L`Inde du Nord - V3 - Santé et Bien

´
ALGEBRA
LINEAR E GEOM. ANAL´ITICA II
Ilda Perez - 2009/2010
2. Aplica¸c˜
oes lineares
2.1. N´
ucleo, Espa¸co Imagem. Sobrejectividade e Injectividade. Matrizes
1. Defina aplica¸c˜ao injectiva, sobrejectiva e bijectiva de um conjunto A
para um conjunto B.
(a) Sabendo que A e B s˜ao conjuntos finitos designando por |A| e |B|
os respectivos cardinais (= no de elementos) diga, justificando, se
as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ou falsas:
(i) Se |A| ≤ |B| existe uma aplica¸c˜ao injectiva f : A −→ B.
(ii) Se |A| ≤ |B| qualquer aplica¸c˜ao f : A −→ B ´e injectiva.
(iii) Se |A| ≥ |B| existe uma aplica¸c˜ao sobrejectiva f : A −→ B.
(iv) Se |A| = |B| qualquer aplica¸c˜ao sobrejectiva f : A −→ B
´e tambem injectiva.
(v) |A| = |B| se e s´o se qualquer aplica¸c˜ao f : A −→ B ´e uma
bijec¸c˜ao.
(b) Sejam A, B, C conjuntos e f : A −→ B e g : B −→ C aplica¸c˜oes.
Mostre que:
(i) Se f e g s˜ao injectivas ent˜ao g ◦ f ´e injectiva.
(ii) Se f e g s˜ao sobrejectivas ent˜ao g ◦ f ´e sobrejectiva.
(iii) Se f e g s˜ao bijectivas ent˜ao g ◦ f ´e bijectiva.
(c) As rec´ıprocas das implica¸c˜oes anteriores s˜ao verdadeiras? Justifique.
2. Quais das seguintes aplica¸c˜oes de R2 em R2 s˜ao lineares?
(a) f (x, y) = (x + 2y, 0)
(b) g(x, y) = (x2 , y − 2x)
(c) h(x, y) = (ex+y , 3xy)
1
(d) k(x, y) = (x + 2y, x − 2y + 3)
3. Seja f : R −→ R uma aplica¸c˜ao linear. Como ´e o gr´afico de f ? Se
soubermos que f n˜ao ´e injectiva como ´e o seu gr´afico? E se soubermos
que f n˜ao ´e sobrejectiva?
4. Considere a aplica¸c˜ao linear f : IR2 −→ IR2 definida por f (1, 0) =
(1, 2) e f (0, 1) = (1, 1).
(a) Calcule f (2, 3).
(b) Determine a matriz e a express˜ao geral f (x, y), ∀(x, y) ∈ IR2 .
(c) Determine o contradom´ınio ou espa¸co imagem de f : Imf (= f (IR2 )).
(d) Determine o nu´cleo, Kerf (= N uc(f )) de f .
(e) Classifique f quanto a injectividade e sobrejectividade.
(f) Determine os vectores v ∈ IR2 que satisfazem a igualdade: f (v) ∈<
(1, 2) >.
(g) Determine a imagem, f (R) da recta R = (2, 3)+ < (1, −1) >.
5. Considere a aplica¸c˜ao linear f : IR2 −→ IR2 definida por:
1 2
x
f (x, y) =
, ∀(x, y) ∈ R2 .
2 4
y
(a) Determine f (2, 1).
(b) Determine bases dos subespa¸cos Kerf e Imf .
(c) Classifique f quanto a injectividade e sobrejectividade.
(d) Quais as rectas de R2 cuja imagem por f ´e um ponto?
(e) Quais as rectas de R2 cuja imagem por f ´e uma recta?
6. Considere a aplica¸c˜ao linear f : IR3 −→ IR2 definida por:
 
