Etude des manipulateurs parallèles à câbles, conception d`une

Transcription

Etude des manipulateurs parallèles à câbles
Conception d’une Suspension ACtive pour SOufflerie
Pascal Lafourcade
9 décembre 2004
À Claude
2
Remerciements
Ce travail de Recherche à été financé par l’Onera, et effectué en son sein au
Département Commande des Systèmes et Dynamique du vol, à Toulouse. Je tiens
ici à remercier Claude Barrouil directeur du département pour les excellentes
conditions dans lesquelles j’ai pu réaliser cette thèse.
Cette thèse est une contribution au PRF SACSO, projet de Claude Reboulet.
Merci Claude de m’avoir fait confiance, et de m’avoir permis de participer à cette
belle aventure. Merci Jean-Pierre Merlet d’avoir accepté de prendre le train en
marche et d’avoir encadrer la fin de cette thèse.
Michel, ta disponibilité, ta gentillesse, le savoir que tu m’as transmis. . .Je te
fait part ici de ma profonde gratitude.
Je tiens a remercier MM Wisama Khalil (président du jury), Clément Gosselin
(rapporteur), François Pierrot (rapporteur), Marc Renaud (examinateur) et Alex
Renault (invité) de m’avoir accordé chacun une part de leur temps précieux et
pour l’honneur qu’ils m’ont fait en acceptant de figurer sur la couverture de cette
thèse.
Merci aux membres de l’équipe du projet SACSO pour tout le savoir qu’ils
m’ont apporté, à Lilianne pour sa bienveillance permanente à mon égard.
A tous ceux avec qui j’ai vécu, durant ces trois années de thèse, des moments
inoubliables au sein de l’Onera, au chalet de supaéro et ailleurs ; je tiens à dire
que je ne vous oublie pas, ces moments resterons gravés dans ma mémoire.
Marc, Olivier, je ne vous ai pas oublié,
Je vais de ce pas boire un coup à vot’ santé ! !
Cher lecteur, bonne lecture !
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Résumé
Cette thèse s’inscrit dans le cadre d’un projet de recherche sur un nouveau
moyen d’essais pour l’étude des aéronefs : la Suspension ACtive pour SOufflerie
(SACSO).
Après avoir présenté les modélisations cinématique, statique et dynamique
de ces manipulateurs, une caractérisation mathématique des différents espaces
de travail est proposée. Elle nous permet d’exposer nos outils graphiques rapides
de prévision de ces espaces. Sont ensuite abordés les problèmes liés à la nécessaire
redondance en câbles de ce type de manipulateur et ce que cela entraîne au
niveau de la commande.
Cette étude théorique sur les manipulateurs parallèles à câbles nous conduit
à énoncer quelques règles simples mais capitales de conception et à proposer
deux exemples d’architecture extrême de manipulateurs à 6 ddl : les architectures
minimale et maximale. Les règles édictées sont ensuite appliquées à la conception
de l’architecture géométrique du manipulateur à câble SACSO.
Mots-clés : manipulateurs parallèles, câbles, espace de travail, conception,
architecture.
5
6
Abstract
The context of this PhD Thesis is a research project on a new ground test
facility for airplane behaviour previsions : Active Suspension for Wind Tunnel
(Suspension ACtive pour SOufflerie SACSO).
First, static, kinematics and dynamic models of Wire-Driven Parallel
Kinematics Manipulators (PKM) are presented and a mathematic characterisation
of the different workspaces is proposed. It permits us to expose our rapid graphic
tools for workspaces prevision. Next, the problems of necessary wire redundancy
and its influence on the command are tackled.
This theoretical study leads us to state some simple but essential design rules
and to propose two extreme 6 dof architecture examples : the minimal one and
the maximal one. At the end, the proposed rules are applied to the design of the
Wire-Driven PKM SACSO.
Keywords : wire-driven, tendon-driven, parallel kinematics manipulator,
workspace, design.
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Table des matières
1
2
Résumé
5
Abstract
7
Liste des figures
13
Introduction générale
15
Notations
17
Les moyens d’essais en soufflerie
1.1 Equations de la dynamique du vol de l’avion . . . . . . . . . . . . .
1.2 Les moyens d’essais classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Essais maquettes fixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Expériences dynamiques en soufflerie . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Les souffleries verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Limitations des moyens d’essais en souffleries classiques . .
1.3 Un concept : l’essai « en vol » en soufflerie . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Les premières souffleries pour vol libre . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Système à câbles de simulation du vol libre dans la
soufflerie transonique de Langley . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Vol libre dans la soufflerie FTS de Langley . . . . . . . . . .
1.3.4 Le vol libre en laboratoire B10 et B20 . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5 Améliorations possibles des systèmes de vol libre en
soufflerie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Une Suspension ACtive pour SOufflerie . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Concept de suspension active . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Eléments de cahier des charges . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Choix d’un manipulateur à câbles à architecture parallèle
pour la suspension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Les manipulateurs parallèles à câbles
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Les manipulateurs parallèles à câbles . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Terminologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Une classification basée sur le degré de redondance
2.3 Quelques exemples d’applications . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Cas des IRPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
10
2.3.2
3
4
5
6
Cas des CRPM-RRPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modélisation
3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Modèle géométrique . . . . . . . . .
3.3 Complications dues aux poulies . . .
3.4 Modèle cinématique . . . . . . . . .
3.5 Modèle statique . . . . . . . . . . . .
3.6 Remarques sur les ddl possibles . . .
3.7 Décomposition en Force et Moment
3.8 Modèle dynamique . . . . . . . . . .
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Espaces de travail
4.1 Particularités des manipulateurs parallèles à câbles . . . . . . . . .
4.2 Définitions de la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Quelques définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Espace de travail théorique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2 Espace de travail pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3 Sous ensembles de ces espaces de travail . . . . . . . . . . .
4.3.4 Ensembles englobants ces espaces de travail . . . . . . . . .
4.3.5 Le problème des collisions câbles/câbles et câbles/plateforme mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4 Caractérisations mathématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1 Caractérisation par le rang et le noyau de la matrice P . . . .
4.4.2 Traduction géométrique des caractéristiques de P . . . . . .
4.5 Détermination géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Principe de la détermination géométrique . . . . . . . . . . .
4.5.2 Organe terminal ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3 Organe terminal non ponctuel . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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50
Conduite coordonnée des tensions
5.1 Nécessité d’un algorithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1 Particularités de la commande des manipulateurs parallèles à câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Principe de commande mixte effort/position des manipulateurs à câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Algorithmes de la littérature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Proposition d’algorithmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Principes directeurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Un algorithme sous optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.3 Un algorithme par saturation des contraintes . . . . . . . . .
5.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
61
Conception : règles et exemples
6.1 Règles de conception de l’architecture géométrique des manipulateurs parallèles à câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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71
73
TABLE DES MATIÈRES
6.2
L’architecture minimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1 L’architecture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2 Prévision du volume de travail de l’architecture minimale
à l’aide de la méthode graphique . . . . . . . . . . . . . . . .
Manipulateur à douze câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2 Prévision du volume de travail du manipulateur à douze
câble à l’aide de la méthode graphique . . . . . . . . . . . .
6.3.3 Limitations pratiques dues aux croisements entre câbles . .
Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
74
Premiers concepts - SACSO-7
7.1 Conception d’une architecture à 7 câbles . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Idées directrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.2 Plate-forme mobile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.3 Position des poulies sur le bâti . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.4 Les deux solutions architecturales . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.5 Intégration avec la maquette, écarts du réel par rapport à la
conception initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Espaces de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.1 Espace de travail théorique global en force . . . . . . . . . .
7.2.2 Quelques reflexions sur l’espace de travail en orientation de
SACSO-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Comment augmenter le volume d’évolution en translation
sans toucher aux capacités en rotation ? . . . . . . . . . . . .
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83
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Une évolution, SACSO-9
8.1 Architecture géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Intégration avec la maquette, écarts du réel par rapport à la
conception initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Espaces de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Espace de travail théorique global en force . . . . . . . . . .
8.2.2 L’espace de travail en orientation . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Collision des câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Le prototype . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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93
6.3
6.4
7
8
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98
Conclusion
101
Références bibliographiques
105
12
TABLE DES MATIÈRES
Liste des figures
Essais dynamique avec oscillations de lacet, [Scherer, 1953] . . . . .
Soufflerie Verticale SV4 de l’IMFL, Onera . . . . . . . . . . . . . . .
Système de simulation de vol libre à câble dans la soufflerie
Transonique de la Nasa à Langley, NASA Technical Note . . . . . . .
Vol libre filo-guidé dans la soufflerie FTS du Naca de Langley . . .
Le laboratoire de vol libre B20, Onera . . . . . . . . . . . . . . . . .
Banc de test à 1 ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
22
Exemple de robot série, le RV80 d’Acma-Cribier . . . . . . . . . . .
Exemple de robot parallèle : Le robot parallèle à 6 ddl Hexa,
dévellopé au LIRMM [Pierrot et al., 1991] . . . . . . . . . . . . . . .
Interface haptique à architecture série à câble développé au CEA :
Virtuose 3D [Gosselin et Riwan, 2001] . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemple de robot à câbles à architecture parallèle, le prototype du
projet SEGESTA, Gerhad Mercator University, Duisburg . . . . . .
29
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
Données géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Système de renvoi annulaire du prototype du projet Segesta .
Organe terminal de SACSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détail du système de renvoi à poulies du prototype de SACSO
Schéma cinématique du renvoi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1
4.2
Manipulateur ponctuel plan, 2 ddl, 4 câbles . . . . . . . . . . . . . .
Dessin de l’enveloppe convexe EN V CON V (POLPl ) pour un manipulateur plan à 3ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détermination de l’espace de travail théorique global en force pour
un manipulateur plan à 3 ddl, pour une orientation donnée . . . . .
Détermination de l’espace de travail théorique global en force pour
une autre orientation du même manipulateur . . . . . . . . . . . .
Position de l’organe terminal dans l’espace de travail théorique
global en force, mais hors de l’espace de travail théorique . . . . .
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1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
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2.1
2.2
2.3
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4.3
4.4
4.5
5.1
5.2
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5.5
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Principe de commande en position passant par la commande de la
tension des câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principe de commande hybride force/position d’un manipulateur
à câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Détermination de Tsol pour n = 2 et m = 3 . . . . . . . . . . . . . .
Tsol est dans l’hyper-parallélépipède [Tmin , Tmax ] . . . . . . . . . .
Tsat
sol solution de T minimisant ||Topt − T||, avec T2 saturée à T2max .
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57
58
59
62
63
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66
69
LISTE DES FIGURES
14
6.1
6.2
6.3
7 câbles, 2 solides, 3 points par solides . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’architecture minimale pour 6 ddl . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espace de travail en translation pour une orientation « nulle » du
manipulateur à architecture minimale . . . . . . . . . . . . . . . . .
Solution diamant. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Assemblage orthogonal de 3 sous ensembles « diamants ». . . . . .
Le manipulateur à 12 câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prévision de l’espace de travail théorique global en force, à
orientation nulle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Limitation en translation sur Z due au croisement des câbles . . . .
Limitation en rotation autour de Z due au croisement des câbles . .
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75
La seule solution, pour 6 ddl et 7 câbles en 3 points d’accroche . . .
L’architecture carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’architecture « diamant » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’architecture « balançoire » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Les 2 architectures retenues pour SACSO-7 . . . . . . . . . . . . . .
Le « T » intégrable dans la maquette . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L’architectures SACSO-7 intégrée dans la maquette . . . . . . . . .
Espace de travail théorique global en force à orientation « nulle »
de SACSO-7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.9 Volume 3D dans lequel le manipulateur peut se translater . . . . .
7.10 Positions singulières, « T » au centre . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.11 Etude graphique des limitations en tangage, le « T » n’étant pas au
centre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.12 Comparaison des surfaces des cercles inscrites dans un triangle
équilatéral ou un carré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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86
86
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88
88
8.1
8.2
8.3
8.4
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6.6
6.7
6.8
6.9
7.1
7.2
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7.7
7.8
8.6
8.7
8.8
8.9
Le « T » avec les neuf câbles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 solutions pour l’architecture à 9 câbles . . . . . . . . . . . . . . . .
Le « T » intégrable dans la maquette pour SACSO-9 . . . . . . . . .
L’architecture SACSO-9 retenue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Maquette virtuelle en OpenGL du prototype implanté dans la
soufflerie verticale de IMFL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Espace de travail théorique global en force à orientation « nulle »
de SACSO-9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volume d’évolution de SACSO-9 en translation . . . . . . . . . . . .
Vue d’ensemble du prototype installé au DCSD, Onera centre de
Toulouse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Prototype en test au DCSD, Onera centre de Toulouse . . . . . . . .
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99
Introduction générale
L’Onera1 a pour mission de conduire et de valoriser la recherche aérospatiale.
La prévision du comportement des futurs aéronefs est au coeur de ses
compétences, et la définition de nouveaux essais et expérimentations est partie
intégrante de sa mission.
Toujours plus loin, c’est avec ce leitmotiv que Claude Reboulet, dont le
domaine de recherche était la robotique et plus précisément les manipulateurs à
architecture parallèle, eut l’idée de révolutionner les moyens d’essais en soufflerie
en appliquant ses recherches à la conception de nouveaux moyens d’essais en
soufflerie, avec une ambition : faire voler « librement » les maquettes d’avions
en soufflerie. Une suspension robotisée pour tenir une maquette sans la tenir
vraiment : juste compenser les inévitables défauts de similitude et assurer la
sécurité du vol.
Il fallut attendre les progrès de la robotique de ces dix dernières années –
notamment au niveau de la commande en effort – pour qu’un tel projet soit
réalisable, et que le PRF2 SACSO (Suspension ACtive pour SOufflerie) soit lancé
à l’Onera en 2000.
C’est dans le cadre de cet ambitieux projet que s’inscrit ce travail de thèse.
Ma contribution à l’étude des manipulateurs parallèles à câbles devant permettre
l’élaboration de quelques règles simples de conception et aider à la définition
de l’architecture du prototype SACSO. Cette contribution porte sur l’étude de
l’espace de travail des manipulateurs parallèles à câbles, et notamment sur des
outils de prévision rapide de ce dernier. Elle porte également sur les problèmes
liées à la nécessaire redondance en câbles de ce type de manipulateur et ce que
cela entraîne au niveau de la commande.
Ce document est organisé en trois grandes parties distinctes, même s’il
n’existe pas de séparation physique entres elles.
La première partie qui comporte les chapitres 1 et 2 permet de poser le cadre
de l’étude. Le premier chapitre situe le projet SACSO parmi les moyens d’essais
au sol pour la prévision du comportement des aéronefs, présente des éléments du
cahier des charges de la suspension et conclut sur le choix du type d’architecture
retenue pour le manipulateur. Le deuxième chapitre situe les manipulateurs
parallèles à câbles dans le champ de la robotique, le terme de manipulateur
1
2
Office nationale d’études et recherches aérospatiales
Projet de Recherche Fédérateur
15
16
INTRODUCTION GÉNÉRALE
parallèle à câbles y est précisément défini et la classification de ces manipulateurs
y est rappelée.
La deuxième partie est consacrée à l’étude théorique des manipulateurs
parallèles à câbles. Cela commence par la modélisation, chapitre 3, puis se
poursuit chapitre 4 par l’étude de l’espace de travail de ces manipulateurs –
notamment quelques propositions de définitions et formalisations mathématiques de différents types d’espaces de travail étudiables –, puis se termine
chapitre 5 par l’étude de la gestion coordonnée de la tension dans les câbles –
problème spécifique à ce type de manipulateur forcément redondant.
En transition entre cette deuxième partie et la suivante, nous trouvons
le chapitre 6 dans lequel sont données quelques règles de conception, ainsi
que deux exemples d’architectures de manipulateurs à câbles intéressantes
car particulières, extrêmes : une architecture « minimale » à 7 câbles et une
architecture « maximale » à 12 câbles.
Enfin, la dernière partie relate la génèse de l’architecture retenue pour le
manipulateur à câbles SACSO. Cette conception s’est faite en deux temps, nous
retrouvons donc deux chapitres. Une architecture à 7 câbles a d’abord était
imaginée et étudiée (chapitre 7) ; étude qui a débouché sur la nécessité d’ajouter
2 câbles à ce manipulateur, pour donner une architecture à 9 câbles : SACSO-9
(chapitre 8).
Notations
Généralités
→ →
−
Les vecteurs de IR3 ayant un sens physique, seront notés V , −
v . Les vecteurs
n
de IR , n > 3 seront notés, comme les matrices, par une lettre majuscule en gras :
V, M.
Nous rappelons que la notation « ˙ » est utilisée pour la dérivée, ainsi :
l̇ =
dl
l˙ =
dt
dl
dt
Nous noterons In×n la matrice identité de dimension n × n.
Enfin, nous utiliserons la notation anglo-saxonne « × » pour le produit
vectoriel.
Extensions de notations classiques
Par souci de commodité, les signes d’ordonnancement de IR sont étendus à
IR .






U1
V1
W1






Ainsi, soit trois vecteurs de IRn : U =  ... , V =  ...  et W =  ... .
n
Un
Vn
Nous étendons les signes >, < et ∈ à la comparaison de vecteurs :
Wn
U > W ⇐⇒ ∀i ∈ {1 · · · n}, Ui > Wi
U < V ⇐⇒ ∀i ∈ {1 · · · n}, Ui < Vi
U ∈ [V, W] ⇐⇒ ∀i ∈ {1 · · · n}, Ui ∈ [Vi , Wi ]
Ce qui
nous amène à utiliser la notation [V, W] pour l’hyper-parallélépipède
n Qn
de IR : i=1 [Vi , Wi ].
Notations utilisées
De manière générale, les notations sont introduites avec les éléments qu’elles
représentent, au fur et à mesure de leur apparitions. Néanmoins, certains objets
mathématiques réapparaissent en plusieurs chapitres et ne sont pas redéfinis à
17
NOTATIONS
18
chaque fois. Pour aider le lecteur, ces notations couramment utilisées dans cette
thèse sont rappelées ci-dessous.
Ainsi, dès qu’il est question de manipulateur à câbles, n désigne le nombre de
degrés de libertés (ddl) global, nF le nombre de ddl en en position (ou force) et
nM le nombre de ddl en rotation (ou moment) ; m le nombre de câbles.
Et nous utiliserons
les notations suivantes :
XS
– X =
∈ IRn le vecteur des coordonnées généralisées de l’organe
Xang
terminal, avec XS les coordonnées cartésiennes du centre de l’organe
terminal et Xang le vecteur donnant l’orientation de l’organe terminal par
rapport au repère
fixe lié au bâti ;
−−−→ !
F
6
– F = −−c→OT
−−→ le vecteur de IR représentant le torseur d’action des câbles
Mc→OT
sur l’organe

terminal (encore appelé plate-forme mobile) ;
T1
 .. 
– T =  .  le vecteur tensions dans les câbles ;
Tn
– P la matrice définie section 3.4 telle que F = −P.T ;
−−−→
– PF la matrice définie section 3.7 telle que Fc→OT = −PF · T ;
→
−
– li− les vecteurs câbles partant des points d’attache sur l’organe terminal vers
les renvois sur le bâti ;
→
– −
ri les vecteurs du centre de l’organe terminal vers les points d’attache des
câbles ;
– WT h l’espace de travail théorique (cf. déf. 4.2) ;
– WTFh l’espace de travail théorique global en force (cf. déf. 4.9) ;
F,X0
ang
– WT h
F,Xnull
l’espace de travail théorique global en force pour Xang = X0ang ;
– WT h ang l’espace de travail théorique global en force pour Xang = Xnull
ang
l’orientation nulle de l’organe terminal ;
– POLPlF le polyèdre formé par
les points
−
dont les coordonnées sont les
→
→
−
−
colonnes de la matrice PlF = l1− · · · lm
.
Chapitre 1
Les moyens d’essais en soufflerie
La prévision du comportement d’un aéronef est l’une des
principales missions de l’Onera. Elle nécessite l’utilisation d’un
modèle de comportement, et la détermination des paramètres de ce
modèle. De la qualité du modèle dépend la qualité de la prévision
du comportement. Les essais, qu’ils soient fait à l’aide de moyens
d’expérimentation au sol (comme les souffleries) ou en vol, ont pour
objets la mesure de ces paramètres, et l’affinage de ces modèles. Ce
chapitre propose un rapide tour d’horizon des techniques d’essais
actuelles en installations au sol et introduit le concept de vol libre
en soufflerie, application industrielle de ce travail de thèse.
1.1
Equations de la dynamique du vol de l’avion
La prédiction du comportement des aéronefs passe par la connaissance de
modèles analytiques dont la complexité varie avec les hypothèses définissant leur
domaine de validité, les phases de vol étudiées et la précision désirée.
De façon générale, comme pour tout solide (rigide), les équations de la
dynamique de l’avion s’écrivent [Boiffier, 2000] :
→!
−
→
−
→
−
dV
→
= F aero + F propu + m−
g
m
dt
Ro
IG
→!
−
dΩ
dt
−
→
−
→
= M aero, G + M propu, G
Ro
−→ −
→
−→
→
−
De façon classique, les expressions F aero = − ρ2 V 2 S CF et M aero,G = − ρ2 V 2 S CM
sont utilisés pour les forces aérodynamiques. Elles sont généralement utilisées
projetées dans le repère lié à la vitesse de l’avion. Les forces aérodynamiques
→
−
−
→
−→
−→
F aero et M aero,G , et les coefficients aérodynamiques CF et CM se décomposent
alors comme suit :








