ffiffi - Cours d`économétrie et d`analyse des données

ffiffi
LESINDICES
5-1. Indices
élémentaires
produit
uneentreprise
uneannée
qu'elle
8 000parasols
vend355F pièce.
L'année
suivante,
elleproduit
qu'elle
I 600parasols
vend380F pièce.
a)Déterminer
l'indice
duprixd'unparasol.
b)Déterminer
l'indice
dequantilé
delaproduction
deI'entreprise.
c) Déterminer
I'indice
devaleur
delaproduction
deI'entreprise.
Corrigé.
a)L'indice
élémentaire
mesurant
l'évolution
duprixd'unparasol
estlerapport
duprixlinal
auprixinitial.
ll vautdonc:
io=ff=r,oz.
0n ditenære,
enulilisant
laIormule
dutauxdevariation,
queleprixunilaire
duparasol
a
- 1)x 100= 7.
crûde7 %,car(1,07
b) Demême,
lerapport
delaquantité
produile
finale
à laquantité
initiale
estl'indice
élémentaire
dequantilé
mesurant
l'évolution
envolume
production
decette
:
8 6 0 0=
,o=
1,075.
ffi
Laproduction
a crûde7,5%enquantité.
c) Lerapport
desvaleurs
totales
rjesdeuxproductions
définit
enfinunindice
d'évolution
envaleur.
Pourchaque
période,
lavaleur
totale
estle produit
produite
delaquantité
parle
prixunilaire,
cequidonne
:
'- " = i(B
i 600
o o xo380)
*s5EI=t'ts'
Laproduction
a crûde15%envaleur.
5-2.Indices
synthétiques
deprix
Letableau
suivant
donne
lespaniers
(simplifiés)
alimentaires
auxpériodes
initiale
et
finale,
quelesprixdesproduits
ainsi
(lesquantités
retenus
sontenkilos
ouenlitres
: lesorix
unitaires
correspondants,
enfrancs)
:
Produits
4io
Pio
Pain
0,30
3,00
0.25
4,00
Légume
(p.detene)
0,50
4,50
0,40
5,00
Fruit(orange)
0,15
0,20
7,00
Viande
0,20
5,00
40,00
0,20
60,00
Vin
0,40
12,00
0,30
15,00
4tt
Pj,
,:t:t:,:::t:t:::t:t:,:::t:t:::,:t:t
:,:,,1,r,.,,:',.1:,1't',;1,1',111
:t:::::iËllË:i:::::
l:l.l.l:lrt:t::
:r:l:lti.ll
LESINDICES,:::::::n::::!l::::::::
:::::::t::I1l::|
:::::|:
::::::::v::v:j::::::
l:lit:lltt:l:::l,lt..:l.tll:l:t:tll
APPLICATIONS
I'indice
a)Calculer
deLaspeyres
desprixdeI'alimentation.
b)Calculer
l'indice
dePaasche.
initiale.
Déterminer
c) Unefamille
a dépensé
145F parjourpourse nourrir
enpériode
poursonalimentation
quotidienne
linale.
combien
elledoits'attendre
enpériode
à dépenser
queI'onmange
période.
montre
moins
d) L'examen
desdeuxpaniers
à la seconde
parlesindices
Indiquer
sicelaitestprisencompte
calculés.
Corrlgé.
prix,
desdifférents
a) L'indice
de Laspeyles
eslunemesure
synthétique
de l'évolution
lemfimesurant l'évolution
délinie
comme
duprixiotatdupanier
dela période
debase
entrelesdeuxoériodes
:
', r t o_-L P 1 t . Q p
2p*. ç'
panier
Lavaleur
totale
dupremier
auxprixinitiaux
est:
V o= I P ; 0 . Q r o
= (3x 0,30)+
(4,5x 0,50)+
(5x 0,15)+
(a0x 0,20)+
(12x 0,40)
= 16,7
(F)
etauxprixdelapériode
finale
:
Yr=LPt.Qio
= (ax0,30)
+ (5x 0,50)
+ (60x 0,20)
+ (15x 0,40)
+ (7x0,15)
= 22,75
(F).
v ' 22'7?
= l,sa.
