un carton de cahiers. La maîtresse a en maintenant, en tout,
67 cahiers. Combien le directeur a-t-il apporté de cahiers ?
Dans une classe, il y a 28 enfants. Le maître a compté les garçons. Il y en a 12. Combien y a-t-il de filles dans la classe ?
Marc a 38 billes. Pierre a 25 billes. Marc a plus de billes que Pierre. Combien en a-t-il de plus ?
Voici une bande bleue et une bande rouge ; on sait que la bande rouge mesure 37cm et que la bande bleue mesure 13cm de
moins. Combien mesure la bande bleue ?
Au jeu de l'oie, Alice doit reculer de 7 cases. Elle tombe alors sur la case 16. Sur quelle case se trouvait-elle auparavant ?
Au jeu des sept familles, Noémie a gagné 25 cartes; Philippe en a 9 de moins qu'elle. Combien en a-t-il?
Un sous marin plonge en deux étapes dans l’océan. A la première étape, il descend de 45m et à la deuxième étape, il descend
de 53m. De combien de mètres est-il descendu en tout ?
Dans sa tirelire, Sophie possède 76 euros ; Hervé, lui, n'en a que 83.Combien d'argent Sophie a-t-elle de plus que lui?
Dans un pré se trouvent 54 vaches; 23 sont noires, et les autres sont blanches. Combien de vaches sont blanches?
Jean a joué deux parties de billes. A la première, il a gagné 16 billes. A la seconde partie, il en a gagné 9. Que s'est-il passé en
tout ?
Pour son anniversaire Magalie reçoit 50€ de sa grand-mère et 30€ de sa tante. Combien Magali a-t-elle reçu d’argent au total ?
Le compteur de la photocopieuse marque 132. La maîtresse tire 16 photocopies. Maintenant que marque le compteur ?
Dans mon jardin, il y a 21 rosiers. 6 sont déjà fleuris. Combien de rosiers ne sont pas encore fleuris ?
Il y avait 160 oiseaux dans l’arbre. Il n’en reste plus que 50. Combien d’oiseaux se sont envolés ?
Mon immeuble est haut de 17 étages. Celui où habite mon cousin a 3 étages de plus que le mien. Combien l’immeuble de mon
cousin a-t-il d’étages ?
Hakim joue trois fois de suite au jeu de l’oie. La première fois, il avance de 6 cases, la deuxième fois de 3 cases et la troisième
fois, il recule d’une case. De combien de cases a-t-il avancé en tout ?
A. Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ?
B. « Léo avait 8 billes. Puis il a donné 5 billes à Juliette. Combien de billes a maintenant
Léo ? »
C. « Léo avait des billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes.
Combien de billes avait Léo ? »
D. « Léo avait des billes. Puis il en a donné 5 à Juliette. Maintenant Léo a 3 billes. Combien
avait-il de billes ? »
E. « Léo avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9 billes.
Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo ? »
F. « Léo avait 9 billes. Puis il a donné des billes à Juliette. Maintenant Léo a 4 billes.
Combien de billes Léo a-t-il données à Juliette ? »
G. « Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble? »
H. « Léo et Juliette ont 17 billes ensemble. Juliette a 8 billes. Combien Léo a-t-il de billes ?
»
I. « Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle ? »
J. « Léo a 9 billes. Juliette a 5 billes de moins que lui. Combien de billes Juliette a-t-elle ? »
K. « Léo a 9 billes. Il en a 7 de plus que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle ? »
L. « Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette. Combien de billes Juliette a-t-elle ? »
M. « Léo a 3 billes. Juliette en a 9. Combien de billes Juliette a-t-elle de plus que Léo ? »
N. « Léo a 8 billes. Juliette en a 6. Combien de billes Juliette a-t-elle de moins que Léo ? »
Classification par G. Vergnaud des
différentes catégories de problèmes
dans le champ additif
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
(Classification G. Vergnaud présentée par E. TOUCHARD G. MARTIEL )
Les problèmes du champ additif
Programmation
CP
• Beaucoup de petits problèmes très variés.
• Pas de classification des problèmes systématique.
• On insiste sur les cas
− Transformation positive ou négative (Léo avait 3
billes. Puis Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a
maintenant Léo ?)
− Problèmes de combinaison (Léo a 3 billes. Juliette a 7
billes. Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?)
Les problèmes du champ additif
Une progression
CE1: Institutionnaliser
− Transformation positive ou négative (Léo avait 3 billes. Puis
Juliette lui a donné 5 billes. Combien de billes a maintenant Léo ?)
− Problèmes de combinaison (Léo a 3 billes. Juliette a 7 billes.
Combien de billes ont Léo et Juliette ensemble?)