Rx
Mx
Cx
Cl
→
−
−
→
−→
−→
F aero =  Ry , M aero,G =  My , CF =  Cy , CM =  Cm .
Rz
Mz
Cz
Cn
19
CHAPITRE 1. LES MOYENS D’ESSAIS EN SOUFFLERIE
20
Ce qui donne :
Rx = − ρ2 Cx V 2 S, Ry = − ρ2 Cy V 2 S, Rz = − ρ2 Cz V 2 S,
et
Mx = − ρ2 Cl V 2 Sl, My = − ρ2 Cm V 2 Sl, Mz = − ρ2 Cn V 2 Sl.
Toute la finesse des modèles se retrouve dans les coefficients Cx , Cy , Cz , Cl ,
Cm et Cn , déterminés de façon expérimentale en soufflerie, ou à l’aide de code de
calcul1 .
Ces coefficients dépendent, de façon non linéaire, d’un grand nombre de
paramètres. Ainsi, suivant la finesse du modèle que l’on désire obtenir, on peut,
par exemple, linéariser les équations régissant l’évolution de ces coefficients en
fonction de leurs paramètres et négliger l’influence d’une partie d’entre eux. Dans
ce cas on parlera de modèle linéarisé (du comportement de l’avion).
1.2
Les moyens d’essais classiques
Le principe de la soufflerie fut énoncé par Leonardo da Vinci à la fin du
XV (1490). Il est énoncé comme suit dans « le Rebuffet » [Rebuffet, 1962] :
e
A condition que les phénomènes aux limites soient les mêmes, il
n’existe aucune raison pour que les efforts exercés sur un corps par un
courant d’air bien régulier soient différents de ceux que subit ce corps
en mouvement dans l’air immobile.
Il fallut cependant attendre juin 1870 pour que soit conçue la première soufflerie.
Elle est due à l’Anglais Francis Wenham [Anderson, 1997].
Depuis, c’est le moyen d’expérimentation privilégié des aérodynamiciens.
Les souffleries sont systématiquement utilisées lors de la conception de
nouveaux aéronefs. Y sont étudiées des parties précises des avions, mais aussi,
systématiquement, le modèle de l’avion entier. Il existe un certain nombre de
types de souffleries différentes, répondant chacune à des besoins spécifiques.
Pour une revue de détails se rapporter aux ouvrages Aérodynamique expérimentale
[Rebuffet, 1962] et History of Aerodynamics [Anderson, 1997].
Le but des paragraphes suivants est de montrer la progression, depuis l’essai
statique, maquette fixe, jusqu’au vol libre en soufflerie, dans le but d’accroître la
connaissance des paramètres des modèles des aéronefs2 .
1.2.1
Essais maquettes fixes
C’est le type d’essai le plus ancien et le plus courant. Une campagne d’essais
consiste à venir mesurer les efforts aérodynamiques sur une maquette maintenue
immobile au centre de la veine de la soufflerie, pour une série de valeurs
1
Il convient de noter que les codes de calcul reflètent les connaissances acquises, et ne
permettent pas d’accroître ces connaissances.
2
en laissant donc de coté les essais spécifiques sur les missiles pour s’intéresser aux essais sur
l’avion « entier »
1.2. LES MOYENS D’ESSAIS CLASSIQUES
21
d’incidence, de lacet ou de roulis. Ce type de campagne permet de remonter aux
coefficients du modèle linéarisé.
La connaissance du modèle linéarisé est suffisante pour l’estimation des
performances de base de l’avion ; pour dimensionner sa motorisation, sa
consommation en phase de vol de croisière, son rayon d’action et autres.
Cependant, elle n’est pas suffisante pour prédire de façon satisfaisante les
performances des aéronefs modernes sur l’ensemble du domaine de vol. Les
campagnes d’essais maquettes fixes, tout en restant nécessaire, se trouvèrent
insuffisantes pour la conception des nouveaux avions.
Il fallut donc mettre en œuvre de nouveaux types d’essais en soufflerie.
1.2.2
Expériences dynamiques en soufflerie
Leur but est de permettre l’identification des coefficients de certaines dérivées
aérodynamiques dans le modèle de dynamique du vol, et ainsi prédire le
comportement des aéronefs lors des phases de changement d’attitude avec p, q
et r les vitesses de lacet, tangage et roulis non nulles.
Pour cela, la maquette n’est plus fixe. Suivant les dérivées aérodynamiques à
identifier, l’appareillage impose des oscillations forcées selon certains axes (par
exemple le lacet figure 1.1), laisse libre le mouvement selon d’autres axes, et
bloque les mouvements sur les axes restants [Scherer, 1953] [Orlik-Ruckemann,
1981].
F IG . 1.1 – Essais dynamique avec oscillations de lacet, [Scherer, 1953]
Les mouvements de la maquette étant imposés, certaines phases de vol ne
peuvent pas être étudiées, et les phénomènes de couplage entre les axes de l’avion
sont difficiles à mettre en évidence.
22
1.2.3
Les souffleries verticales
Les souffleries verticales, comme celle de l’IMFL3 (figure 1.2), furent
construites pour l’étude de la vrille. Une maquette libre est lancée par un
opérateur dans la veine, où elle se met en vrille (figure 1.2(b)). Les données
récupérées sont essentiellement visuelles, et donc d’ordre qualitatif.
(b) Etude de la vrille
(a) plan
F IG . 1.2 – Soufflerie Verticale SV4 de l’IMFL, Onera
1.2.4
Limitations des moyens d’essais en souffleries classiques
Les essais en soufflerie précédemment cités permettent de remonter aux
coefficients de certaines dérivées aérodynamiques, pour certains mouvements
spécifiques, pour certaines phase de vol. Ils permettent également une
information d’ordre qualitatif sur d’autres phases de vol de l’avion (comme
la vrille). Cependant, ils ne permettent pas d’identifier tous les coefficients de
toutes les dérivées aérodynamiques, ils ne permettent pas de mesure sur les
phénomènes de couplages entre les différents axes, et certaines phases de vol
ne sont pas expérimentables (comme le passage au travers d’une rafale).
3
IMFL : Institut de mécanique des fluides de Lille
1.3. UN CONCEPT : L’ESSAI « EN VOL » EN SOUFFLERIE
1.3
23
Un concept : l’essai « en vol » en soufflerie
A l’heure actuelle, une longue phase d’essais en vol est nécessaire avant la
validation de tout nouvel appareil. Cette phase coûteuse et périlleuse permet,
entre autre, de valider le modèle numérique de l’aéronef, ainsi que son
comportement réel aux limites de son domaine de vol.
Le but de meilleurs essais en soufflerie est de réduire cette phase d’essais en
vol, en augmentant le nombre de phases de vol expérimentées en installations au
sol et en réduisant le nombre de paramètres incertains à recaler.
L’idée de reproduire l’essai en vol dans une soufflerie est assez ancienne
(1937). Les avantages immédiats sont la diminution des coûts et la sécurité. Cela a
permis, à une époque où les connaissances en aérodynamique n’étaient pas celles
d’aujourd’hui, de tester de nouveaux types d’avion sur lesquels il n’y avait alors
aucune connaissance (avion sans queue, ailes delta, ailes dissymétriques).
1.3.1
Les premières souffleries pour vol libre
Elles furent construites à Langley en 1937 et 1939 [Shortal et Osterhount,
1941]. Leur principe était assez simple. La maquette, filo-guidée et équipée de ses
gouvernes, n’était pas motorisée, elle planait, sous l’effet de la pesanteur, dans la
veine dont l’inclinaison était pilotée par un opérateur. L’énergie était fournie à la
maquette par un câble de service.
La maquette n’étant pas instrumentée, les résultats étaient essentiellement
qualitatifs. Les données disponibles étant l’avis du pilote, et les séquences filmées
des essais.
Ce système fut utilisé jusqu’au début des années 50. Ensuite, on lui préféra des
expérimentations sur maquettes tailles réelles dans la soufflerie FTS4 du Naca 5
de Langley.
Le vol libre refit son apparition, toujours à Langley, avec un premier système
à câbles vers la fin des années 70 [Bennett et al., 1978], puis un système filo-guidé,
avec maquette propulsée par un jet d’air comprimé.
1.3.2
Système à câbles de simulation du vol libre dans la
soufflerie transonique de Langley
Ce système (figure 1.3), utilisé au départ pour faire des essais à oscillations
forcées sur un axe, avec mouvement libre sur les cinq autres, fut aussi utilisé
pour des simulations de vol libre ; notamment pour étudier la réponse à des
perturbations du flux d’air [Orlik-Ruckemann, 1981].
4
5
Full-Scale Tunnel
National Advisory Committee for Aeronautics
24
F IG . 1.3 – Système de simulation de vol libre à câble dans la soufflerie
Transonique de la Nasa à Langley, NASA Technical Note
1.3.3
Vol libre dans la soufflerie FTS de Langley
La FTS de Langley (figures 1.4) fut construite pour tester des maquettes tailles
réelles, fixes. Elle fut également utilisée pour faire du vol libre en soufflerie (sur
modèles réduits).
La maquette instrumentée est pilotée via un câble par plusieurs opérateurs.
La propulsion de la maquette (la simulation des réacteurs) est assurée par un jet
d’air comprimé [Croom et al., 1993]. Le câble a pour fonctions :
– de garantir la sécurité de la maquette,
– d’alimenter la maquette en air comprimé pour la propulsion,
– de transmettre les ordres aux servo-gouvernes,
– et de recueillir les informations des capteurs embarqués.
Le gros progrès par rapport aux essais de vol libre de génération précédente
est que la maquette est instrumentée. Il est donc possible de récupérer quelques
mesures quantitatives, même si les résultats restent quand même essentiellement
qualitatifs. De plus, du fait de la place limité et de la complexité de la conduite de
l’essai, seules les perturbations autour du vol équilibré à 1g sont réalisables, mais
cela permet d’identifier les instabilités pouvant affecter la sécurité et la qualité de
vol des aéronefs.
1.3.4
Le vol libre en laboratoire B10 et B20
Ce type d’essais, une exclusivité de l’IMFL, permet l’étude du vol aux basses
vitesses et la réponse à une perturbation de type rafale. Cela permet également
le développement de méthodes de mesure en aérodynamique, mais aussi de
méthodes d’identification ou d’exploitation d’essais en vol. Ils sont réalisés dans
les laboratoires B10 et B20 de l’IMFL (cf.figure 1.5).
1.3. UN CONCEPT : L’ESSAI « EN VOL » EN SOUFFLERIE
25
(a) photo d’un essais de vol libre
filo-guidé, image Nasa
(b)
schéma de principe du vol libre filo-guidé
à Langley, NASA Technical Note
F IG . 1.4 – Vol libre filo-guidé dans la soufflerie FTS du Naca de Langley
(a) catapultage d’une maquette
(b) schéma de principe
F IG . 1.5 – Le laboratoire de vol libre B20, Onera
La méthode expérimentale consiste à catapulter la maquette pour une phase
de vol libre, dans des conditions de vitesse et d’attitude (pente, incidence,
dérapage...) pré-définies. Pendant la phase de vol, diverses sollicitations et
perturbations peuvent être appliquées à la maquette. En fin de vol, celle-ci est
récupérée, dans un bac préservant son intégrité.
26
1.3.5
Améliorations possibles des systèmes de vol libre en
soufflerie
Les techniques de la robotique moderne peuvent apporter beaucoup à la
simulation du vol libre en soufflerie [Reboulet, 1999]. Une suspension active pour
soufflerie, commandée en effort, permettrait de
– simuler la propulsion,
– corriger les défauts de masse et d’inertie,
– simuler des variations de masse (largage de réservoir),
– sécuriser la maquette, et donc de tester
– des phases de vol limites (grandes incidences),
– de nouvelles gouvernes,
– de nouveaux concepts d’aéronefs ;
– mesurer les déplacements et accélérations pour
– remonter aux coefficients des dérivées aérodynamiques
– mettre en évidence les phénomènes de couplage (tel que le wing rock6 ).
L’étude, la conception et la mise en œuvre d’une telle suspension est l’objet
du projet SACSO, cadre de cette thèse.
1.4
1.4.1
Une Suspension ACtive pour SOufflerie
Concept de suspension active
L’idée est de tenir la maquette, sans la tenir. La suspension accompagne la
maquette dans son mouvement sans le lui imposer. Commandée en effort, elle
fournit à la maquette une force simulant l’effet de la propulsion ; lui insuffle
éventuellement de la masse et de l’inertie fictive pour le respect des similitudes ou
la simulation des changements inertiels (largage de réservoir, transvasement de
carburant, etc). Suivre la maquette dans ses déplacements permet de les mesurer,
ainsi que les vitesses et accélérations.
La suspension est aussi un système de sécurité, bornant les déplacements,
ce qui permet d’étudier des phases de vol délicates, ou de nouveaux concepts
d’aéronefs dont le comportement n’est pas prévisible [Reboulet, 2001].
1.4.2
Eléments de cahier des charges
La suspension doit suivre la maquette durant son vol : elle doit être à 6
degrés de liberté, son espace de travail doit inclure l’espace d’évolution de la
maquette, et, pour être transparente vis à vis de cette dernière, elle doit avoir
des capacités dynamiques supérieures.7 A titre d’exemple, pour le vol libre d’une
maquette d’avion d’arme à l’échelle 1/15e , cela fait des accélérations linéaires
pouvant atteindre 26 m/s2 et des accélérations angulaires maximales de l’ordre
de 50 rd/s2 ; les maxima de vitesse sont d’environ 3, 61 m/s en linéaire, et 422 rd/s
en angulaire [Deschamps, 2000].
6
7
Phénomène d’oscillation latérale auto excitées
Accélérations et vitesses, on parlera de bande passante de la suspension.
1.4. UNE SUSPENSION ACTIVE POUR SOUFFLERIE
27
Cela va sans dire mais cela va mieux en le disant : la suspension ne doit pas
perturber l’écoulement de l’air sur l’aéronef, la précision des efforts mesurés et
appliqués à la maquette ont une influence directe sur la précision des coefficients
extrapolés de l’essai.
1.4.3
Choix d’un manipulateur à câbles à architecture parallèle
pour la suspension
La discrétion aérodynamique
La nécessité d’une bonne discrétion aérodynamique est une contrainte forte.
Elle impose deux types de solutions :
– Une solution proche de ce qui se fait pour les essais statiques, un
dard sortant du culot de l’avion, éloignant en aval de la maquette les
perturbations aérodynamiques du manipulateur ;
– Une solution avec des câbles.
Des essais en soufflerie ont permis de valider une solution à base de câbles
[Verbeke, 2001].
La commande en masse fictive
La commande en force (par opposition à la commande en position) est
un apport important de la recherche en robotique. Ce type de commande est
maintenant bien maîtrisée pour les applications où l’organe effecteur du robot
vient en contact d’obstacles de masse importante ou pouvant être considérée
comme infinie, par exemple dans le cas d’un obstacle fixe (comme un tableau
sur lequel on vient écrire, une table ou l’on pose un objet, etc).
Le cas de la suspension est plus difficile. On désire commander la force
appliquée par la suspension sur un objet mobile, qui va, du fait de l’action de
de la suspension
, qui
cette force, accélérer dans le sens de celle ci. Le rapport Inertie
Inertie objet mobile
doit être petit, est déterminant pour les performances de la commande [Llibre,
2000].
Un démonstrateur a été construit pour permettre à tout un chacun de
faire l’expérience de la commande en masse fictive (figure 1.6). La masse n’est
suspendue que selon un seul degré de liberté, mais cela a permis de valider le
concept, tout en permettant l’identification des points durs [Lambert et Carton,
2001a][Lambert et Carton, 2001b].
28
F IG . 1.6 – Banc de test à 1 ddl
Chapitre 2
C’est une architecture parallèle à câble qui a été choisie pour la
suspension active pour soufflerie SACSO. Ce chapitre situe ce type
d’architecture dans le champ des robots manipulateurs, présente
une classification de ces manipulateurs ainsi qu’un tour d’horizon
des recherches menées dans ce domaine.
2.1
Introduction
Le monde des robots manipulateurs se scinde en deux classes principales :
– les manipulateurs à architecture série
– les manipulateurs à architecture parallèle.
L’architecture série, plus ancienne, est la plus répandue. Les différentes parties
en mouvement se succèdent les unes après les autres, en « série », reliées entre
elles par une liaison cinématique1 (figure 2.1). Chaque bras porte la motorisation
du bras suivant.
F IG . 2.1 – Exemple de robot série, le RV80 d’Acma-Cribier
1
glissière, pivot, pivot-glissant, hélicoïdale, rotule. . .
29
CHAPITRE 2. LES MANIPULATEURS PARALLÈLES À CÂBLES
30
Ce type d’architecture présente un certain nombre d’inconvénients :
– Les masses en mouvement sont élevées (du fait de la présence des moteurs)
– La liaison entre la base et le premier bras supporte tout le robot, entraîne
toute sa masse en mouvement ; elle supporte l’ensemble des efforts
– L’erreur de positionnement de l’organe terminal est la somme des erreurs
de positionnement de chaque bras intermédiaire
Cela implique des limites structurelles d’accélération, de rigidité, de précision. . .
Deux réponses furent apportées pour pallier ces défauts et créer des robots
plus rapides, plus rigides, plus précis. . .
La première réponse fut de changer de concept architectural. L’organe
terminal n’est plus relié à la base par une seule chaîne cinématique ouverte et
complexe, mais par un ensemble de chaînes cinématiques relativement simples,
avec peu de liaisons, placées en parallèle (figure 2.2). Un des premiers robots de
ce genre fut développé par Gough entre 1947 et 1955 pour un banc de test de
pneumatiques [Gough, 1957 ; Gough et Whitehall, 1962]2 et repris ensuite par
Stewart [Stewart, 1965].
F IG . 2.2 – Exemple de robot parallèle : Le robot parallèle à 6 ddl Hexa, dévellopé
au LIRMM [Pierrot et al., 1991]
Le principal défaut de ce type d’architecture parallèle est la taille relativement
réduite de l’espace de travail. Il est au plus égale à l’intersections des volumes
d’évolution de chaque chaîne cinématique mises en parallèles.
Le lecteur se référera à [Merlet, 2002b] et [Merlet, 1997] pour une présentation
plus complète de ce type de manipulateur.
2
Les problèmes théoriques posés par ce type d’architecture furent abordés dès 1645 par
Christopher Wren, puis par Cauchy[Cauchy, 1813] en 1813 , Bricard en 1897 [Bricard, 1897] et
1926 [Bricard, 1926] (quadrilatères déformables) et au XXe par Lebesgue [Lebesgue, 1967].
2.2. LES MANIPULATEURS PARALLÈLES À CÂBLES
31
La deuxième réponse fût une réflexion sur la transmission et la motorisation.
Le problème de masse en mouvement vient essentiellement du fait que chaque
bras porte le (lourd) moteur du bras suivant. Il faut donc rassembler les moteurs
sur la base fixe. Comment transmettre alors le mouvement (ou dualement l’effort)
d’un bras à l’autre jusqu’à l’organe terminal ? Du fait des mouvements relatifs
entre les bras, le problème n’est pas simple. Une possibilité est l’utilisation d’un
système de câbles et de poulies [Okada, 1977 ; Morecki et al., 1980]. La figure 2.3
présente un exemple récent de ce type d’architecture, utilisée ici comme interface
haptique.
F IG . 2.3 – Interface haptique à architecture série à câble développé au CEA :
Virtuose 3D [Gosselin et Riwan, 2001]
De la même manière, pour pallier les défauts des robots à architecture
parallèle (petit espace travail) est apparue début 90 l’idée de remplacer les
« jambes » des plates-formes de type plate-forme de Gough-Stewart par des
câbles, d’abord avec un bras central entre la base et l’organe terminal pour
maintenir les câbles en tensions [Landsberger et Sheridan, 1993], puis seuls
[Kawamura et Ito, 1993]. La figure 2.4 présente un exemple de ce type de
manipulateur, développé à la Gerhad Mercator University de Duisburg.
C’est sur l’étude de ce type de manipulateur que porte cette thèse.
2.2
2.2.1
Terminologie
Le terme de manipulateur à câbles est actuellement employé indifféremment
pour les manipulateurs qui utilisent des câbles pour la transmission du
mouvement (dualement des efforts), de la base fixe vers l’organe terminal, que
32
F IG . 2.4 – Exemple de robot à câbles à architecture parallèle, le prototype du
projet SEGESTA, Gerhad Mercator University, Duisburg
l’architecture soit série ou parallèle, qu’il y ait, ou non, une ou plusieurs chaînes
cinématiques rigides entre l’organe terminal et la base fixe ; la motorisation se
situant exclusivement sur la base fixe. L’utilisation d’architectures parallèles à
câble est trop récente et confidentielle dans le monde francophone pour qu’un
terme spécifique ait émergé.
Le monde anglophone est beaucoup plus prolixe en terminologie spécifique
à ce type de manipulateur. Ainsi, MM Ming et Higuchi, parlent de « positioning
mechanism using wires », [Ming et Higuchi, 1994a ; Ming et Higuchi, 1994b] ; MM
Takeda et Funabashi parlent de « in-Parallel Wire-Driven Mechanism (PWDM) »,
[Takeda et Funabashi, 1999] ; Verhoeven et al. parlent de « tendon-based Stewart
platform » ou de « tendon-driven Stewart platform » [Verhoeven et al., 1998b ;
Verhoeven et Hiller, 2000] ; enfin, MM Williams et Gallina ont opté pour le terme
« cable-direct-driven robot (CDDR) », [Williams II et Gallina, 2001 ; Gallina et al.,
2001].
Dans cette thèse nous parlerons de « manipulateurs parallèles à câbles ». Par
ce terme nous désignerons le même type de manipulateurs étudiés par MM Ming,
Higuchi, Verhoeven, Kawamura et al., à savoir les manipulateurs où il n’existe pas
de pièce rigide reliant la plate-forme mobile au bâti fixe. La plate forme mobile
2.2. LES MANIPULATEURS PARALLÈLES À CÂBLES
33
n’est reliée au bâti que par des câbles. Cela exclut les manipulateurs à architecture
parallèle utilisant les câbles pour transmettre les efforts en plus d’une structure
rigide comme par exemple les interfaces haptiques développées par le laboratoire
Italien Perco [Frisoli et al., 1999 ; Prisco et al., 1999].
Cette classe de manipulateurs regroupe deux cas différents, identifiés par
Ming et Higuchi. qu’il convient de séparer pour l’étude.
2.2.2
Une classification basée sur le degré de redondance
Cette classification des manipulateurs parallèles à câbles se base sur leur degré
de redondance. En effet, un câble ne peut transmettre qu’un effort unidirectionnel
(il ne peut que tirer, il ne peut pas pousser), dans sa direction propre (il ne tire
que dans la direction du câble). Aussi, on montre aisément que pour contrôler de
façon complète n ddl, il faut au minimum n + 1 câbles [Kawamura et Ito, 1993].
On peut cependant créer des manipulateurs à n ddl et n câbles. Tous les efforts
ne peuvent pas être générés et il est nécessaire d’utiliser la gravité terrestre pour
commander en position la plate-forme mobile et garder les câbles tendus [Albus
et al., 1993].
La commande des manipulateurs parallèles à câbles étant différente suivant
qu’il y a redondance ou non, MM Ming et Higuchi ont proposé la classification
suivante [Ming et Higuchi, 1994a] :
– les IRPM : Incompletly Restrained Positioning Mechanism3 , pour n ddl, le
nombre de câbles est égal à n ;
– les CRPM : Completly Restrained Positioning Mechanism4 , pour n ddl, le
nombre de câbles est égal à n + 1.
Une troisième classe fût ajoutée ensuite :
– les RRPM : Redundantly Restrained Positioning Mechanism5 , pour n ddl,
le nombre de câbles est strictement superieur à n + 1.
La séparation des IRPM du reste des manipulateurs à câbles est inévitable,
par contre, les CRPM étant des manipulateurs redondants comme les RRPM, il
n’est pas obligé de les séparer pour l’étude. Donc à mon sens, il faut séparer les
manipulateurs à câbles en deux sous-classes :
– les IRPM,
– les CRPM et RRPM dans une seule sous-classe.
A noter que, si historiquement la classe des IRPM a été définies pour les
robots à m = n câbles, rien n’empêche de faire des IRPM avec m > n câbles. Les
problèmes théoriques liés à ce type de robot à câbles sont abordés dans [Bosscher
et Ebert-Uphoff, 2004a ; Bosscher et Ebert-Uphoff, 2004b].
Dans la deuxième partie de cette thèse, c’est la sous-classe des CRPM-RRPM
qui est étudiée.
3
mécanisme au positionnement incomplètement contraint
mécanisme au positionnement complètement contraint
5
mécanisme au positionnement contraint de façon redondante
4
34
2.3
2.3.1
Quelques exemples d’applications
Cas des IRPM
Le défaut des IRPM est la nécessité d’utiliser la gravité pour conserver la
tension dans les câbles : il est impossible de fournir un effort vers le bas.
Ce type d’architecture est parfait pour le transport et le positionnement
précis de lourdes charges. Le NIST6 est en pointe dans ce domaine avec des
manipulateurs grues comme la NIST ROBOCRANE [Albus et al., 1993], pour
des applications diverses comme les chantiers navals [Dagalakis et al., 1989] par
exemple.
Un autre exemple d’utilisation de ce type d’architecture est l’interface
haptique7 portable, le manipulateur se transporte sur le dos et la partie mobile
emprisonne l’index. Les câbles, en appliquant un effort sur le doigt permettent
de transmettre de façon tactile l’information de profondeur [Bonitovo et al., 1997 ;
Arcara et al., 2000].
2.3.2
Cas des CRPM-RRPM
Ce sont les japonais qui les premiers se sont intéressés à ce type de
manipulateurs, notamment pour la télé-opération [Kawamura et Ito, 1993]. Ils
ont ensuite tenté des applications dans le sport virtuel [Kawamura et al., 1995b ;
Morizono et al., 1997].
La légèreté de leur structure, sans comparaison avec les manipulateurs à
architecture parallèle classiques, a permis à ce type de manipulateur de prendre
place à bord d’une navette spatiale. MacDonnell-Douglas a ainsi développé le
robot Charlotte [Swain et al., 1995] pour la mission STS-63 de février 19958 .
Mais c’est dans le domaine de la télé-opération et des interfaces haptiques
que les applications des manipulateurs parallèles à câbles semblent les plus
nombreuses. En plus de l’article cité ci-dessus nous pouvons citer : [Robert et
Williams II, 1999], [Takeda et Funabashi, 2000], [Gallina et al., 2000] . . .
Enfin, l’Onera s’est intéressé aux manipulateurs parallèles à câbles du fait de
la discrétion aérodynamique d’un tel manipulateur. C’est cette caractéristique qui
a fait que ce type d’architecture a été choisi pour le projet SACSO. L’Institute of
Advanced Manufacturing Technology de l’Huaqiao University, Chine, poursuit
la même idée [Liu et al., 2004].
6
National Institute of Standards and Technology
du mot grec « haptein » qui veut dire toucher. Haptique désigne les interfaces qui donnent
des sensations par le toucher.
8
http ://www-pao.ksc.nasa.gov/kscpao/shuttle/missions/
sts-63/mission-sts-63.html
7
Chapitre 3
Modélisation
Préliminaire obligé avant toute étude théorique, la modélisation
analytique des manipulateurs à câbles est abordée dans ce chapitre.
Nous nous intéresserons uniquement au cas des manipulateurs à
m câbles, m ≥ n pour n ≤ 6 ddl (degrés de liberté). Par souci
de lisibilité de l’écriture, nous nous restreindrons à n = 6 ddl. Les
modifications à apporter pour écrire le modèle pour n < 6 sont
simples, à la portée du lecteur attentif ; elles ne sont pas détaillées
dans ce chapitre.
3.1
Notations
Pour décrire la géométrie du manipulateur à m câbles, m ≥ n ddl, schématisé
sur la figure 3.1, nous utiliserons les notations :
– Bi , i ∈ {1..m} le point d’attache du câble i sur l’organe terminal1 ,
– Ai le premier point de contact du dit câble avec un organe du bâti2 ,
→
−
−−→
– li le vecteur Ai Bi ,
– li la norme de ce vecteur, et par conséquent la longueur « libre » du câble,
→
−
→
– −
ui = llii le vecteur unitaire de la direction du câble,
– Ti la tension dans le câble.
Le moment de l’ensemble des câbles sur l’organe terminal est calculé en un
−−→
→
point de calcul S choisi de façon arbitraire3 , les vecteurs SBi sont notés −
ri (figure
3.1).
3.2
Modèle géométrique
En robotique parallèle non redondante, le modèle géométrique permettant
de calculer les coordonnées articulaires à partir des coordonnées cartésiennes est habituellement nommé « modèle géométrique indirect », le « modèle
géométrique direct » étant le modèle permettant de calculer les coordonnées
cartésiennes à partir des coordonnées articulaires. Du fait de la redondance des
1
également appelé plate-forme mobile
qui peut être une poulie ou un passage annulaire
3
évidement, un choix judicieux de ce point permet de simplifier les calculs
2
35
CHAPITRE 3. MODÉLISATION
36
F IG . 3.1 – Données géométriques
câbles, le volume d’existence du « modèle géométrique direct » est nul dans le
cas des manipulateurs à câbles qui nous intéressent4 .
Pour le souligner, nous n’utiliserons pas la notation classique. Nous
nommerons modèle géométrique celui permettant, à partir de la position et de
l’orientation de la plate-forme, de remonter aux vecteurs câbles et donc à leur
longueurs qui sont ici les coordonnées articulaires du système.
→ −
−
→ −
→
Nous appelons R0 le repère fixe (O, B0 ) avec B0 = ( X , Y , Z ) lié au bâti et
→
→
→
RS le repère (S, BS ) BS = (−
x ,−
y ,−
z ) lié à la plate-forme mobile. Le passage de
B0 vers BS se fait par trois rotations successives ; guidé par l’application, nous
avons choisi les angles « aéronautiques ». La première rotation, le lacet, d’angle
→
−
→
−
→
→
→
ψ, s’effectue autour de Z et définit la base intermédiaire B1 = (−
x1 , −
y1 , −
z1 = Z ) ; la
→
seconde, le tangage, d’angle θ, s’effectue autour de −
y1 et définit la deuxième base
→
−
→
−
→
−
→
−
intermédiaire B2 = (x2 , y2 = y1 , z2 ) ; la troisième, le roulis, d’angle φ s’effectue
→
→
→
→
→
autour de −
x2 et définit la base mobile liée à la partie mobile BS = (−
x =−
x2 , −
y ,−
z ).
Nous notons COS la matrice de changement de base de RS vers Ro découlant de
4
Prenons par exemple un manipulateur à deux câbles et un ddl (comme le banc de test à 1
→
ddl figure 1.6 section 1.4.3). Il positionne un point M sur un axe (0, −
x ) de coordonnée x entre
deux points d’attaches A1 en x = 0 et A2 en x = L. 0 ≤ x(M ) ≤ L. Soit l1 ≥ 0 la longueur du
câble partant de A1 et l2 ≥ 0 la longueur du câble partant de A2 . Dans l’espace des coordonnées
articulaires : la portion de plan (l1 ≥ 0, l2 ≥ 0), le modèle géométrique direct n’existe que sur
le segment de droite l1 + l2 = L, de surface nulle dans le plan (l1 , l2 ) c-a-d de volume nul dans
l’espace des coordonnées articulaires. Les autres points de (l1 , l2 ) hors de cette droite n’ont pas
d’image.
3.3. COMPLICATIONS DUES AUX POULIES
37
ces trois rotations successives.