L'indice
deLaspeyres
vautdonc: 1.,^
- t t o=- V o-1q7
ll indioue
unehausse
de36%ducoûtdel'alimentation.
b)L'indice
dePaasche
liindice
maisà partir
sedéfinil
comme
deLaspeyres,
dupanier
de
lapériode
finale
:
S n
' ,,0_o
zPit'
v.il
2p, 41,'
panier
Lavaleur
totale
dusecond
auxprixinitiaux
est:
V ' o =L P n . Q i t
= (3x 0,25)
+ (4,5x 0,a0)
+ (5x 0,20)
+ (12x0,30)
+ (a0x 0,20)
= 1 5 , 1(5F )
finale
etauxprixdelapériode
:
V'1=Lplt. Q1
= (ax0,25)
+ (5x 0,40)
+ (60x0,20)
+ (7x0,20)
+ (15x 0,30)
= 20,e(F).
V'r- 20'9Lindice
: P.,^
dePaasche
vautdonc
lo=
_ y ; _ I E I E ,,ru
llindioue
unehausse
de38%ducoûtdeI'alimentation,
':,:,:ii
ii:,,i:::ii
;::j:::
:::::i:Ë:::if::ii:r:
:!:i:i:|!:i::.trr::::::i
,i!!,i!!I!![iii
:+i::li:ll]:t:lai
i;:i:fi4:;lai:;!!
LESINDICES
APPLICATIONS
puisqu'ils
nedoitpasélonner,
ne
Lelaitquelesdeuxindices
dilférentes
ontdesvaleurs
paslesmêmes
(dansla pondération
rapports,
l'indice
retenant
calculent
deLaspeyres
des
prixparlesquantités)
passée,
la structure
alorsquela pondération
de
delaconsommation
llsdonnent
l'indice
de Paasche
de la consommation
actuelle.
sefondesurla structure
proches
part,si les
nevariepasbeaucoup;
desvaleurs
d'autre
cependant
si le panier
paniers
globale
la mesure
entermed'indice
n'estplus
sonttrèsdiflérents,
d'uneévolution
trèsDertinente.
générale
moyenne
c) Lesindices
donnent
unemesure
del'évolution
desprix.Unbudget
initiale
alimentaire
de145F parjourenpériode
évolue
dansunrapport
égalà l'indice
desprix
envigueur
Enpériode
finale,
lebudget
surlapériode.
estdoncde: 1,36x 145= 197(F)en
utilisant
l'indice
ll s'agit
théorique;
n'apasforcédeLaspeyres.
d'uncalcul
unefamille
donnée
peutmême
mentpourmenu
lepanier
deI'INSEE,
entre
lespériodes
!
etsoneflectil
changer
Oncomorend
decelaitouela nature
desbiensretenus
dansI'indice
et le choixdes
"
puissent
méthodes
de pondération
susciter
desconlroverses
entreles" partenaires
politiques
Lesenjeux
sociaux.
et sociaux
dela mesure
deI'augmenlation
ducoûtdelavie
l'âpreté
oudela mesure
del'évolution
desrémunérations
expliquent
dela discussion
:
" Indice
"
indice
inique...
unique,
précédents
l'évolution
d) Lesindices
sontdesindices
deprix.llsmesurenl
simplement
desprixà travers
celled'unpanier
type.Ladiminution
enquantité
de la consommation,
priseencompte
parcesindices.
n'estaucunement
observée
enlrelesdeuxpaniers,
partiels
5-3.Agrégation
d'indices
Unindice
deLaspeyres
desprixà la consommation
eslobtenu
à partirdetroisgroupes
(oucoefficients
deproduits
dontondonne
lespondéralions
:
budgétaires)
Alimenlation
2 516
Produits
manufacturés
4 438
Services
3 046
lesprixdel'alimentalion
a)Aucours
del'année,
augmentent
de2,5%,
ceuxdesproduits
manu{acturés
de0,2o/o
etceuxdesservices
de4,6o/o.
globale
Déterminer
lahausse
desprixà laconsommation
aucours
del'année.
que,I'année
lesprixdeI'alimenlation
b)0n suppose
suivanle,
croissent
de1 %,ceuxdes
produits
manufacturés
baissent
de2% eïceuxdesservices
croissent
de3 %.
globale
Délerminer
l'évolution
laseconde
desprixpendant
année,
enutilisant
lesmêmes
pondérations
queprécédemment.
globale
c) Déterminer
l'évolulion
desprixsurl'ensemble
desdeuxannées.