x
1 2 1  
y
f (x, y, z) =
∀(x, y, z) ∈ IR3
2 4 2
z
(a) Determine uma base e a dimens˜ao de Ker(f ) (o n´
ucleo de f ).
2
(b) Determine uma base e a dimens˜ao de Im(f ) (o contradom´ınio ou
espa¸co imagem de f ).
(c) Classifique f quanto a injectividade e sobrejectividade.
(d) Dˆe exemplo de um plano P de IR3 cuja imagem, f (P) seja um
ponto de IR2 .
(e) Dˆe exemplo de um plano P de IR3 cuja imagem, f (P) seja uma
recta de IR2 .
(f) Existe algum plano P de IR3 cuja imagem, f (P), seja o plano
IR2 ? Justifique.
7. Sejam f : E −→ E 0 uma aplica¸c˜ao linear. Mostre que:
(a) f ´e injectiva se e s´
o se sempre que (v1 , . . . , vk ) ´e um sistema
de vectores linearmente independente de E o sistema de vectores
(f (v1 ), . . . , f (vk )) ´e um sistema linearmente independente de f .
(b) Se E e E 0 tˆem dimens˜
ao finita:
(i) Se f ´e injectiva ent˜
ao dim(E) ≤ dim(E 0 ).
(ii) Se f ´e sobrejectiva ent˜
ao dim(E 0 ) ≤ dim(E).
(iii) Se f ´e bijectiva ent˜
ao dim(E) = dim(E 0 ).
8. Sejam f : E −→ E 0 e g : E −→ E ” duas aplica¸c˜oes lineares. Mostre
que g ◦ f : E −→ E ” ´e uma aplica¸c˜ao linear.
9. Considere as aplica¸c˜oes lineares f : IR2 −→ IR3 e g : IR3 −→ IR4
definidas por:
f (1, 1) = (2, 1, 0), f (2, 1) = (1, 1, 1)
g(1, 0, 0) = (1, 1, 1, 1), g(0, 1, 0) = (0, 0, 0, 1), g(0, 0, 1) = (1, 1, 1, 2).
(a) Determine f (1, 0) e f (0, 1).
(b) Determine a express˜ao geral f (x, y), ∀(x, y) ∈ IR2 .
(c) Determine a express˜ao geral g(x, y, z), ∀(x, y, z) ∈ IR3 .
(d) Classifique g ◦ f quanto a injectividade e sobrejectividade.
10. Seja f : IR2 −→ IR2 a aplica¸c˜ao linear definida por:
f (x, y) = (y, x) ∀(x, y) ∈ IR2
.
3
(a) Mostre que F := {(x, y) ∈ IR2 : f (x, y) = (x, y)} ´e um subespa¸co
vectorial de IR2 .
(b) Mostre qualquer f (1, −1) 6= (1, −1).
(c) Mostre que f (< (1, −1) >) =< (1, −1) >.
(d) Mostre que f ´e bijectiva e determine a express˜ao geral da aplica¸c˜ao
inversa f −1 .
(e) Interprete geom´etricamente a aplica¸c˜ao linear f e os resultados
das al´ıneas anteriores.
11. Seja f : R2 −→ R2 uma aplica¸c˜ao linear ´e ortogonal se (f (1, 0), f (0, 1))
´e uma base ortonormada de R2 .
(a) Seja A a matriz de f (em rela¸c˜ao `a base can´onica). Mostre que:
AT A = I2 (i.e. A ´e uma matriz ortogonal)
(b) f (x, y) tem uma das seguintes express˜oes onde θ ∈ [0, 2π[:
cos θ − sin θ
f (x, y) =
Rota¸c˜
ao de centro na origem e
sin θ cos θ
ˆangulo θ
ou
cos θ sin θ
f (x, y) =
Reflex˜
ao na recta que passa pela origem
sin θ − cos θ
e faz um ˆangulo orientado de 2θ com o eixo dos x’s.
12. Aplica¸c˜
oes ortogonais de Rn Uma aplica¸c˜ao ortogonal de Rn ´e uma
aplica¸c˜ao linear f : Rn −→ Rn de express˜ao geral f (x) = Ax) onde A
´e uma matriz ortogonal. Mostre que se f ´e uma aplica¸c˜ao ortogonal de
Rn ent˜ao:
(a) ||f (v)|| = ||v||, ∀v ∈ Rn
(b) ∠(u, v) = ∠(f (u, v)), ∀u, v ∈ Rn
2
13. Quantas aplica¸
√ c˜oes ortogonais de R satisfazem a condi¸c˜ao seguinte:
f (1, 2) = (0, 5)? Determine as suas express˜oes gerais.
4
2.2. Determina¸c˜ao de bases em rela¸c˜ao `as quais a matriz de uma aplica¸c˜ao linear
tem uma forma particularmente simples
14. Considere a aplica¸c˜ao linear f : R4 −→ R3 definida por:
f (x, y, z, w) = (x+y+z+w, x+y+z+w, 2x+2y+2z+2w) ∀(x, y, z, w) ∈ R4
(a) Diga se f ´e injectiva ou sobrejectiva.
(b) Escreva a matriz de f em rela¸c˜ao `as bases can´onicas de R4 e R3 .
(c) Mostre que dim(Kerf ) = 3.
(d) Seja B = (e1 , e2 , e3 , e4 ) uma base de R4 cujos u
´ltimos 3 vectores
constituem uma base de Kerf . Escreva a matriz M (f ; B, Bc ).
(e) Determine bases B de R4 e B 0 de R3