COS

cos ψ cos θ − sin ψ cos φ + cos ψ sin θ sin φ sin ψ sin φ + cos ψ sin θ cos φ
=  sin ψ cos θ cos ψ cos φ + sin ψ sin θ sin φ − cos ψ sin φ + sin ψ sin θ cos φ 
− sin θ
cos θ sin φ
cos θ cos φ
−→
Nous notons X le vecteur de
∈ IR6 tel que XS = (OS)Ro et


ψ
Xang =  θ  ; il définit la pose du manipulateur, c’est-à-dire la position et
φ
l’orientation de la partie mobile dans l’espace.
Le modèle géométrique s’écrit simplement en utilisant la relation de Chasles :
XS
Xang
−→ −−→ −−→ −−→
OS = OAi + Ai Bi + Bi S
on désire calculer la longueur du câble, soit :
−−→ −→ −−→ −−→
Ai Bi = OS − OAi + SBi
donc :
→
−
−−→
→
ri )BS
( li )Bo = XS − (OAi )Ro + COS (−
ce qui donne :
−−→
→
li = ||XS − (OAi )Ro + COS (−
ri )BS ||
(3.1)
Dans le cas ou il n’y a pas de poulies, mais un guide annulaire en Téflon
(comme sur la figure 3.2), on peut considérer en première approximation que
−−→
les points Ai sont fixes dans Ro , et donc que (OAi )Ro est invariant, donné par la
géométrie du bâti du manipulateur.
De même, suivant les choix technologiques effectués, on peut également
→
considérer les points Bi fixes dans RS et donc que (−
ri )RS est invariant, donné par
la géométrie de la plate-forme mobile. Cette hypothèse est valable, par exemple,
pour l’organe terminal du manipulateur SACSO représentée figure 3.3 (les points
Bi étant cerclés de rouge).
Dans ce cas les m équations (3.1) correspondant aux m câbles sont les m
équations du modèle géométrique :
l = H(X)


l1


avec l =  ... .
ln
3.3
Complications dues aux poulies
Dans le cas où le guide annulaire en Téflon est remplacé par un système à
poulie comme sur la figure 3.4, l’équation (3.1) est toujours vrai, mais les points
38
F IG . 3.2 – Système de renvoi annulaire du prototype du projet Segesta
F IG . 3.3 – Organe terminal de SACSO
Ai ne sont plus des points fixes dans Ro , il est donc nécessaire de calculer leur
→
−
−−→
position (soit calculer OAi ) avant le calcul des li .
Un tel système à poulie doit être conçu dans le souci de limiter l’influence des
déplacements des points Ai sur les directions des vecteurs Ai Bi . Pour ce faire, une
solution est que l’axe de rotation du support qui porte la poulie soit confondu
3.3. COMPLICATIONS DUES AUX POULIES
39
F IG . 3.4 – Détail du système de renvoi à poulies du prototype de SACSO
avec le câble. Pour les calculs nous nous appuierons sur le schéma cinématique
d’un tel renvoi représenté figure 3.5.
−
→
L’axe de rotation (O∆i , ∆i ) et le rayon Rp de la poulie sont des caractéristiques
constantes connues du manipulateur. Nous connaissons la position et l’orienta−−→
→
tion X de la maquette. Ce qui permet de calculer (OBi )Bo = XS + COS (−
ri )BS .
Les calculs qui suivent sont tous réalisés dans Ro , aussi ni le repère ni la base ne
seront indiqués.
−−−→
−−→ →
Ai Bi
A partir de ces données, nous cherchons à déterminer OAi et −
ui = −
−−→ .
||Ai Bi ||
−
→
De part la conception du renvoi, O∆i et ∆i sont fixes dans RO , et Ai , Bi , O∆i ,
−
→
OP i et ∆i sont toujours coplanaires ; nous appellerons Πi le plan les comprenant
et −
n→ sa normale. Elle se calcule aisément :
Πi
−−−−→ −
→
O∆i Bi × ∆i
−
→
nΠi = −−−−→ −
→
||O∆i Bi × ∆i ||
−−−−→
−−−→ −−→
avec O∆i Bi = −OO∆i + OBi .
−−−−−→
La connaissance de cette normale nous permet de caractériser que O∆i OP i ∈
−
→
−−−−−→
Πi . Expliciter que (O∆i , ∆i ) est tangent à la poulie en O∆i et que ||O∆i OP i || = Rp
– le rayon de la poulie – nous permet de caractériser complètement OP i :
−−−−−→ −→

O∆i OP i · nΠi = 0
−−−−−→ −
→
O∆i OP i · ∆i = 0

 −−−−−→
||O∆i OP i || = Rp
(3.2)
40
F IG . 3.5 – Schéma cinématique du renvoi
Une fois connu OP i , on peut expliciter que le câble appartient à Πi et est
tangent à la poulie en Ai :
−−→

Ai Bi · −
n→

Πi = 0


−
−
−
→
O A · −
→
P i i nΠi = 0
(3.3)
−−−→ −−→

O
A
·
A
B
=
0

P
i
i
i
i


−−→
||−
OP i Ai || = Rp
Les deux premières équations sont redondantes, elles expriment toutes deux que
Ai ∈ Πi . La troisième équation est du second degré en coordonnées de Ai ; il
y a deux façons pour le câble d’être tangent à la poulie. La position initiale de
la maquette permet de définir la position initiale des points Ai . Au cours du
mouvement la solution est celle conservant la continuité de l’arc O∆i Ai .
→ →
−
Une fois les équations Eq(3.3) résolues et Ai déterminé, l’obtention de li et −
ui
→
−
→ −−→ −
−
est immédiate : li = Ai Bi et →
ui = llii .
_
Déterminer la longueur du câble lci = constante + O∆i Ai + li permet d’obtenir
le modèle géométrique analytique lc = H(X) avec lc = (lc1 , · · · , lcm )T . La
constante étant la longueur de câble de la poulie vers le tambour.
Ce modèle n’a que peu d’intérêt en lui même ; c’est le modèle inverse qui
permet de piloter le manipulateur en position. Or, du fait de la redondance
3.4. MODÈLE CINÉMATIQUE
41
du nombre de câbles, H n’est pas une bijection entre l’espace des coordonnées
cartésiennes et l’espace des coordonnées articulaires, elle est injective mais non
surjective. L’application inverse de H n’existe pas.
La résolution du problème inverse consiste à chercher le vecteur X qui
minimise un critère cohérent avec notre problème : minimiser la norme
quadratique de lc − H(X) par exemple. Cette recherche peut être faite par la
méthode de Newton-Raphson [Llibre, 2003]. Pour cela il n’est besoin que de la
connaissance numérique (et non analytique) de H. La résolution des équations se
fera donc de façon numérique.
3.4
Modèle cinématique
Il s’agit de calculer la dérivée de la longueur des câbles à partir de la vitesse
(en translation et rotation) de la plate-forme mobile. Il s’agit du modèle dérivé du
modèle géométrique lc = H(X).
Pour cela nous allons considérer les points Ai fixes dans RO , ce qui nous
permet d’écrire que la vitesse de déroulement du câble est égale au projeté
orthogonal sur le câble de la vitesse de son point d’accroche. Soit ∀i ∈ {1 · · · m} :
Avec :
−→
→
l˙i = −
ui · VBi
(3.4)
−→ −
→ −
→ →
VBi = VS + Ω × −
ri
(3.5)
−→ →
Il y a bien un accroissement de longueur de câble positif quand (VBi , −
ui ) <
→
figure 3.1 et section 3.1 pour le sens du vecteur −
ui ).
−→
En remplaçant VBi dans (3.4) on obtient :
−
→ → −
→ →
→
l˙i = −
ui · VS + −
ui · ( Ω × −
ri )
π
2
(cf
(3.6)
On effectue une permutation circulaire sur le produit mixte :
−
→ −
→ → −
→
l˙i = −
ui · VS + Ω · (−
ri × →
ui )
(3.7)
Cette équation se met aisément sous forme matricielle :

→
→
→
(−
u1 )T (−
r1 × −
u1 )T

..
..
·
.
.
−
→
−
→
−
→
T
T
(um ) (rm × um )
−
→ !
VS
→
−
Ω
(3.8)
 
T
→
−
−
l˙1
u1
u→
m
 ..  