Corrigé.
ll peutdoncs'obtenir
a) L'indice
utilisé
estun indice
de Laspeyres.
encalculant
la
pondérés
parlespartsenvaleur
moyenne
desindices
élémenlaires
danslepanier
utilisé.
pourlesmoyennes
pondérées
(voirapplication
gloComme
2-3.),
onpeutcalculer
I'indice
partiels
(pourdessous-groupes
pondérés
parleurs
balà partirdesindices
de produits),
partsenvaleur
total.Cespartsenvaleur
dupanier
sontparfois
appelées
coeflicients
budgé-
I'importance
relative
(structure)
c'esl-à-dire
lacomposition
dupanier,
reflètent
taires.
Ceux-ci
poste
deconsommation.
dedépense
dechaque
(l'alimentation,
lesproduits
manuentroissous-groupes
lci,laconsommation
estrépartie
partiels,
Lesindices
sontdonnés.
budgétaires
facturés
donllescoefficients
etlesservices)
à
L'agrégation
sontrespectivement:1,025;1,002;1,046.
dehausse,
énoncés
enterme
global
:
doncpourl'indice
I'aide
donne
despondérations
T
-
( 2 5 1 6 x 1 , 0 2+5()4 4 3 8x 1 , 0 0 2+) ( 3 0 a 6x 1 , 0 4 6 )
= 1,0212,
2516+4438+3046
globale
de2,1%desprixà laconsommation.
soilunehausse
10000nedoitpas
atteigne
exaclement
Lelailquelasomme
budgétaires
descoeïlicients
quelconque,
simplifie
pouvant
cechoix
à uneéchelle
êtredéfinies
: lespondérations
étonner
lescalculs.
partiels
etlesmêmes
deI'année
suivante
lemême
calcul
aveclesindices
b)0n reprend
global
pondérations.
:
unindice
Onlrouve
I^ =
(2516
x 1 , 0 1+) ( 4 4 3 8x 0 , 9 8 +) ( 3 0 a 6 x 1 , 0 3 )
= 1,0089,
2516+4438+3046
globale
desprixde0,9%.
soitunehausse
les
s'oblient
enmultipliant
desdeuxannées
desprixsurI'ensemble
c) Laugmentation
:
indices
successifs
= 1,03,
x 1,0089
I = Ir . Iz-- 1,0212
globale
soitunehausse
de3 %surlesdeuxans.
quelesdeuxprécéquececalcul
ll estimportant
estd'unetoutautrenature
de noter
denls.
parliels
portant
surdesproduits
difféDanslesquestions
a)et b),onagrège
desindices
période
: il s'agit
de
rents(lestroisgroupes
et mesurés
surla même
dela consommation)
pondérées
partielles.
l'agrégation
demoyennes
portant
surles
desindices
Dans
laquestion
onenchaîne
dansletemps
c),aucontraire,
produits
(ici,I'ensemble
successurdespériodes
et mesurés
mêmes
delaconsommation)
multiplicatif
d'indices
successifs.
: il s'agit
sives
del'enchaînement
d'indices
successifs
5-4.Enchaînement
leshausses
suidesprixannuelles
et le31décembre
0n a observé
entrele 1erjanvier
(enFrance):
vantes
Année
1982
1983
Hausse
r 1, 8
9,6
1984
1 À
1985
1986
2 1
précédentes.
lesensdesdonnées
etdedates
a)Préciser
entermes
d'indices
l'évolution
delapériode.
I'indice
mesurant
desprixsurl'ensemble
b)Déterminer
par3,36.
I'indice
mesu'
Déterminer
lesprixonté1émultipliés
1974-1986,
c)Surlapériode
19741981
.
ranll'évolution
desorixsurlaoériode
t:,:i::fii;1f,.1::L::
r:j:::ti::.t
jr j:i::::
:::i::FI:r.I::r::::
LESINDICES
;i*ffu11i
APPLICATIONS
Corrigé.
qu'entre
a)L'énoncé
signifie
ledébut
etlafindel'année
1982,
lesprix(globalement)
ont
par1,118,
par1,096,
étémultipliés
en1983,
etc.
