MATHEMATIQUES APPLIQUEES

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1ère Ecole en ligne des professions comptables
Les corrigés des examens
DECF 2007
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MONTPELLIER
2007
D.E.C.F 2007
Corrigé de l'UV 5A
Mathématiques appliquées
1ère école en ligne des professions comptables
SESSION 2007
MATHEMATIQUES APPLIQUEES ET INFORMATIQUE
SUJET DE MATHEMATIQUES APPLIQUEES
Durée : 2 heures
Coefficient : 0,5
Matériel autorisé :
Une calculatrice de poche à fonctionnement autonome sans imprimante et sans aucun moyen de
transmission, à l'exclusion de tout autre élément fonctionnel ou documentaire (circulaire n° 99-186 du
16 novembre 1999 ; BOEN n° 42).
Document remis au candidat :
Le sujet comporte 6 pages numérotées de 1 à 6.
Il vous est demandé de vérifier que le sujet est complet dès sa mise à votre disposition.
BAREME INDICATIF :
Problème 1
7 points
Problème 2
7 points
Problème 3
6 points
Les trois problèmes peuvent être traités indépendamment les uns des autres.
ANNEXE :
Une table de la loi normale centrée réduite et un extrait de la table de distribution du khi-deux vous
sont fournis en annexe.
Tous les calculs demandés, relatifs à la loi normale, doivent être effectuant en utilisant
cette annexe.
AVERTISSEMENT
Si le texte du sujet, de ses questions ou de ses annexes vous conduit à formuler une
ou plusieurs hypothèses, il vous est demandé de la (ou les) mentionner explicitement
dans copie.
La clarté du raisonnement, la qualité de la rédaction et la présentation interviendront dans
l’appréciation de la copie.
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Corrigé de l'UV 5A
Une étude a été menée sur le travail des assistants et sur les clients d'un cabinet d'expertise comptable.
PROBLEME 1
L’entreprise de jardineries « ATOUT JARDIN » a fait faire une étude sur la vente de cactus de petite taille
dans leurs magasins.
La demande mensuelle X est une variable aléatoire supposée continue qui suit une loi normale
d’espérance mathématique 200 et d’écart type 20.
On suppose que la demande mensuelle n’est pas affectée par les variations saisonnières, et qu’il y a
indépendance entre la demande d’un mois et celle d’un autre.
Travail à faire
1. a. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité que la demande mensuelle X soit compris, au sens
large, entre 190 et 220 cactus.
b. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité que la demande mensuelle X dépasse 240 cactus.
On suppose que le réapprovisionnement est mensuel et que la quantité de cactus commandée permet de
reconstituer exactement, au début de chaque mois, le stock initial.
On note t le taux de service, c’est-à-dire la probabilité que la demande mensuelle soit satisfaite.
Travail à faire
2. a. Déterminer, à 10-2 près, le taux de service dans l’hypothèse où le stock initial est de 180
cactus.
b. Déterminer le stock initial dont on doit disposer si on souhaite avoir un taux de service
égal à 0,96.
On note Z la demande annuelle de cactus de petite taille.
On note : Z = X1 + X2 + … + X12, où Xi désigne la demande du ième mois d’une année (X1 pour janvier, X2
pour février…etc).
Travail à faire
3. a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire Z. Justifier la réponse et déterminer les
paramètres de cette loi.
b. Donner, à 10-1 près, la probabilité que la demande d’une année ne dépasse pas 2 400
cactus.
c. Déterminer, à 10-4 près, la probabilité qu’au cours d’une année la demande mensuelle ne
dépasse jamais 200 cactus.
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PROBLEME 2
Première Partie
Les clients du cabinet sont des petites et moyennes entreprises appartement à trois secteurs d’activité :
- le commerce en alimentation, en vêtements, ou en jardinage ;
- l’hôtellerie-restauration ;
- le bâtiment.
Cinq assistants comptables se répartissent la saisie des documents :
- trois assistants enregistrent toutes les factures d’achats-ventes ;
- deux assistants traitent les salaires sur un logiciel de paye ;
- un assistant gère plus particulièrement la trésorerie et les autres opérations courantes.
Chaque assistant travaille 130 heures par mois et consacre la moitié de son temps à la saisie des
documents. Les durées de saisie mensuelles en minutes, par assistant, pour un client, selon le secteur
d’activité et selon le type de saisie, sont les suivants :
commerçants
factures
paye
autres opérations
hôtels-restaurants
60
20
40
bâtiment
45
60
30
20
60
20
On note :
-
T la matrice des durées de saisie mensuelles, exprimées en heure, par client et par type
d’opération :
Τ=
-
 1
 1/3