..
..
 . =
 ·
.
.
−
→
→
−
−
→
−
→
r 1 × u1 rm × u m
l˙m
−
→ !
VS
→
−
Ω
(3.9)
 
l˙1
 ..  
 . =
l˙m

qui s’écrit également :

42
En posant P =
−
→
−
u1
···
u→
m
→
−
→
−
→
r1 × −
u1 · · · −
r→
m × um


l1


, l =  ...  et W =
lm
−
→ !
VS
→ , cela
−
Ω
donne :
l̇ = PT · W
(3.10)
La matrice PT – de dimension n × m – est la matrice pseudo-jacobienne
de l’application lc = H(X)5 . Cependant, classiquement cette matrice PT serait
appelée matrice jacobienne inverse du manipulateur, et notée J−1 , faisant
référence au modèle géométrique direct, qui n’existe pas ici. Aussi, pour éviter
toute confusion nous n’emploierons pas cette notation.
3.5
Modèle statique
−−−→ )
Fc→OT
le
C’est le dual du modèle précédent. Notons {Tc→OT } =
−−−−−−→
Mc→OT, S S
torseur résultant de l’action des câbles sur l’organe terminal. Il vient facilement
que :
(
m
X
−−−→
→
FOT→c =
Ti · −
ui
(3.11)
i=1
m
X
−−−→
→
Fc→OT = −
Ti · −
ui
(3.12)
i=1
et que :
m
X
−−−−→
→
→
MOT→c =
Ti · −
ri × −
ui
(3.13)
i=1
m
X
−−−−→
→
→
Mc→OT = −
Ti · −
ri × −
ui
(3.14)
i=1
Pour condenser l’écriture, nous écrivons ces équations sous forme matricielle.


T
−−−→ !
1
→
−
−
→
Fc→OT
u1
...
u
 .. 
n
 . 
−−−−→ = − →
−
→
−
−
→
→
−
r
×
u
.
.
.
r
×
r
1
1
n
n
Mc→OT
Tm
(3.15)
Nous reconnaissons dans l’équation (3.15) la matrice n×m P déjà définie dans
la section 3.4.
5
La pseudo-jacobienne est utilisée de préférence à une vraie jacobienne, car elle évite de
préciser quels sont les paramètres d’orientation utilisés, et qu’elle n’introduit de ce fait aucune
singularité de représentation de ces paramètres.
3.6. REMARQUES SUR LES DDL POSSIBLES
43
−−−→ !
Fc→OT
En notant F le vecteur à n composantes
représentant le torseur
−−−−→
Mc→OT