− Recherche de transformation positive ou négative (Léo
avait 3 billes. Puis Juliette lui a donné des billes. Léo a maintenant 9
billes. Combien de billes Juliette a-t-elle données à Léo ?)
− Recherche de l’état initial (Léo avait des billes. Puis Juliette lui a
donné 5 billes. Maintenant Léo a 9 billes. Combien de billes avait Léo ?)
Les problèmes du champ additif
Une progression
CE2: Institutionnaliser en plus
• Problèmes de comparaison / recherche de l’état à
comparer (« Léo a 3 billes. Juliette a 5 billes de plus que lui.
Combien de billes Juliette a-t-elle ? »)
• Problèmes de comparaison / recherche de l’état
comparé (Léo a 9 billes. Il en a 5 de moins que Juliette.
Combien de billes Juliette a-t-elle ?)
Les problèmes du champ additif
Une progression
CM: tout est repris avec des nombres plus grands
et on ajoute…
• Recherche de la composée d’une transformation («
Léo a gagné 18 billes, puis il en a perdu 5. En a-t-il plus ou moins
qu’au départ? Et combien? »)
• Recherche d’une des composantes (« Léo a gagné 18
billes. Puis il en a perdu. Il a maintenant 2 billes de moins qu’au
départ. Combien a-t-il perdu de billes »)
Rendre les élèves experts pour la résolution
des problèmes du champ additif: un
exemple de mise en œuvre
Les problèmes du champ additif
Exemples de mise en œuvre
« Le nombre au cycle 2 » donne un exemple de
mise en œuvre pour:
• Recherche de l’état initial à partir d’une
transformation positive.
• Objectif: automatiser l’utilisation de la soustraction
pour la résolution d’un problème relevant d’une
telle structure.
Les problèmes du champ additif
Exemples de mise en œuvre
Voici la situation:
• Les élèves disposent d’enveloppes contenant un
nombre de jetons inconnu d’eux.
• Le maître leur fait ajouter des jetons. Les élèves
comptent alors tous les jetons dans leur enveloppe.
• Ils doivent trouver le nombre initial de jetons dans leur
enveloppe, sans contrainte de procédure, puis dans un
second temps, en utilisant une écriture soustractive.
• Par la suite, il leur est demandé de vérifier avec le
matériel.
Mise en œuvre proposée:
Les laproblèmes
du champ additif
1. Comprendre
situation
Exemples
de avec
miselesen
œuvre
• Donner
des enveloppes
jetons.
• Mimer l’action
• L’élève ne peut bâtir une représentation qu’à partir
de manipulations
• La représentation d’un problème sous forme
d’énoncé est encore une phase ultérieure.
Mise en œuvre proposée:
Les laproblèmes
du champ additif
1. Comprendre
situation
mise
œuvre
2. Dissocier laExemples
situation desde
autres
déjàen
rencontrées;
• On suppose que des affiches récapitulant les autres
situations ont été faites;
• On va faire voir que cette situation ne correspond à
aucune autre déjà rencontrée;
• On va parler aux élèves de
− Problème avec une action,
− Quantité avant l’action,
− Quantité après l’action,
• Puis regarder ce que l’on cherche.
Mise en œuvre proposée:
Les laproblèmes
du champ additif
1. Comprendre
situation
mise
œuvre
2. Dissocier laExemples
situation desde
autres
déjàen
rencontrées;
3. Elaborer une première procédure;
Les élèves élaborent des procédures personnelles:
• dessin
• Texte
• calcul
• Additions à trou
L’addition a trou permet de suivre la chronologie de
l’histoire. Elle est donc naturelle.
Exemple
? + 8 =12
Mise en œuvre proposée:
Les laproblèmes
du champ additif
1. Comprendre
situation
mise
œuvre
2. Dissocier laExemples
situation desde
autres
déjàen
rencontrées;
3. Elaborer une première procédure;
4. Identifier cette nouvelle procédure et construire
l’association soustraction/nouvelle procédure de
résolution;
• Affiche composée avec les élèves où figurent:
− Un schéma
− Un dessin
− Une opération à trou
− La soustraction
Chaque affiche sera spécifique à la classe: elle fera
référence aux procédures des élèves.
Mise en œuvre proposée:
Les laproblèmes
du champ additif
1. Comprendre
situation
mise
œuvre
2. Dissocier laExemples
situation desde
autres
déjàen
rencontrées;
3. Elaborer une première procédure;
4. Identifier cette nouvelle procédure etUn
construire
énoncé possible:
l’association soustraction/nouvelle procédure
de de
Combien y avait-il
cubes dans la boîte ?
résolution;
J’ai des cubes dans une
5. Réinvestissement;
boîte. J’en ajoute 35.
− Passage de la situation à l’énoncé; Maintenant, j’en ai 123.
