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1.1 SOLUÇÃO GERAL E SOLUÇÃO PARTICULAR
Uma solução y = f(x) de uma equação diferencial de ordem n contendo n constantes
arbitrárias é chamada uma solução geral. Por exemplo, a função y =
equação diferencial de primeira ordem
1  C.e x
é solução geral da
1  C.e x
dy 1 2
 ( y  1) . Geometricamente, a solução geral de uma
dx 2
equação diferencial de primeira ordem representa uma família de curvas, uma para cada valor da
constante arbitrária. Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições
iniciais.
Uma condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor
particular de y, y0, correspondente a um valor particular de x, x 0. Isto é, se y = f(x) pode ser uma
solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y0 = f(x0). O problema
de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor
inicial.
EXEMPLOS
1) Mostre que y = C.e-2x é uma solução para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a
solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3.
2) Mostre que x  c1 cos(4t )  c2sen(4t ) é uma família a dois parâmetros de soluções de
x '' 16 x  0
 
 
Ache uma solução do problema de valor inicial, x '' 16 x  0 , x    2 , x '    1 .
2
2
EXERCÍCIOS
1) Mostre que y  c.ex é uma família de soluções para a equação de primeira ordem y '  y .
Encontre uma solução particular em que y (0)  3 .
Encontre uma solução particular que passe pelo ponto (1, -2).
2) Mostre que x  c1 cos(t )  c2sen(t ) é uma família a dois parâmetros de soluções de
x '' x  0 .
3) Com base no exercício anterior, ache uma solução do problema de valor inicial, x '' x  0 ,
x  0   1, x '  0   8 .
4) Mostre que x  c1.et  c2 .et é uma família a dois parâmetros de soluções de x '' x  0 .
5) Com base no exercício anterior, ache uma solução particular da equação x '' x  0
segundo as condições dadas:
a.
x  0   1, x '  0   2 .
b. x 1  0 , x ' 1  e .
c.
x 0  0 , x ' 0  0 .