T1


résultant et T le vecteur « tension dans les câbles »  ... , cette équation (3.15)
Tm
devient :
F = −P.T
(3.16)
On peut maintenant écrire sous forme matricielle le Principe Fondamental de
la Statique appliqué à la plate-forme mobile du manipulateur à câbles :
!
−
→
−−−−−→ !
Fext→OT
Pd
(3.17)
→ − P.T = 0
−−−−−−−→ + −→ −
Mext→OT, S
SG × P d
−−−−−→ !
−
→
Fext→OT
Avec P d le poids de la plate-forme mobile et
représentant les
−−−−−−−→
Mext→OT, S
efforts extérieurs appliqués à la plate-forme mobile autres que la gravité et les
efforts transmis par les câbles.
3.6
Remarques sur les ddl possibles
Même si les modifications à apporter pour écrire le modèle pour n < 6
sont simples et ne sont pas détaillées dans ce manuscrit, il faut quand même
ne pas oublier que toutes les combinaisons de rotations/translations ne sont pas
faisables avec un manipulateur à câbles.
Richard Verhoeven a montré que les seules possibilités sont celles récapitulées
dans le tableau 3.1 [Verhoeven et al., 1998b] :
ddl
n
Type de mouvement
1T
2T
1R2T
3T
2R3T
3R3T
1
2
3
3
5
6
mouvement rectiligne
mouvement plan d’un point
mouvement plan d’un corps
mouvement spatial d’un point
mouvement spatial d’une poutre
mouvement spatial d’un corps
TAB . 3.1 – types de manipulateurs à câbles possibles [Verhoeven et al., 1998b]
3.7
Décomposition en Force et Moment
Il peut être intéressant de découpler les problèmes, et d’étudier séparément
les capacités du manipulateur en Force (dualement en Position) et en Moment
44
(dualement en Orientation). Pour cela il faut scinder en 2 la matrice P :
PF
P=
PM
(3.18)
avec :
PF =
PM =
−
→
u1 · · · −
u→
m
→
−
→
−
→ r1 × −
u1 · · · −
r→
m × um
(3.19)
(3.20)
Les matrices PF et PM sont de dimensions nF × m et nM × m, nF et nM étant
les ddl en position (ou force) et orientation (ou moment).
Les efforts des câbles sur l’organe terminal se calculent avec les équations :
−−−→
(3.21)
Fc→OT = −PF · T
−−−−−−→
Mc→OT, S = −PM · T
(3.22)
Par construction n = nF + nM , et seulement six combinaisons sont possibles
(cf tableau 3.1), elles sont récapitulées dans le tableau 3.2.
n
nF
nM
1 2
1 2
0 0
3
2
1
3
3
0
5 6
3 3
2 3
TAB . 3.2 – combinaisons possibles de nF et nM
3.8
Modèle dynamique
Les propriétés inertielles des solides comme l’organe terminal sont souvent
exprimées en leur centre d’inertie G. L’écriture du Principe fondamental de la
Dynamique est également plus simple à écrire en G. C’est donc en ce point que
sera écrit le modèle dynamique.
!
−−−−−→ !
−
→ ! →
−
0
M 03×3
Fext→OT
PF
Pd
·T =
·Ẇ+ −
→
→
−
−−−−−−−→ + −
→ − P
03×3 IG
M, G
Ω × IG Ω
0
Mext→OT, G
(3.23)
−−→ →
−−−→ −
−
→
avec : PM, G = GB1 × u1 · · · GBm × um , M = M.I3×3 la matrice masse
et IG la matrice d’inertie de la plate-forme mobile.
On peut ensuite écrire le modèle dynamique des moteurs et du système de
renvoi qui va être du type :
T = F(l̈, l̇, Cm )
(3.24)
où les Cm sont, par exemple, les couples électromagnétiques.
Bien sur les différentes inerties des poulies et tambours sont paramètres de
cette fonction dont la complexité dépend du système renvoi/moteur utilisé.
Ensuite il faut remplacer T dans (3.23) par son expression développée avec
(3.24). Comme cela dépend de la technologie choisie, ce n’est pas développé ici.
Chapitre 4
Espaces de travail
Le volume de travail, l’espace de travail en force, en moment,
l’espace atteignable en translation, orientation. . .autant de termes,
de concepts qui se recoupent, mais pas complètement ; ils traduisent
le besoin d’exprimer le plus rigoureusement possible les possibilités
des manipulateurs. Dans ce chapitre, nous allons essayer de définir
ou redéfinir rigoureusement le concept d’espaces de travail pour les
manipulateurs parallèles à câbles. Ensuite est présentée la méthode
graphique que j’ai mise au point pour déterminer rapidement
l’espace de travail théorique global en force d’un manipulateur à
câbles. Cela reprend et complète le travail précédemment publié à
l’AIM2003 [Lafourcade et Llibre, 2003].
4.1
Particularités des manipulateurs parallèles à
câbles
Pour un manipulateur à architecture parallèle rigide, le volume de travail le
plus simple à définir est l’espace atteignable par l’organe terminal. Cet espace
a le nombre de ddl pour dimension, aussi à partir de 4 ddl, il n’est plus
représentable dans son intégralité. Il faut alors le représenter par tranches. Si
le manipulateur n’est pas redondant, cet espace est l’image de l’espace des
coordonnées articulaires par l’application X = G(q), modèle géométrique direct.
Il comporte cependant des zones où la matrice jacobienne est singulière.
Pour les manipulateurs à câbles le problème est sensiblement différent du fait
qu’un câble n’est pas rigide, et ne peut pas pousser.
La première conséquence est que le manipulateur est forcément redondant,
ainsi, comme il a déjà été dit au chapitre précédent, le modèle géométrique direct
X = G(q) n’existe pas. Seule existe l’application H de X dans q (ou lc) telle que
q (ou lc) = H(X). Il est tentant de dire que l’espace atteignable est l’ensemble
des points X de l’espace des coordonnées cartésiennes ayant une image q dans
l’espace des coordonnées articulaires admissibles (soit ∀i, 0 < li < lmax , les
longueurs des câbles sont positives et inférieures à une longueur maximale).
Ce n’est cependant pas possible car cela n’assure pas que les câbles restent
tendus. Et c’est là la deuxième conséquence du fait qu’un câble ne peut pas
45
CHAPITRE 4. ESPACES DE TRAVAIL
46
pousser, on est obligé de restreindre le volume atteignable aux poses où une
tension positive dans les câbles est garantie (pour que ceux ci restent tendus,
« rectilignes »).
Dans la suite nous allons voir comment les volumes de travail des robots
à câbles ont été définis dans la littérature, puis la définition que j’ai choisi, et
enfin une méthode graphique rapide de détermination du volume de travail
« théorique ».
4.2
Définitions de la littérature
Les premiers à vraiment définir ce que peut être l’espace de travail d’un
manipulateur à câbles sont Verhoeven, Hiller et Tadokoro dans [Verhoeven et al.,
1998b] et [Verhoeven et al., 1998a].
Pour eux, l’espace de travail, qu’ils notent workspace est l’ensemble des poses
(couples position et orientation) atteignables où :
– il est possible d’exercer des forces et couples,
– les tensions dans les câbles sont positives,
– les tensions sont supérieures à un minimum et inférieures à un maximum1 ,
– la structure est suffisamment rigide,
– l’organe terminal ne traverse pas une singularité,
– les câbles ne doivent pas s’entrecroiser.
Un tel espace de travail est trop complexe pour être étudié (recherché), il
convient de séparer les problèmes. Aussi Verhoeven et Hiller proposent dans
[Verhoeven et Hiller, 2000] de restreindre l’étude à un controllable workspace dans
un premier temps. Ce controllable workspace est l’ensemble des poses prises par la
plate-forme pour lesquelles la tension dans les câbles est garantie positive quel
que soit l’effort (force et couple) extérieur appliqué à la plate-forme.
Une autre façon de définir précisément un espace de travail est de le définir
à partir d’un indice. C’est ce que font Zheng et Liu dans [Zheng et Liu, 2002].
L’espace de travail devenant l’ensemble des poses du manipulateur où l’indice
est supérieur à 0. L’indice choisi ici est un indice de manipulabilité définie par
Takeda et Funabashi dans [Takeda et Funabashi, 1999].
L’inconvénient de cette façon de procéder est qu’elle est gourmande en
calculs, et que cela nécessite de connaître un contenant le plus petit possible de
l’espace de travail recherché. Le controllable workspace est un tel contenant.
Enfin, une dernière approche est celle de Barrette et Gosselin. Ils proposent
l’étude d’un dynamic workspace dans [Barrette et Gosselin, 2000 ; Barrette, 2000].
C’est l’ensemble des poses et accélérations (linéaires comme angulaires) prisent
par la plate-forme mobile pour lesquelles la tension est positive dans les câbles. Le
but affiché étant de faire sortir la plate-forme du volume défini par l’emplacement
des renvois sur le bâti. L’inconvénient d’un tel espace de travail est sa complexité :
il est de dimension 6 pour un manipulateur plan à 3 ddl, de dimension 12 pour un
manipulateur à 6 ddl. Il apparaît difficilement envisageable de prendre en compte
un tel espace de travail lors de la phase de pré-conception d’un manipulateur.
1
cette condition contient la précédente
4.3. QUELQUES DÉFINITIONS
47
Or le volume de travail étant la chose primordiale quand on commence la
conception d’un nouveau manipulateur, j’ai trouvé nécessaire, au regard de ce
qu’offrait la littérature, de trouver d’autres définitions permettant une étude
rapide des futures possibilités du manipulateur.
4.3
4.3.1
Quelques définitions
Espace de travail théorique
Le choix des moteurs, câbles et autres caractéristiques de dimensionnement
mécanique ne rentrent pas en compte dans la phase de pré-conception. Il est
nécessaire de trouver un volume de travail dont la définition soit simple, rapide à
calculer et dépendant uniquement de l’architecture géométrique. Tout le monde
s’accorde sur la caractéristique minimale de l’espace de travail : la tension dans
les câbles doit être positive, quel que soit l’effort appliqué à la plate-forme mobile.
Le dual de l’effort appliqué à la plate-forme est l’effort que peuvent produire les
câbles sur la plate-forme. C’est ce dernier qui est préféré.
Cela donne la définition suivante :
Définition 4.1. :
L’espace de travail théorique est l’ensemble des poses (couple position, orientation) prises
par la plate-forme mobile où n’importe quel effort (des câbles sur la plate-forme) peut être
obtenu avec une tension positive dans tous les câbles.
Cette définition détermine le même espace de travail que le controllable
workspace de R. Verhoeven.
J’ai choisi le terme de théorique pour montrer que, au final, ce n’est
pas l’espace de travail réel, ce dernier sera plus petit, et dépendra du
dimensionnement mécanique. Par contre, il sera démontré dans la suite que
l’espace de travail ainsi défini n’est fonction que des positions des renvois
et points d’attaches des câbles, c’est-à-dire de l’architecture géométrique du
manipulateur.
On peut formaliser mathématiquement cette définition. Pour cela nous
utilisons les notations et modèles définis dans le chapitre 3.
Définition 4.2. :
Pour un manipulateur parallèle à câbles à n ddl, l’espace théorique WT h est l’ensemble
des poses X de la plate-forme mobile où tous les torseurs peuvent être générés avec une
tension positive dans les câbles. Soit2 :
WT h = {X/ ∀F ∈ IRn , ∃T > 0 tel que F = −PT}
Il est toujours souhaitable, notamment pour des raisons de raideur, que
la tension soit supérieure à un minimum non nul. C’est pour cela que nous
préférons à la définition 4.2 la définition suivante :
2
Par souci de commodité, la signification des signes de relation d’ordre dans IR est étendue.
Ainsi T > 0 ⇐⇒ ∀i ∈ {1 · · · n}, Ti > 0.
48
Définition 4.3. : Pour un manipulateur parallèle à câble à n ddl, l’espace théorique WT h
est l’ensemble des poses X de la plate-forme mobile où, quelque soit λ un réel positif, tous
les torseurs peuvent être générés avec une tension dans les câbles supérieure à λ. Soit :
WT h = {X/ ∀λ ∈ IR+? , ∀F ∈ IRn , ∃T > λ tel que F = −PT}
Il sera démontré dans la suite que les définition 4.2 et 4.3, sont équivalentes.
Le volume de travail théorique est ainsi défini de façon simple. Ne dépendant
que de l’architecture cinématique, il est utilisable comme critère d’évaluation lors
de la phase de pré-conception. Cependant ce n’est pas l’espace de travail utile
dont l’on disposera vraiment. Il est nécessaire de définir un autre volume de
travail plus proche de la réalité finale.
4.3.2
Espace de travail pratique
Le workspace défini par Verhoeven et al. peut être assimilé à un espace de
travail réel, si l’on défini les bornes de l’hyperparallélépipède de dimension 6
bornant l’effort extérieur appliqué à la plate-forme. Mais on peut souhaiter une
définition intermédiaire entre ce workspace et l’espace de travail théorique défini
ci-dessus. Une définition ne prenant en compte ni la raideur ou les positions
singulières3 , ni la collision des câbles.
Pour cela nous proposons la définition suivante :
Définition 4.4. :
L’espace de travail pratique WP r est l’ensemble des poses X de la plate-forme mobile
où, quelque soit l’effort F appartenant à l’hyperparallélépipède [Fmin , Fmax ], cet effort
F est réalisable avec une tension dans les câbles comprise dans l’hyperparallélépipède
[Tmin , Tmax ]. Soit :
WP r = {X/ ∀F ∈ [Fmin , Fmax ], ∃T ∈ [Tmin , Tmax ] tel que F = −PT}
L’inconvénient majeur de tout espace de travail prenant en compte une
tension minimale et maximale acceptable, est qu’il ne dépend pas seulement
des caractéristiques mécaniques du manipulateur (moteur et câbles compris), il
dépend également de la gestion de la redondance des câbles, c’est à dire de la
conduite coordonnée des tensions dans les câbles (qui est abordée au chapitre 5).
Il n’est donc pas utilisable comme critère de pré-conception.
4.3.3
Sous ensembles de ces espaces de travail
Pour un manipulateur à plus de 3 ddl, ces espaces de travail sont de
dimension supérieure à 3. Ils ne sont donc pas représentables. La solution
classique est de les représenter par tranche, en représentant par exemple
l’ensemble des positions appartenant à WT h pour telles orientations.
Il nous a cependant semblé pratique de définir d’autres types de sous-espaces
de travail, suivant que l’on privilégie les aptitudes en déplacements ou en
rotations. Nous avons ainsi défini les 4 sous-espaces de travail suivants :
3
Il y a redondance à regarder la raideur et les positions singulières ; la raideur n’est nulle que
dans les positions singulières
4.3. QUELQUES DÉFINITIONS
49
Définition 4.5. :
Espace de travail théorique (respectivement pratique) total en position :
ensemble
des positions XS où il existe au moins une orientation Xang tel que
XS
X=
appartienne à l’espace de travail théorique (respectivement pratique).
Xang
WTPhos = {XS / ∃Xang tel que X ∈ WT h }
WPPros = {XS / ∃Xang tel que X ∈ WP r }
Définition 4.6. :
Espace de travail théorique (respectivementpratique)partiel en position :
XS
ensemble des positions XS tel que X =
appartienne à l’espace de travail
Xang
théorique (pratique), quel que soit l’orientation Xang appartenant à un certain ensemble
prédéfini.
P os,[Xang ]
= {XS / ∀Xang ∈ [Xang min , Xang max ] alors X ∈ WT h }
P os,[Xang ]
= {XS / ∀Xang ∈ [Xang min , Xang max ] alors X ∈ WP r }
WT h
WP r
Définition 4.7. :
Espace de travail théorique (respectivement pratique) total en orientation :
ensemble
des orientations Xang où il existe au moins une position XS tel que
XS
X=
appartienne à l’espace de travail théorique (respectivement pratique).
Xang
WTOrh = {Xang / ∃XS tel que X ∈ WT h }
WPOrr = {Xang / ∃XS tel que X ∈ WP r }
Définition 4.8. :
Espace de travail théorique (respectivement pratique)
partiel
en orientation :
XS
ensemble des orientations Xang tel que X =
appartienne à l’espace de travail
Xang
théorique (pratique), quel que soit la position XS appartenant à un certain ensemble
prédéfini.
Or,[XS ]
= {Xang / ∀XS ∈ [XS min , XS max ] alors X ∈ WT h }
Or,[XS ]
= {Xang / ∀XS ∈ [XS min , XS max ] alors X ∈ WP r }
WT h
WP r
Ces quatre définitions ont été établies en se focalisant sur les poses : X, et les
partitions de celles-ci en positions XS et orientations Xang . Les espaces de travail
ainsi obtenus sont inclus dans WT h et WP r , et en sont des sous-ensembles.
50
4.3.4
Ensembles englobants ces espaces de travail
La prédiction graphique de l’espace de travail peut nécessiter de se focaliser
−−−→
−−−−−−→
sur l’effort F et sa partition en forces Fc→OT et moments Mc→OT, S .
Ce qui nous a amené à définir l’espace de travail théorique global en force
WTFh et l’espace de travail théorique global en moment WTMh .
Définition 4.9. :
L’espace de travail théorique global en force est l’ensemble des poses de la plate-forme
mobile où il est possible de produire n’importe quelle force, peu importe le moment produit
conjointement.
−−−→
−−−→
WTFh = {X/ ∀Fc→OT ∈ IRnF , ∃T > 0 tel que Fc→OT = −PF T}
Définition 4.10. :
L’espace de travail théorique global en moment est l’ensemble des poses de la plate-forme
mobile où il est possible de produire n’importe quel moment, peu importe la force produite
conjointement.
−−−−−−→
−−−−−−→
WTMh = {X/ ∀Mc→OT, S ∈ IRnM , ∃T > 0 tel que Mc→OT, S = −PM T}
Il convient de noter que ces espaces de travail englobent l’espace de travail
théorique WT h . Une pose de l’organe terminal peut donc être dans WTFh (ou WTMh )
et ne pas être dans WT h . Il convient donc d’être prudent lors de l’utilisation de
ces espaces de travail.
4.3.5
Le problème des collisions câbles/câbles et câbles/plateforme mobile
Les espaces de travail définis précédemment ne prennent pas en compte le
problème de collisions entre câbles, ou entre les câbles et la plate-forme mobile.
C’est qu’une telle condition est plus difficile à définir et surtout à vérifier que
l’existence d’une solution à une équation.
En effet, même si il est possible de calculer la distance entre deux droites, et
donc de retirer de l’espace de travail les poses où il y a croisement des câbles,
il est beaucoup plus difficile de savoir si l’atteinte d’une pose à partir de la pose
initiale nécessite de passer par une pose où les câbles se croisent. Enlever de telles
poses des espaces de travail précédemment définis relève du casse-tête. Il existe
néanmoins un algorithme dans le cas où l’orientation de la plate forme-mobile
reste constante [Merlet, 2004].
Heureusement, nous verrons dans le chapitre 6 que le respect de quelques
règles de conceptions simples permettent de limiter les problèmes de croisement
des câbles.
4.4
Caractérisations mathématiques
Caractériser du point de vue mathématique l’espace de travail a pour but
de permettre le calcul prévisionnel de cet espace, notamment pour se servir de
4.4. CARACTÉRISATIONS MATHÉMATIQUES
51
l’espace de travail comme critère de conception. Or, l’espace de travail pratique
ne dépend pas uniquement de l’architecture géométrique du manipulateur, mais
également du choix de l’algorithme de conduite coordonnée des tensions. C’est
pourquoi la caractérisation mathématique de cet espace de travail n’est pas
abordée dans ce chapitre.
Nous allons uniquement nous intéresser à la caractérisation mathématique de
l’espace de travail théorique WT h .
4.4.1
Caractérisation par le rang et le noyau de la matrice P
Pour cela partons de la définition de cet espace, la définition 4.2 :
WT h = {X/ ∀F ∈ IRn , ∃T > 0 tel que F = −PT}
et cherchons les conditions nécessaires et suffisantes pour l’existence d’une
solution T > 0 à l’équation.
F = −P.T
(4.1)
Le manipulateur serait non redondant, une condition nécessaire et suffisante
à l’existence d’une solution (non forcément positive) serait que P soit inversible,
c’est-a-dire de déterminant non nul. Mais le manipulateur est redondant, la
matrice P est donc une matrice n × m avec m > n. Et la condition nécessaire
et suffisante de l’existence d’une solution non forcément positive de l’équation
(4.1) est que la matrice P soit de rang plein, soit rang(P) = n.
∀F, ∃T/ F = −P.T ⇐⇒ rang(P) = n
(4.2)
A ce moment, l’ensemble solution de l’équation (4.1) est un sous espace vectoriel
de dimension m − n ; la solution de norme minimale est donnée par :
Teff = −P+ .F
(4.3)
où P+ = PT (PPT )−1 est l’inverse (à droite) de Moore-Penrose de P (PP+ = In×n ).
Quel que soit Tnul un vecteur du noyau de P : N (P), par définition nous
avons :
P.Tnul = 0n
Ce qui permet d’écrire que, quel que soit T un vecteur de IRm , quel que soit λ un
réel et quelque soit Tnul un vecteur de N (P), alors :
T solution de l’éq. (4.1) ⇐⇒ T + λTnul solution de l’éq. (4.1)
(4.4)
Les équivalences (4.2) et (4.4) nous permettent d’écrire que les conditions
nécessaires et suffisantes à l’existence d’une solution aux composantes toutes
positives à l’équation (4.1) sont :
1. la matrice P est de rang plein, c’est-à-dire : rang(P) = n,
2. il existe un vecteur à composantes toutes strictement positives dans N (P)4 .
4
L’existence d’un tel vecteur permet de passer d’une solution à composantes non toutes
positives vers une solution à composantes toutes positives par ajout d’un vecteur du noyau
52
L’équivalence (4.4) permet également d’écrire que les définitions 4.2 et
4.3 de l’espace de travail théorique données dans la sous-section 4.3.1 sont
équivalentes5 .
Enfin, les équivalences (4.2) et (4.4) permettent également de donner une
définition plus utilisable pour la détermination de l’espace de travail théorique :
Définition 4.11. :
WT h = {X/ rang(P) = n et ∃T > 0/ T ∈ N (P)}
Dans le cas de l’existence d’un tel vecteur T aux composantes toutes positives
dans le noyau de P, nous parlons de noyau coopératif. Ce qui permet de re-écrire
la définition 4.11 en langage courant :
Définition 4.12. :
L’espace de travail théorique est l’ensemble des poses X où la matrice P est de rang plein
et son noyau coopératif.
Si maintenant nous nous focalisons sur les forces (respectivement les
moments), en laissant les moments (respectivement les forces) quelconques,
nous démontrons de façon identique l’équivalence de la définition 4.9 avec la
définition :
Définition 4.13. :
WTFh = {X/ rang(PF ) = nF et ∃T > 0/ T ∈ N (PF )}
et de la définition 4.10 avec la définition :
Définition 4.14. :
WTMh = {X/ rang(PM ) = nM et ∃T > 0/ T ∈ N (PM )}
4.4.2
Traduction géométrique des caractéristiques de P
Soit M une matrice n × m, m > n, de réels et POLM l’hyperpolyhedre formé
par les points de l’espace affine IRn ayant pour coordonnées les colonnes de la
matrice M. Nous notons N (M) le noyau de la matrice M.
Soit l’assertion A :
{∃V ∈ N (M) / V > 0}
et l’assertion B :
{ L’enveloppe convexe ouverte de POLM contient l’origine des coordonnées de
l’espace affine IRn (noté OIRn ) }.
Démontrons l’équivalence :
{rang(M) = n et assertion A} ⇐⇒ B
(4.5)
λ
par ajout au vecteur T le vecteur Tmin
Tnul , Tnul étant n’importe quel vecteur à composantes
nul
toutes strictement positives de N (P)
5
4.5. DÉTERMINATION GÉOMÉTRIQUE
53
Démonstration
Sens {rang(M) = n et assertion A} ⇒ B :
Soit V ∈ N (M) / V > 0. Notons C1 · · · Cm les m colonnes
de la matrice M et par extension les points de l’espace affine
P
→
−
IRn qui y sont associés. Nous avons m
i=1 Vi Ci = 0 . Donc
OIRn est barycentre à coefficients tous strictement positifs de
POLM . Donc l’enveloppe convexe ouverte de POLM (de
volume non nul car rang(M) = n) contient strictement OIRn .
Sens B ⇒ {rang(M) = n et assertion A} :
OIRn strictement à l’intérieur de l’enveloppe convexe ouverte
de POLM implique qu’elle est de volume non nul, donc
que rang(M) = n. Cela implique également que OIRn est
barycentre à coefficients tous strictement positif de POLM .
Posons V le vecteur formé de ces coefficients, V > 0, CQFD.
Appliqué au cas des robots à câbles, cela donne le théorème :
Théorème 4.1.
Une pose X est à l’intérieur du volume de travail théorique WT h si et seulement si
