Cours 5 Partie 1 Les statistiques avec R

Cours 5
Partie 1
Les statistiques avec R
Lois de probabilité, distributions
• On peut évaluer les quantités suivantes:
Fonctions de répartition
Densité
Quantiles
Echantillons Simulés
• Les fonctions ont le même nom avec des préfixes
différents
r: donne des échantillons
d: donne les valeurs P(X=j)
p: donne les valeurs P(X<=x)
q: donne la valeur y telle que P(X=x)=y
• Exemples:
dnorm(),pnorm(),qnorm(),rnorm():loi normale
dbinom(),pbinom(),qbinom(),rbinom():loi binomiale
dt(),pt(),qt(),rt():loi de student
dpois(), ppois(), qpois(), tpois():loi de Poisson …
exemples
dbinom(k, n, p) donne la valeur
loi B(n,p),c’est-à-dire
Exemple: dbinom(3,10,0.2)
P(X=k) sachant que X suit une
0.2013266
rbinom(10,n,p) donne un échantillon de taille 10
extrait d’une population suivant une loi B(n,p):
Exemple: rbinom(10,10,0.2)
[1] 5 2 3 2 4 0 4 2 0 2
pbinom(k,n,p) donne P(X<=k) sachant que X suit
une loi B(n,p),c’est-à-dire la valeur de la
fonction de répartition F(k)
Exemples:
pbinom(3,10,0.2); 0.8791261
pbinom(1:10,10,0,2)
;
[1] 0.1073742 0.3758096 0.6777995 0.8791261 0.9672065 0.9936306
0.9991356 0.9999221 0.9999958 1.0000000
Fonction de répartition de la loi binomiale de
paramètres 10 et 0,2
0.6
0.4
0.2
0.0
c(0, z)
0.8
1.0
●
0
2
4
6
c(-1, x)
8
10
0
2
4
6
c(-1, x)
8
10
0.0
0.2
0.4
c(0, z)
0.6
0.8
1.0
qbinom(q,n,p) est le quantile , c’est-à-dire la plus
petite valeur x telle que F(x)=P(X<=x) >=q.
Exemple:
qbinom(0.5,10,0.2) ;
[1] 2
qchisq(.1,df=8) est le premier décile de X^2(8)
(loi du chi-deux a 8 degrés de liberté)
Exemple d'une loi continue: la loi normale
qnorm(0.2)
[1] -0.8416212
0.6
0.4
0.2
0.0
pnorm(x)
0.8
1.0
●
0
5
x
10
Représentation de données discrètes:
tracés d'histogrammes
La fonction hist()
Exemple: v=rbinom(1000,10,0.4)
table(v);
v
0
1
2
3
4
8
4 44 110 215 253 194 125
hist(v);
5
42
6
13
7
Distribution d’un ensemble
d’observations
•
•
•
•
Quelques fonctions: si v est un ensemble d’observations
table(v):
compte les fréquences des éléments de v
hist(v):
trace l’histogramme
summary(v):
renvoie un résumé statistique du contenu de
v,avec le min 1er quartile, moyenne, médiane,3iemme quartile
et max
• quantile(v): renvoie les quantiles correspondant au vecteur
de probabilité donné. Par défaut renvoie les quartiles
• Moins utilisées
stem():arbre
qqplot(x,y):trace les quantiles de x /quantiles de y
exemples
essai=sample(1:20,200,replace=TRUE)
●
●
●
●
stem(essai)
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
1 | 0000000000000000
1|
2 | 0000000000000000000000000
2|
3 | 00000000000000000000000
3|
4 | 0000000000000000
4|
5 | 00000000000000000000
5|
6 | 000000000000000000000
6|
7 | 00000000000000000
7|
8 | 00000000000000000000000000
8|
9 | 00000000000000000
9|
10 | 0000000000000000000
• hist(essai)
●
Cours 5
Partie 2
Approfondissements
divers
hist(x,breaks= « Sturges »,prob=FALSE)
●
●
X un vecteur de valeurs pour lequel on
souhaite un histogramme
breaks:soit
-un vecteur chaine de caractère donnant un
algorithme pour calculer le nombre
d'intervalles
-un nombre donnant le nombre d'intervalles
●
●
prob=FALSE:fréquences
prob=TRUE: fréquences relatives ou
probabilités
Eviter d ’écrire des boucles:
1
avec les fonctions apply()
lapply()sapply()
• apply(X, MARGIN, FUN, ...) retourne un
vecteur de la taille appropriée, où
• X: tableau
• Margin
=1 pour les lignes, 2 pour les
colonnes
• Fun: fonction '+', '%*%‘, mean, sum,...