1
M (f ; B, B 0 ) =  0
0
tais que:

0 0 0
0 0 0 .
0 0 0
15. Considere a aplica¸c˜ao linear f : R3 −→ R4 definida por:
f (x, y, z) = (x − y, y − 2z, x + y − 3z, x + z), ∀(x, y, z, w) ∈ R3
(a) Determine A := matriz de f em rela¸c˜ao `as bases can´onicas de R3
e R4 .
(b) Determine uma base B de R3

Ir
0

M (f ; B, B ) = −
0
e uma base B 0 de R4 tais que:

| 0
| −  , r := dim(Imf ).
| 0
(c) Determine matrizes invert´ıveis P ∈ M4 (R) e Q ∈ M3 (R) tais
que:


Ir | 0
P AQ =  − | −  , r = dim(Imf ).
0 | 0
16. (Matrizes equivalentes) Duas matrizes A, B ∈ Mm×n (K) dizemse equivalentes e escrevemos A ρe B se existem matrizes invert´ıveis
P ∈ Mm (K) e Q ∈ Mn (K) tais que B = P AQ. Mostre que:
5
(a) Mostre que ρe ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia (reflexiva, sim´etrica
e transitiva) no conjunto Mm×n (K)
(b) A e B s˜ao equivalentes se e s´o se s˜ao matrizes da mesma aplica¸c˜ao
linear f : K n −→ K m (em rela¸c˜ao a bases diferentes).
(c) A e B s˜ao equivalentes se e s´o se tˆem a mesma caracter´ıstica:
r(A) = r(B).
2.3. Endomorfismos: Subespa¸cos invariantes.
Vectores e valores pr´oprios. Diagonaliza¸c˜ao
17. Sejam E um espa¸co vectorial e f : E −→ E um endomorfismo de E.
Prove que:
(a) Kerf e Imf s˜ao subespa¸cos invariantes de f .
(b) A soma e intersec¸c˜ao de subespa¸cos invariantes de f ´e um subsepa¸co invariante de f .
18. (Projec¸c˜oes) Sejam E um espa¸co vectorial, F e G dois subespa¸cos suplementares de E, i.e. E = F ⊕ G.
(a) Mostre que qualquer vector v ∈ E se escreve de modo u
´nico v =
vF + vG com vF ∈ F e vG ∈ G.
(b) Prove que a aplica¸c˜ao πF : E −→ E definida por πF (v) = vF ´e
um endomorfismo de E.
Esta aplica¸c˜ao ´e chamada projec¸c˜
ao de E sobre F paralelamente
a G. No caso de G = F ⊥ , πF diz-se a projec¸c˜ao ortogonal de E
sobre F .
(c) Prove que F e G s˜ao subespa cos invariantes de πF .
19. Considere em R2 o subespa¸co vectorial F =< (1, 2) >.
(a) Determine a matriz e a express˜ao geral da projec¸c˜ao ortogonal de
R2 sobre F .
(b) Determine a matriz e a express˜ao geral da projec¸c˜ao de R2 sobre
F paralelamente ao subespa¸co vectorial G =< (−1, 3) >.
6
20. Considere a aplica¸c˜ao linear f