b) Lesindices
parmultiplication
successiJs
s'enchaînent
mesurant
et I'indice
l'évolution
desprixdudébut
de1982à lafinde1986vautdonc:
= Irgggnsez
Irggonggz
.Irgea/rggg
.Irgasnssa
. Irgeonges
= 1 , 1 1x81 , 0 9x61 , 0 7 41x, 0 5x81 , 0 2=11 , 4 2 2 ,
hausse
soitune
de42,2
% surlescinqans.
quecesontlesindices
ll esttrèsimportant
denoter
eux-mêmes,
et nonlestauxd'inTlaparmultiplication.
tion,quis'enchaînent
c)Toujours
dufaildeI'enchaînement
multiplicatif,
l'indice
surlapériode
1974-1986
estle
produit
parI'indice
deI'indice
surlapériode
1974-1981
surlapériode
1982-1986
:
= Irgarngz+
Irgeongzn
. ]rgeonssz'
Irgeongz+
étantégalà 3,36et Irsaonsez
à 1,422,
on déduit:
=
=
= z,sa.
rrge,ngzo
Pi
r3t.7f,
| '$,
I tgaatgtz
End'autres
lesprixontétémultipliés
par2,36surlapériode
termes,
1974-1981.
ll vautmieux
éviter
deparler
hausse
d'une
de136% ;bienquestrictement
correct,
untel
énoncé
eslparlois
source
d'ambiguïté.
5-5.Déflation
élémentaire
a)Lesprixcroissent
de10%.Déterminer
varie
comment
lepouvoir
d'achat.
nA.
b)Lesprixbaissent
de34 Déterminer
commenl
varie
lepouvoir
d'achat.
c) Lesalaire
quelesprixcroissent
d'unindividu
croîtde 10%, tandis
de 15%.
Déterminer
l'évolution
dupouvoir
d'achat
decesalarié.
Corrigé.
a) Lepouvoir
d'achat,
sansautre
indication,
lepouvoir
désigne
d'achal
dela monnaie.
ll
fautdoncdéterminer
comment
évolue
lepouvoir
d'achat
(parexemple
d'une
somme
donnée
unbillet
de100F)lorsque
lesprixcroissent
de10%.
Audépart,
la somme
permet
donnée
quantité
d'acheter
unecertaine
Q6debiens(par
exemple
dusucre).
Silesprixcroissent
parI'indice
de 10%,ilssontmultipliés
1,10;la
quantité
peutacheter
Qlqu'on
laquantité
par1,'l0 :
estalors
initiale
Qodivisée
Qo
.',
*t t,to
L'évolution
parI'indice,
du pouvoir
d'achat
estalorsmesurée
rapport
de la quanlité
finale
à la quanlité
initiale
:
,
t=
Qi
Qo
=
1
= 0^ ,. 9 0 9 .
1,10
LESINDICES
APPLICATIONS
Lepouvoir
1 et0,909).
d'achal
diminue
doncde9,1% (écart
entre
" évidente
" quiconsiste
.llestimportant
à dire: " Lesprixcroisdenoterquelaréponse
lemontre
l'explicomme
sentde10o/o,
donclepouvoir
d'achat
baisse
de10% " estfausse,
quiprécède.
il
oudebaisse,
cation
détaillée
Même
silesénoncés
sontentermes
dehausse
s'agit
d'indices,
estmultiplicative.
etlasolution
queprécédemment.
Avecunindice
b)Laquestion
deprixde0,66(1- 0,34),
estlamême
l'indice
d'évolulion
dupouvoir
d'achat
est:
r=
0sô
= 1,52.
Lepouvoir
d'achat
augmente
doncde52%.
qu'ilpermet
Par
mesure
laquantité
d'acquérir.
c) Lepouvoir
d'achat
d'unsalaire
debiens
l'évolution
nominale
suite,
doilêtrecorrigée
del'évolution
desprix.
dusalaire
I'indice
Ayant
le caractère
multiplicatil
ondivise
compris
desopérations
surlesindices,
parI'indice
l'indice
mesurant
l'évolution
mesurant
l'évolution
dusalaire
desprix,pourobtenir
:
d'évolution
dumuvoir
d'achat
decesalaire
r = 1 , 1 0= 0 . 9 5 7 .
1 ,51
E n d ' a u t r e s t elrems ea sl a, i r e r é e / b a i s s e d o n c d e 4 , 3 % , c a r ( 0 , 9 5 7 - 1 ) x 1 0 0 = - 4 , 3 .