− Automatiser l’utilisation de la soustraction pour résoudre
le problème;
−
−
Faire choisir la bonne affiche de référence est une bonne manière
de guider les élèves;
Faire créer des énoncés de ce même type de problème aux élèves.
Mise en œuvre proposée:
− ProblèmeLes
utilisé
au milieu d’autres
problèmes
relevant des
problèmes
du
champ
additif
1. Comprendre la situation
catégories utilisées précédemment.
Exemples
de
mise
en
œuvre
2. Dissocier
la
situation
des
autres
déjà
rencontrées;
La mariée a ajouté 24 fleurs à son bouquet. Le
bouquet
compteprocédure;
maintenant 182. Combien y
3. Elaborer
uneen
première
avait-ilcette
de fleurs
avant
?
4. Identifier
nouvelle
procédure
et construire
l’association soustraction/nouvelle procédure de
Enrésolution;
cas de non-réussites, d’autres critères d ’analyse:
− L’élève sait évoquer la situation concrète
5.
Réinvestissement;
− L’élève
reconnaît une situation d’action
−
Passage
la situation
l’énoncé;
− L’élève
saitde
identifier
l’étatàfinal
− L’élève
reconnaît
que l’onde
cherche
l’état initialpour résoudre
Automatiser
l’utilisation
la soustraction
− L’élève
utilise une addition à trou
le problème;
6. Evaluation.
Exemples d’affiches de référence
Exemples dans une classe de CE1
Champ additif
et
champ multiplicatif
Développer la capacité des élèves à
trouver une procédure personnelle:
les problèmes pour chercher
37
Fonctions et enjeux des
problèmes pour chercher
•
•
•
•
apprendre à chercher
Développer les compétences argumentatives
Développer l'autonomie et l’initiative
changer de rapport aux maths et dans la
représentation de soi comme élève en maths
• Apprendre à utiliser ses connaissances
mathématiques
• l'éducation à la citoyenneté
Quelle programmation ?
• Trois ou quatre problèmes dans l'année
Démarche
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Présentation du problème, phase d’appropriation
Temps de recherche individuelle
Temps de recherche de groupe
Mise en commun : débat et validation
Synthèse : procédure(s) efficace(s)
Nouveau problème présentant une situation voisine
Démarche
Démarche
Exemple au CE1
Situation au CE1
• Les élèves de la classe de CE1 ont participé à une
rencontre sportive athlétisme. Cette rencontre consistait en
une série d'ateliers où les élèves marquaient des points en
fonction de leur performance.
Couleur
Vortex
Anneaux
Vitesse
Endurance
Sauter loin
Sauter haut
Points
noir
bleu
rouge
rouge
noir
rouge
Equipiers
Jean
Mustapha
Sarah
Claire
Sous total
Scores
28
22
29
15
Vert : 3 points – Bleu : 4 points –
Rouge : 5 points – Noir : 6 points
• Trouve le score de cet élève et le score de son équipe à
l'issue de la rencontre.
Recherche individuelle
Recherche en binôme
Mise en commun
Exemple au CM2
Puis proposition d’une situation voisine…
Exemple au CP (CAP Maths)
« Arthur, Zoé et Gribouille, jouent
au jeu de la cible : ils ont marqué
exactement le même nombre de
points : 57 points. Mais ils ne se
souviennent plus comment.
Arthur se souvient simplement
qu'il a mis 5 palets sur la cible,
Zoé n'a mis que deux palets, et
Gribouille en a mis 4. Aucun palet
n'est tombé sur le 0. Essayez de
retrouver où sont tombés leurs
palets ».
Rôle de l’enseignant
• Aide à s’engager dans le problème, intervient en
cas de blocage, sans induire
• s’assure du bon déroulement du travail dans les
groupes
• Prévient que le rapporteur de chaque groupe
sera désigné en fin de recherche
• prend des informations sur les démarches
produites pour organiser le débat.
• Pendant le débat, il organise la confrontation des
solutions
Fonction des problème pour chercher
Expérience de Monteil (1993)
 La figure de Rey proposée à des élèves de 5ème
« bons » et « mauvais »

La tâche est
proposée
comme étant
une épreuve de
« dessin » pour
la moitié et
comme une
épreuve de
« géométrie »
pour l’autre
moitié
Mauvais élèves
Fonction des problème pour chercher
Expérience de Monteil (1993)
Dessin
Géométrie
Bibliographie J3
− Le nombre au cycle 2 – Ressource pour faire la classe – MEN
− Le nombre au cycle 3 – Ressource pour faire la classe – MEN
− TFM
Télé Formation Mathématique (http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/)
− Comprendre des énoncés, résoudre des problèmes
Alain Descaves – Hachette 1992
− 50 activités de recherche en mathématiques aux cycles 2 et 3
CRDP de Basse-Normandie - 2010