l’enveloppe convexe ouverte de POLP (notée EN V CON V (POLP )) contient strictement
l’origine des coordonnées de l’espace affine IRn (noté OIRn ).
Cela permet de caractériser de façon graphique l’espace de travail théorique :
Définition 4.15. :
WT h = {X/OIRn ∈ EN V CON V (POLP )}
Cette dernière définition est exploitable graphiquement, ce que l’on va faire
dans la suite.
4.5
Détermination géométrique
L’espace de travail théorique étant utilisé comme critère d’évaluation des
architectures en phase de pré-conception du manipulateur, il faut un outil rapide
de détermination de cet espace. La phase d’imagination d’une architecture se
faisant avec un papier et un crayon (ou une craie et un tableau noir), l’outil naturel
de détermination de l’espace de travail devient l’outil graphique, le schéma.
C’est dans cette optique que nous avons caractérisé géométriquement l’espace
de travail théorique, énoncé le théorème 4.1 et la définition 4.15.
4.5.1
Principe de la détermination géométrique
En application directe du théorème 4.1, la détermination graphique de
l’espace de travail théorique WT h pourrait être de tracer l’hyperpolyèdre POLP
pour chaque position du manipulateur et vérifier si l’origine des coordonnées est
à l’intérieur de son enveloppe convexe, et donc si cette pose fait partie de WT h .
54
Cette technique un peu fastidieuse fonctionne tant que la dimension de POLP
est inférieure ou égale à 3. Au dessus, même si la méthode est valable en théorie,
il n’est plus possible de dessiner.
C’est pour cela que nous sommes obligés de nous contenter de la recherche de
sous espaces de travail partiels, en distinguant non seulement les positions des
orientations, mais aussi l’aptitude à produire une force de l’aptitude à produire
un moment. Nous nous intéresserons essentiellement à la recherche de l’espace
de travail théorique global en force WTFh .
→
Nous pouvons, quelque soit n le nombre de ddl, tracer les vecteurs −
ui . Nous
nF
n
savons voir si l’origine des coordonnées de IR : OIR F est dans l’enveloppe
6
convexe du polyèdre formé par les points extrémités des vecteurs
Comme
.−
nous
→
ui
→
n’avons tracé que les −
ui au lieu des vecteurs colonnes de P : −
, nous
→
→
ri × −
ui
n’obtenons pas d’information sur WT h . Mais nous obtenons quand même une
information.
→
Dessiner les vecteurs −
ui revient à dessiner les vecteurs colonnes de la matrice
PF . Le polyèdre ainsi obtenu est POLPF . Le fait que celui-ci soit de dimension nF
nous informe que le rang de PF est plein (rang(PF ) = nF ). Le fait que OIRnF soit
à l’intérieur de son enveloppe convexe nous informe de l’existence d’un vecteur
tension T aux coordonnées toutes positives inclus dans le noyau de PF . En se
référant à la sous-section 4.4.1, il est facile de montrer que dans ce cas, toutes les
−−−→
forces Fc→OT peuvent être produites avec une tension positive dans les câbles.
−−−−→
Mais dans ce cas le moment Mc→OT est quelconque.
Nous venons donc de vérifier si X appartient à l’espace de travail théorique
global en force WTFh .
Enfin, le théorème 4.2 qui suit nous permet d’affirmer qu’il est équivalent
→
−
→
−
→
d’utiliser − l noté l− à la place −
u pour obtenir ce résultat.
i
i
i
Théorème 4.2.
Soit M une matrice n × m, m > n, de rang n. Notons Ci ses vecteurs colonnes.
L’enveloppe convexe ouverte de POLM (de volume non nul car rang(M) = n) contient
strictement OIRn si et seulement si POLM0 contient strictement OIRn et rang(M0 ) = n,
m
avec M0 = (λ1 C1 · · · λm Cm ), ∀{λ1 , · · · , λm } ∈ IR−? .
Démonstration
La question du rang des matrices est triviale : la multiplication des colonnes d’une matrice par un réel non nul n’a pas
d’effet sur le rang d’une matrice.
L’enveloppe convexe ouverte de POLM contient strictement OIRn , donc OIRn est barycentre à coefficients tous
strictement positifs de POLM . Notons (v1 , · · · , vm )T
m
les coefficients barycentriques. ∀{λ1 , · · · , λm } ∈ R−? ,
M0 = (λ1 C1 · · · λn Cm ) ; il est trivial que OIRn est barycentre
à coefficients tous strictement négatifs λV11 , · · · , λVm
de
m
POLM0 . . .
6
→
L’origine des coordonnées de IRnF : OIRnF est le point à partir duquel on trace les vecteurs −
ui .
55
→
−
Ainsi, on peut multiplier toutes les colonnes de la matrice
−||li ||, c’est
P par
→
−
ui
à dire remplacer dans la matrice P les vecteurs colonnes
par les
→
−
→
ri × −
ui
!
→
−
li−
vecteurs colonnes
→ . On note cette matrice Pl. Elle s’écrit :
−
→
−
ri × li−
!
→
−−
→
−
−
l1
···
lm
Pl =
(4.6)
→
−
→
−
→
−
−
→
−
−
r1 × l1 · · · rm × lm
Les matrices PlF et PlM se déduisent naturellement :
→
−−
→
−
−
PlF =
l1 · · · lm
→
−
→
−
→
−
−
→
−
−
PlM =
r1 × l1 · · · rm × lm
(4.7)
(4.8)
On peut utiliser POLPlF similairement à POLPF . L’intérêt est conséquent car,
dans le cas où les points Ai sont invariants, en prenant S comme origine pour
→
−
le tracé des vecteurs li− , la position de leur point extrémité ne varie pas avec
→
→
la position XS . En effet, ce sont les points Ai translatés de −−
ri , et −
ri étant fixe
dans RS , il ne varie qu’avec Xang . Ainsi POLPlF est invariant avec XS , mais varie
malheureusement avec les variations de Xang . Cela permet d’utiliser le dessin
de POLPlF non comme outil d’exploration mais comme outil de prédiction par
tranche de WTFh (c’est à dire prédiction de WTFh pour une orientation Xang de la
plate-forme mobile donnée).
Voici quelques exemples pour rendre cela compréhensible.
4.5.2
Organe terminal ponctuel
Dans ce cas simple, le manipulateur a au plus 3 ddl, en translation. Nous
→
avons −
ri = 0, P = PF et WT h = WTFh .
Dans ce cas si l’on prend l’organe terminal ponctuel pour origine des
coordonnées de l’espace affine IRn : OIRn , alors les points extrémités des vecteurs
→
−
li sont les points Ai , emplacement des guides câbles sur le bâti.
Prenons par exemple le manipulateur plan, 2 ddl, 4 câbles, figure 4.1. Le
cercle plein est l’organe terminal ponctuel S. Il a été choisi comme origine des
coordonnées de l’espace affine IR2 : OIR2 . Les vecteurs en rouges sont les vecteurs
→
−
li , vecteurs colonnes de Pl. Le cercle vide correspond à une autre position de
l’organe terminal ponctuel.
On constate que POLPl = {A1 , A2 , A3 , A4 } ne varie pas avec la position de S.
Son enveloppe convexe, EN V CON V (POLPl ) est l’espace de travail théorique WT h .
Ainsi, même si sur la figure 4.1 le cercle vide (qui représente une position de S)
est hors de POLPl , il est à l’intérieur de EN V CON V (POLPl ) et donc de WT h .
4.5.3
Organe terminal non ponctuel
Si la plate-forme mobile est non ponctuelle, alors il y a possibilité de rotation.
Dans cette sous-section je vais me restreindre aux manipulateurs plans, mais la
56
F IG . 4.1 – Manipulateur ponctuel plan, 2 ddl, 4 câbles
méthode fonctionne aussi pour les manipulateurs à 6 ddl. Elle est appliquée à ce
type de manipulateurs dans les chapitres 6, 7 et 8.
Pour expliquer la détermination graphique de l’espace de travail, nous allons
utiliser diverses architectures géométriques de manipulateurs plans à 3 ddl avec
une poutre pour plate-forme mobile.
La première figure (figure 4.2) montre que, pour une pose (position
et orientation)
quelconque de la poutre, nous pouvons tracer les vecteurs
!
−
→
−
li
→ , et vérifier si OIR3 est bien à l’intérieur de l’enveloppe convexe
−
→
−
ri × li−
EN V CON V (POLPl ) obtenue. Ce qui permet d’affirmer si cette pose X est bien dans
l’espace de travail théorique WT h .
→
−
→
→
Le manipulateur est plan dans le plan (−
x ,−
y ). Les vecteurs li− sont des
→
−
→
vecteurs du plan, mais les vecteurs −
ri × li− sont orthogonaux au plan. Ils ne sont
non nuls que pour les 2 câbles!avec bras de levier, donc aux extrémités de la
→
−
li−
poutre. Les vecteurs
sont des vecteurs de IR3 . Le polyèdre POLPl a
→
−
→
−
−
ri × li
→
→
3 sommets dans le plan (−
x ,−
y ), un sommet « devant » et un sommet « derrière ».
→
→
Bien sur, OIR3 est dans le plan (−
x ,−
y ).
Sur le dessin on constate que OIR3 est dans EN V CON V (POLPl ) qui est ici
confondue avec POLPl . Et donc la pose X pour laquelle le schéma a été fait est
dans l’espace de travail théorique WT h .
57
F IG . 4.2 –
Dessin de l’enveloppe convexe EN V CON V (POLPl ) pour un
manipulateur plan à 3ddl
Pour connaître l’espace de travail théorique WT h , il faut faire ce schéma pour
chaque pose X, mais c’est fastidieux.
L’exemple suivant (figure 4.3), montre qu’avec un seul schéma on peut
déterminer l’espace de travail théorique global en force WTFh pour une orientation
de la poutre donnée.
F IG . 4.3 – Détermination de l’espace de travail théorique global en force pour un
manipulateur plan à 3 ddl, pour une orientation donnée
58
C’est le même manipulateur que pour
la figure 4.2. Mais cette fois ci, nous
!
→
−
−
→
−
li
ne traçons pas les vecteurs
, mais seulement les vecteurs li− . Nous ne
→
−
→
−
ri × li−
nous intéressons qu’à la matrice PlF et donc à l’espace de travail théorique global
en force WTFh .
Comme pour la figure 4.1, la poutre est tracée dans 2 configurations
différentes pour montrer que l’hyperpolyèdre POLPlF est invariant avec la
position de la poutre (mais pas avec son orientation). EN V CON V (POLPlF ) (qui
est ici confondue avec POLPlF ) est l’espace de travail global en force pour
F,X0
l’orientation X0ang avec laquelle le schéma a été fait, noté WT h ang (pour faire
apparaître que ce n’est pas l’espace de travail théorique global en force dans son
ensemble, mais juste la « tranche » Xang = X0ang ).
La figure 4.4 montre le même manipulateur pour une autre orientation
Xang = X1ang . Nous pouvons constater que EN V CON V (POLPlF ) est différent, et
nous donne la tranche de l’espace de travail théorique global en force pour cette
F,X1
ang
nouvelle orientation WT h
.
F IG . 4.4 – Détermination de l’espace de travail théorique global en force pour
une autre orientation du même manipulateur
Il convient d’être prudent, WTFh n’est pas inclus dans WT h , il l’englobe. C’est
un résultat intéressant, mais il n’est que partiel. Ainsi, dans la figure 4.5, le point
S est à l’intérieur de EN V CON V (POLPlF ), donc cette pose fait partie de WTFh .
−−−−→
Cependant, on peut constater que le moment produit par les câbles, Mc→OT ,
calculé en S, ne peut être que négatif. Cette pose X, bien que faisant partie de
WTFh , ne fait pas partie de WT h .
4.6. CONCLUSION
59
F IG . 4.5 – Position de l’organe terminal dans l’espace de travail théorique global
en force, mais hors de l’espace de travail théorique
4.6
Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons défini précisément l’espace de travail théorique
WT h et l’espace de travail pratique WP r . Ce dernier n’étant pas utilisable dans
une phase de conception d’architectures de manipulateurs, nous nous sommes
intéressé dans la suite du chapitre à WT h et à une méthode géométrique rapide
permettant de le déterminer.
Cette méthode est basée sur la caractérisation mathématique de l’espace de
travail théorique à partir des propriétés de la matrice P. Elle s’exécute avec des
schémas. Dans le cas ou l’organe terminal est ponctuel, elle donne de façon exacte
WT h avec un seul schéma simple. Si l’organe terminal n’est pas ponctuel, la
détermination de WT h nécessite des schémas plus complexes et, si n > 3, il n’est
plus possible de faire les schémas.
Dans ce cas, nous nous contentons de déterminer graphiquement un espace
de travail théorique moins contraignant : l’espace de travail théorique global en
force WTFh . La détermination pouvant se faire par tranches à Xang = Cste.
Cette méthode de détermination graphique et rapide de l’espace de travail
théorique est développée dans un but de pré-conception de manipulateurs à
câbles. Elle fournit des informations qualitatives qui aident le concepteur à choisir
rapidement et sans calculs entre différents concepts concurrents.
60
Des recherchent sont actuellement en cours sur la détermination analytique
de l’espace de travail théorique, et des résultats déjà publiés pour les robots à 3
ddl et 4 câbles dans le plan [Gouttefarde et Gosselin, 2004].
Chapitre 5
Conduite coordonnée des tensions
Nous avons vu dans le chapitre précédent que, du fait de la
redondance des câbles, pour un effort donné à produire, il y a, si
la partie mobile est dans l’espace de travail, une infinité de vecteurs
tension solutions. Nous avons également énoncé que la taille de
l’espace de travail pratique dépend de la gestion de la redondance.
Dans ce chapitre, nous allons donner le principe d’une commande
mixte en force/position, expliquer et proposer deux algorithmes de
conduite coordonnée des tensions.
5.1
5.1.1
Nécessité d’un algorithme
Particularités de la commande des manipulateurs parallèles à câbles
Il est impossible de commander en position un manipulateur parallèle à m
câbles en pilotant la longueur des m câbles. En effet, du fait des erreurs du modèle
géométrique l = H(X), certains câbles risquent de se trouver détendus, ce qui
entraîne chocs et vibrations. Il est donc nécessaire de passer par une commande
des câbles en tensions.
Une première façon de procéder est de commander pour chaque moteur une
tension (donc un couple) proportionnelle à l’erreur de longueur (entre la valeur
désirée et la valeur mesurée) plus un terme dérivé et un terme arbitraire constant
(permettant d’assurer une force interne dans le système) [Kawamura et al., 1995a].
Une autre solution est de calculer l’erreur dans l’espace des coordonnées
généralisées, la multiplier par un facteur proportionnel, y ajouter un facteur
dérivé, toujours l’espace des coordonnées généralisées, puis passer aux tensions
dans les câbles par l’inverse de Moore Penrose [Kino et al., 1999].
Une solution beaucoup plus simple peut également être envisagée pour
les déplacements de plate-formes mobiles très légères et ne subissant aucun
effort. On peut commander la longueur de n câbles, et commander les n − m
câbles restant à tension constante, ces derniers étant chargés de maintenir une
précontrainte dans le système et donc une tension positive dans tous les câbles.
61
CHAPITRE 5. CONDUITE COORDONNÉE DES TENSIONS
62
Cette solution a notamment été utilisée par le Laboratoire de Robotique de
l’Université de Laval1 à Québec.
Une solution plus complexe, mais plus riche en possibilités, consiste à
commander la position par l’intermédiaire d’une commande en force. L’erreur de
consigne en position est transformée en consigne en effort par l’intermédiaire du
« contrôleur en position ». On utilise le fait qu’appliquer un torseur d’effort à la
plate-forme mobile revient à lui imposer une variation de son torseur dynamique,
donc de sa position (par double intégration). La consigne en effort ainsi obtenue
est transformée en consigne en tensions dans les câbles par l’algorithme de
conduite coordonnée de la tension dans les câbles, noté Φ. Les moteurs ont
chacun leur module de commande en couple, chargé de fournir la tension désirée
dans le câble.
La figure 5.1 représente le schéma bloc de principe d’une telle commande en
position.
F IG . 5.1 – Principe de commande en position passant par la commande de la
tension des câbles
Le principal avantage de ce type de commande est de pouvoir mixer
commande en force / commande en position. C’était une exigence du cahier des
charges de SACSO, c’est donc la solution qui a été retenue.
5.1.2
Principe de commande mixte effort/position des manipulateurs à câbles
Ce type de commande permet soit :
– de commander complètement en force,
– de commander complètement en position,
– de commander en force sur une partie des ddl, et en position sur les autres.
Cela permet par exemple d’imposer à la plate-forme mobile de rester dans un
→
→
plan (O, −
x ,−
y ) (là c’est une consigne de position : z = 0, Rx = Ry = 0), et d’avoir
un mouvement libre dans ce plan, conséquence des efforts extérieurs appliqués à
la plate-forme (et là c’est une commande en force : Fx = Fy = Mz = 0).
Bien sûr, il est impossible d’imposer un effort et un déplacement sur un même
axe. Cela impose donc de projeter les consignes en forces et positions dans 2
sous-espaces complémentaires de l’espace à n ddl des déplacements/rotations.
1
http ://wwwrobot.gmc.ulaval.ca/home_fran.html
5.2. ALGORITHMES DE LA LITTÉRATURE
63
C’est le rôle du projecteur Π sur la figure 5.2 représentant le principe d’une telle
commande.
F IG . 5.2 – Principe de commande hybride force/position d’un manipulateur à
câbles
Que l’on choisisse une commande en force ou en position, il nous faut
déterminer un algorithme de conduite coordonnées des tensions.
5.2
Algorithmes de la littérature
Il y a une infinité de vecteurs tension T solution de l’équation F = −PT. Elles
se décomposent en deux termes sous la forme :
T = −P+ .F + (Im×m − P+ .P)Tqcq
(5.1)
avec Tqcq un vecteur quelconque de IRm . L’ensemble formé par ces solutions est
un sous espace vectoriel de IRm de dimension m − n, nous le nommerons Tsol . Le
but d’un algorithme de gestion coordonnée des tensions est de choisir un vecteur
T dans Tsol respectant des contraintes de tensions minimales et maximales.
Les contraintes sur les tensions sont linéaires, l’équation F = −PT est linéaire,
nous avons donc à faire à un problème linéaire. L’existence d’une infinité de
solution a priori impose le choix d’un critère de sélection de la solution pour
la résolution du problème.
Si le critère est linéaire (comme par exemple minimiser la plus grande
composante de T), le système se résout par de la programmation linéaire. C’est
le cas du premier algorithme de gestion coordonnée des tensions proposé, par
Ming et Higuchi [Ming et Higuchi, 1994a]. Les problèmes de tensions maximales
et les possibilités conférées par le noyau de P surtout si celui-ci est de dimension
supérieure à 1 n’étaient pas abordés.
Si le critère est quadratique (comme par exemple minimiser ||T||), le système
se résout par la programmation quadratique. C’est le cas de l’algorithme proposé
par R. Verhoeven et M. Hiller dans [Verhoeven et Hiller, 2002] ainsi que dans la
thèse de R. Verhoeven [Verhoeven, 2003].
64
Les bornes sur les tensions font que l’ensemble des vecteurs tensions
acceptables est un hyper-parallélépipède [Tmin , Tmax ]m (dans cet article de R.
Verhoeven et M. Hiller les tensions minimales et maximales sont les mêmes
pour tous les câbles). L’algorithme recherche le vecteur de norme minimale qui
soit solution et dans [Tmin , Tmax ]m . Il se trouve sur l’intersection entre une face
de [Tmin , Tmax ]m et le sous espace vectoriel Tsol . Dans le cas ou le noyau est de
dimension 1, Tsol est une droite et cette intersection est un point. Si le noyau est
de dimension 2, Tsol est un hyperplan, cette intersection devient un segment et il
faut déterminer le point minimisant la norme de T sur ce segment. La suite est
exposée dans l’article de R. Verhoeven et M. Hiller2 .
Pour la recherche de la solution, la programmation quadratique est préférable
(au niveau de la commande) à la programmation linéaire car la solution est
continue. Cependant, nous estimons qu’il est néfaste pour le comportement de
l’ensemble de rechercher à minimiser la norme du vecteur T. Nous proposons
un algorithme basé sur un autre critère quadratique.
5.3
5.3.1
Proposition d’algorithmes
Principes directeurs
Pour des raisons technologiques diverses, nous estimons que le vecteur
T ∈ Tsol à rechercher est le vecteur T solution le plus proche d’un vecteur Topt
défini à partir des caractéristiques des moteurs, enrouleurs et câbles.
Notre algorithme de gestion coordonnée de la tension dans les câbles
recherche à minimiser ||Topt − T|| sous la contrainte :
F = −P · T
(5.2)
contrainte équivalente à T ∈ Tsol .
La résolution se fait par l’utilisation du lagrangien :
1
L = (T − Topt )T (T − Topt ) + λT (F + P · T)
2
La condition de stationnarité s’écrit :
∂L
∂T
(5.3)
= 0. Soit, après dérivation :
T − Topt + PT λ = 0
T = Topt − PT λ
(5.4)
(5.5)
(5.5) reporté dans la contrainte (5.2), cela donne :
F = −P(Topt − PT λ)
soit :
λ = (PPT )−1 (F + PTopt )
2
dans le court résumé de leur algorithme, j’ai employé mes notations pour ne pas perdre le
lecteur, les notations employées par MM. Verhoeven et Hiller sont différentes.
5.3. PROPOSITION D’ALGORITHMES
65
Reporté dans (5.5) cela donne pour T :
T = Topt − PT (PPT )−1 F − PT (PPT )−1 P · Topt
En reconnaissant P+ = PT (PPT )−1 l’inverse de Moore Penrose de P,
nous retrouvons l’équation (5.1) définie précédemment mais avec un Topt
judicieusement choisi en lieu et place du vecteur Tqcq quelconque de IRm .
Tsol = −P+ .F + (Im×m − P+ .P)Topt
(5.6)
Géométriquement, pour obtenir cette solution, il suffit d’ajouter à la solution
de norme minimale Tef f = −P+ .F le Tnul égal au projeté de Topt sur le noyau :
Tnul = (In×n − P+ .P)Topt .
Ce résultat est illustré par la figure 5.3 pour n = 2 et m = 3, seul cas significatif
possible à dessiner3 .
F IG . 5.3 – Détermination de Tsol pour n = 2 et m = 3
Il se peut cependant que la solution Tsol donnée par la relation (5.6) ne
satisfasse pas aux contraintes de tension minimales et maximales. Auquel cas
plusieurs solutions s’offrent à nous : une première solution fort simple que nous
nommerons « solution sous optimale », et d’autres solutions plus complexes.
5.3.2
Un algorithme sous optimal
Cet algorithme consiste à prendre Tsol tel qu’il est calculé par l’équation (5.6)
et restreindre l’espace de travail pratique aux cas où Tsol ∈ [Tmin , Tmax ].
Si m > 3, nous ne pouvons pas représenter IRm ; pour m = 3 une redondance > 1 signifierait
un nombre de ddl n = 1, et donc sur 3 câbles, deux parallèles tirant dans le même sens. . .
3
66
Tmin et Tmax sont des vecteurs de IRm , [Tmin , Tmax ] un hyper-parallélépipède
de IRm . Les tensions maximales et minimales ne sont pas identiques sur tous les
câbles, chaque câble à ses tensions minimales et maximales.
C’est une solution sous-optimale dans la mesure où sont exclus de l’espace de
travail un certain nombre de points qui s’y trouveraient si un algorithme plus fin
était employé. L’avantage principal de ce type de solution sous-optimale réside
dans la simplicité de l’algorithme qui donne avec très peu de temps calcul une
solution continue.
5.3.3
Un algorithme par saturation des contraintes
Cet algorithme consiste à vérifier si la solution Tsol du problème sans
contrainte sur les tensions donnée par la relation (5.6) satisfait la condition
Tsol ∈ [Tmin , Tmax ].
Si oui, c’est la solution (cf. figure 5.4 pour n = 2 et m = 3).
F IG . 5.4 – Tsol est dans l’hyper-parallélépipède [Tmin , Tmax ]
Si non, nous allons saturer les contraintes de tension violées suivant une
certaine stratégie et rechercher la solution.
Si une seule contrainte est violée
Commençons par le cas où une seule contrainte de tension est violée, par
exemple Tk > Tk, max . Nous reprenons le problème exposé précédemment :
minimiser ||Topt − T|| sous la contrainte (5.2) :
F = −P · T
avec la contrainte supplémentaire sur les tensions Tk − Tk, max = 0 (saturation de
la contrainte sur les tensions violée). Le lagrangien s’écrit alors :
1
L = (T − Topt )T (T − Topt ) + λT (F + P · T) + µk (Tk − Tk, max )
2
67
En posant eT