 2/3
3/4
1/3 
1
1
1/2


1/3 
A la matrice du nombre de clients de chaque secteur d’activité (où x désigne le nombre
mensuel de commerçants clients du cabinet, y le nombre mensuel de clients du cabinet dans
l’hôtellerie, et z le nombre mensuel de clients du cabinet dans le bâtiment) :
A=
-
x
y
 
z
C la matrice des coûts de facturation, en euros, d’une heure de saisie de chaque type
d’opération (où a désigne le coût d’une heure de saisie factures, b le coût d’une heure de
saisie de la paye, et c le coût d’une heure de saisie des autres opérations) :
C=
a
b
c
Travail à faire
1. Calculer le produit matriciel C   et donner l’interprétation concrète des éléments de cette
matrice.
2. Calculer le produit matriciel C    A et en donner l’interprétation concrète.
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Deuxième partie
La contribution à la marge totale est évaluée à :
- 80 € par mois pour un client commerçant ;
- 100 € par mois pour un client du cabinet dans l’hôtellerie ;
- 60 € par mois pour un client du cabinet dans le bâtiment.
Travail à faire
1. Ecrire sous forme canonique le programme linéaire de variables réelles x, y, z, visant à
maximiser la marge totale.
2. La solution optimale a été déterminée par la méthode du simplexe. On note e1, e2 et e3 les variables
d’écart associées respectivement aux durées des factures, de la paye et des autres opérations. Le
dernier tableau se présente ainsi :
x
y
z
e1
e2
e3
résultat
e1
0
0
- 1/6
1
0
- 3/2
97,5
y
0
1
10/9
0
4/3
- 2/3
130
x
1
0
- 1/3
0
-1
2
0
Objectif
0
0
- 220/9
0
- 160/3
- 280/3
- 13 000
Travail à faire
a. Donner le nombre optimal de clients de chaque secteur d’activité.
Indiquer si le cabinet a intérêt à se spécialiser dans une clientèle particulière.
b. Donner le montant maximal de la marge totale.
c. A l’optimum, combien reste-t-il d’heures de saisie disponibles ?
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PROBLEME 3
L’expert-comptable veille particulièrement à la qualité du travail des ses collaborateurs en vérifiant qu’il
n’y a pas d’erreurs.
L’expérience a montré à l’expert-comptable que la probabilité qu’un enregistrement comporte une erreur
vaut 0,02. On admet qu’un enregistrement contient au plus une erreur.
1. Périodiquement, l’expert-comptable contrôle 1 000 enregistrements.
On note Y la variable aléatoire qui associe, à chaque contrôle, le nombre d’enregistrements (parmi les
1 000 contrôlés) contenant une erreur.
Travail à faire
a. Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Y. Justifier la réponse et
préciser les paramètres de cette loi.
b. Déterminer, à 10-3 près, la probabilité de trouver 10 erreurs lors d’un contrôle de 1 000
enregistrements.
2. La saisie des factures est répartie uniformément entre les trois assistants comptables Anatole,
Bérénice et Cunégonde. L’expert-comptable constate que les pourcentages d’enregistrements contenant
une erreur commise par les assistants sont différents de l’un à l’autre, et que les erreurs rencontrées
portent soit sur les montants, soit sur les numéros de compte. Ces pourcentages sont supposés stables
et sont donnés dans le tableau suivant :
Anatole
Bérénice
Pourcentage d’enregistrements
contenant une erreur
1%
2%
Pourcentage d’erreurs
de montant parmi les erreurs
20%
40%
Cunégonde
5%
10%
Assistant comptable
L’expert-comptable s’apprête à vérifier un enregistrement pris au hasard.
Les données peuvent être schématisées par un arbre.
Travail à faire
a. Calculer, à 10-3 près, la probabilité que cet enregistrement comporte une erreur de numéro
de compte commise par l’assistant Anatole.
b. Calculer, à 10-3 près, la probabilité que l’enregistrement soit exact.
c. Si l’expert-comptable constate que cet enregistrement comporte une erreur de montant,
quelle est, à 10-3 près, la probabilité qu’elle soit imputable à Cunégonde ?
3. L’expert-comptable désire comparer les proportions d’erreurs constatées parmi les deux types de
saisie suivants : enregistrements des factures et traitement de la paye.
Sur un échantillon de 1000 factures, le taux d’erreur est de 2%.
Sur un échantillon de 5000 écritures de paye, le taux d’erreur est de 1%.
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Travail à faire
a. Recopier et compléter le tableau suivant :
Avec une erreur
Sans erreurs
TOTAL
Nombre de factures
Nombre de feuilles de paye
TOTAL
b. Effectuer un test du khi-deux, au seuil de risque 5%, permettant de décider s’il y a ou non
indépendance entre la nature d’un enregistrement et le fait qu’il soit ou non exact. Le détail des
calculs et les notations utilisées doivent être clairement indiqués. Une conclusion sans ambiguïté doit être
rédigée.
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ANNEXE
Loi normale centrée réduite (répartition)
Cas des grandes valeurs de t
Nota : La table donne les valeurs de  (t) pour t  0. Si t est négatif on prend le complément à l'unité de
la valeur lue dans la table.  (-t) = 1 - (t)
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Table de distribution de 