5-6.Déflation
gagnait
Unsalarié
0n
3 800F parmoisen1975;6 100F en1980;9 400F en1983.
lesindices
donne
deorix:
- 1 4 (
I^
P 1980/1975
o t T
- j Q O
lestroissalaires
mensuels
a)Exprimer
enfrancs
constanls
de1983.
:19751980,
1980-'1983
b) Déterminer
l'évolution
réelle
dusalaire
et
surlespériodes
1975-1
983.
Corrigé.
a) DuIaitdel'inllation,
lessalaires
mensuels,
exprimés
enfrancs
courants
despériodes
oùilsonté1éperçus,
nesontpasdirectement
comparables.
0n peutlesconvertir
enfranæ
parexemple
qu'ondétermine
conslanls
les
d'unemêmepériode,
de 1983;c'est-à-dire
générale
(ausensdel'évolution
salaires
francs
équivalents
desprix)en
de1983.
Cette
opéralion
estladéflation
delasériedessalaires.
:
Concrètement
o les9 400F desalaire
mensuel
de1983
sontenfrancs
de1983;
o les6 100F de1980
sontenfrancs
courants
de1980
etéquivalent
à:
0 0=x1 , 3 =
9 8 4 7 9 ( f r a n c s - 1; 9 8 3 )
6 1 0 0 . I p 1 e s s6r e1æ
o les3 800F de1975
sontenfrancs
courants
de1975
etéquivalent
à:
Io,n*,n* = 3 800 x 1,65x 1,39
3 800 . Ip1s'0/1s75.
= I 715,3
(kancs-1983).
.::ii:Ë:tl|ij:i:
l:il:.II..*::iir
LESINDICES
i:il:i::rttjN::::iL
ii';i!,:YiVi!;lii
APPLICATIONS
peuvent
enfrancs
constanls
delamême
époque
à présent
b) Lessalaires
ainsiænvertis
l'évolution
réels(etnonplusenvaleur
d'apprécier
enlermes
êÎrecomparés,
et permettent
nominale)
dusalaire.
o Pendant
lapériode
1975-1980,
lesalaire
réelévolue
dansunrapport
:
8
4
7
9
rt.reso,'ezs=
_
_
=^
g7Tr3 u,973.
- l) x 100= - 2,7.
ll diminue
doncde2,7o/o,
càr(0,973
lerapport
o Pendant
lapériode
1980-1983,
est:
9400 _ 1.rno
_
r.s19&3/19s0
M7g
de10,9%.
soituneaugmentation
o PourlaDériode
totale,
1975-1983
:
9400 _1n7o
r.sreB3/1e75
_
gtiS^S
réel.
soituneaugmentation
de7,9%
dusalaire
peuvent
plusrapidement,
parles
Cesindices
sanspasser
explicitement
êtrecalculés
Parexemple,
l'évolution
réelle
salaires
déflatés.
dusalaire
de 1975à 1980estl'évolution
nominale,
corrigée
delavariation
desprix:
6 100
3 800 = r 1,61
.
$5=r,rr".
Irrgoo,rgz5
rprgeon
gzs
naturellement
lemême
résultat
0n retrouve
oueci-dessus.
5-7.Intérêt
etinflation
pourunanuncapital
11%.Pendant
lesprix
0n emprunte
aulauxd'intérêÎ
cetemps,
letauxd'intérêt
réeldecetemorunt.
croissent
de5 %.Déterminer
Corrigé.
Uncapilal
Ko,emprunté
autauxd'intérêt
a,doilêtreremboursé
à I'issue
delapériode
:
Kr = Ko. (1+ a),intérêtcompris,
K.
parl'intégration
i ; = 1 + a mesure
l'évolution
etlerapport
deladette,
aærue
deI'intérêt.
^^
Mais,enfait,enpériode
Koet Kr nesonlpascompad'inflation
detauxb, lessommes
rables.
ll Iautdoncconvertir
le capital
Ksenfrancs
emprunté
constanls
de la période
; soit
K'olavaleur
convertie
:
K'o= Ko.(1+ b).