k = (0 · · · 0 1 0 · · · 0), le 1 étant en k-ième position, le Langrangien
s’écrit alors :
1
L = (T − Topt )T (T − Topt ) + λT (F + P · T) + µk eT
k (T − Tmax )
2
La condition de stationnarité
∂L
∂T
= 0 s’écrit :
T − Topt + PT λ + µk ek = 0
(5.7)
Pour déterminer T, il faut résoudre l’équation (5.7), cela peut se faire
directement, en passant par les contraintes qui permettent de déterminer λ et
µk .
Il est aussi envisageable d’utiliser la solution du problème sans contrainte
sur les tensions. Celle-ci est toujours calculée, ne serait-ce que pour vérifier
quelle contrainte sur les tensions est violée et doit donc être saturée, et son
utilisation pour la résolution du problème avec la contrainte saturée permet
diverses interprétations géométriques.
C’est la façon qui est choisie et développée ci-dessous.
Soit Tsol la solution du problème sans contrainte sur les tensions, donnée par
la relation 5.6, et λsol le paramètre de Lagrange associé (cf lagrangien équation
(5.3)). Ils satisfont les équations 5.2 et 5.4. Soit :
F = −P · Tsol
Tsol − Topt + PT λsol = 0
et la violation de la contrainte en tension maximale sur le câble k, soit :
eT
k Tsol > Tk, max
ou :
Tk, sol > Tk, max
En introduisant Tsol et λsol dans (5.7) et (5.2), on obtient :
P(T − Tsol ) = 0
T − Tsol + P (λ − λsol ) + µk ek = 0
T
(5.8)
(5.9)
Et l’introduction de Tsol dans la contrainte de saturation Tk = Tk, max donne :
Tk − Tk, sol = Tk, max − Tk, sol
ou :
eT
k (T − Tsol ) = Tk, max − Tk, sol
Multiplions (5.9) par P :
P(T − Tsol ) + PPT (λ − λsol ) + µk Pek = 0
En notant Pk la k-ième colonne de P et avec l’équation (5.8), on obtient :
PPT (λ − λsol ) + µk Pk = 0
68
Ce qui donne :
λ = λsol − µk (PPT )−1 Pk
Multiplions maintenant (5.9) par
eT
k
(5.10)
:
T
T T
eT
k (T − Tsol ) + ek P (λ − λsol ) + µk ek ek = 0
Soit :
(Tk, max − Tk, sol ) + PT
k (λ − λsol ) + µk = 0
(5.11)
En reportant λ obtenue par la relation (5.10) dans (5.11), on obtient :
T −1
(Tk, max − Tk, sol ) − µk (PT
k (PP ) Pk − 1) = 0
Soit :
µk = δk (Tk, max − Tk, sol )
avec :
δk =
1
T −1
PT
k (PP ) Pk
−1
En remplaçant µk par sa valeur dans (5.10), on obtient :
λ = λsol − δk (Tk, max − Tk, sol )(PPT )−1 Pk
Et en remplaçant µk et λ dans (5.9) on obtient :
T = Tsol + δk (Tk, max − Tk, sol )PT (PPT )−1 Pk − δk (Tk, max − Tk, sol )ek
En factorisant et avec P+ = PT (PPT )−1 , on obtient :
T = Tsol + (Tk, sol − Tk, max )δk (ek − P+ Pk )
(5.12)
que l’on appelle Tsat
sol
Vérifions que −P · Tsat
sol = F :
−P · Tsat
sol =
=
=
=
−P(Tsol + (Tk, sol − Tk, max )δk (ek − P+ Pk ))
−PTsol − (Tk, sol − Tk, max )δk P(ek − P+ Pk )
F − (Tk, sol − Tk, max )δk (Pk − PP+ Pk )
F
Vérifions également que Tk sat
sol = Tk, max :
sat
T
Tk sat
sol = ek Tk sol
+
= eT
k (Tsol + (Tk, sol − Tk, max )δk (ek − P Pk ))
+
= Tk, sol + (Tk, sol − Tk, max )δk eT
k (ek − P Pk ))
On remplace P+ et δk et on obtient :
Tk sat
sol = Tk, sol + (Tk, sol − Tk, max )
T −1
1 − PT
k (PP ) Pk
T −1
PT
k (PP ) Pk − 1
Tk sat
sol = Tk, sol − (Tk, sol − Tk, max )
= Tk, max
Cette solution est égale à Tsol plus la projection sur le noyau, dans la direction
saturée, du dépassement de tension. La figure 5.5. donne une représentation
graphique de la solution avec une contrainte saturée pour n = 2 ddl et m = 3
câbles.
69
F IG . 5.5 – Tsat
sol solution de T minimisant ||Topt − T||, avec T2 saturée à T2max
Plusieurs contraintes de tension violées simultanément
Pour un manipulateur à n ddl et m > n câbles, il n’est possible de saturer
que m − n tensions. Dans le cas où plusieurs contraintes de tensions sont violées
simultanément, il n’est pas intéressant de faire le calcul du vecteur tension T en
saturant simultanément toutes les contraintes tensions violées.
Il est plus judicieux de commencer par saturer les tensions une par une (par
exemple dans l’ordre décroissant de leur écart avec la limite), et de calculer la
sat
solution Tsat
sol . Dès qu’un vecteur Tsol calculé est dans le domaine admissible (en
fait sur une hyper-face), il est optimal, la recherche s’arrête.
Si aucun Tsat
sol calculé n’est dans le domaine admissible, il faut saturer deux
tensions. On classe tout les couples possibles (dans l’ordre de la somme des écarts
à la limite par exemple), et pour chaque couple on calcule la solution Tsat
sol , le
sat
sat
calcul de Tsol étant développé ci après. Dès qu’un vecteur Tsol calculé est dans
le domaine admissible (en fait sur une hyper-face), il est optimal, la recherche
s’arrête.
Si aucun Tsat
sol calculé n’est dans le domaine admissible, il faut saturer trois
tensions, on classe les triplets possibles et ainsi de suite. . .
Calcul de Tsat
sol pour plusieurs contraintes saturées simultanément
Notons Tlim le vecteur des tensions limites franchies par le vecteur Tsol
calculé sur le problème sans contraintes en tension. Ce vecteur est de dimension
q ≤ m − n, et contient des Tmin et des Tmax (par exemple Tlim = (T3, max , T6, min )T ,
si la tension dans le 3-ième câble est supérieure à la tension T max admissible pour
ce câble et que la tension dans le 6-ième câble est inférieure à la tension T min
admissible pour ce câble).
70
Le lagrangien s’écrit :
1
L = (T − Topt )T (T − Topt ) + λT (F + P · T) + µT (ET T − Tlim )
2
(5.13)
avec E = (ek1 · · · ekq ) correspondant aux q ≤ m − n tensions à saturer sur leur
limite violée.
∂L
La condition de stationnarité ∂T
= 0 s’écrit :
T − Topt + PT λ + E · µ = 0
Nous appliquons la même méthode de résolution que pour une seule
contrainte de tension violée, en introduisant la solution du problème sans
contrainte de tension. D’où :
T − Tsol + PT (λ − λsol ) + E · µ = 0
(5.14)
Multiplions la relation (5.14) par P :
PPT (λ − λsol ) + P · E · µ = 0
(5.15)
Notons Psat = (Pk1 · · · Pkq ) = P · E. La relation (5.15) devient :
PPT (λ − λsol ) + Psat · µ = 0
(5.16)
Multiplions la relation (5.14) par ET :
ET (T − Tsol ) + PT
sat (λ − λsol ) + µ = 0
(5.17)
Notons ∆sat = ET (T − Tsol ). Comme T vérifie ET T = Tsat , nous avons
∆sat = (Tsat − ET Tsol ), le vecteur des écarts entre les composantes de Tsol violant
les limites en tension et ces limites. La relation (5.17) devient :
∆sat + PT
sat (λ − λsol ) + µ = 0
(5.18)
(λ − λsol ) = −(PPT )−1 Psat · µ
(5.19)
De (5.16) on obtient :
qui, injecté dans (5.18) donne :
µ = (P+ Psat − Iq×q )−1 ∆sat
(5.20)
Enfin, (5.19), (5.20) et (5.14) donnent :
T = Tsol + (P+ Psat − E) · (P+ Psat − Iq×q )−1 ∆sat
(5.21)
Le T donné par l’équation (5.21) est la solution saturée Tsat
sol de l’équation
F = −PT minimisant ||Topt − T||. Comme plusieurs contraintes sont saturées
simultanément, elle se trouve sur une « arrête » de l’hyper-parallélépipède4
[Tmin , Tmax ].
4
plus exactement à l’intersection de plusieurs hyperplans faces de l’hyper-parallélépipède
5.4. CONCLUSION
5.4
71
Conclusion
Dans ce chapitre nous avons abordé les problèmes de gestion coordonnée
des tensions posés par la redondance cinématique des manipulateurs parallèles à
câbles. Après avoir expliqué la nécessité d’une telle gestion des tensions et donné
un aperçu des algorithmes de la littérature, nous avons proposé notre algorithme
de gestion coordonnée des tensions.
La particularité première de notre algorithme est de chercher à minimiser
||Topt − T||, Topt étant la tension que nous avons jugé optimale pour le
comportement du système. Un des avantages de cet algorithme est la continuité5
de la solution.
5
de la tension dans les câbles en fonction du temps
72
Chapitre 6
Conception : règles et exemples
Ce chapitre présente quelques règles simples de conception des
manipulateurs parallèles à câbles. Deux architectures extrêmes
de manipulateur à 6 ddl sont ensuite présentées : l’architecture
minimale et l’architecture au plus grand nombre de câbles (cette
dernière architecture a fait l’objet d’une publication [Lafourcade et
Verhoeven, 2003]).
6.1
Règles
de
conception
de
l’architecture
géométrique des manipulateurs parallèles à
câbles
L’étude théorique des manipulateurs parallèles à câbles et la conception d’un
prototype pour le projet SACSO nous a permis de synthétiser quelques règles
simples de conception de ce type de manipulateurs.
Ainsi, nous conseillons de :
– découpler autant que faire se peut les ddl ;
– « réunir » les câbles aux points d’attaches ou aux renvois ;
– minimiser le nombre de points d’attache sur l’organe terminal.
Découpler les ddl rend possible l’utilisation de câbles et moteurs différents (et
non tous identiques) tout en favorisant la compréhension des leurs actions.
La réunion des câbles aux points d’attache (un même guide annulaire sur
le bâti pour 2 câbles par exemple) permet d’éviter qu’ils ne se croisent sur leur
longueur libre et augmente ainsi l’espace de travail pratique.
Minimiser le nombre de points d’attache sur l’organe terminal limite le
nombre de câbles pouvant se trouver alignés et donc inopérants (cf.chapitre 7
figure 7.2).
Appliquons ces quelques règles pour la conception de deux architectures
particulières : l’architecture minimale et l’architecture maximale.
73
CHAPITRE 6. CONCEPTION : RÈGLES ET EXEMPLES
74
6.2
6.2.1
L’architecture minimale
L’architecture
Il est établi que
– 6 ddl imposent au minimum 7 câbles ;
– 3 points sont nécessaires pour positionner un solide dans l’espace.
Par le théorème de l’action/réaction, ce qui est valable pour la partie mobile
l’est aussi pour la partie fixe. Les deux sont interchangeables, c’est juste une
question de point de vue.
D’où il suffit de 3 points sur partie mobile et de 3 points sur partie fixe.
IL reste à relier 2 fois 3 points avec 7 câbles, pour obtenir l’architecture
minimale.
Il faut au minimum 2 câbles par point d’attache. Si il y a un point d’attache
avec un seul câble – comme LP1 sur la solution 1-3-3 figure 6.1(a) – alors il subsiste
→
des moments non réalisables – ici les moments négatifs autour de −
y . Si il y a au
minimum 2 câbles par point d’attache – comme sur la solution 3-2-2 figure 6.1(a)
où tous les moments sont réalisables – alors la figure 6.1(b) nous montre la seule
façon de 2 ensembles de 3 points par 7 câbles.
x
LP1
LP2
LP1
LP2
O
z
LP3
LP3
y
3−2−2
1−3−3
(b) 7 câbles reliant 2 fois
3 points
(a) comment accrocher 7 câbles en 3 points
F IG . 6.1 – 7 câbles, 2 solides, 3 points par solides
Ce qui nous permet de conclure que, pour l’architecture minimale, il faut 3
points d’attaches sur la plate-forme mobile et 3 renvois sur le bâti. La façon dont
les points d’attache de la plate-forme mobile sont relié aux renvois sur le bâti par
les câbles est donnée par la figure 6.1(b).
Il faut maintenant organiser les points sur la plate-forme mobile et les
renvois sur le bâti ; puis choisir une position de référence. 3 points sont toujours
coplanaires ; par contre il ne serait vraiment pas judicieux de les aligner. La
solution la plus mécanique est 2 triangles équilateraux – un pour le bâti et un
pour la partie mobile – dans 2 plans, orthogonaux lorsque le manipulateur est en
position de référence. Ce qui donne la figure 6.2.
6.2. L’ARCHITECTURE MINIMALE
75
F IG . 6.2 – L’architecture minimale pour 6 ddl
Comme les points n’ont pas tous les mêmes « poids »1 , la solution triangle
isocèle est à étudier. Une phase d’optimisation est à envisager.
6.2.2
Prévision du volume de travail de l’architecture minimale
à l’aide de la méthode graphique
Pour avoir rapidement une idée précise des possibilités d’évolution d’un tel
manipulateur, nous utilisons la méthode établie au chapitre 4. Ce manipulateur
est à 6 ddl ; pour une première approche nous nous intéresserons uniquement à
l’espace de travail en translation pour une orientation « nulle », c’est-à-dire les
deux triangles orthogonaux.
→
−
Le point origine choisi pour tracer les vecteurs câbles li− est le point d’où
partent 3 câbles. Il est noté S. D’après les théorèmes énoncés chapitre 4, le
→
−
polyhèdre POLPlF formé par les points extrémités des vecteurs li− tracés à partir
de S (représenté figure 6.3) est l’espace de travail global en force à orientation
F,Xnull
nulle WT h ang . C’est également le volume atteignable par S, la plate-forme mobile
étant orthogonale au triangle du bâti.
Nous pouvons ainsi constater que malgré le fait que le bâti et la plate-forme
mobile soient plans, l’espace de travail en déplacement n’est pas plan. Il a comme
« profondeur » la largeur de la plate-forme mobile. Si l’on incline la plate-forme
mobile, on diminue le projeté orthogonal de sa largeur sur la normale au plan
du bâti. Il s’en déduit facilement, sans faire les autres schémas, que cela diminue
d’autant la « profondeur » de l’espace de travail en déplacement.
1
1 point a 3 câbles, alors que les autres en ont 2, il est donc logiquement plus « important »
76
F IG . 6.3 – Espace de travail en translation pour une orientation « nulle » du
manipulateur à architecture minimale
6.3
Manipulateur à douze câbles
Si ajouter des câbles augmente le nombre de sommets de POLM , et donc son
volume, et par conséquence WT h 2 , il n’augmente pas forcément le volume de
travail utilisable. En effet, le risque de collisions entre câbles augmente avec leur
nombre.
Une trop forte redondance n’augmente donc pas forcément le volume de
travail, surtout si le manipulateur est mal conçu. La question – qui me fut posé
par R. Verhoeven lors de mon séminaire dans son université à Duisburg – est
donc : « à partir de combien de câbles en ajouter un n’apporte rien ? ».
Augmenter le nombre de câbles sert surtout à augmenter les capacités
angulaires sans pénaliser les capacités en translation (pour augmenter les
capacités en translation, la réponse classique est d’augmenter la taille du bâti en
éloignant les poulies, ce qui a pour effet immédiat de diminuer les capacités en
rotation). Souvent, sur un manipulateur à 6 ddl, un axe est privilégié en rotation,
les autres ayant un débattement angulaire très limité. Comment et avec combien
de câbles pouvons nous avoir de forts débattements angulaires sur les trois axes ?
Un câble ne pouvant que tirer, pour contrôler complètement un degré de
liberté, il faut au minimum deux câbles. Si l’on veut découpler au maximum
les degrés de liberté, il nous faut alors deux câbles par ddl, soit douze pour un
manipulateur à six degrés de liberté. Par contre, l’usage de plus de deux câbles
par ddl me semble inutile voir contre productif puisque seulement deux câbles
suffisent pour contrôler complètement un degré de liberté.
6.3.1
Principe
Après avoir décidé d’utiliser deux câbles par ddl, reste à les agencer, en faisant
attention aux croisements, et en gardant à l’esprit que ce sont les débattements
angulaires que nous avons décidé de privilégier.
2
voir chapitre 4
6.3. MANIPULATEUR À DOUZE CÂBLES
77
Comme ce sont les débattements angulaires qui sont privilégiés, la réflexion
est menée autour de ceux ci. Chaque axe de rotation définit un plan (orthogonal
à cette axe) incluant quatre câbles.
Pour diminuer les risques de croisements intempestifs des câbles, il suffit
de les réunir aux points d’attaches sur la plate-forme mobile et/ou dans les
poulies. Ce qui conduit à l’architecture « diamant », très performante au niveau
du débattement angulaire, visible sur la figure 6.4.
F IG . 6.4 – Solution diamant.
Cette architecture élimine tout risque de collisions entre les quatre câbles.
Chaque sous ensemble « diamant » assure une rotation et une translation.
Pour avoir les six ddl, il faut et il suffit d’en assembler trois orthogonalement,
comme sur la figure 6.5. Cela donne une croix à 6 branches de longueurs égales et
orthogonales entre elles pour la plate-forme mobile, et un octaèdre régulier pour
le bâti.
F IG . 6.5 – Assemblage orthogonal de 3 sous ensembles « diamants ».
De ces réflexions j’ai aboutit à un croquis de manipulateur à 12 câbles. D’après
ce croquis R. Verhoeven a construit une maquette en mécano du manipulateur à
12 câbles visible sur la figure 6.6(a). Je l’ai ensuite modélisée sous OpenGL (figure
6.6(b)) pour poursuivre l’étude avec la méthode graphique.
78
Z
croix - organe terminal
Y
bâti
X
câbles
(a) maquette en mécano
(b) modélisation OpenGL
F IG . 6.6 – Le manipulateur à 12 câbles
6.3.2
Prévision du volume de travail du manipulateur à douze
câble à l’aide de la méthode graphique
C’est un manipulateur à 6 ddl, nous avons vu au chapitre 4 qu’il était possible,
à l’aide d’un schéma de déterminer l’espace de travail théorique global en force,
F,X
pour une orientation donnée WT h ang . Cela est développé ci après dans le cas où
l’organe terminal est à orientation nulle.
F,X
La figure 6.7 montre en 4 étapes l’obtention de ce WT h ang . Le point de départ
est une vue du manipulateur, organe terminal au centre du bâti et à orientation
nulle – quart supérieur gauche de la figure. Il faut dans un premier temps
→
−
dessiner les vecteurs câbles li− à partir du centre de l’organe terminal – quart
supérieur droit de la figure –, puis relier les points extrémités de ces vecteurs
de façon à obtenir un polyèdre convexe – quart inférieur gauche de la figure. Le
polyèdre POLPlF ainsi formé est l’espace de travail global en force à orientation
F,Xnull
ang
nulle de l’organe terminal WT h
– quart inférieur droit de la figure.
Les renvois étant positionnés sur un octaèdre sur le bâti, la forme de cet espace
de travail est très proche de l’octaèdre ; les 6 arrêtes supplémentaires, situées à la
place des 6 sommets de l’octaèdre formé par les renvois sont dues aux 3 poutres
de l’organe terminal.
Orienter l’organe terminal ne fait que déformer légèrement ce volume, au
niveau de l’orientation des 6 arrêtes supplémentaires par rapport à l’octaèdre de
base. Les limites dues aux croisements de câbles sont atteintes avant les limites
« théoriques ».
6.3. MANIPULATEUR À DOUZE CÂBLES
79
F IG . 6.7 – Prévision de l’espace de travail théorique global en force, à orientation
nulle
6.3.3
Limitations pratiques dues aux croisements entre câbles
Le choix du sous ensemble diamant permet d’éliminer les croisements des
quatre câbles coplanaires de ce sous ensemble. Et même si le fait d’assembler
ces sous ensembles orthogonalement limite les collisions de câbles, elles n’en
restent pas moins présentes, et ce sont elles qui fixent les bornes du volume
de travail utile. En l’absence d’un algorithme de calcul à priori des collisions de
câbles, les maquettes réelle (figure 6.6(a)) et virtuelle (figure 6.6(b)) permettent de
déterminer les bornes de l’espace de travail utile dues aux croisements de câbles.
→ −
−
→
→
−
→
−
Les 3 axes X , Y et Z , étant identiques, nous limiterons l’étude à l’axe Z .
On peut ainsi constater sur la figure 6.8 que le croisement des câbles n’est
→
−
pas très limitant en translation sur Z . La 6.9 montre que l’on peut espérer
→
−
– organe terminal au centre du bâti – une rotation autour de Z d’au moins
80
F IG . 6.8 – Limitation en translation sur Z due au croisement des câbles
45˚avant collision des câbles, ce qui est une bonne aptitude en rotation pour un
manipulateur parallèle à câbles.
F IG . 6.9 – Limitation en rotation autour de Z due au croisement des câbles
6.4. CONCLUSION
6.4
81
Conclusion
Dans ce chapitre, qui fait la transition entre l’étude théorique des chapitres
3, 4 et 5 et l’application à la conception d’une suspension active pour soufflerie
abordée dans les chapitres 7 et 8, nous avons synthétisé les règles essentielles de
conception des manipulateurs parallèles à câbles et proposé deux architectures
particulières :
– L’architecture minimale. Elle ne semble pas avoir d’intérêt pratique, c’est
un cas d’école.
– L’architecture à 12 câbles. Elle présente des capacités en rotations fort
intéressantes. Cependant le bâti et les câbles encombrent l’espace de travail
de ce manipulateur. On peut la réserver aux applications où un accès à
l’organe terminal n’est pas nécessaire pendant le fonctionnement, comme
par exemple pour un appareil de test à la résistance aux fortes accélérations.
82
Chapitre 7
Premiers concepts - SACSO-7
SACSO-7 fut la première architecture à câbles conçue dans le cadre
du PRF SACSO. Plus qu’une application pratique des travaux
théoriques, elle fut le support des réflexions sur les manipulateurs
à câbles, le support des avancées des connaissances théoriques et
pratiques. Ce chapitre présente la genèse de cette architecture. Cette
genèse fut précédemment abordée dans [Lafourcade et al., 2002].
7.1
7.1.1
Conception d’une architecture à 7 câbles
Idées directrices
En plus des règles de conception définies au chapitre 6, nous avons suivi
quelques idées directrices dictées par notre expérience mécanique et le domaine
d’emploi du futur manipulateur.
Nous avons notamment essayé de :
– concevoir une architecture simple,
– avoir le même plan de symétrie pour la plate-forme mobile et la maquette
d’avion1 ,
– avoir les mêmes plans de symétrie pour la veine de la soufflerie et le bâti du
manipulateur,
– limiter au maximum les interactions câbles / maquette.
Le choix de 7 câbles pour 6 ddl découle du souci d’une architecture
simple. Reste à placer les points d’ancrage sur la plate-forme mobile (que nous
appellerons également « T » en raison de sa forme) et les poulies sur le bâti.
7.1.2
Plate-forme mobile
Le choix d’une architecture simple impose de minimiser le nombre de points
d’ancrage des câbles sur la plate-forme mobile.
Dans le chapitre 6, nous avons montré qu’il faut 3 points d’ancrage minimum,
et qu’il n’y a qu’une possibilité pour accrocher les 7 câbles sur ces 3 points,
représentée figure 7.1.
1
En partant du principe que tous les aéronefs ont un plan de symétrie longitudinal vertical
83
CHAPITRE 7. PREMIERS CONCEPTS - SACSO-7
84
F IG . 7.1 – La seule solution, pour 6 ddl et 7 câbles en 3 points d’accroche
Pour l’application SACSO, une maquette d’avion2 est accrochée à la plateforme mobile par l’intermédiaire d’une balance à 6 composantes servant à
mesurer les efforts transmis par le manipulateur à la maquette. Pour respecter
le plan de symétrie longitudinal de la maquette d’avion, le point LP1 est dans ce
plan, et les points LP2 et LP3 sont symétriques par rapport à ce plan.
Pour diminuer les interférences entre les câbles et la maquette, les 4 câbles sur
les points LP2 et LP3 seront à l’arrière de la maquette (appelés « câbles arrières »),
les 3 câbles sur LP1 partant vers l’avant de la maquette (appelés « câbles avants »).
7.1.3
Position des poulies sur le bâti
Poulies des câbles avants
3 points sont toujours coplanaires. Le respect de la symétrie nous impose
que le plan formé par les 3 points centres des poulies soit orthogonal à l’axe
de la veine de la soufflerie. Cela impose également que ces 3 points forment un
triangle isocèle ou équilatéral. Nous avons énoncé au chapitre 4 qu’augmenter
la surface des « faces » de l’hyperpolyèdre formé par les points centres des
poulies augmente l’espace de travail théorique global en force WTFh . Aussi, pour
maximiser le volume de travail, le triangle formé par les centres des poulies des
câbles avant sera équilatéral.
Poulies des câbles arrières
Les veines des souffleries de l’Onera susceptibles d’accueillir le prototype
étant circulaires, nous avons décidé que les centres des poulies seraient également