(loi de K Pearson)
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Proposition de corrigé
PROBLEME 1
1. Je pose Τ =
X - 200
, la variable aléatoire suit la loi normale centrée réduite N(0;1)
20
1. a. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité que la demande mensuelle X soit compris, au sens
large, entre 190 et 220 cactus.
p(190  X  220)  p(
190  200
p(190  X  220)  p(
20
1
2

X  200
20

220  200
20
)
   1)
D’où
p(190  X  220)  (1)  (0, 5)
 étant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.
Etant donné les propriétés de
 :
(1)  (0, 5)  (1)  (1  (0, 5))  (1)  (0, 5)  1  0, 5328
La probabilité, à 102 près, que la demande mensuelle X soit comprise, au sens large, entre 190 et 220
cactus est 0,53.
1. b. Déterminer, à 10-2 près, la probabilité que la demande mensuelle X dépasse 240 cactus.
p( X  240)  p( 
240  200
20
)  p(  2)  1  (2)  0, 02275
La probabilité, à 102 près, que la demande mensuelle X dépasse 240 cactus est 0,02.
2. a. Déterminer, à 10-2 près, le taux de service dans l’hypothèse où le stock initial est de 180
cactus.
Le stock initial étant de 180, la demande mensuelle est satisfaite lorsqu'elle ne dépasse pas 180, le
taux t de service est :
t  p( X  180)  p( 
180  200
20
)  p(  1)  1  (1)  0,16
Dans l'hypothèse où le stock initial est de 180 le taux de service est de 0,16.
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2. b. Déterminer le stock initial dont on doit disposer si on souhaite avoir un taux de service
égal à 0,96.
J'appelle N le stock initial, N est solution de :
p( X  N )  0, 96
p( 
N  200
20
)  0, 96
Par lecture inversée de la table : p(  1, 75)  0, 9599 , donc =>
N  200
20
 1, 75
Et => N  1, 75  20  200  235
Si on souhaite avoir un taux de service égal à 0,96 le stock initial doit d'être au moins 235 cactus.
3. a. Donner la loi suivie par la variable aléatoire Z. Justifier la réponse et déterminer les
paramètres de cette loi.
Les variables X1 , X2 ,..., X12 étant des variables de loi normale Ν(200,20) , indépendantes, la variable Z
= X1  X 2  ...  X12 suit la loi normale de moyenne 200  200  ...  200  200  12  2400 et d'écarttype
2
2
20  20  ...  20
2

