Chapitre 5. Indices élémentaires et synthétiques

Indices élémentaires
Indices synthétiques
Notes
Chapitre 5. Indices élémentaires et synthétiques
Jean-François Coeurjolly
http://www-ljk.imag.fr/membres/Jean-Francois.Coeurjolly/
Laboratoire Jean Kuntzmann (LJK), Grenoble University
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Notes
1
Indices élémentaires
Définitions générales
Propriétés
2
Indices synthétiques
Définitions et objectifs
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Définitions générales
Notes
Objectif et Notations
Objectif
Comparer des
qui évoluent au cours du
Notations :
Vt est la valeur de la grandeur étudiée au temps t (t est la
).
V0 est la valeur de la grandeur étudiée au temps 0 (0 est la
).
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Définitions générales
Notes
Définition
L’indice élémentaire d’une grandeur V à la date t base 100 à la
date 0 est
V
It/0 = It/0
=
Exemple : Quel est l’indice du prix base 100 en 2010 d’un produit
valant 250 e en 2010 et 300 e en 2012 ?
Réponse :
P
I12/10
=
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Définitions générales
Notes
Comment interpréter la valeur d’un indice ?
Interprétation
Soit It/0 l’indice élémentaire d’une valeur V à la date t base 100 à
la date 0 et soit
∆ > 0 ⇔ la valeur V a
date t.
∆ < 0 ⇔ la valeur V a
date t.
de ∆% de la date 0 à la
de ∆% de la date 0 à la
Retour sur exemple :
P
I12/10
= 120 ⇔ le prix a
de 2010 à 2012.
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Propriétés
Notes
Circularité ou transférabilité
Proposition
Si une grandeur numériques V prend les valeurs V0 , Vt et Vt 0 aux
instants 0, t, t 0 alors
It/0 = It/t0 × It0 /0 ×
1
100
Remarque :
on peut connaı̂tre l’évolution de 0 à t connaissant les évolutions de
0 à t 0 et de t 0 à t. Pas besoin d’observer V0 , Vt et Vt 0 .
cette propriété peut être généralisée . . .
Preuve : pour démontrer ce résultat, on part du terme de droite
It/t 0 × It 0 /t ×
1
=
100
=
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Propriétés
Notes
Circularité ou transférabilité (2)
Exemple
Le chiffre d’affaires d’une entreprise a augmenté de 30% de 2010 à
2011 et diminué de 25% de 2011 à 2012. Le CA a-t-il diminué ou
augmenté de 2010 à 2012 ?
BLa réponse n’est pas 30%-25%= augmentation de 5% !
Les pourcentages ne s’additionnent pas.
Formalisation énoncé : on a I11/10 =
Par la propriété de circularité
, I12/11 =
et on cherche
I12/10 =
=
= 97.5.
Autrement dit, le CA a
de 2010 à 2012.
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Propriétés
Notes
Réversibilité
Problème : connaissant l’évolution de 0 à t d’une certaine quantité,
peut-on connaı̂tre l’évolution de t à 0 ?
Proposition
Si une grandeur numérique V prend les valeurs V0 et Vt aux
instants 0 et t alors
1002
I0/t =
.
It/0
Preuve : à nouveau on part du terme de droite
1002
=
It/0
=
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Propriétés
Notes
Réversibilité (2)
Exemple
Si un prix augmente de 20% de 2010 à 2012, que dire de son
évolution de 2012 à 2010 ?
BLa réponse n’est pas diminution de 20%.
Les pourcentages ne sont pas réversibles.
Formalisation : on a I12/10 =
propriété de réversibilité
et on cherche
Par la
I10/12 =
Autrement dit, le prix a
de 2012 à 2010.
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Propriétés
Notes
Produit de grandeurs
Proposition
Si une grandeur a est égale à tout instant
1
au produit des grandeurs b et c, c-a-d a = b × c alors
a
b
c
It/0
= It/0
× It/0
×
2
1
.
100
au rapport des grandeurs b et c, c-a-d a = b/c alors
a
It/0
=
b
It/0
c
It/0
× 100.
Preuve : démontrons la 1ère propriété en partant du terme de droite
1
b
c
It/0
× It/0
×
=
100
=
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Propriétés
Notes
Produit de grandeurs (2)
Exemple
Soit P et Q les prix et quantités d’un produit vendu par une
entreprise. Si le prix de ce produit augmente de 60% de 2000 à
2010 et si les quantités vendues ont diminué de 50% de 2000 à
2010, quelle est l’évolution des recettes de 2000 à 2010 ?
Formalisation : on a
P
I10/00
=
et on cherche
on a
et
Q
I10/00
=
où R = P × Q. Par la propriété précédente
R
=
I10/00
Autrement dit, les recettes ont
2010.
=
de 2000 à
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Définitions et objectifs
Généralités
Utilisation : étude de
c-a-d de
grandeurs composées de plusieurs grandeurs simples.
Exemple : comprendre l’évolution
du prix d’un plat : grandeur composée des prix et quantités de
matières premières (farine, huile, . . . ).
de la recette globale d’une entreprise : grandeur composée des
prix et quantités de l’ensemble des produits vendus par cette
entreprise.
du nombre d’entrées au cinéma : grandeur dépendant du
nombre de films et du nombre moyen d’entrées par film pour
différents types de films (français, américain,. . . ).
...
Notes
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Définitions et objectifs
Notes
Quelques notations dans un contexte économique
: indice d’un produit parmi un panier de I produits.