0 1
 1 1
f (x, y, z, w) = 
 0 5
−3 11
: R4 −→ R4 definida por:


0 0
x


0 0 
  y  , ∀(x, y, z, w) ∈ R4
−3 1   z 
−8 3
w
(a) classifique f quanto a injectividade e sobrejectividade,
(b) Prove que os subespa¸cos vectoriais F1 =< (1, 1, 1, 1), (1, 2, 3, 3) >
x=0
e F2 :
s˜ao subespa¸cos invariantes de F .
y=0
(c) Mostre que existe uma
de f ´e do tipo :

B1
B= −
0
base B de R4 em rela¸c˜ao `a qual a matriz

| 0
| −  , B1 , B2 ∈ M2 (R)
| B2
(d) Verifique se f tem algum subespa¸co invariante de dimens˜ao 1.
21. (a) Determine os valores pr´oprios, os subespa¸cos pr´oprios e as dimens˜oes dos subespa¸cos pr´oprios das seguintes matrizes reais:




1 1 0
3 1 0
−2 2
1 2
A=
,B =
, C =  0 1 1 , D =  0 3 1 
4 0
−1 1
1 0 1
0 0 3

0
3 0 0
 0
E= 0 3 1  F =
 0
0 2 2
4


0
0
3
0
0
2
0
0


1

0 
 G=


0
0
2
0
0
0

1 0 0
2 0 0 

0 −2 2 
0 4 0
(b) Diga, justificando quais as matrizes da al´ınea anterior s˜ao diagonaliz´aveis (em R. E em C?). Determine matrizes diagonalizantes
em R e em C.
22. Prove as seguintes equivalˆencias onde A representa uma matriz quadrada.
(a) A ´e diagonaliz´avel se e s´o se AT ´e diagonaliz´avel.
7
(b) A ´e invert´ıvel se e s´o se 0(zero) n˜ao ´e valor pr´oprio de A.
(c) Seja A invert´ıvel. Ent˜ao A ´e diagonaliz´avel se e s´o se A−1 ´e diagonaliz´avel.
(d) Que rela¸c˜ao existe entre os valores pr´oprios de A, AT e A−1 ?
√ 2
1
√
. Mostre que A ´e diagonaliz´avel
23. Considere a matriz A =
− 2 4
e utilize esse facto para obter express˜oes para as entradas da matriz
An , ∀n ∈ N.