2
20  12  40 3
3. b. Donner, à 10-1 près, la probabilité que la demande d’une année ne dépasse pas 2 400
cactus.
p(  2400)  p( 
2400  2400
40 3
)  (0)  0, 5
La probabilité, à 101 près, que la demande ne dépasse pas 2400 est 0,5.
3. c. Déterminer, à 10-4 près, la probabilité qu’au cours d’une année la demande mensuelle ne
dépasse jamais 200 cactus.
La probabilité que la demande mensuelle ne dépasse pas 200 au cours de l'année est égale à la
probabilité qu'elle ne dépasse pas 200 le 1er mois et qu'elle ne dépasse pas 200 le deuxième et ... et
qu'elle ne dépasse pas 200 le douzième.
Les événements ( X 1  200), ( X 2  200),..., ( X12  200) étant indépendants,
12
p(( X1  200)  ( X 2  200)  ...  ( X 12  200))  p( X 1  200)  p( X 2  200)  ...  p( X 12  200)  0,15
Or
p( X 1  200)  ...p( X 12  200)  p( 
200  200
20
)  (0)  0, 5
Donc
12
p(( X1  200)  ( X 2  200)  ...  ( X12  200))  0, 5
 0, 0002
La probabilité à 104 près que la demande mensuelle ne dépasse jamais 200 cactus au cours de l’année
est 0,0002.
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PROBLEME 2
Première Partie
1. Calculer le produit matriciel C   et donner l’interprétation concrète des éléments de cette
matrice.
C1
3 / 4 1 / 3
 1

  a  1 b  2 c
C    a b c  1 / 3
1
1

 
3
3
2 / 3 1 / 2 1 / 3 


C2
3
4
a b
C3
1
2
c
1
3
a b
1
3


c
C1 : coût mensuel de saisie par client de type commerçant
C2 : coût mensuel de saisie par client dans l’hôtellerie
C3 : coût mensuel de saisie par client dans le bâtiment
2. Calculer le produit matriciel C    A et en donner l’interprétation concrète.
3 / 4 1 / 3  x 
 1

  y    (a  1 b  2 c)x ( 3 a  b  1 c)y ( 1 a  b  1 c)z 
C    A  a b c  1 / 3
1
1


  
3
3
4
2
3
3

2 / 3 1 / 2 1 / 3  z  

 
Il s’agit du coût total mensuel de saisie pour l’ensemble des clients, tous types de saisie confondus.
Deuxième partie
1. Ecrire sous forme canonique le programme linéaire de variables réelles x, y, z, visant à
maximiser la marge totale.
Il s’agit de maximiser : MAX [80x + 100y + 60z = Z]
60 x  45y  20 z


20 x  60y  60 z


 40 x  30y  20 z


x; y; z
 3
 2
 1
130
2
130
2
130
2
 60
 60
 60
 0
60 x  45y  20 z  11 700
 20 x  60y  60 z  7 800


 40 x  30y  20 z  3 900

x;y;z  0
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2. a. Donner le nombre optimal de clients de chaque secteur d’activité. Indiquer si le cabinet a
intérêt à se spécialiser dans une clientèle particulière.
On obtient un programme optimal pour x=0, y=130 et z=0, soit 130 clients uniquement dans l’hôtellerie.
Le cabinet a donc tout intérêt à se spécialiser dans l’hôtellerie.
2. b. Donner le montant maximal de la marge totale.
Le montant maximal de la marge totale est de => (30 × 0) + (100 × 130) + (60 × 0) = 13 000
2. c. A l’optimum, combien reste-t-il d’heures de saisie disponibles ?
A l’optimum on a besoin de :
- Saisie des factures : 130 × 45 = 5 850 minutes
- Saisie de la paye : 130 × 60 = 7 800 minutes
- Saisie des autres opérations : 130 × 30 = 3 900 minutes
Et nous disposons de :
- Saisie des factures : 130/2 × 60 × 3 = 11 700 minutes
- Saisie de la paye : 130/2 × 60 × 2 = 7 800 minutes
- Saisie des autres opérations : 130/2 × 60 × 1 = 3 900 minutes
Il nous reste
11 700 - 5 850
60
heures => soit 97,5 heures de saisie facture disponibles.
PROBLEME 3
1. a. Déterminer la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Y. Justifier la réponse et
préciser les paramètres de cette loi.
La variable aléatoire Y prenant le nombre de succès dans la répétition de n expériences aléatoires de
Bernoulli de paramètre 0,02 (« il y a une erreur »), identiques et indépendantes (1 000 est petit devant
le nombre total d'enregistrements), elle suit la loi binomiale B(1 000;0,02) .
1. b. Déterminer, à 10-3 près, la probabilité de trouver 10 erreurs lors d’un contrôle de 1 000
enregistrements.
 1 000 
 1 000 
10
1000  10
10
990
 