sur un cercle, orthogonal à l’axe de la soufflerie. Le polyèdre à 4 sommets
de surface maximale est le carré. Cela donne l’architecture appelé « carrée »
représentée figure 7.2.
2
l’étude est réalisée avec une maquette de mirage au 1/15e , mais n’importe qu’elle maquette
d’avion de combat d’un mettre d’envergure peut être envisagée
7.1. CONCEPTION D’UNE ARCHITECTURE À 7 CÂBLES
85
F IG . 7.2 – L’architecture carrée
Cette solution offre une capacité d’évolution en roulis3 trop réduite. Lorsque la
plate-forme mobile se retrouve au centre de la veine (condition optimale pour le
roulis dans les 2 sens), les câbles 3 et 2 (respectivement 1 et 4) se retrouvent alignés
pour un roulis de 45o (respectivement −45o ), la limite d’évolution en roulis est
alors atteinte.
Une solution pour améliorer cette capacité en roulis est l’architecture
« diamant », présentée au chapitre 6, base du manipulateur à 12 câbles.
Cependant, cette solution n’est valable que s’il y a un nombre suffisant de
câbles pour assurer un hyperpolyèdre suffisamment volumineux. Ce qui n’est
pas le cas de notre architecture à 7 câbles, les limitations intrinsèques de cette
architecture devenant rédhibitoires (voir figure 7.3).
Devant la non satisfaction donnée par ces deux architectures, nous avons tenté
de les mixer. Pour cela nous avons rajouté un point d’ancrage supplémentaire sur
la plate-forme mobile. Cette architecture, nommée « balançoire » est présentée
figure 7.4.
Pour respecter la symétrie, le point d’ancrage supplémentaire, LP4 , est situé
dans le plan de symétrie longitudinal de la maquette. Sa position dans ce plan
pouvant faire l’objet d’une étude plus approfondie. La solution la plus simple,
qui n’est pas forcément la plus efficace, est de le placer légèrement en arrière de
la barre transversale du « T » [LP2 , LP3 ] de façon à ce que cette dernière ne rentre
pas en collision avec les câbles, tout en gardant un « T » assez court.
Les 4 centres des poulies sont regroupés en 3 points, sommets d’un triangle.
Ce triangle étant équilatéral pour en maximiser la surface.
3
Comme la plate-forme mobile porte une maquette d’avion, c’est le repère aéronautique de la
maquette qui est employé.
86
F IG . 7.3 – L’architecture « diamant »
F IG . 7.4 – L’architecture « balançoire »
C’est la solution qui découple au mieux le guidage en translation de l’arrière
de la maquette du guidage en roulis. On peut constater graphiquement que quel
que soit l’angle de roulis, les câbles 1 et 2 restent pleinement opérationnels.
7.1. CONCEPTION D’UNE ARCHITECTURE À 7 CÂBLES
7.1.4
87
Les deux solutions architecturales
Après avoir défini les points d’ancrage sur la plate forme-mobile et décidé
que les centres des poulies forment deux triangles équilatéraux, il reste deux
possibilités pour cette architecture : les deux façons de positionner relativement
l’un par rapport à l’autre – de façon symétrique – deux triangles équilatéraux.
F IG . 7.5 – Les 2 architectures retenues pour SACSO-7
7.1.5
Intégration avec la maquette, écarts du réel par rapport à la
conception initiale
Par souci de décomposition des ddl, il a été décidé que le centre de gravité de
la maquette devait se trouver au plus près des points d’ancrage des câbles avants,
dont le rôle est de contrôler la maquette en force / translation. Les câbles arrières
étant chargés de contrôler la maquette en moment / orientation.
Le centre de gravité de la maquette se trouve à peu près au centre de celleci, à l’endroit où le fuselage est le plus large. Les câbles ne devant pas toucher
la maquette, il est impossible d’accrocher les trois câbles avant en un seul point
LP1 . Pour intégrer le « T » à la maquette il a donc été nécessaire de s’écarter de
la conception initiale et d’ajouter une barre verticale à notre « T », comme sur la
figure 7.6.
C’est sur l’extrados de l’aile que la qualité du flux d’air a le plus d’influence
sur la portance. Comme nous avons trois câbles partant du fuselage en avant des
ailes, deux partiront vers le bas, et un vers le haut.
Ainsi, le concept architectural est déterminé, et représenté figure 7.7 avec la
maquette d’avion, en soufflerie (la veine étant représentée par le cylindre).
Le concept étant défini, les paramètres dimensionnels doivent êtres déterminés. C’est la deuxième étape. Bloquer un principe architectural simple permet
de limiter le nombre de ces paramètres. C’est l’étude des espaces de travail du
manipulateur qui va permettre de les déterminer.
88
F IG . 7.6 – Le « T » intégrable dans la maquette
F IG . 7.7 – L’architectures SACSO-7 intégrée dans la maquette
7.2
Espaces de travail
Même si nous avons limité le nombre de paramètres, ils restent quand même
nombreux ; trop nombreux pour lancer une optimisation numérique, et sur quel
critère ? La notion d’espace de travail regroupant un certains nombre d’objets
mathématiques complexes. En phase de conception préliminaire, l’accent à été
7.2. ESPACES DE TRAVAIL
89
porté sur des outils d’études rapides et intuitifs. Outils développés conjointement
aux réflexions sur l’espace de travail de SACSO-7 et présentés au chapitre 4.
L’étude a porté sur le principe architectural de base, présenté figure 7.5.
L’impossibilité d’accrocher les câbles avant en un même point sur le « T » et
l’impossibilité d’avoir deux centres de poulies en un même point n’étant pas prise
en compte dans un premier temps.
7.2.1
Espace de travail théorique global en force
Cet espace, défini au chapitre 4 est le plus simple à déterminer. C’est
l’ensemble des poses (position et orientation) où il est possible de produire
n’importe quelle force, peu importe le moment produit conjointement. C’est
néanmoins un ensemble de IR6 , non représentable graphiquement.
Il est cependant possible de le déterminer pour chaque orientation de l’organe
terminal. Ainsi, nous l’avons déterminé pour une orientation nulle de l’organe
terminal. La figure 7.8(a) donne la construction de ce volume à partir des vecteurs
→
−
li− , et la figure 7.8(b) le résultat : l’espace de travail global en force à orientation
F,Xnull
ang
nulle WT h
.
(b) résultat
(a) construction graphique
F IG . 7.8 – Espace de travail théorique global en force à orientation « nulle » de
SACSO-7
Si l’on néglige les dimensions du « T » devant les dimensions du bâti (ce
qui est une très grossière approximation), alors, quel que soit l’orientation du
« T », l’espace de travail théorique global en force qui reste invariant est la forme
présentée figure 7.9(a). C’est une bonne approximation du volume dans lequel le
manipulateur peut se translater, appelé aussi volume d’évolution en translation.
Cette approximation est suffisante pour notre première étude car nous avons
décidé de restreindre ce volume à un cylindre à base circulaire (figure 7.9(b)).
90
(a) Approximation
(b) Restriction à un cylindre à base
circulaire
F IG . 7.9 – Volume 3D dans lequel le manipulateur peut se translater
7.2.2
Quelques reflexions sur l’espace de travail en orientation
de SACSO-7
Il existe un antagonisme entre capacités en translation et capacités en rotation,
visible sur la figure 7.10. Les câbles alignés en vue latérale figure 7.10(a)
(respectivement en vue de dessus figure 7.10(b)) ne permettent pas de contrer
le moment de tangage négatif (respectivement moment de lacet positif) créé par
les autres câbles du fait de leur tension forcément positive. Il est donc impossible
de produire un moment de tangage positif ou nul (respectivement un moment
de lacet négatif ou nul) dans cette position ; elle donc hors de l’espace de travail
théorique.
(a) en tangage avec une vue latérale
(b) en lacet avec la vue de dessus
F IG . 7.10 – Positions singulières, « T » au centre
On peut alors aisément déduire à l’aide de cette figure 7.10 que le tangage
maximal θmax (respectivement le lacet maximal ψmax ) au centre de l’espace de
travail est égal à arctan( Lh ) (respectivement arctan( Ll )) , avec h la hauteur du bâti, l
sa largeur et L sa longueur. Plus L est grand, meilleur est la capacité en translation
sur l’axe x, aux dépens du lacet ψ et du tangage θ.
91
Quand la plate-forme mobile n’est pas au centre, ce genre de dessin aidant à
la détermination des capacités en rotation est plus difficile à interpréter (cf figure
7.11). Il est avantageusement remplacé par les outils graphiques développés au
chapitre 4.
(a) cas 1, c’est en dessous
de la limite
(b) cas 2, cela semble hors
limite
(c) cas 3, sur que c’est
hors limite
F IG . 7.11 – Etude graphique des limitations en tangage, le « T » n’étant pas au
centre
7.2.3
Comment augmenter le volume d’évolution en translation
sans toucher aux capacités en rotation ?
Pour augmenter le volume d’évolution en translation de la plate-forme
mobile, sans toucher aux capacités d’évolution angulaire, il ne faut pas
augmenter les dimensions du bâti (qui de toute façon sont bornées par la place
disponible autour de la veine de la soufflerie).
Nous aurions pu faire une passe d’optimisation pour augmenter le volume
de travail en translation sans toucher aux capacités en rotation. Cependant, les
limitations étant intrinsèques à l’architecture, nous n’aurions pas gagner de façon
significative.
Nous avons préféré faire un raisonnement de géométrie plane sur les faces
de l’hyperpolyèdre formé par les centres des poulies. Le raisonnement est très
simple : comme on se limite à un espace d’évolution cylindrique, quel est le
cercle de taille maximale inscriptible dans les faces avant et arrière de notre
hyperpolyèdre.
Dans le cas de SACSO-7, ces faces sont des triangles, et comme le rappelle
la figure 7.12, la surface du cercle circonscrit au triangle équilatéral est 4 fois
inférieure à la surface du cercle dans lequel est inscrit le triangle. Alors que
la même figure nous rappelle que si les poulies forment un carré, la surface
circulaire inscrite dans ce carré sera 2 fois inférieure à la surface du cercle sur
lequel sont positionnées les poulies.
Avec 2 câbles supplémentaires, les centres des poulies forment des faces avant
et arrière de forme carrée et non triangulaire : la surface des cercles inscrits
double, et le volume de travail en translation double également.
L’architecture SACSO-9 vient de naître.
92
R
R
R
2 R
2
2
F IG . 7.12 – Comparaison des surfaces des cercles inscrites dans un triangle
équilatéral ou un carré
Chapitre 8
Une évolution, SACSO-9
Au chapitre 7, nous avons détaillé la conception d’une architecture
à 7 câbles pour le manipulateur SACSO. Nous avons également
étudié succinctement son espace de travail, ses limites. L’idée
d’ajouter deux câbles à cette architecture pour augmenter son
espace de travail s’est alors imposée. Dans ce chapitre nous allons
voir comment ces deux câbles ont été ajoutés, et les améliorations
de l’espace de travail qu’ils apportent.
8.1
Architecture géométrique
Cette architecture est une évolution de l’architecture SACSO-7, deux câbles
y ont été ajoutés pour passer à SACSO-9. Cet ajout a été effectué en gardant les
idées directrices de conception de SACSO-7, notamment au niveau des plans de
symétrie.
Ainsi, l’organe terminal n’a pas évolué entre les deux architectures, les câbles
ajoutés venant s’ancrer sur des points existants (cf figure 8.1).
F IG . 8.1 – Le « T » avec les neuf câbles
Nous sommes passés de 7 à 9 câbles pour maximiser les surfaces des faces du
polyèdre formé par les poulies. Ainsi les poulies des câbles avant et les poulies
des câbles arrières doivent elles former deux carrés. Mais, de la même façon qu’il
93
94
CHAPITRE 8. UNE ÉVOLUTION, SACSO-9
y avait deux solutions pour l’orientation relative des deux triangles formés par les
centres des poulies avants et arrières de l’architecture SACSO-7, il y a également
deux solutions pour les carrés formés par les centres des poulies avants et arrières
de SACSO-9.
Soit les deux carrés sont parallèles, soit ils forment un angle de 45˚. Les deux
solutions sont représentées sur la figure 8.2.
X
Y
Z
(b) carrés parallèles
(a) Les « carrés » sont déphasés d’un angle de
45˚
F IG . 8.2 – 2 solutions pour l’architecture à 9 câbles
8.1.1
Intégration avec la maquette, écarts du réel par rapport à la
conception initiale
Tout comme pour la première conception à 7 câbles, l’architecture du
prototype à 9 câbles SACSO-9 s’éloigne légèrement de la conception initiale. Ainsi
le « T » réel intégré à la maquette est le même que pour l’architecture à 7 câbles
(cf figure 8.3).
De même, c’est l’interaction des câbles avec les ailes qui impose la position
relative des carrés formés par les centres des poulies. Ainsi, seule la solution
figure 8.2(a) est envisageable.
Une dernière modification par rapport au premier concept a été apportée sur
les câbles arrières. Il a été décidé de déformer un peu le carré formé par les centres
des poulies des câbles arrières de façon à ce que les deux câbles générant les
→
déplacements de l’arrière de la maquette en −
y contribuent également à contrer
→
−
l’action sur z des câbles générant le roulis. Cela donne l’architecture présentée
sur la figure 8.4
95
F IG . 8.3 – Le « T » intégrable dans la maquette pour SACSO-9
F IG . 8.4 – L’architecture SACSO-9 retenue
La vue de la maquette virtuelle en OpenGL figure 8.5 permet d’avoir une idée
de l’ensemble, avec la maquette, intégré dans la soufflerie verticale de l’IMFL,
lieu envisagé pour l’installation du prototype.
Le concept architectural de la suspension active pour soufflerie est maintenant
entièrement défini. Dans la suite nous présentons une validation rapide de son
espace de travail.
8.2
Espaces de travail
Comme pour SACSO-7, l’étude à porté sur le principe architectural de base,
présenté figure 8.2(a).
96
F IG . 8.5 – Maquette virtuelle en OpenGL du prototype implanté dans la soufflerie
verticale de IMFL
8.2.1
Espace de travail théorique global en force
L’intégralité de cet espace de travail n’a pas été recherché faute de temps.
Seule la tranche de cet espace correspondant à une orientation nulle de l’organe
terminal a été recherchée. La figure 8.6 donne la construction de l’espace de
F,Xnull
travail global en force à orientation nulle WT h ang de SACSO-9, à partir des
→
−
vecteurs li− .
Comme pour SACSO-7, on néglige les dimensions du « T » devant les
dimensions du bâti (ce qui est une très grossière approximation), alors, quelque
soit l’orientation du « T » l’espace de travail théorique global en force reste
invariant et a la forme présentée figure 8.7. C’est une bonne approximation du
volume dans lequel le manipulateur peut se translater, appelé aussi volume
d’évolution en translation. Comme pour SACSO-7, nous nous restreindrons au
cylindre inscrit dans ce volume. Comme expliqué à la fin du chapitre 7, pour
SACSO-9, il est d’un volume double à celui de SACSO-7.
8.2.2
L’espace de travail en orientation
Les mêmes réflexions faîtes au sujet de SACSO-7 s’appliquent à SACSO-9.
Nous pouvons espérer des capacités en roulis largement supérieures à 45˚. De
même, les capacités en lacet (respectivement en tangage) dépendent du rapport
97
F IG . 8.6 – Espace de travail théorique global en force à orientation « nulle » de
SACSO-9
F IG . 8.7 – Volume d’évolution de SACSO-9 en translation
entre la longueur du bâti, et sa largeur (respectivement sa hauteur), comme cela
est expliqué au chapitre 7.
8.2.3
Collision des câbles
L’architecture choisie limite au maximum les problèmes de collisions de câbles
entre eux et avec la structure. La simulation OpenGL (présentée figure 8.5) permet
de visualiser les croisements. Il est cependant nécessaire d’utiliser un algorithme
98
de prévision de ces croisements pour les déterminer a priori avec certitude et en
tirer les conclusions sur les limites de l’espace de travail pratique.
8.3
Le prototype
L’architecture SACSO-9 telle que définie dans ce chapitre a été retenue pour
la fabrication du prototype de la Suspension Active pour SOufflerie. Après une
phase de mise au point au DCSD à Toulouse, il est prévu de l’implanter dans la
soufflerie verticale de l’IMFL.
Une vue d’ensemble est visible sur la figure 8.8, maquette bridée au centre de
la veine de la soufflerie (représentée par le tapis vert).
F IG . 8.8 – Vue d’ensemble du prototype installé au DCSD, Onera centre de
Toulouse
8.3. LE PROTOTYPE
99
Sur la figure 8.9, le prototype est en fonctionnement. En absence de vent
et donc de portance sur le sabot (représentant la maquette), la suspension est
commandée en déplacement (du sabot).
F IG . 8.9 – Prototype en test au DCSD, Onera centre de Toulouse
100
Conclusion
Cette thèse est une contribution à l’étude des manipulateurs parallèles à
câbles, appliquée à la conception d’une Suspension ACtive pour SOufflerie
(SACSO).
Le premier chapitre situe l’application dans son contexte industriel : la
prévision du comportement des aéronefs. Nous avons ainsi pu constater que
le concept de SACSO était innovant et s’intégrait parfaitement dans l’évolution
des moyens d’essais au sol. En effet, les moyens d’essais modernes affichent
clairement leurs limites et le concept d’une suspension robotisée pour la
reproduction d’un vol « libre » en soufflerie est un concept plein de promesses
qui peut profiter pleinement des dernières avancées de la recherche en robotique.
Une série d’essais en soufflerie ont permis de valider le choix d’une architecture
parallèle à câbles pour le manipulateur.
Dans le deuxième chapitre je me suis attaché à situer les manipulateurs à
architecture parallèle à câbles au sein de la recherche sur les manipulateurs en
général. J’y ai présenté les deux grandes familles de manipulateurs : à architecture
série et parallèle, ainsi que les différents types de manipulateurs utilisant des
câbles. Cela m’a permis de définir précisément ce qui a été appelé manipulateur
parallèle à câbles dans le reste de la thèse, de présenter la classification de ces
manipulateurs et de donner quelques exemples d’applications existantes.
Dans le troisième chapitre, je me suis attaché à décrire notre modélisation
des manipulateurs parallèles à câbles et à poser les notations associées, chose
essentielle pour pouvoir travailler sur l’espace de travail ou les problèmes de
calcul de tensions dans les câbles.
Dans le chapitre 4, je me suis intéressé au concept d’espace de travail. Cela m’a
amené à définir précisément différents espaces de travail, comme les espaces de
travail théorique WT h et pratique WP r . Une fois ces espaces de travail précisément
définis, j’ai pu les caractériser de façon mathématique, pour ensuite m’intéresser
au moyen de les prédire.
Mon but étant d’inventer des outils simples et rapides utilisables dans une
phase de pré-conception pendant laquelle est choisie l’architecture du futur
manipulateur, je me suis intéressé aux propriétés géométriques des espaces de
travail précédemment définis. Du fait de l’impossibilité de dessiner des éléments
d’un espace IRn avec n supérieur à trois, j’ai été amené à définir des sous espaces
de travail de WT h (et WP r ), comme l’espace de travail théorique global en force
F,X0
WTFh et sa tranche pour une orientation Xang = X0ang donnée : WT h ang pour les
cas où le manipulateur à câbles est à n supérieur à 3 degrés de liberté. J’ai ensuite
défini une méthode graphique rapide de détermination géométrique de l’espace
101
102
CONCLUSION
de travail théorique, méthode parfaitement adaptée à une phase d’exploration
d’architectures possibles pour une application donnée.
Dans le cinquième chapitre, a été abordé le problème du calcul de la tension
dans les câbles. Le problème lié à la redondance des câbles a été traité et un
algorithme performant de gestion coordonnée de la tension dans les câbles est
proposé.
Ces trois chapitres présentaient la partie théorique de mon travail de
recherche. Pour faire la transition avec l’application à la conception d’un
manipulateur à câbles pour SACSO, abordée dans les chapitre 7 et 8, je donne
dans le chapitre 6 quelques règles simples pour la conception des manipulateurs
à câbles, ainsi que deux architectures particulières. La première est l’architecture
la plus simple que l’on puisse concevoir pour un manipulateur à câbles à six
degrés de liberté. Elle n’a pas d’autre intérêt que d’être minimaliste. La seconde
est une architecture à douze câbles pour six degrés de liberté. J’affirme qu’un
nombre supérieur de câbles ne sert à rien. Cette architecture est intéressante par
ses capacités en rotation.
La conception de l’architecture pour le manipulateur SACSO s’est faite en
deux temps. Nous avons commencé par nous focaliser sur une architecture à sept
câbles, dans le but de limiter la redondance. Le chapitre 7 traite de la conception
de cette architecture. Le cheminement qui conduit à la solution y est expliqué,
ainsi que l’étude de ses capacités en translation et rotation. Il est montré que
l’espace de travail théorique global en force WTFh peut être doublé en gardant
le même principe architectural mais avec neuf câbles.
Le dernier chapitre traite de cette évolution à 9 câbles. J’y précise
l’implantation des deux câbles supplémentaires. Puis la prévision de l’espace de
travail théorique global en force y est donnée. C’est l’architecture qui a été retenue
pour le manipulateur SACSO, un prototype est en cours de mise au point au
DCSD.
Le principe architectural du manipulateur SACSO est définitivement fixé, un
prototype existe et est en phase de mise au point.
Cependant, il peut être intéressant de conduire une phase d’optimisation
de certains paramètres géométriques du manipulateur. Le fait d’avoir fixé
définitivement le principe architectural du manipulateur permet de restreindre
le nombre des paramètres à optimiser. Cela peut être par exemple la position sur
le cercle arrière des renvois des deux câbles latéraux (autrement dit jusqu’à quel
point est-il intéressant de déformer le carré formé par les centres des poulies des
câbles arrières).
Mais pour optimiser, il faut un critère. Quelques pistes ont été trop brièvement
effleurées pour avoir leurs places dans ce mémoire (comme la distance entre
l’origine des coordonnées de l’espace affine IRn : OIRn et les faces du simplexe
associé à la matrice P). Une réflexion approfondie sur les critères d’optimisation
existants ou à inventer et leur pertinence vis à vis de l’application doit être
envisagée.
Même si l’espace de travail théorique a été prédit graphiquement, il ne faut
pas oublier que cette prédiction est avant tout un outil de pré-conception. Il faut
CONCLUSION
103
aussi calculer l’espace de travail réel du manipulateur, en tenant compte des
tensions maximales et minimales, mais également des problèmes de collisions
des câbles entre eux et avec la maquette. Pour ne pas se limiter à l’étude des
diagonales d’un hyper-cube [xmin , xmax ]n , l’analyse par intervalles [Merlet, 2002a]
doit sérieusement être envisagée, elle a déjà fait ses preuves pour le calcul
d’espaces de travail de manipulateurs parallèles [Chablat et al., 2002] [Merlet,
1999].
104
CONCLUSION
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Etude des manipulateurs parallèles à câbles, conception d`une

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