−3 8 4
24. Considere a matriz A =  −2 5 2 
−1 2 2
(a) Verifique que o vector v = (2, 1, 12 ) ´e um vector pr´oprio de A.
Indique o valor pr´oprio que lhe est´a associado.
(b) Verifique se a matriz A ´e ou n˜ao diagonaliz´avel e, caso o seja determine marizes P e P −1 tais que P −1 AP seja uma matriz diagonal.
(c) Determine as express˜ao geral das entradas da matriz An , ∀n ∈ N.
25. (Matrizes semelhantes) Duas matrizes quadradas A, B ∈ Mn (K)
dizem-se semelhantes se existe uma matriz invert´ıvel P ∈ Mn (K) tal
que B = P −1 AP . Mostre que:
(a) Matrizes semelhantes s˜ao equivalentes.
(b) Duas matrizes s˜ao semelhantes se e s´o se s˜ao matrizes do mesmo
endomorfismo f : K n −→ K n em rela¸c˜ao a bases diferentes, em
ambas a mesma base no espa¸co de partida e de chegada.
(c) Matrizes semelhantes tˆem o mesmo polin´omio caracter´ıstico.
(d) A ´e diagonaliz´avel se e s´o se B ´e diagonaliz´avel.
(e) Dˆe exemplo de duas matrizes quadradas de ordem 2 que sejam
equivalentes mas n˜ao semelhantes.
26. Seja f : R2 −→ R2 uma transforma¸c˜ao ortogonal de R2 .
a) Mostre que se f ´e uma rota¸c˜ao (de centro na origem) e ˆangulo
θ ∈ [0, 2π] ent˜ao f ´e diagonaliz´
vel se e s´o se θ = 0, π.
8
b) Mostre que se f ´e uma reflex˜ao (numa recta que passa pela origem
e faz um de θ ∈ [0, π[ com o eixo dos x’s) ent˜ao f ´e diagonaliz´avel.
c) Nos casos em que f ´e diagonaliz´avel interprete geom´etricamente os
subespa¸cos pr´oprios de f .
27. Considere a seguinte matriz A ∈ M3 (R):
1 √0
2

A= 0
2√
0 − 22

0
√
2
√2
2
2


3
3
Seja
 f a aplica¸c˜ao linear f : R −→ R definida por f (x, y, z) =
x

A y .
z
(a) Algum dos vectores da base can´onica de R3 ´e um vector pr´oprio
de f ?
(b) Verifique se f ´e ou n˜ao diagonaliz´avel.
(c) Mostre que a aplica¸c˜ao linear f ´e uma transforma¸c˜ao ortogonal
de R3 .
(d) Interprete geom´etricamente a transforma¸c˜ao ortogonal f estudando
as imagens dos vectores da base can´onica.
(e) Mostre que a recta R = (0, 0, 0)+ < (1, 0, 0) > verifica f (R) = R.
(f) Mostre que a imagem da recta S = (2, 1, 0)+ < (1, 0, 0) > ´e uma
recta paralela a S.
28. Seja f : Rn −→ Rn um endomorfismo de Rn definido por f (x) =
Ax, ∀x ∈ Rn . Seja fC : Cn −→ Cn definido pela mesma matriz.
Mostre que :
(a) Se o polin´omio caracter´ıstico p(λ) (de ambos os endomorfismos)
tem uma ra´ız complexa a + bi (b 6= 0) ent˜ao a − bi tambem ´e uma
ra´ız de p(λ).
(b) Se x+yi ∈ C n ´e um vector pr´oprio de fC associado ao valor pr´oprio
a + bi ent˜ao x − yi ∈ Cn ´e um vector pr´oprio de fC associado ao
valor pr´oprio a − bi.
9
(c) O subespa¸co vectorial F de Rn definido por F =< x, y > ´e um
subespa¸co invariante de dimens˜ao 2 de f .
2.4. Aplica¸c˜ao: determinar o termo geral de uma sucess˜ao
definida por uma rela¸c˜ao de recorrˆencia linear homog´enea
Considere a sucess˜ao de Fibonacci definida por: un = un−2 + un−1 , n ∈
N0 u0 = 0, u1 = 1
0 1
Considere a matriz A =
1 1
(a) Mostre que A
n−1
u0
u1
=
un−1
un
(b) Deduza da al´ınea anterior que un = [0 1]A
n−1
0
1
(c) Mostre que A ´e diagonaliz´
vel e determine o termo geral da sucess˜ao
de Fibonacci.
29. Escreva os 4 primeiros termos e determine o termo geral da sucess˜ao
un = 6un−2 + 6un−1 , n ∈ N0 u0 = 0, u1 = 0.
10