: Prix du produit i à l’instant t.
: Quantités du produit i à l’instant t.
Définitions
est la valeur globale du produit i à l’instant t.
est la valeur globale de l’ensemble des produits.
L’indice de valeur globale est
V
It/0
=
V (t)
× 100 =
V (0)
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Définitions et objectifs
Notes
Exemple
Etudions le panier de trois produits de la TAG vendus à une
sous-population (non précisée ici) en 2010 et 2012.
Produit
Ticket simple
Abonnement hebdomadaire
Abonnement mensuel
Prix
1.5
35
130
2010
Quantités
100
40
35
Prix
2
50
175
2012
Quantités
100
50
40
Question : quelle est l’évolution des recettes de la TAG pour ce panier et
la sous-population étudiée ?
Réponse :
V
I12/10
=
Les recettes ont donc
Mais cette
de 2010 à 2012.
est-elle plus due à une
?
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Notes
Généralités sur les indices synthétiques
Pour pouvoir déterminer l’influence des prix ou des quantités,
il faut définir des scenari permettant d’isoler soit les prix soit
les quantités.
C’est l’idée des indices de Laspeyres et de Paasche :
l’indice de Laspeyres des prix , par exemple, regarde
l’évolution des prix de 0 à t en supposant que les
quantités sont fixées à la date 0 .
l’indice de Paasche des quantités , par exemple, regarde
l’évolution des quantités de 0 à t en supposant que les prix
sont fixées à la date t .
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Notes
Indices de Laspeyres
Définition
Les indices de Laspeyres des prix et des quantités sont respectivement
définis par :
P
P
Pi (t)Qi (0)
i Pi (0)Qi (t)
LPt/0 = P i
× 100 et LQ
=
× 100.
P
t/0
i Pi (0)Qi (0)
i Pi (0)Qi (0)
Application : indices de Laspeyres des prix et quantités sur l’exemple
Produit
Ticket simple
Abonnement hebdomadaire
Abonnement mensuel
LP12/10 =
LQ
12/10 =
Prix
1.5
35
130
2010
Quantités
100
40
35
Prix
2
50
175
2012
Quantités
100
50
40
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Notes
Indices de Paasche
Définition
Les indices de Paasche des prix et des quantités sont respectivement
définis par :
P
P
Pi (t)Qi (t)
i Pi (t)Qi (t)
Q
P
× 100 et Pt/0 = P i
× 100.
Pt/0 = P
i Pi (0)Qi (t)
i Pi (t)Qi (0)
Application : indices de Paasche des prix et quantités sur l’exemple
Produit
Ticket simple
Abonnement hebdomadaire
Abonnement mensuel
Prix
1.5
35
130
2010
Quantités
100
40
35
Prix
2
50
175
2012
Quantités
100
50
40
PP12/10 =
PQ
12/10 =
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Notes
Indices de Fisher
Résumé :
V
I12/10
159.02
LP12/10
136.48
P
P12/10
136.62
LQ
12/10
116.39
Q
P12/10
116.52
Il est possible que les indices de Laspeyres et de Paasche soient très
différents.
Pour nuancer cette possible situation, Fisher a défini des indices
des indices précédents.
Définition
L’indice de Fisher des prix (resp. des quantités) est défini comme la
des indices de Laspeyres et de Paasche des prix
(resp. des quantités), c-a-d
et
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Notes
Résumé
V
I12/10
159.02
LP12/10
136.48
P
P12/10
136.62
P
F12/10
136.55
LQ
12/10
116.39
Q
P12/10
116.52
Q
F12/10
116.45
Interprétation :
D’un point de vue global, l’
recettes globales de la TAG est
des
qu’à
l’
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Relations entre les différents indices
S’il n’y avait qu’un seul produit
1
100
car V = P × Q. Lorsque l’on a plusieurs produits, on a les relations
suivantes
Q
V
P
It/0
= It/0
× It/0
×
Proposition
V
It/0
=
=
=
1
100
1
×
100
1
×
100
×
Notes
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Notes
Relations entre les différents indices (2)
V
I12/10
159.02
LP12/10
136.48
P
P12/10
136.62
P
F12/10
136.55
LQ
12/10
116.39
Q
P12/10
116.52
Q
F12/10
116.45
Par exemple,
1
=
100
1
Q
P
F12/10
× F12/10
×
=
100
Q
LP12/10 × P12/10
×
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Complément : réversibilité des indices synthétiques
Rappel : lorsqu’il n’y a qu’un seul produit, on a par exemple pour les prix
(valable aussi pour les quantités)
P
=
I0/t
1002
.
P
It/0
En présence de plusieurs produits, ceci n’est plus tout à fait vrai.
Cependant,
proposition
Notons • = P ou Q (prix ou quantités)
L•0/t =
et
•
P0/t
=
Par contre les indices de Fisher sont réversibles. Ainsi
•
F0/t
=
Notes
Indices élémentaires
Indices synthétiques
Indices de Laspeyres, Paasche et Fisher
Notes
Réversibilité (2)
V
I12/10
159.02
LP12/10
136.48
P
P12/10
136.62
P
F12/10
136.55
LQ
12/10
116.39
Q
P12/10
116.52
Q
F12/10
116.45
Par exemple,
1
quel est l’indice de Laspeyres des prix en 2010 base 100 en 2012 ?
Réponse :
LP10/12 =
2
quel est l’indice de Fisher des quantités en 2010 base 100 en 2012 ?
Réponse :
Q
F10/12
=
Notes