I'augmentation
Lerapport
K' el K'oreprésente
entermes
réels
decesdeuxsommes
dela
K , K 6 . ( 1 + _a 1) + a ^ ^ ^
=
dettesurlapériode:Ki-=
d o n t l ' é c ap ratrr a p p oàr tl e s t l e t a u x
K L ( 1* ô i * ;
réel.
d'intérêt
APPLICATIONS
1*'= 1'11
l c i : a = 0 ,e1t1b = 0 , 0' 5' 1e ,+ b - 1 0=5t -. o" s" z- ".
quecontrairement
couramà uneopinion
vériJions
réelestde5,7%.Nous
Letauxd'intérêt
déduction
égalautauxnominal
réeln'estpas(rigoureusement)
letauxd'intérêt
menlreçue,
iciencore,
estmultiplicative.
desprix.Lasolution,
dehausse
raitedupourcentage
ENT
RAINEM
D'ENT
EXERCICES
élémentaires
5-8.lndices
et celuides
le parcdeshypermarchés
concernant
suivantes
Ondonnelesstatistiques
:
m2)
(les
milliers
de
en
sont
1986
surfaces
1982
et
en
en
supermarchés
Année
Surface
de vente
Nombre
de magasins
Nombre
de salariés
HYPERMARCHÉS
460
1982
I 986
90137
zcol
108420
3 149
SUPERMARCHËS
I 982
1986
3822
2 nqo
5 298
4 321
nc
nc
demagaennombre
(enterme
l'évolution
duparcd'hypermarchés,
d'indice)
a)Mesurer
Commenter.
desalariés.
etennombre
ensurïace
devente
sins,
demagaennombre
(enterme
l'évolution
duparcdesupermarchés,
d'indice)
b)Mesurer
Commenter.
devente.
sinsetensurface
deprix
synthétique
5-9.Indice
" (fictifs)
typedansun
laconsommation
représentant
1ss" paniers
suivant
donne
Letableau
produits
prix
retenus.
que
les
des
unitaires
périodes
finale,
ainsi
initiale
et
boissons
aux
débit
de
deboisson.
I'indice
desprixdelaconsommation
deLaspeyres
a)Calculer
l'indice
dePaasche.
b)Calculer
Produits
Café
Demi
Verredevin
à I'eau
Menthe
Jusdelruits
4o
Po
4t
Pt
10
7
10
2,70
10
3,50
4,80
I
7
6,80
A
3,75
4,50
J
O,ZU
9,00
Z,OU
3,50
partiels
5-10.Agrégation
d'indices
L'indice
retient
desprixagricoles
;
troisgroupes
deproduits
- A : lesproduits
végélaux
horsfruitsetlégumes
;
- B : lesproduits
animaux
;
- C : les{ruits
etlégumes.
Pour
I'indice
chacun
desgroupes,
ondonne
enjuin1984,
ellespondérations
utilisées.
La
debaseest1975.
oériode
Groupe
Pondération
lndice
A
J bVU
r,
5 487
2,116
1, 9 1 7
823
2,609
global
pourjuin1984.
l'indice
a)Calculer
desprixagricoles
b) Pourle groupe
1984vau|2,375.
Déterminer
desTruils
et légumes,l'indice
d'octobre
quelprixil fauts'atlendre
payés
à payer
enoctobre
unassortiment
defruitset légumes
1 800F enjuin1984.
Enchaînement
5-11.
leshausses
Ona observé
desprixannuelles
suivantes
auxÉtats-Unis
etauJapon
:
Année
't982
1983
États-Unis
6,0
a l
,Japon
z,l
t,9
t 984
1985
3,4
3,5
a,l
pourles
l'indice
mesurant
l'évolution
desprixsurI'ensemble
delapériode
. a) Déterminer
puispourleJapon.
Etats-Unis,
b) Surlapériode
19801985,
lesprixontcrûde28,8% auxEtats-Unis,
etde 14,2%au
pourchaJapon.
Déterminer
I'indice
mesurant
l'évolution
desprixsurlapériode
1980-1981
cunoesoeuxpays.
5-12.Déflation
150000F en 1974,335
Unrentier
a touché
410000F en lg83et
000F en 1981,
495000F en1986.
Ondonne
lesindices
deorix:
I r g a o / 1=e 81s, 1 6 ; I r g & : n s =
g r1 , 2 2 i I r g s r n g r=+ 2 , 0 8 .
perçues
a)Exprimer
lesquatre
sommes
enfrancs
conslanls
de1974.
l'évolution
b)Déterminer
réelle
lespériodes
:1974,
1981,1983
delarente
enlre
et1986.