 0, 02  (1  0, 02)
 0, 02  (0, 98)  0, 006
 10 
 10 
La probabilité, à 103 près de trouver 10 erreurs lors d'un contrôle de 1000 enregistrements est 0, 006.
p(Y  10) 
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2. Je note :
- A l'évènement « l'enregistrement est effectué par Anatole »,
- B l'évènement « l'enregistrement est effectué par Bérénice »,
- C l'évènement « l'enregistrement est effectué par Cunégonde »,
- E l'évènement « il y une erreur » et E l'évènement contraire,
- M l'évènement « il y une erreur de montant » et M l'évènement contraire.
2. a. Calculer, à 10-3 près, la probabilité que cet enregistrement comporte une erreur de
numéro de compte commise par l’assistant Anatole.
p( A  E  M )  p( A)  pA (E )  pE (M ) 
1
3
1

100

80
100
 0, 003
La probabilité, à 103 près que cet enregistrement comporte une erreur de numéro de compte commise
par Anatole est 0,003.
2. b. Calculer, à 10-3 près, la probabilité que l’enregistrement soit exact.
D’après la formule des probabilités totales :
p(E )  p( A  E )  p(B  E )  p(C  E )
p(E )  p( A)  pA (E )  p(B)  pB (E )  p(C )  pC (E )
p(E ) 
1
3
99

100
1

3
98

100

1
3

95
100

73
75
 0, 973
La probabilité, à 103 près que cet enregistrement soit exact est 0, 973.
2. c. Si l’expert-comptable constate que cet enregistrement comporte une erreur de montant,
quelle est, à 10-3 près, la probabilité qu’elle soit imputable à Cunégonde ?
On cherche la probabilité que l'enregistrement ait été effectué par Cunégonde, sachant qu'il y a une
erreur de montant :
pE  M (C ) 
p(C  E  M )
p(E  M )
p(C  E  M ) 
1
3

5
100

10
100

1
600
p(E  M )  p( A  E  M )  p(B  E  M )  p(C  E  M )
p(E  M ) 
1
3

1
100

20
100

1
3

2
100

40
100

1
3

5
100

10
100

11
2500
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Corrigé de l'UV 5A
D’où
1
pE  M (C ) 
600
11

25
66
 0, 379
2 500
3. Soit l'hypothèse nulle ( H0 ) : il y a indépendance entre la nature de l'enregistrement et le
fait qu'il soit exact ou non.
3. a. Recopier et compléter le tableau suivant :
Avec une erreur
Nombre de factures
observés : 1 000 
100
25 × 1 000
calculés :
Nombre de feuilles de paye
2
1 500
Sans erreurs
 20
TOTAL
observés : 980
» 16,67
calculés :
observés : 5
25 × 500
calculés :
 8, 33
1 500
1 475 × 1 000
1 500
1 000
 983, 33
observés : 495
1 475 × 500
calculés :
 491, 67
1 500
TOTAL
25
1 475
500
1 500
3. b. Effectuer un test du khi-deux, au seuil de risque 5%, permettant de décider s’il y a ou
non indépendance entre la nature d’un enregistrement et le fait qu’il soit ou non exact.
2
C 
2
(20  16, 67)
16, 67
2

(5  8, 33)
8, 33
2

(980  983, 33)
983, 33
2

(495  491, 67)
491, 67
 2, 03
Le caractère nature de l'enregistrement a 2 modalités ainsi que le caractère « erreur ».
Le nombre de degré de liberté est (2 - 1) (2 - 1) = 1
D'après la table pour   0, 05 , on lit  0,2 05  3, 84
Etant donné que 2, 03  3, 84 , on ne peut rejeter ( H0 ) au risque 5%.
Il y a indépendance entre la nature de l'enregistrement et le fait qu'il soit exact ou non.
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MATHEMATIQUES APPLIQUEES

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