• lapply sapply() même fonction pour les
listes et les vecteurs
Eviter d ’écrire des
boucles (2)
• Exemple 1
n=10
p=0.2
x=0:n
y=choose(n,x)*p^x*(1-p)^(nx)
#ou bien y=dbinom(x,n,p)
plot(x,y,type="h" ,lwd=10)
• Exemple 2
prod(1:8); 40320
identique à factorial(8)
Un exemple d'utilisation du type
factor
Le type factor:Un exemple
• Un facteur est un objet vecteur qui peut être
utilisé pour spécifier une classification
discrète des composants d’un autre vecteur de
même longueur
• Facteurs non ordonné:variable qualitative
ou
• Facteurs ordonnés:variable qualitative
ordonnée
• prov=c("PA","PA","AG","RG","ME","CT","CT","SR","TP","EN"
,"CL","ME","PA","AG","RG","ME","CT","CT","SR","TP","EN")
• length(prov)
• [1] 21
•
•
fprov=factor(prov) ;fprov
[1] PA PA AG RG ME CT CT SR TP EN CL ME PA AG RG ME CT
CT SR TP EN
• Levels: AG CL CT EN ME PA RG SR TP
• levels(fprov)
• [1] "AG" "CL" "CT" "EN" "ME" "PA" "RG" "SR" "TP"
•revenus=c(13000,14900,14000,16100,14500,16600,159
00,15400,17000,19000,14600,17000,18500,15800,14500
,16600,15900,15400,17000,19000,20000)
•revenu.par.province=tapply(revenus,fprov,mean);
revenu.par.province;
AG
CL
CT
EN
ME
PA
14900.00 14600.00 15950.00 19500.00 16033.33 15466.6
RG
SR
TP
15300.00 16200.00 18000.00
La fonction which()
• which(x, arr.ind = FALSE)
• x: un vecteur ou tableau logique
• arr.ind: logique est-ce que les indices du
tableau doivent être retournés lorsque x
est un tableau?
• Exemple: m = matrix(12:24,3,4) ;m
[,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]
12
15
18
21
[2,]
13
16
19
22
[3,]
14
17
20
23
which(m %% 3 == 0);
[1] 1 4 7 10
which(m %% 3 == 0, arr.ind=TRUE);
row col
[1,]
1
1
[2,]
1
2
[3,]
1
3
[4,]
1
4
Etude empirique des
fluctuations
d'échantillonnage
●
●
Quelquefois, on est dans
l'impossibilité de calculer la
distribution d'échantillonnage de
certaines caractéristiques utiles:
soit parce que n est trop
petit,soit parce que la
distribution parente est inconnue
On utilise alors des techniques de
simulation, qui substituent la
puissance de calcul d'un ordinateur
à celle d'un développement
analytique:
Population de distribution
connue:
●
●
Si on connait la loi F de la
variable parente X, il suffit de
simuler un très grand nombre N
d'échantillons de n valeurs de X.
Pour chaque échantillon, on calcule
la statistique cherchée, d'ou une
distribution T1, ...Ti
Si N est grand, la répartition
empirique des Ti est proche de la
loi de la variable T
Population de distribution
inconnue:la méthode de
rééchantillonnage bootstrap
L'idée (B .EFRON) est la suivante:
●
●
Si n est grand Fn* est proche de F, on
aura donc une bonne approximation de la
loi de T en utilisant Fn*à la place de
F.
On tire donc des échantillons de n
valeursdans la loi Fn*, ce qui revient
à rééchantillonner dans l'échantillon
x1,...xn.
●
Autrement dit à effectuer des tirages
avec remise des n valeurs parmi les n
observées
●
●
Les valeurs observées sont donc
répétées.
Lorsque n n'est pas très grand, on
peut énumérer tous les échantillons
possible équiprobables,(n^n),sinon
on se contente d'en tirer un nombre
suffisamment grand à l'aide d'une
technique de tirage dans une
population finie
Cours 5
Partie 3
Exemples de statistiques
descriptives
Exercice 1 : Dans une enquête sur les
conditions de vie des ménages de
banlieue, on dispose de la série
statistique du nombre d’enfants de
10 ménages:
D=data.frame(men=1:11,nbenf=c(3,2,5,3,6,3,5,5
,1,5,2));D;
men nbenf
1
1
3
2
2
2
3
3
5
4
4
3
5
5
6
6
6
3
7
7
5
8
8
5
9
9
1
10 10
5...
Calculer la moyenne du nombre
d’enfants par ménage de deux façons
différentes
mean(D$nbenf);
[1] 3.636364
sum(D$nbenf)/length(D$nbenf)
[1] 3.636364
Construire le tableau de la distribution
des fréquences de cette série
●
●
●
df=D$nbenf/sum(D$nbenf)
> df
[1] 0.075 0.050 0.125 0.075 0.150
0.075 0.125 0.125 0.025 0.125 0.050
Représenter graphiquement cette
distribution.
plot(table(D$nbenf),main="diagramme en
batons des effectifs")
plot(table(D$nbenf),main="polygone des
effectifs ", type="b", col=2)
0.2
0.1
0.0
frequence
0.3
plot(table(D$nbenf)/length(D$nbenf),xlab=
"nombre d'enfants", ylab="frequence")
1
2
3
nombre d'enfants
5
6
2
1
0
table(D$nbenf)
3
4
polygone des effectifs
1
2
3
5
6
Exercice 2 : Au poste de
péage, on compte le nombre
de voitures se présentant
sur une période de 5mn. Sur
100 observations de 5mn, on
obtient les résultats
suivants:...
Construire le diagramme en bâtons et
le polygone des fréquences cumulées
de la série du nombre de voitures.
●
●
●
D1=data.frame(nv=1:12,no=c(2,8,14,2
0,19,15,9,6,2,3,1,1))
plot(D1$nv,D1$no,type="h",
main="diagramme en
batons",xlab="nombre de voitures",
ylab="nombre d'observations")
15
10
5
nombre d'observations
20
diagramme en batons
2
4
6
8
nombre de voitures
10
12
Polygone des fréquences cumuléees
●
●
●
●
fc=cumsum(no)
plot(D1$nv,fc,type="l",
main="polygone des frequences
cumulées",xlab="nombre de
voitures", ylab="frequences
cumulees")
80
60
40
20
0
frequences cumulees
100
polygone des frequences cumulées
2
4
6
8
nombre de voitures
10
12
Calculer la moyenne et l’écart-type
de cette série.
●
(attention il s'agit de moyennes et
d'ecart type pondérés)
moy=sum(D1$nv*D1$no)/100
[1] 5.07
et=sqrt(sum(0.01*D1$no*(D1$nvmoy)^2))
> et
[1] 2.182911
Déterminer la médiane, les quartiles
et tracer le box-plot.
●
s=rep(D1$nv,D1$no);s
summary(s)
Min. 1st Qu. Median
Qu.
Max.
1.00
4.00
5.00
6.00
12.00
boxplot(s)
Mean 3rd
5.07
2
4
6
8
10
12
Etudier la symétrie de la
série
calcul du moment d'ordre r
r=2
mr=(sum(0.01*D1$no*(D1$nv-moy)^r))^(1/r):
2.18
r=3
mr=(sum(0.01*D1$no*(D1$nv-moy)^r))^(1/r)
mr
r=4
[1] 1.944207
[1] 2.982554